高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第二册2.2 等差数列的前n项和优质ppt课件

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1.会利用等差数列前n项和的性质简化求和运算.2.会利用等差数列前n项和的函数特征求最值.
我们知道，等差数列的前n项和公式是一个关于n的二次函数形式，那么等差数列的前n项和是否具有二次函数的性质呢？除此之外，它还有什么样的性质呢？
一、等差数列前n项和的性质
二、等差数列前n项和的函数性质与最值
问题1　等差数列{an}中，你能发现其前n项和Sn、前2n项和S2n与前3n项和S3n有何关系吗？
提示　S2n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋…＋a2n＝Sn＋(a1＋nd)＋(a2＋nd)＋…＋(an＋nd)＝2Sn＋n2d，同样我们发现S3n＝3Sn＋3n2d，这里出现了一个有意思的数列Sn，S2n－Sn＝Sn＋n2d，S3n－S2n＝Sn＋2n2d，…，是一个公差为n2d的等差数列.
问题2　公差为d，项数为2n项的等差数列{an}中，各项和S2n、奇数项之和S奇与偶数项之和S偶分别如何表示？若项数为(2n＋1)项呢？
提示　(1)若数列共有2n项，
(2)若数列共有(2n＋1)项，
等差数列{an}的前n项和Sn的性质
角度1　“片段和”性质的应用
例1　已知等差数列前3项的和为30，前6项的和为100，则它的前9项的和为A.130 B.170 C.210 D.260
解析　利用等差数列前n项和的性质：S3，S6－S3，S9－S6成等差数列.所以S3＋(S9－S6)＝2(S6－S3)，即30＋(S9－100)＝2(100－30)，解得S9＝210.
角度2　“奇偶项”性质的应用
例2　项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求这个数列的中间项及项数.
解　设等差数列{an}共有(2n＋1)项，则奇数项有(n＋1)个，偶数项有n个，中间项是第(n＋1)项，即an＋1，
又因为S奇＝(n＋1)·an＋1＝44，所以an＋1＝11.故这个数列的中间项为11，共有2n＋1＝7(项).
反思感悟　利用等差数列前n项和的性质简化计算(1)在解决等差数列问题时，先利用已知求出a1，d，再求所求，是基本解法，有时运算量大些.(2)等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果.(3)设而不求，整体代换也是很好的解题方法.
跟踪训练1　(1)在等差数列{an}中，若S4＝1，S8＝4，则a17＋a18＋a19＋a20的值为A.9 B.12 C.16 D.17
解析　由等差数列的性质知S4，S8－S4，S12－S8，…也构成等差数列，不妨设为{bn}，且b1＝S4＝1，b2＝S8－S4＝3，于是求得b3＝5，b4＝7，b5＝9，即a17＋a18＋a19＋a20＝b5＝9.
(2)在等差数列{an}中，S10＝120，且在这10项中， ，则公差d＝____.
所以S偶－S奇＝5d＝10，所以d＝2.
问题3　根据上节课所学，等差数列前n项和公式有什么样的函数特点？
当d≠0时，Sn是常数项为0的二次函数.该函数的定义域是n∈N＋，公差的符号决定了该二次函数的开口方向，通项简记为Sn＝An2＋Bn.
等差数列前n项和的函数性质与最值
2.因为 ，若d≠0，则从二次函数的角度看：当d>0时，Sn有 值；当d0，d0，d>0时，Sn有最小值S1；当a1a3>a4>a5>a6＝0，a70，公差d0，C中曲线满足.
3.数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，则λ的值是A.－2 B.－1 C.0 D.1
解析　∵等差数列前n项和Sn的形式为Sn＝an2＋bn，∴(n＋1)2＋λ＝n2＋2n＋1＋λ＝an2＋bn，∴λ＝－1.
4.在等差数列{an}中，Sn是其前n项和，且S2 012＝S2 019，Sk＝S2 010，则正整数k为A.2 018 B.2 019 C.2 020 D.2 021
解析　因为等差数列的前n项和Sn是关于n的二次函数，所以由二次函数的对称性及S2 012＝S2 019，Sk＝S2 010，
5.含2n＋1项的等差数列，其奇数项的和与偶数项的和之比为
6.(多选)设{an}是等差数列，Sn为其前n项和，且S5S8，则下列结论正确的是A.dS5D.S6与S7均为Sn的最大值
解析　∵S5S8，∴a6>0，a7＝0，a80，∴dS6，S7>S8，若数列{bn}中bn＝|an|，数列{bn}的和为Tn，则下列命题正确的是______(填序号).①{bn}中b7最大；②{an}中a3或a4最大；③当n≥8时，anS6知a7>0，由S7>S8知a8t.∴t∈(－∞，－64).