专题02 与圆有关的计算求阴影部分的面积—2023年中考数学必考特色题型讲练（河南专用）（解析版）

专题02与圆有关的计算求阴影部分的面积

选题介绍

本题型在河南省近五年的中招试卷中考了5次，其中2021年出题方向为求弧长，其余年份均为求阴影部分面积。该题位于填空题的第14题，分值3分。本题计算量大，难度系数中等偏上，得分率较低。本题属于几何范畴，一般涉及三角形、四边形、扇形的面积，多以平移、对称或旋转为背景，对组合图形所形成阴影部分的面积进行计算。若所求阴影部分的图形是规则图形，则直接用公式法计算。若所求阴影部分的图形是不规则图形，则采用转化思想将不规则图形转化为规则图形。常用的方法有和差法、割补法等积交换法。

主要解题思路1、确定弧所对的圆心（找圆心）；

2、连接圆心与弧上的点（找扇形）；

3、利用规则图形的面积进行加减。

真题展现

2022年河南中招填空题第14题

14. 如图，将扇形AOB沿OB方向平移，使点O移到OB的中点O'处，得到扇形A'O'B'，若∠O=90°，OA=2，则阴影部分的面积为           .

【答案】+

【解析】本题主要考察了如何利用扇形的面积公式求阴影部分的面积。本题的关键在于如何利用规则图形的面积进行加减，求不规则图形的面积。对于该题，连接用扇形的OT'，构建出扇形，即得阴影部分的面积。

【详解】解：如图，

设O'A'交于点T，连接OT，

∵OT=OB，OO'=O'B,

∴OT=2OO'.

∵∠OO'T=90°，

∴∠O'TO=30°，∠TOO'=60°，

O'T=OT•cos30°

∴S阴影=S扇形O'A'B'-（S扇形OTB-S△OO'T）=—（×1×）=+

【总结】本题的关键在于如何利用规则图形的面积进行加减，求不规则图形的面积。

2021年河南中招填空题第15题

15.如图,在扇形中,平分交弧于点.点为半径上一动点若,则阴影部分周长的最小值为          ．

【答案】+

【解析】本题考查了弧长公式，动点中的最短距离问题，如何判断E点位置是解题的关键，可以利用找对称点的方法确定最短距离的点位置，然后用弧长加上两线段的最短距离即为所求图形的周长。

【详解】解：如图

作点D关于OB的对称点D'，

连接D'C交OB于点E，连接E'D、OD'，此时E'C+E'D最小，

即：E'C+E'D=D'C

由题意得，∠COD=∠DOB=∠BOD'=30°

∴∠COD'=90°

∴CD'===

的长l==

∴阴影部分的周长最小值为+

故答案为+

【总结】本题考查了弧长公式，动点中的最短距离问题，如何判断E点位置是解题的关键，可以利用找对称点的方法确定最短距离的点位置。

2019年河南中招填空题第14题

14.如图，在扇形 AOB 中， AOB 120 ，半径OC 交弦 AB 于点 D ，且OC  OA．若

OA 

则阴影部分的面积为          ．

【答案】

【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据图形可知阴影部分的面积是△AOD的面积与扇形OBC的面积之和再减去△BDO的面积，本题得以解决．

【解答】解：作OE⊥AB于点F，

∵在扇形AOB中，∠AOB＝120°，半径OC交弦AB于点D，且OC⊥OA．OA＝2，

∴∠AOD＝90°，∠BOC＝90°，OA＝OB，

∴∠OAB＝∠OBA＝30°，

∴OD＝OA•tan30°＝×＝2，AD＝4，AB＝2AF＝2×2×＝6，OF＝，

∴BD＝2，

∴阴影部分的面积是：S△AOD+S扇形OBC﹣S△BDO＝＝+π，

故答案为：

【总结】本题考查扇形面积的计算，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

2018年河南中招填空题第15题

14. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将△ABC绕AC的中点D逆时针旋转90°得到△A'B′C'，其中点B的运动路径为，则图中阴影部分的面积为_____．

【答案】

【解析】

连接DB、DB′，先利用勾股定理求出DB′=，A′B′=，再根据S阴=S扇形BDB′－S△DBC－S△DB′C，计算即可．

【详解】△ABC绕AC的中点D逆时针旋转90°得到△A'B′C'，此时点A′在斜边AB上，CA′⊥AB，

连接DB、DB′，

则DB′=，A′B′=，

∴S阴=．

故答案为．

【总结】本题考查旋转变换、弧长公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．

模拟演练

1．如图，在等腰中，，，斜边的中点为，分别以点，为圆心，以的长为半径画弧，分别与、相交，则图中的阴影部分的面积为 　　（结果保留

【答案】

【解析】本题主要考察求三角形的面积和扇形的面积公式，利用三角形的面积减去扇形的面积即得阴影部分的面积。

【详解】解：在等腰中，，，

，

点是斜边的中点，

，

阴影部分面积为：．

故答案为：．

【总结】正确运用扇形的面积公式是解本题的关键。

2. 如图，△ABC为等腰直角三角形，将绕点C顺时针旋转得，此时点B的对应点落在的对称轴上，若，则线段扫过的阴影面积为________．

【答案】

【解析】如图，根据求解即可．

【详解】解：连接BD，

点D在等腰直角三角形ABC的对称轴上，

∴DB=DC，

在中，，

，

由旋转可得，DC=BC，

∴，

，

=，

故答案为：．

【总结】本题考查了图形的旋转变换，扇形的面积，轴对称的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，把不规则图形的面积转化为三角形的面积和扇形的面积问题是解本题的关键．

3. 如图，点B，C在上，连接AD，AB，AC，BC．若，所在的圆的半径为3，则阴影部分的面积为_________．

【答案】

【解析】求弓形面积，利用所在的扇形的面积，再减去三角形的面积，因此构造弓形所属扇形，用

求出问题．

【详解】解：设点O为所在圆的圆心，连接OB，OC，

如图所示，

则，

∵，

∴是等边三角形，

∴．

∴．

故答案为：．

【总结】本题考查弓形面积，利用所在的扇形的面积，再减去三角形的面积，解题关键熟记公式、．

4. 如图，，，，以为圆心，长为半径作交于点，则图中阴影部分的面积为______．

【答案】

【解析】

根据直角三角形的性质得到，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．

【详解】解：在中，，

∴

由勾股定理得，，

阴影部分面积，

故答案为：

【总结】本题考查了扇形面积的计算，含角的直角三角形的性质，正确地识别图形是解题的关键．

5. 如图，一只羊被4米长的绳子拴在长为3米，宽为2米的长方形封闭围墙的一个顶点上，则这头羊活动范围的最大面积是______米．

【答案】

【解析】根据题意可知，该羊活动的范围有三部分构成：一是半径为4、圆心角为270°的扇形区域，二是半径为2、圆心角为90°的扇形区域，三是半径为1、圆心角为90°的扇形区域，由扇形的面积公式即可作答．

【详解】根据绳子的长度以及矩形的长和宽的长度，可知羊活动的区域，如图所示，

则羊活动的范围为：（平方米），

故答案为：．

【总结】本题考查了扇形面积的计算公式，解题时关键是要根据绳子的长度以及矩形的形状找到羊可以活动的范围．

6. 有一张矩形纸片，其中，以为直径的半圆，正好与对边相切，如图（甲），将它沿折叠，使点落在上，如图（乙），这时，半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积是_______．

【答案】

【解析】如图，露在外面部分的面积可用扇形ODK与△ODK的面积差来求得．在Rt△ADC中，可根据AD即圆的直径和CD的关系，求出∠DAC的度数，进而得出∠ODA和∠ODK的度数，即可求得△ODK和扇形DOK的面积，由此可求得阴影部分的面积．

【详解】如图，点O为半圆的圆心，过点O作作OH⊥DK于H，

∵以AD为直径的半圆，正好与对边BC相切，

∴AD=2CD，

∵∠C=90º，

∴∠DAC=30º，

∴∠ODK=30º，

∵OD=OK，

∴∠DOK=120º，∠ODK=∠OKD=30º

∴扇形ODK的面积为，

∵∠ODK=∠OKD=30º，OD=2，

∴OH=1，DH=KH=，

∴DK=

∴△ODK的面积为

∴半圆还露在外面的部分(阴影部分)的面积是，

故答案为：．

【总结】本题考查矩形的性质、折叠问题、扇形面积的计算、含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质、切线的性质，熟练掌握这些知识的运用是解答的关键．

7. 如图，水平地面上有一面积为30πcm2的扇形AOB，半径OA=6cm，且OA与地面垂直.在没有滑动的情况下，将扇形向右滚动至OB与地面垂直为止，则O点移动的距离为 __________．

【答案】10πcm．

【解析】会利用扇形面积公式进行计算；牢记弧长的计算公式．

【详解】试题分析：设优弧AB的长是．根据扇形的面积公式，得：（cm）．

故答案为10πcm．

【总结】考点：1．扇形面积的计算；2．弧长的计算．

8. 如图所示，在矩形ABCD中，如图AB＜BC，以点C为圆心，CB的长为半径的圆分别交AD边于点E，交CD边的延长线于点F．若AE＝DF，弧EF的长为π，则DE的长为 _____．

【答案】

【解析】

连接CE，则CB=CE=CF 设CB=R，则CE=CF=DA，推出∠DCE=45°，根据弧长公式求出R，然后利用等腰直角三角形求出DE．

【详解】解：连接CE，

则CB＝CE＝CF，

设CB＝R，

∵四边形ABCD是矩形，

∴CE＝CF＝DA，

∵AE＝DF，

∴DE＝DC，

∴∠DCE＝45°，

∵的长为π，

∴π，

解得R＝4，

在Rt△DCE中，

DE＝CE•sin 45°＝4＝2．

故答案为：2．

【总结】本题考查了矩形的性质，勾股定理，弧长公式等知识点，能根据弧长公式求出BM的长是解此题的关键．

9. 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，一条弧经过格点（网格线的交点）A，B，D，点C为弧BD上一点．若，则弧CD的长为__________．

【答案】

【解析】作线段AD和线段AC的垂直平分线交于点O，即格点O为弧AD所在圆的圆心，连接OC、OD，根据题意，结合勾股定理，得出的长，再根据圆周角定理，得出，再根据弧长公式进行计算即可．

【详解】解：如图，作线段AD和线段AC的垂直平分线交于点O，即格点O为弧AD所在圆的圆心，连接OC、OD，

根据题意，可得：，

，

∴弧CD的长为：．

故答案为：

【总结】本题考查了线段的垂直平分线、勾股定理、圆周角定理、弧长公式，根据题意并结合图形添加适当的辅助线是解本题的关键．圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半；弧长公式：（为弧所对的圆心角的度数；为半径）

10. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AC＝16，BD＝12，以AB为直径作一个半圆，则图中阴影部分的面积为___________.

【答案】π﹣24

【解析】首先根据菱形的性质，求出AO、BO的值是多少，再根据勾股定理，求出AB的值是多少；然后根据圆的面积公式，求出以AB为直径的半圆的面积，再用它减去三角形ABO的面积，求出图中阴影部分的面积为多少即可．

【详解】解：∵AC=16，BD=12，AC⊥BD，∴AB===10，

∴图中阴影部分的面积为：

 π×（）2×﹣（16÷2）×（12÷2）÷2

=π×﹣8×6÷2

=π﹣24．

故答案为π﹣24．

【总结】本题主要考查了菱形的性质，以及三角形、圆的面积的求法，要熟练掌握．