人教B版 (2019)选择性必修 第三册6.3 利用导数解决实际问题同步练习题

【优选】6.3 利用导数解决实际问题-1课堂练习

一．填空题

1．函数y=f（x）图象上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）处的切线的斜率分别是kA，kB，规定（A，B）=叫曲线y=f（x）在点A与点B之间的“弯曲度”，给出以下命题：

（1）函数y=x3﹣x2+1图象上两点A．B的横坐标分别为1，2，则（A，B）＞；

（2）存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数；

（3）设点A．B是抛物线，y=x2+1上不同的两点，则（A，B）≤2；

（4）设曲线y=ex上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1﹣x2=1，若t（A，B）＜1恒成立，则实数t的取值范围是（﹣，1）；

以上正确命题的序号为　　（写出所有正确的）

2．丹麦数学家琴生（Jensen）是19世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果，设函数在上的导函数为，在上的导函数为，若在上恒成立，则称函数在上为“凸函数”，已知在上为“凸函数”，则实数的取值范围是__________．

3．做一个容积为256 dm3的方底无盖水箱，它的高为______dm时最省料．

4．如图，曲线在点处的切线为，直线与轴和直线分别交于点．，点，则的面积取值范围为_____．

5．如图，圆形纸片的圆心为，半径为，该纸片上的正方形的中心为，为圆上的点，．．．分别是以为底边的等腰三角形，沿虚线剪开后，分别以为折痕折起．．．，使得重合，得到一个三棱锥，当正方形的边长为__________时，三棱锥体积最大．

6．用总长为14.8 m的钢条制作一个长方体容器的框架，若所制作容器的底面的一边比高长0.5 m，则当高为______ m时，容器的容积最大．

7．已知物体的运动方程是（的单位：，的单位：），则物体在时刻时的加速度            ．

8．如图所示，某厂需要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为________．

9．如图，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器（图）.当这个正六棱柱容器的底面边长为     时，其容积最大.    

10．正三棱柱内接于半径为的球，则当该棱柱体体积最大时，高         ．

11．从边长为10cm×16cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为______cm3.

12．质点按规律做直线运动（位移单位：，时间单位：），则质点在时的瞬时速度为______（单位：）.

13．某收音机制造厂管理者通过对上班工人工作效率的研究表明：一个中等技术水平的工人，从8：00开始工作，t小时后可装配晶体管收音机的台数为Q(t)=-t3+9t2+12t，则Q′(2)=　　　　，它的实际意义为　          .

14．某果园种植丑橘每年固定成本10万元，每年最大产量13万斤，每种一斤橘子，成本增加1元，已知销售额函数，（是橘子产量，单位：万斤，销售额单位：万元，为常数）若产2万斤，利润18万元，则______；要使利润最大，每年需产橘子______万斤．

15．传说中孙悟空的“如意金箍棒”是由“定海神针”变形得来的.这定海神针在弯形时永远保持为圆柱体，其底面半径原为且以每秒等速率缩短，而长度以每秒等速率增长.已知神针的底面半径只能从缩到为止，且知在这段变形过程中，当底面半径为时其体积最大.假设孙悟空将神针体积最小时定形成金箍棒,则此时金箍棒的底面半径为__________ ．

参考答案与试题解析

1．【答案】（2）（3）．

【解析】解：对于（1），由y=x3﹣x2+1，得y′=3x2﹣2x，

则，，

y1=1，y2=5，则，

（A，B）=，（1）错误；

对于（2），常数函数y=1满足图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数，（2）正确；

对于（3），设A（x1，y1），B（x2，y2），y′=2x，

则kA﹣kB=2x1﹣2x2，=

=．

∴（A，B）==，（3）正确；

对于（4），由y=ex，得y′=ex，（A，B）==．

t（A，B）＜1恒成立，即恒成立，t=1时该式成立，∴（4）错误．

故答案为：（2）（3）．

2．【答案】

【解析】根据凸函数定义，只需满足在上恒成立即可，采用参变分离的方法将分离出来，然后利用对勾函数的性质分析关于的部分的取值，从而得出的取值范围.

【详解】

∵函数在上是“凸函数”，

∴在上恒成立即

令，显然在上单调递增，

∴

∴t≥．

故答案为：

【点睛】

（1）恒成立，则只需要；

（2）存在成立，则只需要.

3．【答案】4

【解析】设底面边长为x dm，则高为h＝dm，

其表面积为S＝x2＋4××x＝x2＋，

S′＝2x－，令S′＝0，则x＝8，

则高h＝＝4 (dm)．

4．【答案】

【解析】先对函数求导,得,代入切点的横坐标即可得斜率,根据点斜式方程可得切线方程,求出切线方程与轴和直线的交点,根据三点可求得面积的表达式是一元二次,对面积求导,判断出单调性,即可求出面积的取值范围.

【详解】

解：的导数为,

在点处的切线斜率为,切点为,

切线方程为

令可得；令,可得,

则的面积为,

由 ,

当 时, ,函数递增；当时, ,函数递减,

可得 处取得极大值,且为最大值,

且时,；时, ,

可得的面积取值范围为,

故答案为：,

【点睛】

本题考查导数在函数中的应用：求切线方程,求单调性和最值,以及根据图象观察分析的能力,是一道中档题.

5．【答案】

【解析】连接交于点，则，点为的中点，连接，

为直角三角形，设正方形的边长为，则，由圆的半径

为4，则，设重合于点P，则

则，高．，

设，当时，，单调递增；当时，，单调递减，

所以当时，取得最大值，此时，

即答案为.

6．【答案】1

【解析】由题意直接列出函数表达式，再用导数求最值，设高为x m，

则V＝x(x＋0.5)(3.2－2x)，

令V′＝－6x2＋4.4x＋1.6＝0，

即解15x2－11x－4＝0，

得x＝1，x＝－ (舍去)．

7．【答案】

【解析】路程的导数是速度,速度的导数是加速度,所以,当时,.

考点：导数在实际生活中的运用．

8．【答案】32；16

【解析】要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短，设场地宽为x米，则长为米，

因此新墙壁总长度L＝2x＋ (x>0)，则L′＝2－.

令L′＝0，得x＝±16.

∵x>0，∴x＝16.

当x＝16时，Lmin＝64，此时堆料场的长为＝32(米)．

9．【答案】

【解析】详解：如图，设底面六边形的边长为x，高为d，则

d=（1-x）； 又底面六边形的面积为：

S=6？？x2？sin60°=x2；所以，这个正六棱柱容器的容积为：

V=Sd=x2？（1-x）=(x2-x3)，则对V求导，则

V′=（2x-3x2），令V′=0，得x=0或x=，

当0＜x＜时，V′＞0，V是增函数；当x＞时，V′＜0，V是减函数；∴x=时，V有最大值．

故答案为．

10．【答案】

【解析】设该棱柱的高为，由正三棱柱内接于半径为的球，可得球心到正三棱柱底面的距离为，则正三棱柱底面的外接圆的半径，则正三棱柱的底面的边长为，则正三棱柱底面的面积为，则正三棱柱的体积为，则，令，则，故当棱柱的体积最大时，高为.

考点：空间的几何体的体积及导数的应用.

【方法点晴】本题主要考查了球内接多面体问题．棱柱的体积的计算和导数的应用，解答的关键是熟练掌握底面圆的半径，球心距，球的半径构成的直角三角形的关系，及正三角形的边长．面积．外接圆半径之间的关系，属于中档试题，本题的解答中，根据组合体的特征，把底面圆的半径，球心距，球的半径构成的直角三角形，满足勾股定理，可得底面外接圆的半径，在由等边三角形的外接圆半径与边长的关系，得成底面边长，表示成棱柱的题，利用导数即可判定，得到结论.

11．【答案】144

【解析】设小正方形的边长为，可表示出盒子的容积，利用导数求得其最大值

【详解】

设小正方形的边长为

则盒子的容积

当时，，当时，

时，取得极大值，也是最大值，

故答案为

【点睛】

本题主要考查了导数在解决实际问题中的应用，考查了学生的阅读理解能力和利用数学知识解决问题的能力，属于基础题目。

12．【答案】4

【解析】对进行求导，再将的值代入，即可得答案.

【详解】

因为，所以，

所以质点在时的瞬时速度为.

故答案为：.

【点睛】

本题考查导数在物理中的运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意导数与瞬时速度的关系.

13．【答案】36(台/时)　10：00时工人装配收音机的速度为36台/时

【解析】∵Q(t)=-t3+9t2+12t，

∴Q′(t)=-3t2+18t+12，

∴Q′(2)=-3×4+18×2+12=36(台/时).

实际意义：10：00时工人装配收音机的速度为36台/时.

14．【答案】3    6 

【解析】由题意可知，可求出，若设产量与利润的函数为，则，然后求的最大值即可.

详解：解：因为产2万斤，利润18万元，

所以，解得

所以，

若设产量与利润的函数为，

则，

，令，则（舍去）或，

因为当时，，当时，，

所以当，取最大值，

故答案为：3，6

【点睛】

此题考查了导数在实际生活中的优化问题，解题的关键是实际问题数学化，属于基础题.

15．【答案】4

【解析】设原来神针的长度为，t秒时神针体积为则，其中。所以.因为当底面半径为时其体积最大，所以，解得，此时，解得，所以，其中，，当时，，当时，，从而在(0,2)单调递增，在(2,8)单调递减，，所以当时，有最小值，此时金箍棒的底面半径为.