第二章 导数及其应用 章末检测试卷 课件+Word版

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章末检测试卷(二)
第二章　导数及其应用
1.函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0) 的几何意义是A.在x＝x0处的函数值B.在点(x0，f(x0))处的切线与x轴所夹锐角的正切值C.曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率D.点(x0，f(x0))与点(0,0)连线的斜率
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一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
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2.已知函数f(x)＝ln x，导函数为f′(x)，那么f′(2)等于
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3.二次函数y＝f(x)的图象过原点，且它的导函数y＝f′(x)的图象是过第一、二、三象限的一条直线，则函数y＝f(x)的图象的顶点位于A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
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解析　∵y＝f′(x)的图象过第一、二、三象限，故二次函数y＝f(x)的图象必然先下降再上升且对称轴在原点左侧，又其图象过原点，故顶点在第三象限.
解析　∵f(x)＝x2＋2f′(2)x＋m，∴f′(x)＝2x＋2f′(2)，∴f′(2)＝2×2＋2f′(2)，∴f′(2)＝－4，∴f(x)＝x2－8x＋m，图像为开口向上的抛物线，其对称轴方程为x＝4，∴f(0)>f(5).
4.若函数f(x)在R上可导，且f(x)＝x2＋2f′(2)x＋m(m∈R)，则A.f(0)f(5) D.以上答案都不对
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∵曲线在点(1,0)处的切线与直线x－ay＋1＝0垂直，
6.函数f(x)＝ 的部分图象大致为
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∴f(x)为奇函数，图象关于原点对称，故排除B；
又当x>1时，f′(x)>0，∴f(x)在(1，＋∞)上单调递增，故排除D.
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7.若函数f(x)＝ (x>1)有最大值－4，则实数a的值是A.1 B.－1 C.4 D.－4
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要使得函数f(x)有最大值－4，则a<0，则当x∈(1,2)时，f′(x)>0，函数f(x)在(1,2)上单调递增，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)<0，函数f(x)在(2，＋∞)上单调递减，
解得a＝－1，满足题意.
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8.x＝1是函数f(x)＝(x2＋2ax－a2－3a＋3)ex的极值点，则a的值为A.－2 B.3C.－2或3 D.－3或2
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解析　由f(x)＝(x2＋2ax－a2－3a＋3)ex，得f′(x)＝(x2＋2ax＋2x－a2－a＋3)ex，∵x＝1是函数f(x)的极值点，∴f′(1)＝6－a2＋a＝0，解得a＝3或a＝－2，当a＝－2时，f′(x)＝(x2－2x＋1)ex≥0恒成立，即f(x)单调递增，无极值点，舍去；当a＝3时，f′(x)＝(x2＋8x－9)ex＝0时，x＝1或x＝－9，满足x＝1为函数f(x)的极值点，∴a＝3.
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9.设三次函数f(x)的导函数为f′(x)，函数y＝xf′(x)的图象的一部分如图所示，则A.函数f(x)有极大值f(3)B.函数f(x)有极小值f(－ )C.函数f(x)有极大值f( )D.函数f(x)有极小值f(－3)
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二、多项选择题(本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分)
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解析　当x<－3时，y＝xf′(x)>0，即f′(x)<0；当－33时，f′(x)<0.∴f(x)的极大值是f(3)，f(x)的极小值是f(－3).
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10.已知函数f(x)＝－x3＋ax2－x－1在(－∞，＋∞)上是单调函数，则实数a的值可以是
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解析　由题意得f′(x)＝－3x2＋2ax－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立，
C.在区间(1，e)内无零点D.在区间(1，e)内有零点
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令f′(x)>0，得x>3；令f′(x)<0，得01
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12.已知f(x)为定义在(0，＋∞)上的可导函数，且f(x)>xf′(x)恒成立，可以使不等式 －f(x)>0的x的取值范围为A.(0,1) B.(1,2)C.(1，＋∞) D.(2，＋∞)
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因为f(x)>xf′(x)，所以F′(x)<0，F(x)为定义域上的减函数，
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13.函数g(x)＝x3－6x2＋9x－10的零点有____个.
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三、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)
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解析　g(x)＝x3－6x2＋9x－10，故g′(x)＝3x2－12x＋9＝3(x－1)(x－3)，故函数在(－∞，1)和(3，＋∞)上单调递增，在[1,3]上单调递减，则函数的极大值为g(1)＝1－6＋9－10＝－6<0，函数的极小值为g(3)＝27－54＋27－10＝－10<0，当x→＋∞时，f(x)→＋∞，故函数共有1个零点.
解析　由题意得f′(x)＝2f′(2)＋3x2，∴f′(2)＝2f′(2)＋12，∴f′(2)＝－12.
14.若函数的导数为f′(x)，且f(x)＝2f′(2)x＋x3，则f′(2)＝______.
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15.若函数y＝－x3＋ax在[1，＋∞)上是单调函数，则a的最大值是_____.
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解析　y′＝－3x2＋a，由题意得－3x2＋a≤0在区间[1，＋∞)上恒成立，即a≤3x2在区间[1，＋∞)上恒成立，据此可得a≤3，即a的最大值是3.
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16.已知函数f(x)的定义域为[－1,5]，部分对应值如表所示，f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图所示.下列关于f(x)的命题：①函数f(x)的极大值点为0,4；②函数f(x)在[0,2]上单调递减；③如果当x∈[－1，t]时，f(x)的最大值是2，那么t的最大值为4；④当1①②⑤
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解析　由f(x)的导函数y＝f′(x)的图象知，函数f(x)的极大值点为0,4，故①正确；因为在[0,2]上f′(x)≤0，故函数f(x)在[0,2]上单调递减，故②正确；
由表和图象知0≤t≤5，所以③不正确；由f(x)＝a知，因为极小值f(2)未知，所以函数y＝f(x)－a零点的个数可能为0,1,2,3,4，所以④不正确，⑤正确.
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四、解答题(本题共6小题，共70分)
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17.(10分)已知函数f(x)＝aln x＋x2－3b，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为2x＋y－4＝0.(1)求实数a，b的值；
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因为直线2x＋y－4＝0的斜率为－2，且过点(1,2)，
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(2)若曲线C：y＝－ x3－4b，求曲线C过点(2,4)的切线方程.
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由切线过点(2,4)，代入可解得x0＝2或x0＝－1，∴切点为(2,4)或(－1,1)，则切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0.
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18.(12分)已知函数f(x)＝2x3－ax2＋4，x＝1是函数f(x)的一个极值点.(1)求函数f(x)的单调递增区间；
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解　由题意，得f′(x)＝6x2－2ax，f′(1)＝0，则a＝3.f(x)＝2x3－3x2＋4，f′(x)＝6x(x－1)，当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0；当x∈(0,1)时，f′(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)和(1，＋∞).
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(2)当x∈[－1,2]时，求函数f(x)的最小值.
解　当x∈[－1,2]时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示：
当x＝－1时，f(－1)＝2(－1)3－3(－1)2＋4＝－1；当x＝1时，f(1)＝2－3＋4＝3，所以当x∈[－1,2]时，函数f(x)的最小值为－1.
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19.(12分)设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R.(1)求f′(2)的值；
解　∵f′(x)＝3x2－6，∴f′(2)＝6.
(2)求f(x)的单调区间和极值；
解　f′(x)＝3(x2－2)，
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(3)若关于x的方程f(x)＝a有3个不同的实根，求实数a的取值范围.
解　令g(x)＝f(x)－a，则g′(x)＝f′(x)，
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(1)若对任意实数x，f′(x)≥m恒成立，求m的最大值；
(2)若函数f(x)恰有一个零点，求a的取值范围.
解　f′(x)＝3x2－9x＋6＝3(x－2)(x－1)，由f′(x)>0，得x>2或x<1；由f′(x)<0，得11
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21.(12分)某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为30元，并且每件产品需向总公司缴纳a元(a为常数，2≤a≤5)的管理费，根据多年的管理经验，预计当每件产品的售价为x元时，产品一年的销售量为 (e为自然对数的底数)万件.已知当每件产品的售价为40元时，该产品一年的销售量为500万件，经物价部门核定，每件产品的售价x最低不低于35元，最高不超过41元.(1)求分公司经营该产品一年的利润L(x)(万元)与每件产品的售价x的函数关系式；
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(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L(x)最大？并求出L(x)的最大值.
①若2≤a≤4，则33≤a＋31≤35，当35≤x≤41时，L′(x)≤0，L(x)单调递减，所以当x＝35时，L(x)取得最大值为500(5－a)e5；②若41
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①求a，b的值；
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②若存在x0∈ ，使得不等式f(x0)－c≤0成立，求c的最小值；
则只需c≥f(x)min.
当x∈[1,2]时，f′(x)≤0，函数f(x)单调递减，
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∴f(x)min＝f(2)，
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(2)当b＝a时，若f(x)在(0，＋∞)上是单调函数，求a的取值范围.
当a＝0时，f(x)＝ln x，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当a>0时，∵x>0，∴2ax2＋x＋a>0，∴f′(x)>0，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增；
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此时f(x)在(0，＋∞)上单调递减.
本 课 结 束