第十六章 二次根式重点题型复习-【题型分类归纳】2022-2023学年八年级数学下册同步讲与练（人教版）

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第十六章：二次根式重点题型复习题型一 求二次根式的值/参数【例1】（1）______.（2）______．【答案】（1）1；（2）【解析】（1）（2）  【变式1-1】当时，二次根式的值是______.【答案】【解析】把代入得，. 故答案为.  【变式1-2】已知是正整数，是整数，则的最小值为_________．【答案】18【解析】∵122＝144，132＝169，∴，∴．  【变式1-3】按一定规律排列的一列数：，，，，……其中第5个数为______，第个数为_______（为正整数）．【答案】     ，     【解析】将转换成之后，可发现各项的分母依次为1，2，3，4，，可以得出第项的分母就是，故第5项的分母为5；同时各项的分子中根号内的值依次为3，8，15，24，，不难发现第项的分子中根号内的值应是，所以第5项的分子应是，则第个数分子为，故第5个数为，第个数为.  【变式1-4】若的值为零，则的值为______．【答案】2【解析】∵分式的值为零，∴=0且，即=0且，解得：．  题型二 二次根式有意义的条件【例2】求下列二次根式中字母的取值范围．（1）． （2）． （3）． （4）．【答案】（1）；（2）为任意实数；（3）；（4）．【解析】（1），解得：；（2），解得：为任意实数；（3）且，解得；（4），解得．  【变式2-1】当满足_________时，式子有意义．【答案】【解析】由题意可得：，解得：．  【变式2-2】等式成立的条件是___________．【答案】，【解析】∵，∴，．  【变式2-3】若，则=_____________．【答案】【解析】 ， ， ，由，得，即， ，．  【变式2-4】设 ， 均为实数，且 ，求的值．【答案】【解析】由题意得 ，，，解得 ． ． ． 题型三 化为最简二次根式【例3】把下列二次根式化为最简二次根式：（1）； （2）； （3）； （4）； （5）2（均大于0）．【答案】（1）  （2）  （3） （4） （5）【解析】（1）（2）（3）（4）（5）∵均大于0 ∴．  【变式3-1】下列二次根式化成最简二次根式后，被开方数与另外三个不同的是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】∵是最简二次根式，，，，∴化成最简二次根式后，被开方数与另外三个不同的是．故选：C  【变式3-2】已知最简二次根式与的被开方数相同，则的值为（    ）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【解析】根据题意可知，解得：，∴．故选D．  【变式3-3】化简：化成最简二次根式为______．【答案】【解析】∵，∴，∴.  【变式3-4】我们把形如a+b（a，b为有理数，为最简二次根式）的数叫做型无理数，如3+1是型无理数，则是（　　）A．型无理数 B．型无理数 C．型无理数 D．型无理数【答案】B【解析】，所以是型无理数，故选：B．  题型四 已知最简二次根式求参数【例4】若与最简二次根式能合并成一项，则________．【答案】【解析】∵，它与最简二次根式能合并成一项，∴，∴．  【变式4-1】化简后与最简二次根式的被开方数相等，则_________.【答案】5【解析】，其中被开方数为6；的被开方数为 ，故有：，则．  【变式4-2】最简二次根式与是同类最简二次根式，则________．【答案】2【解析】根据题意得：∴ ∵最简二次根式与是同类最简二次根式∴ ∴ ∴．  【变式4-3】如果，那么的取值范围是_______．【答案】【解析】∵==，∴，且，解得.  【变式4-4】若与的小数部分分别为，则______．【答案】1【解析】∵，∴，，∴，∴．  题型五 二次根式的乘除运算【例5】计算：（1）÷ （2）÷ （3） （4）．【答案】（1） （2） （3） （4）【解析】解：（1）原式 ；（2）原式 ； （3）原式 ；（4）原式 ．   【变式5-1】计算：．【答案】【解析】解：，根据与得：，∴原式  【变式5-2】=____________；【答案】【解析】 ；  【变式5-3】比较与的大小（作商法）【答案】【解析】解：∵，又∵，，∴．  【变式5-4】观察下面的规律：．（1）______；（2）若则______．【答案】          【解析】（1），.（2），.  题型六 二次根式的加减运算【例6】计算（1）（2）（3）【答案】（1）（2） （3）【解析】（1）解：（2）解：（3）解：   【变式6-1】计算：【答案】0【解析】解：  【变式6-2】若，则的结果是（　　）A． B．  C． D．【答案】A【解析】∵，∴ ． 【变式6-3】已知 ，，则 的值为____（结果精确到 ）．【答案】【解析】===.  题型七 二次根式的混合运算【例7】计算：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）（2）（3）0（4）【解析】（1）解∶ ； （2）解∶ ； （3）解∶ ；（4）解∶ ．  【变式7-1】若，则____________．【答案】2【解析】当时，原式====2.  【变式7-2】化简：．【答案】【解析】解：原式当时，原式，当时，原式．  【变式7-3】已知，求代数式．【答案】【解析】解：∵，∴，把，代入得：．  【变式7-4】当时，多项式的值为（    ）A．3 B． C．1 D．【答案】D【解析】 ，，，，多项式 .  题型八 二次根式的化简求值【例8】先化简，再求值：，其中．【答案】，【解析】解：原式====当时，原式=． 【变式8-1】已知x、y为实数，且，则__________．【答案】【解析】根据题意得，，，∴，，即，，∴，故答案是.  【变式8-2】若，则化简______ ．【答案】【解析】由，得，∴．  【变式8-3】已知，求下列各式的值；（1）；（2）．【答案】（1）（2）【解析】（1）解；∵，∴，，∴；（2）解：∵，∴．  【变式8-4】已知，，则的值为___________．【答案】【解析】∵，，∴，∴.  题型九 二次根式的应用【例9】如图．从一个大正方形中裁去面积为m2和cm2的两个小正方形，则留下的阴影部分的面积为（   ）A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2【答案】D【解析】∵两个小正方形面积为8cm2和18cm2，∴大正方形边长为：，∴大正方形面积为（5）2=50，∴留下的阴影部分面积和为：50-8-18=24（cm2），故选：D．  【变式9-1】已知一个矩形相邻的两边长分别为a，b，且，．（1）求此矩形的周长；（2）求此矩形的面积；（3）求与此矩形面积相等的正方形的对角线的长．【答案】（1）（2）4（3）【解析】（1）解：矩形的周长为：；（2）解：矩形的面积：；（3）解：设正方形的边长为x，则，∴对角线长为．  【变式9-2】如图，正方形ABCD的面积为8，正方形ECFG的面积为32．（1）求正方形ABCD和正方形ECFG的边长；（2）求阴影部分的面积．【答案】（1）正方形ABCD的边长为2，正方形ECFG的边长为4（2）阴影部分的面积为12【解析】（1）解：∵正方形ABCD的面积为8，正方形ECFG的面积为32，∴正方形ABCD的边长为，正方形ECFG的边长为．（2）阴影部分的面积为：.  【变式9-3】若面积为S的矩形两条邻边比为2：3，求矩形的长和宽（用含S的代数式表示）．【答案】矩形的长为，宽为【解析】解：设矩形的长为3x，宽为2x．由题意，得：3x•2x=S6x2=Sx2．x1，x2（舍去）．3x，2x答：矩形的长为，宽为．  【变式9-4】一个三角形的三边长、、（1）求它的周长（要求结果化简）（2）请你给一个适当的x值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值．【答案】（1）；（2）当时，周长【解析】解：（1）周长．（2）当时，周长．