人教B版 (2019)选择性必修 第三册6.1.4 求导法则及其应用一课一练

【基础】6.1.4 求导法则及其应用-3同步练习

一．填空题

1．

若曲线在处的切线斜率为，则二项式的展开式中的常数项为______（用数字作答）.

2．

函数，则曲线在处的切线方程___________.

3．

曲线的一条切线的斜率为3，则该切线的方程为__________．

4．若对，不等式恒成立，则实数的最大值是______________.

5．

曲线在点处的切线恰好经过坐标原点，则___________.

6．

函数图象上一点到直线的最短距离为___________.

7．

已知直线与曲线相切，当取得最大值时，的值为_______________________．

8．已知函数，则函数的图象在点处的切线斜率为_________．

9．

已知，，则的最小值为______．

10．函数的图象在处的切线方程是______.

11．曲线在点处的切线方程为______.

12．已知曲线在处的切线与直线垂直，则实数_________.

13．

曲线在x＝0处的切线方程是_________．

14．

下列四个命题是真命题的序号为___________.

①命题“”的否定是“”.

②曲线在处的切线方程是.

③函数为增函数的充要条件是.

④根据最小二乘法，由一组样本点()(其中)求得的线性回归方程是，则至少有一个样本点落在回归直线上.

15．若函数与的图象有一条公共切线，且该公共切线与直线平行，则实数______.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】

由可得，

则曲线在处的切线斜率为；

则，

所以展开式的第项为，

令得，

则二项式的展开式中的常数项为.

故答案为：.

2．【答案】

【解析】

由题意，，则，而，

∴曲线在处的切线方程为.

故答案为：

3．【答案】

【解析】

设切线的切点坐标为，

，所以切点坐标为，

所求的切线方程为.

故答案为：.

4．【答案】

【解析】分析：令函数，求出过原点的切线方程，将问题转化为对，恒成立，由切线方程的斜率可求得的取值范围，从而得到答案．

详解：令函数，则，设切点为，所以，所以过切点的切线方程为，

又因为切线过原点，所以，解得，所以，

所以函数过原点的切线方程为，

所以对，不等式恒成立，即对，恒成立，所以，解得，

故实数的最大值是，

故答案为：．

【点睛】

方法点睛：本题主要考查利用导数求函数的最值以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：①分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；②数形结合；③讨论最值或恒成立；④讨论参数．

5．【答案】1

【解析】

，则

则切线方程为，

代入原点可得：，

即，解得（负根舍去）

故答案为：1

6．【答案】

【解析】

设与直线平行且与曲线相切的直线的切点坐标为，

因为，则，所以，则切点坐标为，

最短距离为点到直线的距离，

即为.

故答案为：

7．【答案】

【解析】

设切点为，

因为，

所以，即，

又因为，

所以，所以.

令

所以当时，，则在区间上单调递增，

当时，，则在区间上单调递减﹐

所以

所以的最大值为1，此时.

故答案为：1

8．【答案】

【解析】分析：根据的解析式，可求得的解析式，即可求得的值，根据导数的几何意义，即可得答案.

详解：因为，所以，

所以根据导数的几何意义可得，

故答案为：

9．【答案】

【解析】

可看成点到点的距离，

而点的轨迹是直线，点的轨迹是曲线，

则所求最小值可转化为曲线上的点到直线距离的最小值，而曲线在直线上方，

平移直线使其与曲线相切，则切点到直线距离即为所求，

设切点，，由得，切点为

则到直线距离.

故答案为：

10．【答案】

【解析】分析：先求导得，进而得，再根据点斜式方程书写直线方程即可.

详解：由题意可得，

则，

故所求切线方程为，即.

故答案为：.

11．【答案】

【解析】分析：对函数求导，将代入可得切线斜率，进而得到切线方程．

详解：，切线的斜率为

则切线方程为，即

故答案为：

12．【答案】

【解析】分析：利用导数求出曲线在处的切线的斜率，根据已知条件可知切线与直线垂直，由此可求得实数的值.

详解：对函数求导得，所以，曲线在处的切线斜率为，

由已知条件可得，解得.

故答案为：.

13．【答案】y＝﹣x+1

【解析】

的导数为，

可得曲线在x＝0处的切线的斜率为k＝﹣1，

又切点为（0，1），

所以切线的方程为y＝﹣x+1．

故答案为：y＝﹣x+1．

14．【答案】①②

【解析】

①由含有一个量词的命题的否定知：命题“”的否定是“”，故正确.

②因为，所以，所以曲线在处的切线方程是，故正确；

③若函数为增函数，则，解得，所以函数为增函数的充要条件是，故错误；

④回归方程恒过样本点的中心，但样本点不一定落在回归直线上，故错误；

故答案为：①②

15．【答案】

【解析】分析：设函数图象上切点为，利用导数的几何意义求出与直线平行的切线方程，设函数的图象上的切点为，利用导数的几何意义可求出.

详解：设函数图象上切点为，

因为，所以，得，

所以，

所以切线方程为，即，

设函数的图象上的切点为，

因为，

所以，即，

又，即，

所以，即，解得或（舍），

所以.

故答案为：

【点睛】

关键点点睛：利用导数的几何意义求解是解题关键.