人教B版 (2019)选择性必修 第三册6.3 利用导数解决实际问题课后作业题

【优编】6.3 利用导数解决实际问题-1课堂练习

一．填空题

1．统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y(升)关于行驶速度x(千米/时)的函数解析式可以表示为已知甲．乙两地相距100千米，当匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少为________升．

2．如图，水波的半径以50cm/s的速度向外扩张，当半径为250 cm时，一水波面的圆面积的膨胀率是　　　　.

3．函数,其中是常数,其图象是一条直线,称这个函数为线性函数,而对于非线性可导函数,在已知点附近一点的函数值可以用下面方法求其近似代替值,,利用这一方法,对于实数,取的值为4,则的近似代替值是               .

4．已知物体的运动方程是（的单位：，的单位：），则物体在时刻时的加速度            ．

5．已知正方形边长为3，点E，F分别在边，上运动（E不与A，B重合，F不与A，D重合），将以为折痕折起，当A，E，F位置变化时，所得五棱锥体积的最大值为__________.

6．要设计一个容积为的下端为圆柱形．上端为半球形的密闭储油罐，已知圆柱侧面的单位面积造价是下底面积的单位面积造价的一半，而顶部半球面的单位面积造价又是圆柱侧面的单位面积造价的一半，储油罐的下部圆柱的底面半径_______时，造价最低．

7．定义在上的函数满足：（为的导函数）且为偶函数，若向量，，则满足不等式的实数的取值范围是________；

8．从边长为10cm×16cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，作成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为______cm3.

9．已知函数在区间上恰有一个极值点，则实数的取值范围是               

10．正三棱柱内接于半径为的球，则当该棱柱体体积最大时，高         ．

11．已知棱柱的底面为等边三角形，侧棱与底面垂直，其体积为，则其表面积最小时，底面边长为______.

12．一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为10 km/h时，燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问此轮船以           km/h的速度航行时，能使行驶每千米的费用总和最小．

13．现需建造一个容积为V的圆柱形铁桶，它的盖子用铝合金材料，已知单位面积的铝合金的价格是铁的3倍。 要使该容器的造价最低，则铁桶的底面半径r与高h的比值为_______

14．已知，则的最小值为         ．

15．如图所示，某厂需要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边需要砌新的墙壁，当砌壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为________．

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】由题意知甲地到乙地耗油量为

由φ′(x)＝0得：x＝80，

也就是当x＝80千米/时时，甲地到乙地的耗油量为

φ(x)min＝升．

2．【答案】25000πcm2/s

【解析】∵s=πr2，r=50t，

∴s(t)=2500πt2，s′(t)=5000πt.

当r=50t=250时，即t=5，

∴s′(5)=25000π.

3．【答案】2.005

【解析】

4．【答案】

【解析】路程的导数是速度,速度的导数是加速度,所以,当时,.

考点：导数在实际生活中的运用．

5．【答案】

【解析】欲使五棱锥的体积最大，须有平面平面，求出底面五边形的面积以及高，利用棱锥的体积公式得出体积表达式，再由基本不等式以及导数得出五棱锥体积的最大值.

详解：解析：不妨设，，

在直角三角形中，易知边上的高为

又五棱锥的底面面积为

欲使五棱锥的体积最大，须有平面平面

∴

∵，∴

令，则，∴，

令，，则

不难知道，当时，取得最大值

∴

综上所述，当时，五棱锥的体积取得最大值

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了利用导数解决实际应用问题，涉及了棱锥的体积公式和基本不等式的应用，属于中档题.

6．【答案】.

【解析】根据造价关系，得到总造价，再利用导数求得的最大值.

【详解】

设圆柱的高为，圆柱底面单位面积造价为，总造价为，

因为储油罐容积为，所以，整理得：，

所以，

令，则，

当得：，当得，

所以当时，取最大值，即取得最大值.

【点睛】

本题考查导数解决实际问题，考查运算求解能力和建模能力，求解时要把相关的量设出，并利用函数与方程思想解决问题.

7．【答案】

【解析】

8．【答案】144

【解析】设小正方形的边长为，可表示出盒子的容积，利用导数求得其最大值

【详解】

设小正方形的边长为

则盒子的容积

当时，，当时，

时，取得极大值，也是最大值，

故答案为

【点睛】

本题主要考查了导数在解决实际问题中的应用，考查了学生的阅读理解能力和利用数学知识解决问题的能力，属于基础题目。

9．【答案】

【解析】

10．【答案】

【解析】设该棱柱的高为，由正三棱柱内接于半径为的球，可得球心到正三棱柱底面的距离为，则正三棱柱底面的外接圆的半径，则正三棱柱的底面的边长为，则正三棱柱底面的面积为，则正三棱柱的体积为，则，令，则，故当棱柱的体积最大时，高为.

考点：空间的几何体的体积及导数的应用.

【方法点晴】本题主要考查了球内接多面体问题．棱柱的体积的计算和导数的应用，解答的关键是熟练掌握底面圆的半径，球心距，球的半径构成的直角三角形的关系，及正三角形的边长．面积．外接圆半径之间的关系，属于中档试题，本题的解答中，根据组合体的特征，把底面圆的半径，球心距，球的半径构成的直角三角形，满足勾股定理，可得底面外接圆的半径，在由等边三角形的外接圆半径与边长的关系，得成底面边长，表示成棱柱的题，利用导数即可判定，得到结论.

11．【答案】

【解析】设正三棱柱的底面边长为，求出三棱柱的高，由此可得出其表面积的表达式，利用导数求出函数的极小值点，即为所求.

【详解】

设正三棱柱的底面边长为，则其底面积为，高为，

所以，该正三棱柱的表面积，，

，令，得.

当时，；当时，.

因此，当时，函数取得最小值.

故答案为：.

【点睛】

本题考查导数的实际应用，解题的关键就是求出函数解析式，考查运算求解能力，属于中等题.

12．【答案】20

【解析】设船速为x(x>0)km/h，燃料费是Q元，

则Q＝kx3，

由已知得6＝k·103，k＝，∴Q＝x3，

∴总费用y＝·＝x2＋.

令y′＝x－＝0，得x＝20.

当0＜x＜20时，y′<0；当x＞20时，y′＞0.

故x＝20是(0，＋∞)上唯一极小值点，∴当x＝20时y有最小值．即轮船以20 km/h的速度航行时，能使每千米的费用总和最小．

13．【答案】

【解析】设单位面积铁的造价为，总的造价为 ，那么 ，即 ，又根据 ，代入后得到 ， ，令 ，解得： ，当 时， 函数单调递减，当 时，函数单调递增，所以当时，函数取得最小值， ，那么 ，故填： .

14．【答案】

【解析】

15．【答案】32；16

【解析】要求材料最省就是要求新砌的墙壁总长度最短，设场地宽为x米，则长为米，

因此新墙壁总长度L＝2x＋ (x>0)，则L′＝2－.

令L′＝0，得x＝±16.

∵x>0，∴x＝16.

当x＝16时，Lmin＝64，此时堆料场的长为＝32(米)．