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第02讲：圆锥曲线中的面积问题（一）-冲刺高考数学压轴题——圆锥曲线专题全面复习讲义
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这是一份第02讲：圆锥曲线中的面积问题（一）-冲刺高考数学压轴题——圆锥曲线专题全面复习讲义，文件包含圆锥曲线专题复习第二讲面积问题一解析版docx、圆锥曲线专题复习第二讲面积问题一原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共63页， 欢迎下载使用。
第二讲：面积问题（一）
【学习目标】
基础目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的简单性质，三角形，四边形面积的推导过程；
应用目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的弦长公式，点到直线距离公式的应用，并能够熟练使用求解三角形，四边形面积；
拓展目标：能够熟练应用弦长和点到直线距离公式，求解圆锥曲线面积定值等问题.
素养目标：通过数形结合，转化与化归等思想方法，培养独立思考和逻辑分析能力，提升学生的数学运算和数学抽象的核心素养.
【基础知识】
1、弦长公式
若在直线上，代入化简，得;
2、三角形面积问题
直线方程：
3、焦点三角形的面积
直线过焦点的面积为
注意：为联立消去后关于的一元二次方程的二次项系数.
4、平行四边形的面积
直线为，直线为
注意：为直线与椭圆联立后消去后的一元二次方程的系数.
【考点剖析】
考点一：求三角形面积
例1．已知椭圆，的左焦点，且离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若，过椭圆的左焦点的直线交椭圆于、两点，且直线倾斜角为，求的面积．
【答案】(1)；(2).
解析：（1）由已知得：；
解得，所求椭圆方程为
（2）设，直线的斜率，故直线的方程为：，
联立，消去得：，
法一：∴或．
联立得，
∴的面积为
法二：∴
联立得,
∴的面积为
法三：∴或．代入直线，得
∴N到直线QM：的距离，
∴的面积为.
变式训练1：已知椭圆的离心率为，右焦点到上顶点的距离为.
(1)求椭圆的方程；
(2)斜率为2的直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆相交于两点，求的面积.
【答案】(1)；(2).
解析：(1)由题意可得，
解得，
所以椭圆的方程为.
(2)解法一：
由（1）得，则由题意可设直线，
代入椭圆方程整理可得，
设，则，
则由弦长公式知，
又设到的距离为，则由点到直线距离公式可得，
的面积，
即所求面积为.
解法二：
由（1）得，则由题意可设直线，即
代入椭圆方程整理可得，
设，则，
，
则的面积，
即所求面积为.
例2．已知抛物线上的点到焦点的距离为6．
(1)求抛物线的方程；
(2)设为抛物线的焦点，直线与抛物线交于，两点，求的面积．
【答案】(1)；(2)
解析：(1)因为，所以，
故抛物线方程为：.
(2)设，且，
由可得，故或，
故，故，故，
而到直线的距离为，
故的面积为．
变式训练2：已知抛物线的焦点为，直线与抛物线的准线交于点，为坐标原点，．
(1)求抛物线的方程；
(2)直线与抛物线交于，两点，求的面积．
【答案】(1)；(2)
解析：(1)由题意可得，，
则，．
因为，所以，解得，
故抛物线的方程为．
(2)由（1）可知，则点到直线的距离．
联立，整理得．
设，，则，
从而．
因为直线过抛物线的焦点，所以．
故的面积为．
例3．已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点．
（1）求双曲线的方程；
（2）已知双曲线的左右焦点分别为，，直线经过，斜率为，与双曲线交于，两点，求的面积．
【答案】（1）；（2）．
解析：（1）设所求双曲线方程为，代入点得：，即，
双曲线方程为，即．
（2）由（1）知：，，即直线的方程为．
设，，联立，得，
满足且，，
由弦长公式得，
点到直线的距离．
所以．
变式训练3：已知中心在原点的双曲线的右焦点为，直线与双曲线的一个交点的横坐标为．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过点，倾斜角为的直线与双曲线相交于、两点，为坐标原点，求的面积．
【答案】（1）；（2）
解析：（1）设双曲线的标准方程是，
由题可知：点在双曲线上，
从而有 ，解得
所以双曲线的标准方程为
（2）由已知得直线的方程为即
所以 原点到直线的距离
联立消去可得
设，则
所以 ，
所以 的面积.
考点一：求四边形面积
例1.已知为椭圆的左右顶点，，椭圆的离心率为．
(1)求的方程．
(2)斜率为1的直线与抛物线相切，且与相交于两点，求四边形的面积．
【答案】(1)；(2)
解析：（1）由题意知，可得，即，
又因为C的离心率为，即，所以，
所以椭圆C的方程为.
(2)设l方程为，联立方程组，整理得，
因为直线与相切，可得，解得，即直线l方程为，
将代入，可得，
设，则
因为，
所以.
变式训练1：．已知椭圆的左、右焦点分别为，短轴的下端点A的坐标为，且.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设B，C是椭圆E上异于A的两点，且直线与坐标轴不垂直，，的中点为G，求四边形的面积.
【答案】(1)；(2)
解析：(1)由椭圆E短轴的下端点A的坐标为
可得：
由及椭圆的定义，可得：，即
所以椭圆E的方程为：
(2)由直线与坐标轴不垂直，可设直线的方程为
代入并整理得：
则.
设，则有：.
设的中点，则，且.
因为，G为的中点，所以，可得：
则有：，即
化简可得：
所以
解得：，且
故有：
则四边形的面积：.
例2．已知抛物线：的焦点为，点在上，点在的内侧，且的最小值为.
(1)求的方程；
(2)为坐标原点，点在轴正半轴上，点为上两个不同的点，其中点在第四象限，且，互相垂直平分，求四边形的面积.
【答案】(1)；(2)
解析：(1)的准线为：，作于R，
根据抛物线的定义有，所以，
因为在的内侧，所以当P，Q，R三点共线时，取得最小值，
此时，解得，
所以的方程为.
(2)因为AB，OC互相垂直平分，所以四边形AOBC是菱形.
由，得轴，设点，则，
由抛物线的对称性知，，，.
由，得，解得,
所以在菱形中，，边上的高，
所以菱形的面积.
变式训练2：设抛物线的焦点为，过点的直线与交于点，，且．
(1)求的方程；
(2)过点作的一条切线，与轴交于点，与直线交于点，过作直线的平行线与直线交于点，若，求四边形的面积．
【答案】(1)；(2)
解析：(1)由已知得，
由题知直线的斜率存在，设直线方程为，
代入，得，所以，，
所以．
又，所以，即的方程为．
(2)由（1）知，由抛物线的对称性，不妨设．
因为，所以 ．
所以．①
在①中，令得，即．
设，由且可知．
将代入①中得，解得，，即．
所以，．
直线的斜率，所以直线，
令，得．
所以直线，所以．
又，所以四边形是菱形．由可知倾斜角为,所以,故
所以四边形的面积为．
考点二：已知面积求参
例1．已知椭圆（）的两焦点为和，过的直线与椭圆交于两点，且的周长为8.
(1)求椭圆的方程；
(2)若的面积为，求直线的方程.
【答案】(1)；(2)或
解析：(1)∵的周长为8，
∴，即，
又，且，
∴，.
∴椭圆C的方程为.
(2)依题意可设直线的方程为：，
联立消去x得.
设，，则，.
∴.
∴，解得.
∴直线的方程为：或
变式训练1：已知椭圆，由的上、下顶点，左、右焦点构成一个边长为的正方形．
(1)求的方程；
(2)直线过的右焦点，且和交于点，设是坐标原点，若三角形的面积是，求的方程．
【答案】(1)；(2)或
解析：(1)由已知，，，
所以的方程为
(2)，
①若斜率不存在，易知；
②若斜率存在，设，，和C的方程联立得：
，，，
所以
点到直线的距离为，
所以，
解之得，，
所以的方程为或，
例2．已知抛物线与直线交于两点，为坐标原点，.
(1)求抛物线的方程；
(2)若的面积为，求直线的方程.
【答案】(1)；(2)或
解析：(1)设，，
联立方程组得，
则，.
由，得.
因为，所以
，
所以，
所以，故抛物线C的方程为.
(2)由（1）知，，
所以
.
因为点O到直线l的距离，
所以，
所以，
故直线的方程为或.
变式训练2：已知抛物线与直线相交于两点，为坐标原点.
(1)求证：；
(2)当时，求的值.
【答案】(1)证明见解析；(2).
解析：(1)联立方程，消去得，
设，则，
因为，所以，
所以，
故.
(2)由（1）可知：
所以
则
又
所以
所以，又
所以
所以
例3．已知椭圆，由的上､下顶点，左､右焦点构成一个边长为的正方形.
(1)求的方程；
(2)过的右焦点做相互垂直的两条直线，，分别和交点，若由点构成的四边形的面积是，求，的方程.
【答案】(1)；(2)与的方程分别为：，
解析：（1）由已知，，，所以E的方程为.
（2）又题意中，，
①若或斜率不存在，易知，不符合题意；
②若斜率存在，设，和的方程联立得：
，，，
，
设，同理可得，
所以
解得，，所以与的方程分别为：，，
变式训练3：已知动点到点的距离与它到直线的距离之比为．
(1)求动点的轨迹所形成曲线的方程；
(2)，分别过，作斜率为的直线与曲线交于轴上方两点，若四边形的面积为，求的值．
【答案】(1)；(2).
解析：(1)设，由题意得，
整理得，即为曲线C的方程．
(2)由题意知，延长交椭圆于点，
由椭圆的对称性知，
所以，
设，与联立消得，
，
设，，
则，，
所以
，
因为点到直线的距离,
所以
，
平方化简得，解得或（舍），
所以．
例4．已知抛物线：（）的焦点为，点是抛物线内一点，为抛物线上的动点，且的最小值为.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点作斜率之和为的两条直线，（的斜率为正数），其中与曲线交于，两点，与曲线交于，两点，若四边形的面积等于，求直线的方程.
【答案】(1)；(2)
解析：(1)过点作抛物线准线的垂线，垂足为，则，
于是，
当，，三点共线时，有最小值，
所以，解得：，所以抛物线的方程为.
(2)依题意可知，直线，的斜率均存在，并且互为相反数，
由（1）知，
设直线的方程为，，，
将的方程代入并化简得，
则，，
，
利用替换可得：.
设直线的倾斜角为，则，直线，的夹角或，
，
因此四边形的面积，
令，得，从而有，解得，
此时，故直线的方程为.
考点三：内切圆半径（面积）
例1．已知椭圆的离心率为，且点在上.
(1)求椭圆标准方程；
(2)设，为椭圆的左，右焦点，过右焦点的直线交椭圆于两点，若内切圆的半径为，求直线的方程.
【答案】(1)；(2)或.
解析：（1）因为椭圆的离心率为，故可设，
故椭圆方程为，代入得，故，
故椭圆方程为：.
（2）的周长为，故.
设，
由题设可得直线与轴不重合，故可设直线，
则，
由可得，
整理得到，此时，
故，解得，
故直线的方程为：或.
变式训练1：如图，为圆上一动点，点的坐标为，线段的垂直平分线交直线于点．
(1)求点的轨迹的方程；
(2)过点的直线交于两点，若内切圆的半径为，求直线的方程.
【答案】(1)；(2)
解析：(1)连接，由题意知：，
，
即的轨迹为椭圆，其中，，，
所以椭圆的标准方程为；
(2)设点，，直线的方程为，
与椭圆联立，消去整理得，
显然成立，故，，
由椭圆定义得的周长为，
则的面积，
又由，得，
从而得，即，
整理得，解得，故，
故直线的方程为.
例2．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过椭圆的右焦点作直线，与轴垂直，交椭圆于、两点．
(1)求的长．
(2)求内切圆的面积．
【答案】(1)；(2)
解析：(1)在椭圆中，，，，则、，
将代入方程可得，因此，.
(2)，
设的内切圆半径为，则，解得，
因此，内切圆的面积为.
变式训练2：已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过且垂直于轴的直线交椭圆于，两点，且．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过的直线交椭圆于，两点，若内切圆的周长为，求直线的方程．
【答案】（1）；（2）.
解析：（1）由题意可知．
因为过且垂直于轴的直线交椭圆于，两点，
且，
所以．
结合，解得，，．
所以椭圆的标准方程为．
（2）内切圆的半径．
由椭圆的定义，得的周长为，
则的面积．
设点，的纵坐标分别为，，
则有，
得，得．
设直线的方程为．
由，消去并整理，
得，
显然成立．
则有，，
所以．
整理，得，解得．
故直线的方程为．
例3．已知椭圆的对称中心为原点，焦点在轴上，左、右焦点分别为，，且，点在该椭圆上．
(1)求椭圆的方程；
(2)过的直线与椭圆相交于，两点，若的面积为，求以为圆心且与直线相切的圆的方程．
【答案】(1)；(2).
解析：（1）解：由题意知，所以，，
所以，由椭圆定义知：，
则，，
故椭圆的方程为．
（2）解：①当直线轴时，令，可得，解得，
可取，，此时的面积，与题设矛盾，舍去．
②当直线与轴不垂直时，
设直线的方程为，代入椭圆方程得，
成立，
设，，则，，
可得．
又圆的半径，
∴的面积为，
化简得，解得，
∴，
∴圆的方程为．
考点三：面积定值
例1．已知椭圆的离心率为，、分别是椭圆的右顶点和上顶点，的面积为1．
(1)求椭圆的方程；
(2)设的椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点．求证：为定值．
【答案】(1)；(2)见解析
解析：（1）依题意，
又，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）设点，而，且，，
当时，直线AP：，点，
，
直线BP：，点，
，
，
当时，，，，所以
所以是定值.
变式训练1：已知椭圆过点，且点到其两个焦点距离之和为4.
(1)求椭圆的方程；
(2)设为原点，点为椭圆的左顶点，过点的直线与椭圆交于两点，且直线与轴不重合，直线分别与轴交于两点.求证：为定值.
【答案】(1)；(2)证明见解析
解析：（1）依题意，解得，所以椭圆方程为；
（2）由（1）可知，
当直线斜率不存在时，直线的方程为，代入椭圆方程得，解得，
不妨设此时，，
所以直线的方程为，即，
直线的方程为，即，
所以；
当直线斜率存在时，设直线的方程为，
由得，
依题意，，
设，，则，，
又直线的方程为，
令，得点的纵坐标为，即，
同理，得，
所以
，
综上可得，为定值，定值为．
例2．在平面直角坐标系中，已知点，直线，点满足到点的距离与它到直线的距离之比为，记的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)过点且与相切的直线交椭圆于两点，射线交椭圆于点，试问的面积是否为定值?请说明理由．
【答案】(1)；(2)面积为定值.
解析：(1)设，根据题意，，其中表示到直线的距离.
整理得，
曲线的方程为：．
(2)的面积为定值，理由如下：
设，
①当直线斜率不存在时，过直线方程为，不妨令，则
此时，，由题可得，
故；
②当直线斜率不存在时，设过直线方程为该直线与椭圆C相切
得：①
，
，则直线MO的方程为：
，，
由题可得，M，N位于y轴两侧，故.即
设，，，，将直线代入椭圆的方程，可得
，由，可得，②
则有，，
所以，将①代入得：
由直线与轴交于，
则的面积为.
故
综上：面积为定值．
变式训练2：已知椭圆的离心率为，短半轴长为．
(1)求的标准方程；
(2)若不过坐标原点的直线与C交于两点，延长线段与分别交于点，若直线的斜率之积为，证明：四边形的面积为定值．
【答案】(1)；(2)证明见解析
解析：(1)∵，，∴，
∴．
∴C的标准方程为．
(2)由椭圆的对称性可知，因此只需求的面积即可．
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，．
联立得，
，，．
．
，即．
，
原点到直线的距离，
∴．
当直线的斜率不存在时，，，
，，解得，．
∴．
综上，的面积为定值．
∴四边形的面积为定值．
【当堂小结】
1、知识清单：
（1）弦长和三角形的面积公式；
（2）四边形的面积求解；
（3）内切圆半径公式；
2、易错点：面积公式的计算；
3、考查方法：数形结合思想，数与形的转化；
4、核心素养：数学运算，数学抽象.
【过关检测】
1．已知椭圆的一个顶点为，离心率为，过点及左焦点的直线交椭圆于两点，右焦点设为.
(1)求椭圆的方程；
(2)求的面积.
【答案】(1)；(2)
解析：（1）椭圆的一个顶点为，，
又离心率为，，
椭圆的方程为.
（2），直线的方程为，
由，消去，得，
所以直线与椭圆有两个公共点，
设为，
则，
，
又点到直线的距离，
故
2．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率，且____________．
在①过点；②过焦点且垂直于长轴的弦的长度为；③长轴长为6这三个条件中任选一个，补充在上面问题中，并解答．
(1)求椭圆的方程；
(2)过右焦点的直线交椭圆于、两点．当直线的倾斜角为时，求的面积．
【答案】(1)；(2)
解析：（1）设椭圆的标准方程为
若选①有，解得，所以椭圆的方程为；
若选②有，解得，所以椭圆的方程为；
若选③有，解得，所以椭圆的方程为.
（2）由（1）可知右焦点为，当直线的倾斜角为时，可得直线方程为.
可得坐标原点到直线的距离，
直线联立椭圆方程整理化简得：，
由弦长公式可得,
所以
3．已知抛物线的准线方程为，过其焦点的直线交抛物线于两点，线段的中点为坐标原点为且直线的斜率为.
(1)求抛物线的方程；
(2)求的面积.
【答案】(1)；(2).
解析：(1)由准线方程为知，，故；
则抛物线方程为.
(2)由题知直线的斜率显然不为0，又其过点
故设直线l的方程为，，
联立抛物线方程，化简得
则，
由线段的中点为知，，
，代入韦达定理知，，
整理得：，解得，
故直线的方程为
则
.
故的面积为.
4．已知双曲线的离心率为，虚轴长为4．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过点，倾斜角为的直线与双曲线相交于两点，为坐标原点，求的面积．
【答案】（1）;（2）.
解析：(1)依题意可得
解得
双曲线的标准方程为．
(2)直线的方程为
设、
由可得
由韦达定理可得 ，
即
原点到直线的距离为
于是
的面积为
5．已知椭圆经过点，．
(1)求椭圆的方程；
(2)已知直线的倾斜角为锐角，与圆相切，与椭圆交于、两点，且的面积为，求直线的方程．
【答案】(1)；(2)
解析：(1)椭圆经过点，．
则，解得，
(2)设l的方程为：
与圆相切
设点，
，
则，
，
，
，
，
，，
，，，
故，
的方程为.
6．已知O为坐标原点，椭圆的上顶点为A，右顶点为B，的面积为，原点O到直线AB的距离为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设C的左､右焦点分别为，，过作直线l交C于P，Q两点，若的面积为，求直线l的斜率.
【答案】(1)；(2)
解析：(1)易知，.
因为的面积为，所以.，
又直线AB的方程为，即，
点O到直线AB的距离为，所以，
联立方程组，
解得，
所以椭圆C的方程为；
(2)显然直线l的斜率不为0，由（1）知，
设l：，，，
联立方程组消去x，得，
由韦达定理可得，.
所以.
由，化简得，
解得，
所以直线l的斜率为.
7．已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上．
(1)求抛物线C的方程及其准线方程；
(2)过点M的直线l与抛物线C相交于M，N两点，且的面积为3，求直线l的方程．
【答案】(1)；；(2)或
解析：(1)由已知得，解得.
所以抛物线C的方程为，其准线方程为;
(2)由（1）得，，
设直线l的方程为，，
联立，消去得，
，则
又直线l与轴交点坐标为，
解得或
所以直线l的方程为或，
即或.
8．已知为椭圆上任一点，，为椭圆的焦点，，离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线：与椭圆的两交点为，，线段的中点在直线上，为坐标原点，当的面积等于时，求直线的方程．
【答案】(1)；(2)或
解析：（1）由椭圆定义得，，所以，故，
所以椭圆的方程为．
（2）设代入方程，
得
所以，，
所以，解得，
则式变为则，
底边上的高，所以的面积．
令，解得，
把，代入式，经检验，均满足，
此时直线的方程为或．
9．已知抛物线：的焦点与椭圆的一个焦点重合，（为原点）和都是半径为1的圆．
(1)求抛物线的方程；
(2)若和的公切线与抛物线交于，两点，求四边形的面积．
【答案】(1)；(2)
解析：(1)∵，
∴椭圆的焦点坐标为．
又抛物线的焦点，
∴，即．
∴抛物线的方程为．
(2)由（1）知，
依题意可设：，即．
∵直线是和的公切线，且和的半径都是1，
∴，
解得，．
联立，消去可得．
∴．
∴，．
∴．
∴．
10．已知抛物线的焦点为，过点且垂直于轴的直线交于，两点，为坐标原点，.
(1)求的方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线，，直线与交于，两点，直线与交于，两点，求证：为定值.
【答案】(1)；(2)证明见解析
解析：(1)抛物线的焦点坐标为，将代入，得，
所以点和点的坐标为，.
所以，
所以，所以（舍去）.
所以的方程为.
(2)证明：由（1）知，，由于直线，均与交于两点，
所以直线，斜率存在且不为0.
设直线的方程为，，，
联立得，
恒成立.
所以，
所以.
因为，所以将换成，得，
所以，
所以为定值.
11．已知椭圆过点，离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆的右顶点为，过点的直线与椭圆交于不同的两点，（均异于点），直线，分别与直线交于点，． 求证：为定值．
【答案】(1)；(2)证明见解析
解析：(1)由题意得
解得，，
所以椭圆的方程是.
(2)由题意知，直线的斜率存在．
设直线的方程为（），，，
由，得，
则，，
依题意，解得．
因为点的坐标为，所以直线的方程为．
令，得点的纵坐标为，
所以．
同理，可得．
于是
，
所以为定值6.
12．已知椭圆上任意一点到两个焦点，的距离的和为4.经过点且不经过点的直线与椭圆交于，两点，直线与直线交于点，直线与直线交于点.
(1)求椭圆的标准方程，并写出左､右顶点的坐标；
(2)求证：的面积为定值.
【答案】(1)，左右顶点的坐标分别为，；(2)证明见解析
解析：(1)由焦点坐标可知，
因为任意一点到两个焦点，的距离的和为4，
所以，可得，
又，可得，
所以椭圆的标准方程为.
左右顶点的坐标分别为，.
(2)由题意知直线斜率一定存在，设直线方程为点
联立方程得，
即，
由于直线与直线交于点，设，
根据、、三点共线有，解得，即，
同样，由直线与直线交于点，设，可得，
所以
.
因为，
所以
第二讲：面积问题（一）
【学习目标】
基础目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的简单性质，三角形，四边形面积的推导过程；
应用目标：掌握椭圆，双曲线，抛物线的弦长公式，点到直线距离公式的应用，并能够熟练使用求解三角形，四边形面积；
拓展目标：能够熟练应用弦长和点到直线距离公式，求解圆锥曲线面积定值等问题.
素养目标：通过数形结合，转化与化归等思想方法，培养独立思考和逻辑分析能力，提升学生的数学运算和数学抽象的核心素养.
【基础知识】
1、弦长公式
若在直线上，代入化简，得;
2、三角形面积问题
直线方程：
3、焦点三角形的面积
直线过焦点的面积为
注意：为联立消去后关于的一元二次方程的二次项系数.
4、平行四边形的面积
直线为，直线为
注意：为直线与椭圆联立后消去后的一元二次方程的系数.
【考点剖析】
考点一：求三角形面积
例1．已知椭圆，的左焦点，且离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若，过椭圆的左焦点的直线交椭圆于、两点，且直线倾斜角为，求的面积．
【答案】(1)；(2).
解析：（1）由已知得：；
解得，所求椭圆方程为
（2）设，直线的斜率，故直线的方程为：，
联立，消去得：，
法一：∴或．
联立得，
∴的面积为
法二：∴
联立得,
∴的面积为
法三：∴或．代入直线，得
∴N到直线QM：的距离，
∴的面积为.
变式训练1：已知椭圆的离心率为，右焦点到上顶点的距离为.
(1)求椭圆的方程；
(2)斜率为2的直线经过椭圆的左焦点，且与椭圆相交于两点，求的面积.
【答案】(1)；(2).
解析：(1)由题意可得，
解得，
所以椭圆的方程为.
(2)解法一：
由（1）得，则由题意可设直线，
代入椭圆方程整理可得，
设，则，
则由弦长公式知，
又设到的距离为，则由点到直线距离公式可得，
的面积，
即所求面积为.
解法二：
由（1）得，则由题意可设直线，即
代入椭圆方程整理可得，
设，则，
，
则的面积，
即所求面积为.
例2．已知抛物线上的点到焦点的距离为6．
(1)求抛物线的方程；
(2)设为抛物线的焦点，直线与抛物线交于，两点，求的面积．
【答案】(1)；(2)
解析：(1)因为，所以，
故抛物线方程为：.
(2)设，且，
由可得，故或，
故，故，故，
而到直线的距离为，
故的面积为．
变式训练2：已知抛物线的焦点为，直线与抛物线的准线交于点，为坐标原点，．
(1)求抛物线的方程；
(2)直线与抛物线交于，两点，求的面积．
【答案】(1)；(2)
解析：(1)由题意可得，，
则，．
因为，所以，解得，
故抛物线的方程为．
(2)由（1）可知，则点到直线的距离．
联立，整理得．
设，，则，
从而．
因为直线过抛物线的焦点，所以．
故的面积为．
例3．已知双曲线与双曲线的渐近线相同，且经过点．
（1）求双曲线的方程；
（2）已知双曲线的左右焦点分别为，，直线经过，斜率为，与双曲线交于，两点，求的面积．
【答案】（1）；（2）．
解析：（1）设所求双曲线方程为，代入点得：，即，
双曲线方程为，即．
（2）由（1）知：，，即直线的方程为．
设，，联立，得，
满足且，，
由弦长公式得，
点到直线的距离．
所以．
变式训练3：已知中心在原点的双曲线的右焦点为，直线与双曲线的一个交点的横坐标为．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过点，倾斜角为的直线与双曲线相交于、两点，为坐标原点，求的面积．
【答案】（1）；（2）
解析：（1）设双曲线的标准方程是，
由题可知：点在双曲线上，
从而有 ，解得
所以双曲线的标准方程为
（2）由已知得直线的方程为即
所以 原点到直线的距离
联立消去可得
设，则
所以 ，
所以 的面积.
考点一：求四边形面积
例1.已知为椭圆的左右顶点，，椭圆的离心率为．
(1)求的方程．
(2)斜率为1的直线与抛物线相切，且与相交于两点，求四边形的面积．
【答案】(1)；(2)
解析：（1）由题意知，可得，即，
又因为C的离心率为，即，所以，
所以椭圆C的方程为.
(2)设l方程为，联立方程组，整理得，
因为直线与相切，可得，解得，即直线l方程为，
将代入，可得，
设，则
因为，
所以.
变式训练1：．已知椭圆的左、右焦点分别为，短轴的下端点A的坐标为，且.
(1)求椭圆E的方程；
(2)设B，C是椭圆E上异于A的两点，且直线与坐标轴不垂直，，的中点为G，求四边形的面积.
【答案】(1)；(2)
解析：(1)由椭圆E短轴的下端点A的坐标为
可得：
由及椭圆的定义，可得：，即
所以椭圆E的方程为：
(2)由直线与坐标轴不垂直，可设直线的方程为
代入并整理得：
则.
设，则有：.
设的中点，则，且.
因为，G为的中点，所以，可得：
则有：，即
化简可得：
所以
解得：，且
故有：
则四边形的面积：.
例2．已知抛物线：的焦点为，点在上，点在的内侧，且的最小值为.
(1)求的方程；
(2)为坐标原点，点在轴正半轴上，点为上两个不同的点，其中点在第四象限，且，互相垂直平分，求四边形的面积.
【答案】(1)；(2)
解析：(1)的准线为：，作于R，
根据抛物线的定义有，所以，
因为在的内侧，所以当P，Q，R三点共线时，取得最小值，
此时，解得，
所以的方程为.
(2)因为AB，OC互相垂直平分，所以四边形AOBC是菱形.
由，得轴，设点，则，
由抛物线的对称性知，，，.
由，得，解得,
所以在菱形中，，边上的高，
所以菱形的面积.
变式训练2：设抛物线的焦点为，过点的直线与交于点，，且．
(1)求的方程；
(2)过点作的一条切线，与轴交于点，与直线交于点，过作直线的平行线与直线交于点，若，求四边形的面积．
【答案】(1)；(2)
解析：(1)由已知得，
由题知直线的斜率存在，设直线方程为，
代入，得，所以，，
所以．
又，所以，即的方程为．
(2)由（1）知，由抛物线的对称性，不妨设．
因为，所以 ．
所以．①
在①中，令得，即．
设，由且可知．
将代入①中得，解得，，即．
所以，．
直线的斜率，所以直线，
令，得．
所以直线，所以．
又，所以四边形是菱形．由可知倾斜角为,所以,故
所以四边形的面积为．
考点二：已知面积求参
例1．已知椭圆（）的两焦点为和，过的直线与椭圆交于两点，且的周长为8.
(1)求椭圆的方程；
(2)若的面积为，求直线的方程.
【答案】(1)；(2)或
解析：(1)∵的周长为8，
∴，即，
又，且，
∴，.
∴椭圆C的方程为.
(2)依题意可设直线的方程为：，
联立消去x得.
设，，则，.
∴.
∴，解得.
∴直线的方程为：或
变式训练1：已知椭圆，由的上、下顶点，左、右焦点构成一个边长为的正方形．
(1)求的方程；
(2)直线过的右焦点，且和交于点，设是坐标原点，若三角形的面积是，求的方程．
【答案】(1)；(2)或
解析：(1)由已知，，，
所以的方程为
(2)，
①若斜率不存在，易知；
②若斜率存在，设，，和C的方程联立得：
，，，
所以
点到直线的距离为，
所以，
解之得，，
所以的方程为或，
例2．已知抛物线与直线交于两点，为坐标原点，.
(1)求抛物线的方程；
(2)若的面积为，求直线的方程.
【答案】(1)；(2)或
解析：(1)设，，
联立方程组得，
则，.
由，得.
因为，所以
，
所以，
所以，故抛物线C的方程为.
(2)由（1）知，，
所以
.
因为点O到直线l的距离，
所以，
所以，
故直线的方程为或.
变式训练2：已知抛物线与直线相交于两点，为坐标原点.
(1)求证：；
(2)当时，求的值.
【答案】(1)证明见解析；(2).
解析：(1)联立方程，消去得，
设，则，
因为，所以，
所以，
故.
(2)由（1）可知：
所以
则
又
所以
所以，又
所以
所以
例3．已知椭圆，由的上､下顶点，左､右焦点构成一个边长为的正方形.
(1)求的方程；
(2)过的右焦点做相互垂直的两条直线，，分别和交点，若由点构成的四边形的面积是，求，的方程.
【答案】(1)；(2)与的方程分别为：，
解析：（1）由已知，，，所以E的方程为.
（2）又题意中，，
①若或斜率不存在，易知，不符合题意；
②若斜率存在，设，和的方程联立得：
，，，
，
设，同理可得，
所以
解得，，所以与的方程分别为：，，
变式训练3：已知动点到点的距离与它到直线的距离之比为．
(1)求动点的轨迹所形成曲线的方程；
(2)，分别过，作斜率为的直线与曲线交于轴上方两点，若四边形的面积为，求的值．
【答案】(1)；(2).
解析：(1)设，由题意得，
整理得，即为曲线C的方程．
(2)由题意知，延长交椭圆于点，
由椭圆的对称性知，
所以，
设，与联立消得，
，
设，，
则，，
所以
，
因为点到直线的距离,
所以
，
平方化简得，解得或（舍），
所以．
例4．已知抛物线：（）的焦点为，点是抛物线内一点，为抛物线上的动点，且的最小值为.
(1)求抛物线的方程；
(2)过点作斜率之和为的两条直线，（的斜率为正数），其中与曲线交于，两点，与曲线交于，两点，若四边形的面积等于，求直线的方程.
【答案】(1)；(2)
解析：(1)过点作抛物线准线的垂线，垂足为，则，
于是，
当，，三点共线时，有最小值，
所以，解得：，所以抛物线的方程为.
(2)依题意可知，直线，的斜率均存在，并且互为相反数，
由（1）知，
设直线的方程为，，，
将的方程代入并化简得，
则，，
，
利用替换可得：.
设直线的倾斜角为，则，直线，的夹角或，
，
因此四边形的面积，
令，得，从而有，解得，
此时，故直线的方程为.
考点三：内切圆半径（面积）
例1．已知椭圆的离心率为，且点在上.
(1)求椭圆标准方程；
(2)设，为椭圆的左，右焦点，过右焦点的直线交椭圆于两点，若内切圆的半径为，求直线的方程.
【答案】(1)；(2)或.
解析：（1）因为椭圆的离心率为，故可设，
故椭圆方程为，代入得，故，
故椭圆方程为：.
（2）的周长为，故.
设，
由题设可得直线与轴不重合，故可设直线，
则，
由可得，
整理得到，此时，
故，解得，
故直线的方程为：或.
变式训练1：如图，为圆上一动点，点的坐标为，线段的垂直平分线交直线于点．
(1)求点的轨迹的方程；
(2)过点的直线交于两点，若内切圆的半径为，求直线的方程.
【答案】(1)；(2)
解析：(1)连接，由题意知：，
，
即的轨迹为椭圆，其中，，，
所以椭圆的标准方程为；
(2)设点，，直线的方程为，
与椭圆联立，消去整理得，
显然成立，故，，
由椭圆定义得的周长为，
则的面积，
又由，得，
从而得，即，
整理得，解得，故，
故直线的方程为.
例2．已知椭圆的左、右焦点分别为、，过椭圆的右焦点作直线，与轴垂直，交椭圆于、两点．
(1)求的长．
(2)求内切圆的面积．
【答案】(1)；(2)
解析：(1)在椭圆中，，，，则、，
将代入方程可得，因此，.
(2)，
设的内切圆半径为，则，解得，
因此，内切圆的面积为.
变式训练2：已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过且垂直于轴的直线交椭圆于，两点，且．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过的直线交椭圆于，两点，若内切圆的周长为，求直线的方程．
【答案】（1）；（2）.
解析：（1）由题意可知．
因为过且垂直于轴的直线交椭圆于，两点，
且，
所以．
结合，解得，，．
所以椭圆的标准方程为．
（2）内切圆的半径．
由椭圆的定义，得的周长为，
则的面积．
设点，的纵坐标分别为，，
则有，
得，得．
设直线的方程为．
由，消去并整理，
得，
显然成立．
则有，，
所以．
整理，得，解得．
故直线的方程为．
例3．已知椭圆的对称中心为原点，焦点在轴上，左、右焦点分别为，，且，点在该椭圆上．
(1)求椭圆的方程；
(2)过的直线与椭圆相交于，两点，若的面积为，求以为圆心且与直线相切的圆的方程．
【答案】(1)；(2).
解析：（1）解：由题意知，所以，，
所以，由椭圆定义知：，
则，，
故椭圆的方程为．
（2）解：①当直线轴时，令，可得，解得，
可取，，此时的面积，与题设矛盾，舍去．
②当直线与轴不垂直时，
设直线的方程为，代入椭圆方程得，
成立，
设，，则，，
可得．
又圆的半径，
∴的面积为，
化简得，解得，
∴，
∴圆的方程为．
考点三：面积定值
例1．已知椭圆的离心率为，、分别是椭圆的右顶点和上顶点，的面积为1．
(1)求椭圆的方程；
(2)设的椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点．求证：为定值．
【答案】(1)；(2)见解析
解析：（1）依题意，
又，解得，
所以椭圆的方程为.
（2）设点，而，且，，
当时，直线AP：，点，
，
直线BP：，点，
，
，
当时，，，，所以
所以是定值.
变式训练1：已知椭圆过点，且点到其两个焦点距离之和为4.
(1)求椭圆的方程；
(2)设为原点，点为椭圆的左顶点，过点的直线与椭圆交于两点，且直线与轴不重合，直线分别与轴交于两点.求证：为定值.
【答案】(1)；(2)证明见解析
解析：（1）依题意，解得，所以椭圆方程为；
（2）由（1）可知，
当直线斜率不存在时，直线的方程为，代入椭圆方程得，解得，
不妨设此时，，
所以直线的方程为，即，
直线的方程为，即，
所以；
当直线斜率存在时，设直线的方程为，
由得，
依题意，，
设，，则，，
又直线的方程为，
令，得点的纵坐标为，即，
同理，得，
所以
，
综上可得，为定值，定值为．
例2．在平面直角坐标系中，已知点，直线，点满足到点的距离与它到直线的距离之比为，记的轨迹为．
(1)求的方程；
(2)过点且与相切的直线交椭圆于两点，射线交椭圆于点，试问的面积是否为定值?请说明理由．
【答案】(1)；(2)面积为定值.
解析：(1)设，根据题意，，其中表示到直线的距离.
整理得，
曲线的方程为：．
(2)的面积为定值，理由如下：
设，
①当直线斜率不存在时，过直线方程为，不妨令，则
此时，，由题可得，
故；
②当直线斜率不存在时，设过直线方程为该直线与椭圆C相切
得：①
，
，则直线MO的方程为：
，，
由题可得，M，N位于y轴两侧，故.即
设，，，，将直线代入椭圆的方程，可得
，由，可得，②
则有，，
所以，将①代入得：
由直线与轴交于，
则的面积为.
故
综上：面积为定值．
变式训练2：已知椭圆的离心率为，短半轴长为．
(1)求的标准方程；
(2)若不过坐标原点的直线与C交于两点，延长线段与分别交于点，若直线的斜率之积为，证明：四边形的面积为定值．
【答案】(1)；(2)证明见解析
解析：(1)∵，，∴，
∴．
∴C的标准方程为．
(2)由椭圆的对称性可知，因此只需求的面积即可．
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，．
联立得，
，，．
．
，即．
，
原点到直线的距离，
∴．
当直线的斜率不存在时，，，
，，解得，．
∴．
综上，的面积为定值．
∴四边形的面积为定值．
【当堂小结】
1、知识清单：
（1）弦长和三角形的面积公式；
（2）四边形的面积求解；
（3）内切圆半径公式；
2、易错点：面积公式的计算；
3、考查方法：数形结合思想，数与形的转化；
4、核心素养：数学运算，数学抽象.
【过关检测】
1．已知椭圆的一个顶点为，离心率为，过点及左焦点的直线交椭圆于两点，右焦点设为.
(1)求椭圆的方程；
(2)求的面积.
【答案】(1)；(2)
解析：（1）椭圆的一个顶点为，，
又离心率为，，
椭圆的方程为.
（2），直线的方程为，
由，消去，得，
所以直线与椭圆有两个公共点，
设为，
则，
，
又点到直线的距离，
故
2．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，离心率，且____________．
在①过点；②过焦点且垂直于长轴的弦的长度为；③长轴长为6这三个条件中任选一个，补充在上面问题中，并解答．
(1)求椭圆的方程；
(2)过右焦点的直线交椭圆于、两点．当直线的倾斜角为时，求的面积．
【答案】(1)；(2)
解析：（1）设椭圆的标准方程为
若选①有，解得，所以椭圆的方程为；
若选②有，解得，所以椭圆的方程为；
若选③有，解得，所以椭圆的方程为.
（2）由（1）可知右焦点为，当直线的倾斜角为时，可得直线方程为.
可得坐标原点到直线的距离，
直线联立椭圆方程整理化简得：，
由弦长公式可得,
所以
3．已知抛物线的准线方程为，过其焦点的直线交抛物线于两点，线段的中点为坐标原点为且直线的斜率为.
(1)求抛物线的方程；
(2)求的面积.
【答案】(1)；(2).
解析：(1)由准线方程为知，，故；
则抛物线方程为.
(2)由题知直线的斜率显然不为0，又其过点
故设直线l的方程为，，
联立抛物线方程，化简得
则，
由线段的中点为知，，
，代入韦达定理知，，
整理得：，解得，
故直线的方程为
则
.
故的面积为.
4．已知双曲线的离心率为，虚轴长为4．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）过点，倾斜角为的直线与双曲线相交于两点，为坐标原点，求的面积．
【答案】（1）;（2）.
解析：(1)依题意可得
解得
双曲线的标准方程为．
(2)直线的方程为
设、
由可得
由韦达定理可得 ，
即
原点到直线的距离为
于是
的面积为
5．已知椭圆经过点，．
(1)求椭圆的方程；
(2)已知直线的倾斜角为锐角，与圆相切，与椭圆交于、两点，且的面积为，求直线的方程．
【答案】(1)；(2)
解析：(1)椭圆经过点，．
则，解得，
(2)设l的方程为：
与圆相切
设点，
，
则，
，
，
，
，
，，
，，，
故，
的方程为.
6．已知O为坐标原点，椭圆的上顶点为A，右顶点为B，的面积为，原点O到直线AB的距离为.
(1)求椭圆C的方程；
(2)设C的左､右焦点分别为，，过作直线l交C于P，Q两点，若的面积为，求直线l的斜率.
【答案】(1)；(2)
解析：(1)易知，.
因为的面积为，所以.，
又直线AB的方程为，即，
点O到直线AB的距离为，所以，
联立方程组，
解得，
所以椭圆C的方程为；
(2)显然直线l的斜率不为0，由（1）知，
设l：，，，
联立方程组消去x，得，
由韦达定理可得，.
所以.
由，化简得，
解得，
所以直线l的斜率为.
7．已知抛物线的焦点为F，点在抛物线C上．
(1)求抛物线C的方程及其准线方程；
(2)过点M的直线l与抛物线C相交于M，N两点，且的面积为3，求直线l的方程．
【答案】(1)；；(2)或
解析：(1)由已知得，解得.
所以抛物线C的方程为，其准线方程为;
(2)由（1）得，，
设直线l的方程为，，
联立，消去得，
，则
又直线l与轴交点坐标为，
解得或
所以直线l的方程为或，
即或.
8．已知为椭圆上任一点，，为椭圆的焦点，，离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线：与椭圆的两交点为，，线段的中点在直线上，为坐标原点，当的面积等于时，求直线的方程．
【答案】(1)；(2)或
解析：（1）由椭圆定义得，，所以，故，
所以椭圆的方程为．
（2）设代入方程，
得
所以，，
所以，解得，
则式变为则，
底边上的高，所以的面积．
令，解得，
把，代入式，经检验，均满足，
此时直线的方程为或．
9．已知抛物线：的焦点与椭圆的一个焦点重合，（为原点）和都是半径为1的圆．
(1)求抛物线的方程；
(2)若和的公切线与抛物线交于，两点，求四边形的面积．
【答案】(1)；(2)
解析：(1)∵，
∴椭圆的焦点坐标为．
又抛物线的焦点，
∴，即．
∴抛物线的方程为．
(2)由（1）知，
依题意可设：，即．
∵直线是和的公切线，且和的半径都是1，
∴，
解得，．
联立，消去可得．
∴．
∴，．
∴．
∴．
10．已知抛物线的焦点为，过点且垂直于轴的直线交于，两点，为坐标原点，.
(1)求的方程；
(2)过点作两条互相垂直的直线，，直线与交于，两点，直线与交于，两点，求证：为定值.
【答案】(1)；(2)证明见解析
解析：(1)抛物线的焦点坐标为，将代入，得，
所以点和点的坐标为，.
所以，
所以，所以（舍去）.
所以的方程为.
(2)证明：由（1）知，，由于直线，均与交于两点，
所以直线，斜率存在且不为0.
设直线的方程为，，，
联立得，
恒成立.
所以，
所以.
因为，所以将换成，得，
所以，
所以为定值.
11．已知椭圆过点，离心率为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设椭圆的右顶点为，过点的直线与椭圆交于不同的两点，（均异于点），直线，分别与直线交于点，． 求证：为定值．
【答案】(1)；(2)证明见解析
解析：(1)由题意得
解得，，
所以椭圆的方程是.
(2)由题意知，直线的斜率存在．
设直线的方程为（），，，
由，得，
则，，
依题意，解得．
因为点的坐标为，所以直线的方程为．
令，得点的纵坐标为，
所以．
同理，可得．
于是
，
所以为定值6.
12．已知椭圆上任意一点到两个焦点，的距离的和为4.经过点且不经过点的直线与椭圆交于，两点，直线与直线交于点，直线与直线交于点.
(1)求椭圆的标准方程，并写出左､右顶点的坐标；
(2)求证：的面积为定值.
【答案】(1)，左右顶点的坐标分别为，；(2)证明见解析
解析：(1)由焦点坐标可知，
因为任意一点到两个焦点，的距离的和为4，
所以，可得，
又，可得，
所以椭圆的标准方程为.
左右顶点的坐标分别为，.
(2)由题意知直线斜率一定存在，设直线方程为点
联立方程得，
即，
由于直线与直线交于点，设，
根据、、三点共线有，解得，即，
同样，由直线与直线交于点，设，可得，
所以
.
因为，
所以
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