2023山东省实验中学高三下学期开学考试数学试题含解析

2023届高三适应性训练

数学试题

注意事项：

1．答卷前，先将自己的考生号等信息填写在试卷和答题纸上，并在答题纸规定位置贴条形码.

2．本试卷满分150分，时间120分钟.

3．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.

4．非选择题的作答：用0.5mm黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.

一、选择题本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，则（    ）

A.  B.  C.  D.

2. （    ）

A.  B. 2 C.  D.

3. 已知向量，若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

4. 已知一个正四棱台形油槽可以装煤油，若它的上､下底面边长分别为和，则它的深度约为（    ）

A.  B.  C.  D.

5. 某市地铁1号线从A站到G站共有6个站点，甲、乙二人同时从A站上车，准备在B站、D站和G站中的某个站点下车，若他们在这3个站点中的某个站点下车是等可能的，则甲、乙二人在不同站点下车的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 已知定义在上的函数的图象连续不间断，有下列四个命题：

甲：是奇函数；     乙：的图象关于点对称；

丙：；         丁：；

如果有且仅有一个假命题，则该命题是（    ）

A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁

7. 已知双曲线的右焦点为，过点作一条渐近线的垂线，垂足为，若的重心在双曲线上，则双曲线的离心率为（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 已知，则的大小关系为（    ）

A.  B.

C.  D.

二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目.要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9. 下列说法正确的是（    ）

A. 数据的众数和第60百分位数都为5

B. 样本相关系数越大，成对样本数据的线性相关程度也越强

C. 若随机变量服从二项分布，则方差

D 若随机变量服从正态分布，则

10. 已知函数的最小正周期为，则（    ）

A.

B. 点是图象的一个对称中心

C. 在上单调递减

D. 将图象上所有的点向左平移个单位长度，可得到的图象

11. 过直线上一点作圆的切线,切点分别为,则（    ）

A. 若直线,则

B. 的最小值为

C. 直线过定点

D. 线段的中点的轨迹长度为

12. 已知在三棱锥中，，，，，设二面角的大小为，是的中点，当变化时，下列说法正确的是（    ）

A. 存，使得

B. 存在，使得平面

C. 点在某个球面上运动

D. 当时，三棱锥外接球体积为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 的展开式中项的系数是__________.

14. 若抛物线上的一点到坐标原点的距离为，则点到该抛物线焦点的距离为__________.

15. 已知直线是曲线与公切线，则__________.

16. 己知数列满足：，记，且，则整数_____．

四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17. 已知数列满足：

（1）求证：是等比数列；

（2）设数列的前项和为，求

18. 记中，角所对边分别为，且

（1）求的最小值；

（2）若，求及的面积.

19. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，平面，平面平面.

（1）证明：；

（2）若为上的点，当与平面所成角的正弦值最大时，求的值.

20. 2022年卡塔尔世界杯决赛于当地时间12月18日进行，最终阿根廷通过点球大战总比分战胜法国，夺得冠军.根据比赛规则：淘汰赛阶段常规比赛时间为90分钟，若在90分钟结束时进球数持平，需进行30分钟的加时赛，若加时赛仍是平局，则采用“点球大战”的方式决定胜负.“点球大战”的规则如下：①两队各派5名队员，双方轮流踢点球，累计进球个数多者胜；②如果在踢满5轮前，一队的进球数已多于另一队踢满5轮最多可能射中的球数，则不需要再踢（例如：第4轮结束时，双方“点球大战”的进球数比为，则不需要再踢第5轮）；③若前5轮“点球大战"中双方进球数持平，则从第6轮起，双方每轮各派1人踢点球，若均进球或均不进球，则继续下一轮，直到出现一方进球另一方不进球的情况，进球方胜出.

（1）假设踢点球的球员等可能地随机选择球门的左､中､右三个方向射门，门将也会等可能地选择球门的左､中､右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也只有的可能性将球扑出.若球员射门均在门内，在一次“点球大战"中，求门将在前4次扑出点球的个数的分布列期望；

（2）现有甲､乙两队在决赛中相遇，常规赛和加时赛后双方战平，需要通过“点球大战”来决定冠军.设甲队每名队员射进点球的概率均为，乙队每名队员射进点球的概率均为，假设每轮点球中进球与否互不影响，各轮结果也互不影响.

（i）若甲队先踢点球，求在第3轮结束时，甲队踢进了3个球并获得冠军的概率；

（ii）求“点球大战”在第7轮结束，且乙队以获得冠军的概率.

21. 已知椭圆的左､右焦点分别为，过点作直线（与轴不重合）交于两点，且当为的上顶点时，的周长为8，面积为

（1）求的方程；

（2）若是的右顶点，设直线的斜率分别为，求证：为定值.

22. 已知函数

（1）当时，求的单调区间；

（2）若有两个零点，求的范围，并证明