高中3.2 等比数列的前n项和优秀课件ppt

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1.了解等比数列前n项和公式的函数特征.2.熟练应用等比数列前n项和公式的有关性质解题.
同学们，前面我们就用等差数列中的性质，类比出了等比数列的性质，由此还得出了“类比能使人智慧”这一重要结论，今天我们再进一步扩大同学们的智慧，继续通过类比，看我们能得出等比数列前n项和的哪些性质.
一、等比数列前n项和公式的函数特征
二、等比数列前n项和的“片段和”性质
三、等比数列前n项和的“奇偶项”性质
问题1　我们知道，等差数列前n项和公式是关于n的二次函数形式，可以利用二次函数的性质研究等差数列的前n项和的某些特性，等比数列前n项和公式是否具有函数特征呢？
提示　等比数列前n项和公式也具有函数特征，
等比数列前n项和公式的函数特征在等比数列前n项和公式中，当公比q≠1时，设A＝ ，等比数列的前n项和公式是Sn＝ .即Sn是n的指数型函数.当公比q＝1时，因为a1≠0，所以Sn＝ ，Sn是n的正比例函数.
注意点：等比数列前n项和公式的结构特点即qn的系数与常数项互为相反数.
例1　数列{an}的前n项和Sn＝3n－2.求{an}的通项公式，并判断{an}是否是等比数列.
解　当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n－1－2)＝2·3n－1.当n＝1时，a1＝S1＝31－2＝1不适合上式.
方法一　由于a1＝1，a2＝6，a3＝18，显然a1，a2，a3不是等比数列，即{an}不是等比数列.方法二　由等比数列{bn}的公比q≠1时的前n项和Sn＝A·qn＋B满足的条件为A＝－B，对比可知Sn＝3n－2,2≠1，故{an}不是等比数列.
延伸探究1.若将本题改为数列{an}是等比数列，且其前n项和为Sn＝3n＋1－2k，则实数k＝____.
解析　∵Sn＝3n＋1－2k＝3·3n－2k，且{an}为等比数列，
2.若将本题改为数列{an}是等比数列，且其前n项和为Sn＝ ＋5，则实数a＝_____.
反思感悟　(1)已知Sn，通过an＝ 求通项公式an，应特别注意当n≥2时，an＝Sn－Sn－1.(2)若数列{an}的前n项和Sn＝A(qn－1)，其中A≠0，q≠0且q≠1，则{an}是等比数列.
解析　显然q≠1，此时应有Sn＝A(qn－1)，
跟踪训练1　若{an}是等比数列，且前n项和为Sn＝3n－1＋t，则t＝_____.
问题2　你能否用等比数列{an}中的Sm，Sn来表示Sm＋n?
提示　思路一：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋n＝Sm＋a1qm＋a2qm＋…＋anqm＝Sm＋qmSn.思路二：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋an＋2＋…＋an＋m＝Sn＋a1qn＋a2qn＋…＋amqn＝Sn＋qnSm.
问题3　类似于等差数列中的片段和的性质，在等比数列中，你能发现Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…(n为偶数且q＝－1除外)的关系吗？
提示　Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…仍成等比数列，证明如下：思路一：当q＝1时，结论显然成立；
故有(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列.思路二：由性质Sm＋n＝Sm＋qmSn可知S2n＝Sn＋qnSn，故有S2n－Sn＝qnSn，S3n＝S2n＋q2nSn，故有S3n－S2n＝q2nSn，故有(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列.
“片段和”性质1.若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋ (n，m∈N＋).2.若数列{an}为等比数列，Sn为其前n项和(n为偶数且q＝－1除外)，则Sn，S2n－Sn， 仍构成等比数列.
注意点：“片段和”性质成立的条件：Sn≠0.
例2　在等比数列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n.
解　方法一　∵S2n≠2Sn，∴q≠1，
方法二　∵{an}为等比数列，显然公比不等于－1，∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比数列，∴(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，
方法三　由性质Sm＋n＝Sm＋qmSn可知S2n＝Sn＋qnSn，
反思感悟　处理等比数列前n项和有关问题的常用方法(1)充分利用Sm＋n＝Sm＋qmSn和Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…(n为偶数且q＝－1除外)仍成等比数列这一重要性质，能有效减少运算.(2)运用等比数列的前n项和公式，要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元.
跟踪训练2　设等比数列{an}的前n项和为Sn，S2＝－1，S4＝－5，则S6等于A.－9 B.－21 C.－25 D.－63
解析　因为S2＝－1≠0，所以q≠－1，由等比数列前n项和的性质得S2，S4－S2，S6－S4成等比数列，即－1×(S6＋5)＝(－5＋1)2，所以S6＝－21，故选B.
问题4　类比等差数列前n项和性质中的奇数项、偶数项的问题，等比数列是否也有相似的性质？
提示　若等比数列{an}的项数有2n项，则其偶数项和为S偶＝a2＋a4＋…＋a2n，其奇数项和为S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1，容易发现两列式子中对应项之间存在联系，
若等比数列{an}的项数有2n＋1项，则其偶数项和为S偶＝a2＋a4＋…＋a2n，其奇数项和为S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1＋a2n＋1，从项数上来看，奇数项比偶数项多了一项，于是我们有S奇－a1＝a3＋…＋a2n－1＋a2n＋1＝a2q＋a4q＋…＋a2nq＝qS偶，即S奇＝a1＋qS偶.
若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则(1)在其前2n项中， ＝ ；
例3　若等比数列{an}共有奇数项，其首项为1，其偶数项和为170，奇数项和为341，则这个数列的公比为_____，项数为_____.
2　 9
解析　由性质S奇＝a1＋qS偶可知341＝1＋170q，所以q＝2，
即这个等比数列的项数为9.
反思感悟　处理等比数列前n项和有关问题的常用方法(1)若等比数列{an}共有2n项，要抓住 ＝q和S偶＋S奇＝S2n这一隐含特点；若等比数列{an}共有2n＋1项，要抓住S奇＝a1＋qS偶和S偶＋S奇＝S2n＋1这一隐含特点.要注意公比q＝1和q≠1两种情形，在解有关的方程(组)时，通常用约分或两式相除的方法进行消元.(2)灵活运用等比数列前n项和的有关性质.
跟踪训练3　一个项数为偶数的等比数列{an}，全部各项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，则数列的通项公式an＝_______________.
解析　设数列{an}的首项为a1，公比为q，所有奇数项、偶数项之和分别记作S奇，S偶，由题意可知，S奇＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶.因为数列{an}的项数为偶数，
又因为a1·a1q·a1q2＝64，
1.知识清单：(1)等比数列前n项和公式的函数性质.(2)等比数列前n项和的“片段和”性质.(3)等比数列前n项和的“奇偶项”性质.2.方法归纳：公式法、分类讨论.3.常见误区：应用片段和性质时易忽略其成立的条件.
1.已知等比数列{an}的前n项和Sn＝2n＋r，则r的值是A.1 B.0 C.2 D.－1
2.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S10∶S5＝1∶2，则S15∶S5等于A.3∶4 B.2∶3C.1∶2 D.1∶3
解析　在等比数列{an}中，S5，S10－S5，S15－S10，…成等比数列，因为S10∶S5＝1∶2，
得S15∶S5＝3∶4，故选A.
3.在等比数列中，S2＝7，S4＝28，则S6＝____.
解析　由等比数列前n项和的性质，得S2，S4－S2，S6－S4成等比数列，所以(S4－S2)2＝S2(S6－S4)，即(28－7)2＝7×(S6－28)，解得S6＝91.
4.若等比数列{an}共有2n项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列{an}的所有项之和为______.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2x·3n－2，∵{an}是等比数列，∴当n＝1时也应适合an＝2x·3n－2，
2.(多选)下列结论不正确的是A.若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是同一个常数， 则这个数列是等差数列B.等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数C.等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列D.如果数列{an}的前n项和为Sn，则对∀n∈N＋，都有an＋1＝Sn＋1－Sn
所以Sn＝S2n－Sn＝S3n－S2n＝0，此时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n不成等比数列，C选项错误；对于D选项，对任意的n∈N＋，Sn＋1＝(a1＋a2＋…＋an)＋an＋1＝Sn＋an＋1，可得an＋1＝Sn＋1－Sn，D选项正确.
解析　对于A选项，根据等差数列的定义可知A选项正确；对于B选项，对任意n∈N＋，an＝1，则数列{an}为等差数列，且该数列的前n项和Sn＝n，B选项错误；
3.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，S4＝1，S8＝3，则a9＋a10＋a11＋a12等于A.8 B.6 C.4 D.2
解析　S4，S8－S4，S12－S8成等比数列.即1,2，a9＋a10＋a11＋a12成等比数列.∴a9＋a10＋a11＋a12＝4.
4.一个项数为偶数的等比数列，它的偶数项和是奇数项和的2倍，又它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为A.6 B.8 C.10 D.12
解析　设等比数列的项数为2n项，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，
中间两项的和为an＋an＋1＝2n－1＋2n＝24，解得n＝4，所以项数为8.
5.已知等比数列{an}共有2n＋1项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则an＋1为
6.在等比数列{an}中，已知S30＝13S10，S10＋S30＝140，则S20等于A.90 B.70 C.40 D.30
解析　∵S30≠3S10，∴q≠1.
∴q20＋q10－12＝0，∴q10＝3，∴S20＝S10(1＋q10)＝10×(1＋3)＝40.
7.已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且(a1＋a3＋…＋a2n－1)－(a2＋a4＋…＋a2n)＝80，则公比q＝______.
解析　由题意知S奇＋S偶＝－240，S奇－S偶＝80，∴S奇＝－80，S偶＝－160，
8.设{an}是公差为d的等差数列，{bn}是公比为q的等比数列，已知数列{an＋bn}的前n项和Sn＝n2－n＋2n－1(n∈N＋)，则d＋q的值是____.
解析　设数列{an}，{bn}的首项分别为a1，b1，前n项和分别为An，Bn，
9.设数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且数列{Sn}是以c(c>0)为公比的等比数列.(1)求数列{an}的通项公式；
解　由条件知S1＝a1＝1.
(2)求a2＋a4＋…＋a2n.
解　①当c＝1时，a2＋a4＋…＋a2n＝0；②当c≠1时，数列是以a2为首项，c2为公比的等比数列，
解　由题意设等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，显然Sn＝2n－1.令n＝1，得a1＝S1＝1；令n＝2，得a1＋a2＝3，∴a2＝2，
解析　设数列{an}共有(2m＋1)项，
所以Tn＝a1·a2·…·an＝ q1＋2＋…＋n－1＝ ，故当n＝1或2时，Tn取最大值2.
13.设f(x)是定义在R上的恒不为零的函数，且对任意的实数x，y，都有f(x)·f(y)＝f(x＋y).若a1＝ ，an＝f(n)(n∈N＋)，则数列{an}的前n项和Sn＝______.
解析　令x＝n，y＝1，则f(n)·f(1)＝f(n＋1)，又an＝f(n)，
14.已知等比数列{an}的前n项和满足Sn＝1－A·3n，数列{bn}是递增数列，且bn＝An2＋Bn，则A＝_____，B的取值范围为____________.
1　 (－3，＋∞)
而等比数列{an}的前n项和满足Sn＝1－A·3n，所以A＝1，于是bn＝n2＋Bn，又因为数列{bn}是递增数列，所以bn＋1－bn＝(n＋1)2＋B(n＋1)－n2－Bn＝2n＋1＋B>0恒成立，所以B>－(2n＋1)恒成立，所以B>－3，
即B的取值范围为(－3，＋∞).
16.某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%.(1)求第n年初M的价值an的表达式；
解　当n≤6时，数列{an}是首项为120，公差为－10的等差数列.an＝120－10(n－1)＝130－10n；
(2)设An＝ ，若An大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对M更新，证明：须在第9年初对M更新.
证明　设Sn表示数列{an}的前n项和，由等差及等比数列的求和公式得当1≤n≤6时，Sn＝120n－5n(n－1)，An＝120－5(n－1)＝125－5n；
因为{an}是递减数列，所以{An}是递减数列，
所以须在第9年初对M更新.