第01讲：圆锥曲线中的弦长问题-冲刺高考数学压轴题——圆锥曲线专题全面复习讲义

第一讲：弦长问题

【学习目标】

基础目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的简单性质，弦长公式的推导过程；

应用目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的弦长公式的应用，并能够熟练使用弦长公式求解长度；

拓展目标：能够熟练应用基本不等式等方法，求解圆锥曲线弦长等最值.

素养目标：通过数形结合，转化与化归等思想方法，培养独立思考和逻辑分析能力，提升学生的数学运算和数学抽象的核心素养.

【基础知识】

1、弦长公式

设，根据两点距离公式．

（1）若在直线上，代入化简，得;

（2）若所在直线方程为，代入化简，得

（3）抛物线的弦长公式：

若直线不过焦点，与双曲线相交于两点，弦长，若直线过焦点，与双曲线相交于两点，则弦长.

2、基本不等式

（1）（），当且仅当时，等号成立；

（2），当且仅当时，等号成立.

【考点剖析】

考点一：求弦长

例1．椭圆C：左右焦点为，，离心率为，点在椭圆C上．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)经过点，倾斜角为直线与椭圆交于两点，求．

例2．设､分别为双曲线的左右焦点，且也为抛物线的的焦点，若点，，是等腰直角三角形的三个顶点.

(1)双曲线的方程；

(2)若直线：与双曲线相交于两点，求.

例3．已知抛物线的焦点为，第四象限的一点在上，且.

(1)求的方程和的值；

(2)若直线交于两点，且线段中点的坐标为，求直线的方程及线段的长.

变式训练1：已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为且过点，

(1)求椭圆的标准方程；

(2)倾斜角为45°的直线过椭圆的右焦点交椭圆于､两点，求

变式训练2：已知双曲线的渐近线方程为，且过点．

(1)求双曲线的方程；

(2)过双曲线的一个焦点作斜率为的直线交双曲线于两点，求弦长．

变式训练3：已知抛物线的准线方程为，点是抛物线的焦点.

(1)求抛物线的方程；

(2)斜率为的直线过点，且与交于，两点，求线段的长.

考点二：已知弦长求参数

例1．已知椭圆过椭圆右焦点，且垂直于轴的直线与椭圆在第一象限交于点，已知椭圆的左焦点为，的面积是．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)设直线与椭圆交与、两点，当时，求直线的方程．

例2.已知双曲线，直线与交于两点．

(1)若点是双曲线的一个焦点，求的渐近线方程；

(2)若点P的坐标为，直线l的斜率等于1，且，求双曲线的离心率．

例3．已知抛物线C：上一点到焦点的距离为．

(1)求实数的值；

(2)若直线过的焦点，与抛物线交于两点，且，求直线的方程．

变式训练1：椭圆C的方程为，右焦点为，离心率为．

(1)求椭圆的方程；

(2)若直线与圆相切，与椭圆交于两点，且，求直线的方程．

变式训练2：已知双曲线的离心率为，实轴长为2.

(1)求双曲线的焦点到渐近线的距离；

(2)若直线被双曲线截得的弦长为，求的值.

变式训练3：已知抛物线，其通径为4．

(1)求抛物线的标准方程；

(2)过抛物线焦点作直线，使得直线与抛物线交于两点，且满足弦长，求直线斜率．

考点三：弦长最值

例1．已知椭圆的焦距为，离心率为.

(1)求椭圆的方程；

(2)若斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，求的最大值.

例2.已知双曲线经过点，它的两条渐近线分别为和.

(1)求双曲线的标准方程；

(2)设双曲线的左､右焦点分别为､，过左焦点作直线交双曲线的左支于两点，求周长的取值范围.

例3．已知动圆过定点，且截轴所得弦长为，设圆心的轨迹为曲线．

(1)求曲线的方程；

(2)若为曲线上的两个动点，且线段的中点到轴距离，求的最大值，并求此时直线方程．

变式训练1：在直角坐标系中，已知点，，M是平面内一动点，且，记M的轨迹为曲线C．

(1)求C的方程；

(2)设直线l与圆相切于点A，与C相切于点B，求的取值范围．

变式训练2：直线与双曲线相交于、两点，为坐标原点，且．

（1）求与满足的关系；

（2）求证：点到直线的距离是定值，并求的最小值．

变式训练3：已知动圆过定点，且与直线相切，圆心的轨迹为．

(1)求动点的轨迹方程；

(2)已知直线交轨迹于两点，，且中点的纵坐标为，则的最大值为多少？

考点四：双弦长、交线段长

例1．已知椭圆：的一个顶点为，焦距为．

(1)求椭圆的方程；

(2)过点作斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，直线分别与轴交于点，当时，求的值．

例2．如图，已知抛物线的焦点为椭圆：（）的右焦点，点为抛物线与椭圆在第一象限的交点，且.

(1)求椭圆的方程；

(2)过点的直线交抛物线于，两点，交椭圆于，两点（，，，依次排序），且，求直线的方程.

例3．已知圆，点是圆上任意一点，在轴上的射影为，点满足，记点的轨迹为．

(1)求曲线的方程；

(2)已知，过的直线与曲线交于两点，过且与垂直的直线与圆交于两点，求的取值范围．

变式训练1：在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，是动点，且直线与的斜率之积等于.

（1）求动点的轨迹的方程；

（2）设是曲线的左焦点，过点的直线与曲线相交于，两点，过，分别作直线的垂线与轴相交于，两点.若，求此时直线的斜率.

变式训练2：已知椭圆，左焦点为，点在椭圆上．

(1)求椭圆的标准方程．

(2)若直线和椭圆交于两点，设点为线段的中点，为坐标原点，求线段长度的取值范围．

变式训练3：在平面直角坐标系中，动点，满足，记点的轨迹为．

(1)请说明是什么曲线，并写出它的方程；

(2)设不过原点且斜率为的直线与交于不同的两点，，线段的中点为，直线与交于两点，，请判断与的关系，并证明你的结论．

考点五：弦长比值（定值）

例1．如图,椭圆的左焦点为，过点的直线交椭圆于两点，的最大值为的最小值是，满足:

（1）求该椭圆的离心率；

（2）设线段的中点为的垂直平分线与轴交于点，求的值.

例2．已知椭圆的一个顶点为，离心率为.

(1)求椭圆的方程；

(2)设过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点，过原点的直线交椭圆于两点.若，求证：为定值.

例3．已知椭圆：的离心率为，且经过点.

(1)求的方程；

(2)设的右焦点为，过作两条互相垂直的直线和，其中都在椭圆上，求的取值范围.

变式训练1：已知椭圆C：的长轴长为4，过C的一个焦点且与x轴垂直的直线被C截得的线段长为3．

(1)求C的方程；

(2)若直线：与C交于A，B两点，线段AB的中垂线与C交于P，Q两点，且，求m的值．

变式训练2：已知抛物线的焦点为F，过点F且斜率为1的直线l与抛物线交于A，B两点.

(1)证明以为直径的圆与直线相切；

(2)求的值.

变式训练3：已知抛物线的焦点为，过点且垂直于轴的直线交于，两点，为坐标原点，.

(1)求的方程；

(2)过点作两条互相垂直的直线，，直线与交于，两点，直线与交于，两点，求证：为定值.

【当堂小结】

1、知识清单：

（1）椭圆，双曲线，抛物线弦长公式；

（2）弦长最值的基本不等式求解；

（3）交点坐标的求解和非弦长的计算；

2、易错点：弦长公式的计算，基本不等式的应用；

3、考查方法：基本不等式，数形结合思想，数与形的转化；

4、核心素养：数学运算，数学抽象.

【过关检测】

1．已知椭圆的离心率为，上顶点为．

(1)求椭圆的方程；

(2)过点且斜率为的直线与椭圆交于不同的两点，，且，求的值．

2．已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点在x轴上，点在抛物线C上．

(1)求抛物线C的方程；

(2)过抛物线C的焦点F的直线l交抛物线于P，Q两点，若求直线l的方程．

3．已知椭圆，点M在线段上，且，直线的斜率为．

(1)求椭圆E的离心率；

(2)若直线l与椭圆E交于C，D两点，弦的中点为，且，求椭圆E的方程．

4．已知椭圆的上顶点与椭圆的左，右顶点连线的斜率之积为．

(1)求椭圆C的离心率；

(2)若直线与椭圆C相交于A，B两点，，求椭圆C的标准方程．

5．已知双曲线两个焦点分别是，点在双曲线上.

（1）求双曲线的标准方程;

（2）过双曲线的右焦点且倾斜角为的直线与双曲线交于两点，求的周长.

6．过圆：上的点作圆的切线，若直线过抛物线：的焦点．

（1）求直线与抛物线的方程；

（2）是否存在直线与抛物线交于、与圆交于、，使，若存在，请求出实数的值；若不存在，说明理由．

7．已知椭圆的离心率为，且过点．

(1)求的方程；

(2)若是上两点，直线与圆相切，求的取值范围．

8．在直角坐标系xOy中，椭圆的上顶点为B，右焦点为F，原点O到直线BF的距离为.

（1）求椭圆C的离心率；

（2）设直线l与圆相切，且与C交于M，N两点，若的最大值为2，求椭圆C的方程.

9．已知椭圆，，分别为左右焦点，点，在椭圆E上.

(1)求椭圆E的离心率；

(2)过左焦点且不垂直于坐标轴的直线l交椭圆E于A，B两点，若的中点为M，O为原点，直线交直线于点N，求取最大值时直线l的方程.