初中人教版16.3 二次根式的加减精品课时作业

16.3 二次根式的加减

一、同类二次根式

1、概念：如果几个二次根式化成最简二次根式后它们的被开方数相同，那么这几个二次根式就叫作同类二次根式。

2、合并同类二次根式：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变。

注：①(合并的依据是乘法分配律；

②判断可合并的二次根式是否合并的前提条件是都化为最简二次根式，看它们的被开方数是否相同，相同就可合并，不相同就不可合并。

二、二次根式的加减

1、二次根式的加减法则：先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式(即同类二次根式)进行合并。

2、步骤：一化：将非最简二次根式的二次根式化简；

二找：找出被开方数相同的二次根式；

三合并：把被开方数相同的二次根式合并。

注：二次根式的加减法与整式的加减法类似，只要将根式化为最筒二次根式后，去括号与合并被开方数相同的二次根式。

三、二次根式混合运算

运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）。

注：①二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样；

②在有理数范围内成立的运算律，在实数范围内仍然成立；

③二次根式运算结果应化简。另外，根式的分数必须写成假分数或真分数，不能写成带分数或小数。

题型一 同类二次根式

【例1】下列二次根式中与是同类二次根式的是（    ）．

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】A、，与不是同类二次根式；B、与不是同类二次根式；

C、与是同类二次根式；   D、与不是同类二次根式；故选C.

【变式1-1】下列各组的两个根式，是同类二次根式的是（    ）

A．和 B．和 C．和 D．和

【答案】C

【解析】A、，故和不是同类二次根式；

B、，故和；

C、，故和是同类二次根式；

D、和不是同类二次根式；故选C．

【变式1-2】下列二次根式中，能与合并的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】A、，故与不能合并； B、，故与能合并；

C、与不能合并； D、，故与不能合并．故选B．

【变式1-3】下列二次根式化简后可以合并的一组是 （    ）

A．和 B．和 C．和 D．和

【答案】C

【解析】A、，与不是同类二次根式，不可合并；

B、和不是同类二次根式，不可合并；

C、，，同类二次根式，可以合并；

D、，，不是同类二次根式，不可合并.故选C．

【变式1-4】当__________时，最简二次根式与是同类二次根式．

【答案】4

【解析】由题意可知：，解得：．

题型二 二次根式的加减运算

【例2】下列运算正确的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】A、与不是同类二次根式，不能合并计算； B、；

C、与不是同类二次根式； D、，正确；故选D．

【变式2-1】计算：_________ .

【答案】

【解析】．

【变式2-2】计算：计算：

【答案】

【解析】原式

【变式2-3】计算：，则_______；_______．

【答案】     4     5

【解析】，所以，

所以，故答案为：4，5．

【变式2-4】若等腰三角形的两边长分别为和，则这个三角形的周长为（　　）

A． B．

C． D．或

【答案】A

【解析】当腰长为时，则三角形的三边长分别为，，，

，，这不满足三角形的三边关系；

当腰长为时，则三角形的三边长分别为，，，

满足三角形的三边关系，此时周长为．

综上可知，三角形的周长为．故选：A．

题型三 二次根式的混合运算

【例3】计算

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

【变式3-1】计算：．

【答案】解：原式＝××

＝

＝．

【变式3-2】估计的值应在（    ）

A．4和5之间 B．5和6之间 C．6和7之间 D．7和8之间

【答案】C

【解析】原式

∵，

∴，

即，故选：C．

【变式3-3】若，则的值为______．

【答案】

【解析】把代入，得

．故答案为：．

【变式3-4】若的整数部分为，小数部分为，则代数式的值为________．

【答案】1

【解析】∵的整数部分为，小数部分为，，

∴，

∴ ．

题型四 二次根式的化简求值

【例4】先化简，再求值：，其中．

【答案】解：原式

；

当时：原式．

【变式4-1】先化简，再求值，其中．

【答案】解：

，

当时，

原式

．

【变式4-2】已知，，求下列代数式的值：

（1）；

（2）．

【答案】（1）解：∵，，

∴

∴

；

（2）解：∵，

∴，

∴

．

【变式4-3】计算或化简：

（1）；

（2）如图，实数a、b在数轴上的位置，化简 ：

【答案】（1）解：

（2）解：由数轴可知，，，

∴，，，

∴．

题型五 二次根式的应用

【例5】一个正方形的面积是50，则边长为______．

【答案】

【解析】设边长为x，则x2=50，

∵x＞0，

∴x=．故答案为：．

【变式5-1】设长方形的面积为，相邻两边长分别为、，已知，，求．

【答案】

【解析】.

【变式5-2】已知长方形的长，宽

（1）求长方形的周长；

（2）有个正方形与该长方形的面积相等，求正方形与长方形周长的比．

【答案】解：（1）长方形的长，宽

所以长方形的周长=

（2）长方形的面积=

根据面积相等，则正方形的边长=，周长=，

所以，正方形与长方形周长的比为

【变式5-3】如图，由四张大小相同的矩形纸片拼成一个大正方形和一个小正方形．如果大正方形的面积为75，小正方形的面积为3，则矩形的宽为________．

【答案】

【解析】设矩形的长为，宽为，则有=75，=3，

所以5，，

所以2，

即矩形的宽AB为2，故答案为：．

【变式5-4】在一块矩形的土地上种植草坪，该矩形土地的长为、宽为（提示：结果保留整数，）

（1）求该矩形土地的周长；

（2）若种植造价每平方米160元，求在该矩形土地上全部种植草坪的总费用．

【答案】解：（1）该矩形土地的周长为：

(m)；

（2）该矩形土地上全部种植草坪的总费用为：

（元）.