2021-2022学年北京八中高二（下）月考数学试卷（6月份）（含答案解析）

这是一份2021-2022学年北京八中高二（下）月考数学试卷（6月份）（含答案解析），共15页。
2. 设x∈R，则“x>1”是“1x0
10. 曲线y=f(x)在x=1处的切线如图所示，则f′(1)−f(1)=( )
A. 0
B. −1
C. 1
D. −12
11. 若“∃x0∈(0,2)，使得2x02−λx0+11，则x+4x−1的最小值为__________.
14. 已知数列{an}的前n项和公式Sn=n2−2n+1，则其通项公式an=______.
15. 如图，函数y=f(x)在[1,3]上的平均变化率为______.
16. 已知数列{an}满足a1=1，an+1={an+1,n为奇数an+2,n为偶数，则{an}的前20项和等于______.
17. 给定数集M，若对于任意a、b∈M，有a+b∈M，且a−b∈M，则称集合M为闭集合，则下列所有正确命题的序号是______.
①集合M={−2,−1,0,1,2}是闭集合；
②正整数集是闭集合；
③集合M={n|n=3k,k∈Z}是闭集合；
④若集合A1、A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合．
18. 从条件①2Sn=(n+1)an，②Sn+Sn−1=an(n≥2)，③an>0，an2+an=2Sn中任选一个，补充到下面问题中，并给出解答.
已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，_____.若a1，ak，Sk+2成等比数列，求k的值.
19. 已知函数f(x)=alnx+x2−3x(a≠0).
(1)当a=1时，求函数f(x)的极值；
(2)若f(x)有唯一极值点x0，求关于x0的不等式a>f(2x0)的解集．
20. 已知函数f(x)=ex−ax−1.
(1)当a=2时，求曲线在(1,f(1))处的切线方程；
(2)若g(x)=f(x)−x2，且g(x)在[0,+∞)上的最小值为0，求a的取值范围.
21. 已知函数f(x)=ax+1ex.
(Ⅰ)当a=1时，求f(x)的单调区间和极值；
(Ⅱ)当a≥1时，求证：f(x)≤(a−1)x+1；
(Ⅲ)直接写出a的一个取值范围，使得f(x)≥ax2+(a−1)x+1恒成立．
22. 已知各项均为整数的数列AN：a1，a2，…，aN(N≥3,N∈N*)满足a1aN0,q>1或a11”是“{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件．
故选D.

9.【答案】A
【解析】解：由题意，可知
S1=a1，S2=2a1+2，S4=4a1+4×32×2=4(a1+3)，
∵S1，S2，S4成等比数列，
∴S22=S1S4，即(2a1+2)2=4a1(a1+3)，
解得a1=1，
故an=1+2(n−1)=2n−1，n∈N*，
∴bn=1anan+2=1(2n−1)(2n+3)=14(12n−1−12n+3)，
则Tn=b1+b2+b3+…+bn−1+bn
=14⋅(1−15)+14⋅(13−17)+14⋅(15−19)+…+14⋅(12n−3−12n+1)+14⋅(12n−1−12n+3)
=14⋅(1−15+13−17+15−19+…+12n−3−12n+1+12n−1−12n+3)
=14⋅(1+13−12n+1−12n+3)
=13−n+1(2n+1)(2n+3)
1，∴x−1>0
∴x+4x−1=x−1+4x−1+1≥2(x−1)⋅(4x−1)+1=5(当x=3时等号成立)，
故答案为：5.

14.【答案】0,n=12n−3,n≥2
【解析】解：Sn=n2−2n+1，
当n=1时，S1=1−2+1=0，∴a1=0，
当n≥2时，an=Sn−Sn−1=n2−2n+1−(n−1)2+2(n−1)−1=2n−3，
又∵a1=0不满足an=2n−3，
∴an=0,n=12n−3,n≥2.
故答案为：0,n=12n−3,n≥2.
利用公式an=S1,n=1Sn−Sn−1,n≥2求解，注意验证首项是否满足n≥2时的通项公式．
本题主要考查了数列的递推式，考查了分类讨论的数学思想，同时考查了学生的计算能力，是基础题．
15.【答案】−1
【解析】解：依题意可得f(1)=3、f(3)=1，
所以f(x)在[1,3]上的平均变化率ΔyΔx=f(3)−f(1)3−1=1−33−1=−1；
故答案为：−1.
根据平均变化率公式计算可得；
本题考查平均变化率的求法，考查计算能力，是基础题．
16.【答案】300
【解析】解：因为a1=1，an+1={an+1,n为奇数an+2,n为偶数，
所以a2=a1+1=2，a3=a2+2=4，a4=a3+1=5，
由题意可得a2n+1=a2n−1+3，a2n+2=a2n+3，
其中a1=1，a2=a1+1=2，
可得a2n=3n−1，n∈N*，
则a2n−1=a2n−2+2=3(n−1)−1+2=3n−2，n≥2，
当n=1时，a1=1也适合上式，
所以a2n−1=3n−2，n∈N*，
所以数列{an}的奇数项和偶数项分别为等差数列，
则{an}的前20项和为a1+a2+...+a20=(a1+a3+…+a19)+(a2+a4+…+a20)=10+10×92×3+10×2+10×92×3=300.
故答案为：300.
由数列{an}的通项公式可求得a2，a4，推出数列{an}的通项公式可得数列{an}的奇数项和偶数项分别为等差数列，求解即可．
本题主要考查数列的递推式，数列的求和，考查运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】③
【解析】解：①集合M={−2,−1,0,1,2}，∵−2∈M，−1∈M，而−2−1=−3∉M，∴M不是闭集合；
②正整数集Z，∵1∈Z，2∈Z，而1−2=−1∉Z，∴正整数集不是闭集合；
③集合M={n|n=3k,k∈Z}，设任意a、b∈M，则a=3k1，b=3k2，k1∈Z，k2∈Z，
∴a+b=3(k1+k2)∈M，a−b=3(k1−k2)∈M，∴集合M={n|n=3k,k∈Z}是闭集合；
④若集合A1、A2为闭集合，如A1={n|n=2k,k∈Z}，A2={n|n=3k,k∈Z}，
则2∈A1，3∈A2，而2+3=5∉A1∪A2，∴A1∪A2不是闭集合．
故答案为：③．
根据闭集合的定义，结合各命题的条件分别判断即可．
本题考查了在新定义下，集合的运算，是基础题．
18.【答案】解：选择①2Sn=(n+1)an，∴2Sn+1=(n+2)an+1，相减可得：2an+1=(n+2)an+1−(n+1)an，∴an+1n+1=ann，
∴ann=a11=1，可得：an=n.
∴Sk+2=(k+2)(1+k+2)2=(k+2)(k+3)2.
∵a1，ak，Sk+2成等比数列，
∴ak2=a1⋅Sk+2，∴k2=(k+2)(k+3)2，k∈N*，解得k=6.
选择②Sn+Sn−1=an(n≥2)，变形得：Sn+Sn−1=Sn−Sn−1=(Sn+Sn−1)(Sn−Sn−1)，Sn>0，化为：Sn−Sn−1=1，
∴数列{Sn}是等差数列，首项为1，公差为1.∴Sn=1+n−1=n，解得Sn=n2.
∴n≥2时，an=Sn−Sn−1=n2−(n−1)2=2n−1.
∴Sk+2=(k+2)(1+2k+3)2=(k+2)(k+2)
∵a1，ak，Sk+2成等比数列，
∴ak2=a1⋅Sk+2，∴(2k−1)2=(k+2)2，k∈N*，解得k=3.
选择③an>0，an2+an=2Sn，∴an+12+an+1=2Sn+1，相减可得：an+12+an+1−an2−an=2an+1，化为：(an+1+an)(an+1−an−1)=0，
可得：an+1−an=1，
∴数列{an}是首项与公差都为1的等差数列，
∴an=1+n−1=n.
∴Sn=n(n+1)2，
∵a1，ak，Sk+2成等比数列，
∴ak2=a1⋅Sk+2，∴k2=(k+2)(1+k+2)2，k∈N*，解得k=6.
【解析】选择①2Sn=(n+1)an，可得2Sn+1=(n+2)an+1，相减可得：an+1n+1=ann，可得：an及其Sk+2.根据a1，ak，Sk+2成等比数列，可得ak2=a1⋅Sk+2，解得k.
选择②Sn+Sn−1=an(n≥2)，变形得：Sn+Sn−1=Sn−Sn−1=(Sn+Sn−1)(Sn−Sn−1)，Sn>0，化为：Sn−Sn−1=1，利用等差数列的通项公式可得Sn.
可得n≥2时，an=Sn−Sn−1，Sk+2.根据a1，ak，Sk+2成等比数列，可得ak2=a1⋅Sk+2，解得k.
选择③an>0，an2+an=2Sn，可得an+12+an+1=2Sn+1，相减可得：an+1−an=1，利用等差数列的通项公式求和公式可得：an，Sn，
根据a1，ak，Sk+2成等比数列，可得ak2=a1⋅Sk+2，解得k.
本题考查了等差数列与等比数列的通项公式求和公式、数列递推关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
19.【答案】解：(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞)，
当a=1时，f(x)=lnx+x2−3x，
f′(x)=1x+2x−3=2x2−3x+1x=(2x−1)(x−1)x，
由f′(x)=0，解得x=12或x=1，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
所以当x=12时，f(x)取得极大值−54−ln2；当x=1时，f(x)取得极小值为−2.
(2)由f(x)=alnx+x2−3x(a≠0)，
得f′(x)=ax+2x−3=2x2−3x+ax(x>0)，
设g(x)=2x2−3x+a，
它的图像是开口向上，对称轴为直线x=34，且在y轴上的截距为a的抛物线，
所以要使f(x)只有一个极值点x0，只需要af(2x0)可化为a>aln2x0+4x02−6x0=a(ln2x0−2)，
化为ln2x0−2>1，解得x0>e32，
所以原不等式的解集为(e32,+∞).
【解析】(1)当a=1时，f(x)=lnx+x2−3x，求导得f′(x)=(2x−1)(x−1)x，令f′(x)=0，得x=12或x=1，分析随着x变化，f′(x)，f(x)的变化情况，即可得出答案．
(2)求导得f′(x)=ax+2x−3=2x2−3x+ax(x>0)，设g(x)=2x2−3x+a，要使f(x)只有一个极值点x0，只需要af(2x0)可化为a>aln2x0+4x02−6x0=a(ln2x0−2)，即可得出答案．
本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
20.【答案】解：(1)当a=2时，f(x)=ex−2x−1，f(1)=e−3，
∴f′(x)=ex−2，f′(1)=e−2，
故切线方程是：(e−2)x−y−1=0；
(2)∵g(0)=f(0)−0=0，
故原条件等价于：在(0,+∞)上，g(x)=ex−x2−ax−1≥0恒成立，
化为a≤ex−x2−1x，令h(x)=ex−x2−1x，
则h′(x)=(x−1)(ex−x−1)x2，
令m(x)=ex−x−1，则m′(x)=ex−1，
令m′(x)>0，解得：x>0，故m(x)在(0,+∞)递增，
而m(0)=0，故ex−x−1>0在(0,+∞)恒成立，
令h′(x)>0，解得：x>1，令h′(x)