高中数学人教B版 (2019)选择性必修 第三册5.1.1 数列的概念当堂达标检测题

【精品】5.1.1 数列的概念同步练习

一．填空题

1．数列满足：，，则______.

2．数列中，如果存在使得“，且”成立（其中，），则称为的一个“谷值”。若且存在“谷值”则实数的取值范围是__________．

3．数列中，，且满足，数列的通项公式是________.

4．已知数列，的通项公式分别为，设，若，则数列中的最大项是_________.若数列中的最大项，则的取值范围是_________.

5．设数列满足,,,，______.

6．在数列中，已知，则是这个数列中的第_____项.

7．已知数列满足：①，②对任意的都有成立．函数，满足：对于任意的实数，总有两个不同的根，则的通项公式是______．

8．若数列满足，，则__________．

9．已知数列满足，（），则________.

10．已知数列的通项公式为，那么是这数列的第_____项.

11．已知函数,且)，若数列满足,且数列是递增数列，则实数的取值范围是 ________.

12．已知数列满足：，，且（），记集合，集合的元素个数的最大值是 _________.

13．已知数列{an}是递增数列，且对于任意的n∈N，an＝n2＋λn恒成立，则实数λ的取值范围是________.

14．写出下列各数列的一个通项公式：

（1）数列的前几项分别是，…，则___________；

（2）数列的前几项分别是，…，则___________；

（3）数列的前几项分别是，…，则___________；

（4）数列的前几项分别是，…，则___________；

（5）数列的前几项分别是，则___________.

15．数列的最大项所在的项数为________.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】可通过赋值法依次进行推导，找出数列的周期，进而求解

【详解】

由，，

当时，；当时，；当时，；

当时，；当时，，当

故数列从开始，以3为周期

故

故答案为：

【点睛】

本题考查数列的递推公式，能根据递推公式找出数列的规律是解题的关键，属于中档题

2．【答案】

【解析】求出,,,当,递减,递增,分别讨论,,是否存在“谷值”,注意运用单调性即可.

【详解】

解：当时,有,,

当,递减,递增,且.

若时,有,则不存在“谷值”；

若时,,则不存在“谷值”；

若时,①,则不存在"谷值"；

②,则不存在"谷值"；

③,存在"谷值"且为.

综上所述,的取值范围是

故答案为：

【点睛】

本题考查新定义及运用,考查数列的单调性和运用,正确理解新定义是迅速解题的关键,是一道中档题.

3．【答案】

【解析】由已知条件得是等差数列，由此利用，，求出公差，能求出．

【详解】

．

，

是等差数列，

设的公差为，

，，

，，

．

故答案为：

【点睛】

本题考查数列性质的判定和通项公式的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

4．【答案】2     

【解析】由数列的单调性，寻找数列的最大项，从而求解.

【详解】

①当时，

当时，该数列为增数列，故其最大项为；

当时，该数列为减数列，故其最大项为；

综上所述，则此时该数列的最大项是2.

②根据题意，为更好说明问题，构造函数，

在同一坐标系中绘制出与的函数图像，如下所示：

结合题意，由图可知，若使得的最大值小于2，只需：

当时，的函数值小于2即可，

故：，解得.

故答案为：2；.

【点睛】

本题考查数列的单调性，应该用函数的角度来思考问题.

5．【答案】8073

【解析】对分奇偶讨论求解即可

【详解】

当为偶数时，

当为奇数时，

故当为奇数时，

故

故答案为8073

【点睛】

本题考查数列递推关系，考查分析推理能力，对分奇偶讨论发现规律是解决本题的关键，是难题

6．【答案】12

【解析】假设是数列中的项，则得，即得解.

详解：假设是数列中的项，则

所以，

所以.

所以是数列的第12项.

故答案为：12.

【点睛】

本题主要考查数列的通项，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.

7．【答案】

【解析】利用三角函数的图象与性质．诱导公式．数列的递推关系可得，再利用“累加求和”方法．等差数列的求和公式即可得出．

【详解】

解：，当时，，，

又对任意的，总有两个不同的根，，

，，，

又，，

对任意的，总有两个不同的根，，

又，，

对任意的，总有两个不同的根，，

由此可得，

，

故答案为：，

【点睛】

本题考查了三角函数的图象与性质．诱导公式．数列的递推关系．“累加求和”方法．等差数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题

8．【答案】3

【解析】根据可得,从而得到.

【详解】

解:∵,∴,

∴,∴,

∴,又,

∴.

故答案为:3.

【点睛】

本题考查了利用递推公式求数列中某一项的值,属基础题.

9．【答案】31

【解析】根据数列的首项及递推公式依次求出．．即可.

【详解】

解：，

故答案为：

【点睛】

本题考查利用递推公式求出数列的项，属于基础题.

10．【答案】9

【解析】令，求出即可得到所求答案.

详解：解：令，即，解得或(舍去)，

则是这数列的第9项，

故答案为: 9.

【点睛】

本题考查了数列的通项公式.

11．【答案】

【解析】求得的表达式，根据数列是递增数列，列不等式组，解不等式组求得的取值范围.

【详解】

依题意（）.注意到的对称轴为，所以当时，单调递增.由于数列是递增数列，所以，即，解得.所以的取值范围是.

故答案为：

【点睛】

本小题主要考查根据数列的单调性求参数的取值范围，考查分段函数的性质，属于中档题.

12．【答案】8

【解析】分别讨论是3的倍数和不是3的倍数这两种情况下集合中元素的最大个数,综合两种情况即可得出结论

【详解】

由,可归纳证明

因为是正整数, ,

所以是2的倍数,从而当时,是4的倍数,

若是3的倍数,则对于所有正整数,是3的倍数,

因此当时,,此时的元素个数不超过5；

若不是3的倍数,则对于所有正整数,不是3的倍数,

因此当时,,此时的元素个数不超过8；

当时,有8个元素,

综上,集合的元素个数的最大值为8

故答案为：8

【点睛】

本题考查数列的递推关系,考查元素的个数,考查分类讨论思想

13．【答案】(－3，＋∞)

【解析】因为数列{an}是单调递增数列，

所以an＋1－an>0 (n∈N)恒成立．

又an＝n2＋λn (n∈N)，所以(n＋1)2＋λ(n＋1)－(n2＋λn)>0恒成立，即2n＋1＋λ>0.

所以λ>－(2n＋1) (n∈N)恒成立．

而n∈N时，－(2n＋1)的最大值为－3(n＝1时)，所以λ的取值范围为(－3，＋∞)．

点睛：对于恒成立问题，常用到以下两个结论：

(1)a≥f(x)恒成立？a≥f(x)max；

(2)a≤f(x)恒成立？a≤f(x)min.

14．【答案】                 

【解析】直接根据所给的数列的项的特征观察求解即可.

详解：（1）由

可得；

（2）由

可得

（3）由，可知奇数项为负数，偶数项为正数，

可得

（4）由

可得

（5）由

可得

【点睛】

本题主要考查了利用观察法求数列的通项公式，属于基础题.

15．【答案】11.

【解析】，时，，得到关于的不等式组，解得的范围，结合，得到的值，再与时进行比较，得到答案.

【详解】

令，

当时，设为最大项，则

即

解得.

而，所以

又时，有，

所以数列的最大项所在的项数为.

故答案为：

【点睛】

本题考查求数列中的最大项，属于简单题.