2023张掖高三下学期第一次全联考数学（文）试题扫描版含解析

2022-2023学年第一次全市联考

高三数学试卷答案（文）

第Ⅰ卷（选择题共60分）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.

1. 已知集合，，那么等于（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】因为，因此，.

故选：D

2. 已知复数，则（    ）

A. 1 B.  C. 2 D. 4

【答案】A

【解析】，

故选：A.

3. 双曲线的离心率是（    ）

A.  B.  C. 2 D.

【答案】B

【解析】把双曲线的方程化为标准方程为，

由此可知，实半轴，虚半轴，，

所以双曲线的离心率为.

故选：B.

4. 最早发现于2019年7月的某种流行疾病给世界各国人民的生命财产带来了巨大的损失.近期某市由于人员流动出现了这种疾病，市政府积极应对，通过3天的全民核酸检测，有效控制了疫情的发展，决定后面7天只针对41类重点人群进行核酸检测，下面是某部门统计的甲､乙两个检测点7天的检测人数统计图，则下列结论不正确的是（    ）

A. 甲检测点的平均检测人数多于乙检测点的平均检测人数

B. 甲检测点的数据极差大于乙检测点的数据极差

C. 甲检测点数据的中位数大于乙检测点数据的中位数

D. 甲检测点数据的方差大于乙检测点数据的方差

【答案】C

【解析】对于:甲检测点的平均检测人数为

乙检测点的平均检测人数为

故甲检测点的平均检测人数多于乙检测点的平均检测人数，故正确;

对于:甲检测点的数据极差

乙检测点的数据极差，故正确;

对于:甲检测点数据为,中位数为,

乙检测点数据为,中位数为，故错误;

对于:通过观察平均数附近数据个数,极差等或计算甲乙数据的方差,
 

都可以判断乙检测点数据比甲检测点数据稳定性强,
 

故甲检测点数据的方差大于乙检测点数据的方差,故正确.

故选: .

5. （    ）

A.  B.  C.  D. 1

【答案】C

【解析】

.

故选：C

6. 已知向量，满足，且，则，夹角为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】由题意，

在向量，中，，

解得：

∴

故选：C.

7. 已知正四棱柱的底面边长为2，侧棱长为4，则异面直线与所成角的正切值为（    ）

A.  B.  C. 3 D.

【答案】C

【解析】如下图，连接

在正四棱柱中，有，所以四边形为平行四边形，

所以，所以为异面直线与所成角或其补角，

又在中，，，

所以，

因为，则，

所以，

故异面直线与所成角的正切值为3.

故选：C.

8. 已知圆关于直线对称，则的最大值为（    ）

A. 2 B. 1 C.  D.

【答案】D

【解析】由题意

在圆中，

∴圆心为，半径为1

在直线中，

圆关于该直线对称

∴直线过圆心，

∴，即：

∵

解得：

当且仅当时等号成立

∴的最大值为.

故选：D.

9. 椭圆的左､右顶点分别为，点在上，且直线斜率取值范围是，那么直线斜率取值范围是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】设，则，，，

于是，故.

∵ ∴.

故选：B.

10. 已知等差数列满足，则下列命题：①是递减数列；②使成立的的最大值是9；③当时，取得最大值；④，其中正确的是（    ）

A. ①② B. ①③

C. ①④ D. ①②③

【答案】D

【解析】设等差数列的公差为，

故，解得：，

由于，故是递减数列，①正确；

，令，

解得：，且，

故使成立的的最大值是9，②正确；

，

当时，，当时，，

故当时，取得最大值，③正确；

，④错误.

故选：D

11. 已知实数满足，则（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】因为,所以,

即得得,

因为是上的增函数,比较的大小关系即是,的大小关系 ,

同时取15次幂,因为幂函数在上是单调递增的，比较即可,

因为 所以

即,即得.

故选:.

12．定义在上的函数满足对任意的x恒有，，且，则的值为（    ）

A．2026       B．1015        C．1014          D．1013

【解析】根据得，

又，所以，所以，，，…，，

所以．故选B．

第Ⅱ卷（非选择题共90分）

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 函数，的值域是______.

【答案】

【解析】由题意

在中，

，

∴函数在单调递增

∵，

∴函数，的值域是

故答案为：.

14. 若命题“”是假命题，则实数的取值范围是______.

【答案】

【解析】命题“”的否定为：“，”.

因原命题为假命题，则其否定为真.当时显然不成立；当时，恒成立；当时，只需，解得：.

综上有

故答案为：.

15. 七巧板是古代劳动人民智慧的结晶.如图是某同学用木板制作的七巧板，它包括5个等腰直角三角形、一个正方形和一个平行四边形.若随机地从5个等腰直角三角形板块中抽出2块，则这2块面积相等的概率为______.

【答案】##0.2

【解析】如图，把5个等腰直角三角形编号，从中任取2个的基本事件有：共10个，其中面积相等的有共两个，

因此概率为．

故答案为：．

16. 在棱长为1的正方体中，是侧面内一点（含边界）则下列命题中正确的是（把所有正确命题的序号填写在横线上）______.

①使点有且只有2个；

②满足的点的轨迹是一条线段；

③满足平面的点有无穷多个；

④不存在点使四面体是鳖臑（四个面都是直角三角形的四面体）.

【答案】②③

【解析】对于①，由正方体可得平面，又平面，所以，则，

又，所以，又是侧面内一点，所以在以为圆心，1为半径的圆上，如下图：

有无数个这样的点，故①错误；

对于②，如下图，连接

由正方体可得平面，又平面，所以，

又由正方形，得，且平面，所以平面，

则满足的点在平面，又在平面，

且平面平面，则点的轨迹是线段，故②正确；

对于③，如下图，连接

在正方体中，有，所以四边形为平行四边形，则，同理可得，

又平面，平面，所以平面，平面，

且平面，所以平面平面，

则满足平面可得点在平面，又在平面，且平面平面，则点的轨迹是线段，故③正确；

对于④，如下图，连接

在正方体中，有平面，且平面，所以，则均为直角三角形，

又平面，且平面，所以，则均为直角三角形，

所以四面体是鳖臑，由于是侧面内一点（含边界），故与重合时，四面体是鳖臑，故④错误.

故答案为：②③.

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.

（一）必考题：共60分.

17. 已知向量，定义函数.

（1）求函数的最小正周期；

（2）在中，若，且是的边上的高，求长度的最大值.

（1）解：=

的最小正周期为

（2）解：

，，.

又AB，

.

由余弦定理得，当且仅当时，“=”成立，

=.

18. 如图在四棱锥中，底面ABCD，且底面ABCD是平行四边形.已知，，，E是PB中点.

（1）求证：平面ACE；

（2）求四面体的体积.

（1）证明：连接BD交AC于点O，连接OE，如图所示：

∵ABCD是平行四边形，

∴O为BD中点，且E为PB中点，

∴，且PD平面ACE内，平面ACE，

∴平面ACE.

（2）解：∵，

∴的面积，

又∵面ABCD，∴，

又∵E为PB中点，∴，

所以四面体的体积为.

19. 某地级市受临近省会城市的影响，近几年高考生人数逐年下降，下面是最近五年该市参加高考人数与年份代号之间的关系统计表.

（其中2018年代号为1，2019年代号为2，…2022年代号为5）

（1）求关于的线性回归方程；

（2）根据（1）的结果预测该市2023年参加高考的人数；

（3）试分析该市参加高考人数逐年减少的原因.

（参考公式：）

解：（1）设回归方程为，由表中数据知，

，.

所以，

所以，

所以关于的回归方程.

（2）由（1）得关于的回归方程.

令，（千人），

所以预测该市2023年参加高考的人数为22.8千人.

（3）①该市经济发展速度慢；

②该市人口数量减少；

③到省会城市求学人数增多.

20. 已知点在抛物线上，且到的焦点的距离与到轴的距离之差为.

（1）求的方程；

（2）当时，是上不同于点的两个动点，且直线的斜率之积为为垂足.证明：存在定点，使得为定值.

（1）解：抛物线的焦点为，准线为，

又点在抛物线上，即，所以，即，

依题意可得，解得或，

或.

（2）解：，，.

设：，，，联立，

消去整理得，①，

且，，

，

，即，

适合①，

将m代入得，令，解得，

直线恒过定点

又，点在以为直径的圆上，因为、的中点为，，

所以以为直径的圆方程为，

所以存在使得.

21. 已知函数.

（1）讨论函数的单调性；

（2）求证：.

（1）解：，.

令得，且当时，，当时，.

所以在上单调递增，在上单调递减.

（2）证明：原不等式化为：.

当时，，，显然成立；

当时，因为，

所以只需证.

令，，

则，.

且当，，所以存唯一使，

且时，，时，，

即在上单调递增，在上单调递减，

又，，

所以，即.

所以当时，，

综上所述：.

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请先涂题号.

（选修4-4：坐标系与参数方程）

22. 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.

（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；

（2）求曲线的任意一点到曲线距离的最小值.

解：（1）由，消去得，

又曲线是经过原点且倾斜角为的直线其直角坐标方程为.

（2）设，，则到直线的距离

,

当且仅当,即时等号成立.

（选修4-5：不等式选讲）

23. 已知，求证：

（1）；

（2）.

证明：（1）

又因为c>0，所以，

=，（当且仅当时，“=”成立）.

即证.

（2）因为.

因为0，，（>1.

同理>1，

>1，故.