专题5.2 行程问题（压轴题专项讲练）-七年级数学上册从重点到压轴（北师大版）

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专题5.2 行程问题

【典例1】甲、乙两地相距72km，一辆工程车和一辆洒水车上午6时同时从甲地出发，分别以v1km/h、v2km/h的速度匀速驶往乙地．工程车到达乙地后停留了2h，沿原路以原速返回，中午12时到达甲地，此时洒水车也恰好到达乙地．
（1）v1=______，v2=______；
（2）求出发多长时间后，两车相遇？
（3）求出发多长时间后，两车相距30km？

【思路点拨】
（1）根据路程除以时间即可求得速度；
（2）根据两车的路程和为甲、乙两地距离的2倍建立一元一次方程，解方程求解即可；
（3）设出发t小时后两车相距30km，分情况讨论：①在工程车还未到达乙地,即当0＜t＜2时, ②在工程车在乙地停留，即当2≤t≤4时，③在工程车返回甲地的途中，即当4＜t≤6时，分相遇前后相距30km，根据题意建立一元一次方程，解方程求解即可．
【解题过程】
解：（1）由题意得：v1=72×212−6−2=36km/h
v2=7212−6=12km/h
故答案为：36,12；
（2）设出发x小时后两车相遇，
根据题意得：36(x－2)＋12x＝72×2,
解得x=92
答：出发92小时后两车相遇；
（3）设出发t小时后两车相距30km，
①在工程车还未到达乙地，即当0＜t＜2时，
36t-12t=30,解得t=54，
②在工程车在乙地停留，即当2≤t≤4时，
12t＋30＝72,解得t＝72，
③在工程车返回甲地的途中,即当4＜t≤6时，
相遇前，36(t-2)＋12t+30=72×2，
解得t=318（舍）
相遇后，36(t-2)＋12t-30=72×2，
解得t=418
答：出发54，72，418小时，两车相距30km.


1．（2022·全国·七年级）桥长1200m，现有一列匀速行驶的火车从桥上通过，测得火车从上桥到完全过桥共用了50s，而整个火车在桥上的时间是30s，求火车的长度和速度．
【思路点拨】
设火车车身长为xm，根据题意，列出方程，即可求解．
【解题过程】
解：设火车车身长为xm，根据题意，得：
1200+x50=1200−x30，
解得：x＝300，
所以1200+x50=1200+30050=30．
答：火车的长度是300m，车速是30m/s．
2．（2022·全国·七年级专题练习）数学课上，小明和小颖对一道应用题进行了合作探究：一列火车匀速行驶，经过一条长为1000米的隧道需要50秒，整列火车完全在隧道里的时间是30秒，求火车的长度．
（1）请补全小明的探究过程：设火车的长度为x米，则从车头进入隧道到车尾离开隧道所走的路程为（1000+x）米，所以这段时间内火车的平均速度为1000+x50米/秒；由题意，火车的平均速度还可以表示为　 　米/秒．再根据火车的平均速度不变，可列方程　 　，解方程后可得火车的长度为　 　米．
（2）小颖认为：也可以通过设火车的平均速度为v米/秒，列出方程解决问题．请按小颖的思路完成探究过程．
【思路点拨】
（1）根据速度＝路程÷时间，火车穿过隧道，走过的路程＝隧道长度+火车长度建立方程即可求解；
（2）设火车的平均速度为v米/秒，根据隧道的长度不变列出方程．
【解题过程】
解：（1）由题意，得：火车的平均速度＝1000−x30．
由题意，得：1000+x50＝1000−x30
解得x＝250．
故答案是：1000−x30；1000+x50＝1000−x30；250；
（2）根据题意列方程得：50v﹣1000＝1000﹣3v
解得：v＝25．
火车长度：50v﹣1000＝250（米）
答：火车的长度为250米．
3．（2022·全国·七年级专题练习）在一条河中有甲、乙两船，现同时从A顺流而下，乙船到B地时接到通知要立即返回到C地执行任务，甲船继续顺流而行，已知甲、乙两船在静水中的速度都是7.5千米/小时，水流速度是2.5千米/小时，A、C两地间的距离为10千米，如果乙船由A经B再到C共用4小时，问乙船从B到C时，甲船驶离B地多远？
【思路点拨】
由题意可分①当C地在BA的延长线上时，则设AB=x千米，则有x7.5+2.5+x+107.5−2.5=4；②当C地在A、B两地之间时，则设BC=x千米，则有x+107.5+2.5+x7.5−2.5=4，然后问题分别求解即可．
【解题过程】
解：当C地在BA的延长线上时，则设AB=x千米，由题意得：
x7.5+2.5+x+107.5−2.5=4，
解得：x=203，
∴此时甲驶离B地203+107.5−2.5×(7.5+2.5)=1003千米；
当C地在A、B两地之间时，则设BC=x千米，由题意得：
x+107.5+2.5+x7.5−2.5=4，
解得：x=10，
∴此时甲驶离B地：107.5−2.5×(7.5+2.5)=20千米；
答：甲驶离B地1003千米或20千米．
4．（2022·辽宁抚顺·七年级期末）A、B两地相距360km，一辆小轿车和一辆货车分别沿同一条路线从A地出发驶往B地，已知货车的速度为60km/h，小轿车的速度为90km/h，货车先出发1h后小轿车再出发，小轿车到达B地后在原地等货车．
（1）求小轿车出发多长时间追上货车？
（2）当两车相距50km时，求小轿车行驶的时间？
【思路点拨】
（1）乙车追上甲车则两车的路程相等，设时间为未知数列方程求解即可；
（2）乙车出发后与甲车相距50km，在整个运动过程中存在三种情况：乙车在追上甲车之前；乙车超过甲车且未到B地之前；乙车到达B地而甲车未到B地．根据三种情况利用两车路程之间的关系列方程即可求得．
【解题过程】
解：（1）设小轿车出发x小时追上货车．
根据题意得：60+60x=90x
解得：x=2
答：小轿车出发2小时追上货车．
（2）设小轿车出发y小时与货车相距50km．
①当小轿车出发后在追上货车之前，两车相距50km．
则有：60+60y=90y+50
解得：y=13
②当小轿车超过货车且未到B地之前，两车相距50km．
则有：60+60y+50=90y
解得：y=113
③当小轿车到达B地而货车未到B地，两车相距50km．
则有：60+60y+50=360
解得：y=256．
综上得：当小轿车出发13小时、113小时或256小时两车相距50km．
5．（2022·河北·平山县教育局教研室七年级期末）某中学学生步行到郊外旅行．七年级（1）班学生组成前队，步行速度为4千米/时，七（2）班的学生组成后队，速度为6千米/时；前队出发1小时后，后队才出发，同时后队派一名联络员骑自行车在两队之间不间断地来回联络，他骑车的速度为10千米/时．
（1）后队追上前队需要多长时间？
（2）后队追上前队时间内，联络员走的路程是多少？
（3）两队何时相距2千米？
【思路点拨】
（1）设后队追上前队需要x小时，根据后队比前队快的速度×时间=前队比后队先走的路程可列出方程，解出即可得出时间；
（2）先计算出联络员所走的时间，再由路程=速度×时间即可得出联络员走的路程．
（3）要分三种情况讨论：①当（1）班出发半小时后，相距2千米；②当（2）班还没有超过（1）班时，相距2千米；③当（2）班超过（1）班后，（1）班与（2）班再次相距2千米，分别列出方程，求解即可．
【解题过程】
解：（1）设后队追上前队需要x小时，
由题意得：（6﹣4）x=4×1，
解得：x=2．
故后队追上前队需要2小时；
（2）后队追上前队时间内，联络员走的路程就是在这2小时内所走的路，
所以10×2=20（千米）．
答：后队追上前队时间内，联络员走的路程是20千米；
（3）要分三种情况讨论：
①当七年级（1）班出发半小时后，两队相距4×12=2（千米）
②当七年级（2）班还没有超过（1）班时，相距2千米，
设七年级（2）班需y小时与七年级（1）相距2千米，
由题意得：（6﹣4）y=2，
解得：y=1；
所以当七年级（2）班出发1小时后两队相距2千米；
③当七年级（2）班超过七年级（1）班后，七年级（1）班与七年级（2）班再次相距2千米时
（6﹣4）y=4+2，
解得：y=3．
答：当七年级（1）班出发0.5小时或当七年级（2）班出发1小时后或3小时后，两队相距2千米．
6．（2022·黑龙江·哈尔滨市风华中学校七年级阶段练习）某学校组织学生去香炉山春游，某班学生分别乘大、小两辆车去看炉山，早晨6点钟从学校出发，计划2小时到达．
(1)若大车速度为80km/h，正好可以在规定时间到达，而小车速度为100km/h，如果两车同时到达，那么小车可以晚出发多少分钟？
(2)若小车每小时能比大车多行30千米，且大车在规定时间到达，小车要提前30分钟到达，求大小车速度．
(3)若小车与大车同时以相同速度出发，但走了20分钟以后，发现有物品遗忘，小车准备提速返回取物品并按此速度直到到达，若小车仍想与大车同时在规定时间到达，应提速到原来的多少倍？
【思路点拨】
（1）设小车可以晚x分钟到达，根据等量关系：大车的速度×2=小车的速度×（2−x60），即可求解；
（2）设大车速度为xkm/h，则小车速度为（x+30）km/h；根据等量关系：大车的速度×2=小车的速度×（2−3060），即可求解；
（3）设应提速到原来的a倍，令小车原来速度为m，根据等量关系：原来的速度×2+原来的速度×2060=提速后的速度×（2−2060），即可求解．
【解题过程】
（1）解：设小车可以晚x分钟到达；
80×2=100×（2−x60）
解得：x=24
答：小车可以晚24分钟出发．
（2）解：设大车速度为xkm/h，则小车速度为（x+30）km/h；
x×2=（x+30）×（2−3060）
解得：x=90
∴x+30=120，
答：设大车速度为90km/h，则小车速度为120km/h；
（3）解：设应提速到原来的a倍，令小车原来速度为m，
m×2+m×2060=am×（2−2060）
解得：a=1.4
答：应提速到原来的1.4倍．
7．（2022·山东省枣庄市第四十一中学七年级阶段练习）数轴是我们进入七年级后研究的一个很重要的数学工具，它让数变得形象，也让数轴上的点变得具体，借助数轴可以轻松的解决一些实际问题：已知数轴上的A、B两点分别对应的数字为a、b，且a，b满足4b+12+a−5=0．

(1)直接写出a、b的值；
(2)P从B出发，以每秒3个长度的速度沿数轴正方向运动5秒，求此时P点表示的数及P点与A点之间的距离；
(3)应用：小华家，小明家，学校在一条东西的大街上，小华家在学校的东面距学校500米，小明家在学校的西面距学校300米．
①以学校为原点，向东的方向为正方向，用1个单位长度表示100米，小华家为A点，小明家为B点，在数轴上表示出小华家和小明家的位置；
②周末小明自西向东，小华自东向西出去玩，他们每分钟都走50米，问__________分钟后两人相距100米？此时小明在数轴上的位置对应的数为____________．
【思路点拨】
(1)根据绝对值的非负性质即可求解；
(2)首先根据B点对应的数字及P点运动时间可得P点表示的数，再根据A点对应的数字即可得P点与A点之间的距离；
(3)①利用数轴结合实际意义可得答案；②设x分钟后两人相遇100米，根据题意分两种情况，利用等量关系列出方程，再解即可．
【解题过程】
（1）解：∵4b+12+a−5=0，
∴4b+12=0，a-5=0，
解得a=5，b=-3；
（2）解：由(1)知：点A表示的数为5，点B表示的数为-3，
根据题意得：P点表示的数为：-3+3×5=12，
P点与A点之间的距离为：12-5=7，
答：此时P点表示的数为12，P点与A点之间的距离为7；
（3）解：①在数轴上表示如下：

②设x分钟后两人相遇100米，由题意得：
相遇前：50x+50x=300+500−100，
解得：x=7，
相遇后：50x+50x=300+500+100，
解得：x=9，
∴7或9分钟后两人相距100米；
此时小明在数轴上的位置对应的数为：−3+0.5×7=0.5或−3+0.5×9=1.5，
故答案为：7或9；0.5或1.5．
8．（2022·福建泉州·七年级期末）如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，AO∥BC得到一条“折线数轴”，图中点A表示－20，点B表示20，点C表示36，动点M从点A出发，以2个单位/秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点O运动到点B期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点N从点C出发，以1个单位/秒的速度沿着“折线数轴”的负方向运动从点B运动到点O期间的速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为t秒．

(1)填空：点A和点C在数轴上相距 个单位长度；
(2)当t为何值时，点M与点N相遇？
(3)当t为何值时，M、O两点在数轴上相距的长度与N、B两点在数轴上相距的长度相等．
【思路点拨】
（1）由点A表示－20，点C表示36，即可求出点A和点C在数轴上相距56个单位长度；
（2）首先根据题意计算出点N从C到B用时16s，M从A到O用时10秒，进而判断出点M、N在OB段相遇，然后列方程求解即可；
（3）根据题意分4种情况讨论，分别列出方程求解即可．
【解题过程】
解：（1）∵点A表示－20，点C表示36，
∴36-(-20)=56，
故答案为：56；
（2）由题意可得N从C到B用时16s，M从A到O用时10秒，即M、N在OB段相遇．
∴20+t−10+16+2t−16=56
∴t=2023（秒）
∴当t为2023秒时，点M与点N相遇

（3）根据题意，有4种情况：
①当点M在AO上，点N在CB上时，OM=20−2t，BN=16−t
∵OM=BN．
∴20−2t=16−t，
解得t=4；
②当点M在OB上时，点N在CB上时，OM=t−10，BN=16−t，
∵OM=BN，
∴t−10=16−t，
解得t=13；
③当点M在OB上时，点N在OB上时，OM=t−10，BN=2t−16
∵OM=BN，
∴t−10=2t−16
解得t=22；
④当点M在BC上时，点N在OA上时，
得：20+2t−30=20+t−26，
解得t=34；
综上所述：t的值为4，13，22，34．
9．（2022·广东·江门市第二中学七年级开学考试）如图，城乡公交车行驶在笔直的公路上，这条路上有A，B，C三个站点，已知相邻两站之间的距离分别为AB=8千米，BC=4千米，且每个站点的停靠时间为4分钟．已知甲、乙两车于上午8：00分别从A站，C站出发相向而行，两车的速度均为30千米/小时，设两车出发t小时后，问：
（1）甲、乙两车到达B站分别用时多少？
（2）求两车相遇的时刻．
（3）当两车相距4千米时，求t的值．

【思路点拨】
（1）根据时间=路程÷速度列式即可求值；
（2）根据题意列出方程30t+30(t−460)=8+4，进行求值即可 ；
（3）分三种情况：①两车相遇前，乙车刚到B站时，两车相距4千米，②两车相遇后，乙车经过B站，甲车还没有到B站时，③两车相遇后，甲乙两车都经过B站时，分别列出式子表示即可；
【解题过程】
解：（1）甲车到B站用时830=415（小时）=16（分钟）．
乙车到B站用时430=215（小时）=8（分钟）．
（2）由题意可列方程30t+30(t−460)=8+4
解得：t=1460小时=14分钟．
所以两车在8：14两车相遇．
（3）分三种情况：
①两车相遇前，乙车刚到B站时，两车相距4千米，
此时t=215（小时）
②两车相遇后，乙车经过B站，甲车还没有到B站时，
30t+30(t−460)=12+4，
解得：t=310>415，此时甲车已经过B站，与假设矛盾（舍去）．
③两车相遇后，甲乙两车都经过B站时，
30(t−460)+30(t−460)=12+4，
解得：t=13（小时）
综上所述：当t=215小时或13小时时，两车相距4千米．
10．（2022·全国·七年级专题练习）已知数轴上A、B两点对应的数分别是a、b，点A在原点的左侧且到原点的距离是5，点B在原点的右侧，且到原点的距离是点A到原点的距离的6倍．

(1)a＝ ，b＝ ；
(2)动点M、N分别从点A、B的位置同时出发，在数轴上做无折返的运动．已知动点M的运动速度是2个单位长度/秒，动点N的运动速度是3个单位长度/秒．
①若点M和点N相向而行，经过几秒，点M与点N相遇？
②若点M和点N都向左运动，经过几秒，点N追上点M？
③若点M和点N的运动方向不限，经过几秒，点M、N相距15个单位长度？
【思路点拨】
（1）根据题意确定A点坐标，再确定B点坐标；
（2）先求出AB的长度，①若M，N相向而行，设x秒相遇，根据题意列出一元一次方程即可求解；
②当点M，N都向左运动，设y秒点N追上点M，根据题意列出一元一次方程即可求解；
③设经过t秒点M，N相距15个单位长度，此时需分类讨论，注意N点速度大于M点速度，第一种情况：当点M，N相向运动，且M在N左边时；第二种情况：当点M，N相向运动，且M在N右边时；第三种情况：当M，N都向左运动，且M在N左边时；第四种情况：当M，N都向左运动，且M在N右边时．四种情况均利用一元一次方程即可求解．
【解题过程】
解：（1）∵点A在原点的左侧且到原点的距离是5，
∴点A表示的数是﹣5．
∵点B在原点的右侧，且到原点的距离是点A到原点的距离的6倍，
∴点B表示的数是5×6＝30．
故答案为：﹣5，30；
（2）AB＝b﹣a＝30﹣（﹣5）＝35．
①若M，N相向而行，设x秒相遇，
则2x＋3x＝35，解得x＝7．
答：经过7秒，点M与N相遇．
②当点M，N都向左运动，设y秒点N追上点M，
则3y＝35＋2y，解得y＝35．
答：经过35秒，点N追上点M．
③设经过t秒点M，N相距15个单位长度．
当点M，N相向运动，且M在N左边时，
35﹣2t﹣3t＝15，解得t＝4；
当点M，N相向运动，且M在N右边时，
2t＋3t﹣35＝15，解得t＝10．
当M，N都向左运动，且M在N左边时，
则3t﹣2t＝35﹣15，解得t＝20．
当M，N都向左运动，且M在N右边时，
3t﹣2t＝35＋15，解得t＝50．
综上所述，经过4，10，20或50秒，点M、N相距15个单位长度．
11．（2022·陕西咸阳·七年级期末）列方程解应用题，已知A，B两地相距60千米，甲骑自行车，乙骑摩托车都沿一条笔直的公路由A地匀速行驶到B地，乙每小时比甲多行30千米.甲比乙早出发3小时，乙出发1小时后刚好追上甲.
（1）求甲的速度；
（2）问乙出发之后，到达B地之前，何时甲乙两人相距6千米；
（3）若丙骑自行车与甲同时出发，沿着这条笔直的公路由B地匀速行驶到A地.经过185小时与乙相遇，求此时甲、丙两人之间距离.
【思路点拨】
（1）设甲的速度为x，根据甲行驶的路程与乙行驶的路程相等，列出方程求解即可；
（2）根据甲行驶的路程与乙行驶的路程相差6千米(分追上前和追上后两种情况讨论)，列出方程求解即可；
（3）根据题意，乙行驶的时间为(185−3)小时，根据甲行驶的路程+丙行驶的路程＝60，求得丙的速度，再用60-甲、丙两人的路程和，就可求得甲、丙两人之间距离.
【解题过程】
解：（1）设甲的速度为x，
依题意得 ：1+3x=x+30
解得：x=10
∴甲的速度为每小时10千米；
（2）设乙出发之后t小时，甲乙两人相距6千米，
由（1）的结论：甲的速度为每小时10千米，乙的速度为每小时40千米；
未追上前：
依题意得 ：10t+3−40t=6
解得：t=0.8
追上并超过后：
依题意得 ：40t−10t+3=6
解得：t=1.2
此时：1.2×40=48