专题7.1 期末复习解答压轴题专题（压轴题专项训练）-七年级数学上册从重点到压轴（北师大版）

这是一份专题7.1 期末复习解答压轴题专题（压轴题专项训练）-七年级数学上册从重点到压轴（北师大版），文件包含专题71期末复习解答压轴题专题压轴题专项训练北师大版解析版docx、专题71期末复习解答压轴题专题压轴题专项训练北师大版原卷版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共108页， 欢迎下载使用。

专题7.1 期末复习解答压轴题专题
1．（2021·湖南·长沙麓山国际实验学校七年级期末）数轴是初中数学的一个重要工具，利用数轴可以将数与形进行完美地结合．研究数轴我们发现了很多重要的规律，例如；数轴上点M、点N表示的数分别为m、n，则M、N两点之间的距离MN=m−n，线段MN的中点表示的数为m+n2．如图，数轴上点M表示的数为−1，点N表示的数为3．

（1）直接写出：线段MN的长度是______，线段MN的中点表示的数为______；
（2）x表示数轴上任意一个有理数，利用数轴探究下列问题，直接回答：x+1+x−3有最小值是______，x+1−x−3有最大值是______；
（3）点S在数轴上对应的数为x，且x是方程2x−1=76x+4的解，动点P在数轴上运动，若存在某个位置，使得PM+PN=PS，则称点P是关于点M、N、S的“麓山幸运点”，请问在数轴上是否存在“麓山幸运点”？若存在，则求出所有“麓山幸运点”对应的数；若不存在，则说明理由
【思路点拨】
（1）点A、B表示的数分别为−1、3，根据数轴上两点的距离公式即线段的中点公式直接求出线段AB的长度为4，线段AB中点表示的数为1；
（2）按x<−1或−1≤x≤3或x>3分类讨论，求出在每种情况下|x+2|+|x−6|及|x+2|−|x−6|的值或取值范围，再进行比较，得出结果；
（3）先解出x的值，根据点S表示的数为6，再按m<−1或−1≤m≤3或m>3分类讨论，根据PM+PN=PS列方程求出m的值并进行检验，得出符合条件的结果．
【解题过程】
（1）解：∵点A、B表示的数分别为−1、3，
∴AB=−1−3=4，−1+32=1
∴线段AB的长度为4，线段AB中点表示的数为1，
故答案为：4，1；
（2）解：当x<−1时，x+1+x−3=−x−1+3−x=2−2x>4，
当−1≤x≤3时，x+1+3−x=4，
当x>3时，x+1+x−3=x+1+x−3=2x−2>4，
∴x+1+x−3的最小值为4；
当x<−1时，x+1−x−3=−x−1+x−3=−4，
当−1≤x≤3时，x+1−x−3=x+1+x−3=2x−2，
当x>3时，x+1−x−3=x+1−x−3=4，
若x=−1，则x+1−x−3的值最小，为−4；
若x=3，则x+1−x−3的值最大，为4，
故答案为：4，4；
（3）解：存在，设“麓山幸运点”P对应的数是m，
解2x−1=76x+4，
∴56x=5，
解得：x=6，
∵点S表示的数为6，
当m<−1时，由PM+PN=PS得：
−1−m+3−m=6−m，
解得m=−4；
当−1≤m≤3时，由PM+PN=PS得：
m+1+3−m=6−m，
解得m=2；
当m>3时，由PM+PN=PS得：
m+1+m−3=6−m或m+1+m−3=m−6，
解得：m=83（不符合题意，舍去）或m=−4（不符合题意，舍去），
综上所述：“麓山幸运点”P对应的数是−4或2．
2．（2021·安徽·合肥市第六十八中学七年级期末）如图，甲、乙两人(看成点)分别在数轴上表示-3和5的位置，沿数轴做移动游戏，每次移动游戏规则：裁判先捂住一枚硬币， 再让两人猜向上一面是正是反，而后根据所猜结果进行移动．
①若都对或都错，则甲向东移动1个单位，同时乙向西移动1个单位；
②若甲对乙错，则甲向东移动4个单位，同时乙向东移动2个单位；
③若甲错乙对，则甲向西移动2个单位，同时乙向西移动4个单位．

（1）若经过第一次移动游戏，甲的位置停在了数轴的正半轴上，则甲、乙猜测的结果是______(填“谁对谁错”)
（2）从如图的位置开始，若完成了10次移动游戏，发现甲、乙每次所猜结果均为一对一错，设乙猜对n次，且他最终停留的位置对应的数为m．
①试用含n的代数式表示m；
②该位置距离原点O最近时n的值为
（3）从如图的位置开始，若进行了k次移动游戏后，甲与乙的位置相距2个单位，则k的值是
【思路点拨】
（1）由题意知，甲只能向东移动才有可能停在数轴正半轴上，则只需考虑①与②的情形即可确定对错；
（2）①根据题意乙猜对n次，则乙猜错了（10-n）次，利用平移规则即可推算出结果；
②根据题意乙猜对n次，则乙猜错了（10-n）次，利用平移规则即可推算出结果；
（3）由题意可得刚开始两人的距离为8，根据三种情况下计算出缩小的距离，即可算出缩小的总距离，分别除以2即可得到结果．
【解题过程】
（1）解：∵甲、乙两人（看成点）分别在数轴-3和5的位置上，
∴甲乙之间的距离为8．
∵若甲乙都错，则甲向东移动1个单位，在同时乙向西移动1个单位，
∴第一次移动后甲的位置是-3+1=-2，停在了数轴的负半轴上，
∵若甲对乙错，则甲向东移动4个单位，同时乙向东移动2个单位，
∴第一次移动后甲的位置是-3+4=1，停在了数轴的正半轴上．
故答案为：甲对乙错；
（2）解：①∵乙猜对n次，
∴乙猜错了（10-n）次．
∵甲错乙对，乙向西移动4个单位，
∴乙猜对n次后，乙停留的位置对应的数为：5-4n．
∵若甲对乙错，乙向东移动2个单位，
∴乙猜错了（10-n）次后，乙停留的位置对应的数为：m=5-4n+2（10-n）=25-6n；
②∵n为正整数，
∴当n=4时该位置距离原点O最近．
故答案为：4；
（3）解：k=3 或 k=5．
由题意可得刚开始两人的距离为8，
∵若都对或都错，则甲向东移动1个单位，同时乙向西移动1个单位，
∴若都对或都错，移动后甲乙的距离缩小2个单位．
∵若甲对乙错，则甲向东移动4个单位，同时乙向东移动2个单位，
∴若甲对乙错，移动后甲乙的距离缩小2个单位．
∵若甲错乙对，则甲向西移动2个单位，同时乙向西移动4个单位，
∴若甲错乙对，移动后甲乙的距离缩小2个单位．
∴甲乙每移动一次甲乙的距离缩小2个单位．
∵甲与乙的位置相距2个单位，
∴甲乙共需缩小6个单位或10个单位．
∵6÷2=3，10÷2=5，
∴k的值为3或5．
故答案为：3或5．
3．（2021·江苏·七年级期末）如图，已知数轴上有A、B两点，点B在原点的右侧，到原点的距离为2，点A在点B的左侧，AB＝18．动点P、Q分别从A、B两点同时出发，在数轴上匀速运动，它们的速度分别为3个单位长度/秒、1个单位长度/秒，设运动时间为t秒．

（1）点A表示的数为 　 　，点B表示的数为 　 　
（2）若动点P、Q均向右运动．当t＝2时，点P对应的数是 　 　，P、Q两点间的距离为 　 　个单位长度．请问当t为何值时，点P追上点Q，并求出此时点P对应的数；
（3）若动点Q从B点向左运动到原点后返回到B点停止，动点P从A点向右运动，当点Q停止时，点P也停止运动．请直接写出当t为何值时，在PA、PB和AB三条线段中，其中一条线段的长度是另一条线段长度的3倍．
【思路点拨】
（1）利用两点间的距离，有理数在数轴上的表示可得．
（2）利用两点间的距离，有理数在数轴上的表示可得；利用行程公式建立等式求解可得．
（3）采用分类讨论，再利用两点间的距离、行程公式建立等式求解即可．
【解题过程】
（1）解：∵点B在原点的右侧，到原点的距离为2，
∴点B表示的数为2．
∵点A在点B的左侧，AB＝18，
∴2﹣18＝﹣16．
∴点A表示的数为：﹣16．
故答案为：﹣16，2．
（2）解：当t＝2时，3×2＝6，1×2＝2，
∴点P向右运动了6个单位长度，点Q向右运动了2个单位长度．
∴﹣16+6＝﹣10，2+2＝4．
∴点P对应的数是：﹣10点，Q对应的数是：4．
∴4﹣（﹣10）＝4+10＝14．
∴P、Q两点间的距离为：14个单位长度．
当点P追上点Q时，可得点P与点Q表示的数相同，
∴﹣16+3t＝2+t．
∴t＝9．
∴﹣16+3t＝﹣16+27＝11．
∴此时点P对应的数为：11．
∴当t为9时，点P追上点Q，此时点P对应的数为：11．
故答案为：﹣10，14；11．
（3）解：当Q停止时，所用的时间为4秒，
分四种情况：
当PB＝3PA时，
18﹣3t＝3×3t，
解得：t＝1.5．
当PA＝3PB时，
3t＝3（18﹣3t），
解得：t＝4.5（舍去）．
当AB＝3PA时，
18＝3×3t，
解得：t＝2．
当AB＝3PB时，
18＝3（18﹣3t），
解得：t＝4．
综上所述：当t为1.5，2或4时，在PA、PB和AB三条线段中，其中一条线段的长度是另一条线段长度的3倍．
4．（2021·山东青岛·七年级期末）我们知道，正整数按照能否被2整除可以分成两类：正奇数和正偶数．受此启发，按照一个正整数被3整除的余数，把正整数分为三类：如果一个正整数被3除余数为1，则这个正整数属于A类，例如1，4，7等；如果一个正整数被3除余数为2，则这个正整数属于B类，例如2，5，8等；如果一个正整数被3整除，则这个正整数属于C类，例如3，6，9等．
（1）2022属于_______类（A，B或C）；
（2）①从B类数中任取两个数，则它们的和属于_______类（填A，B或C）；
②从A类数中任意取出2021个数，从B类数中任意取出2022个数，从C类数中任意取出k个数（k为正整数），把它们都加起来，则最后的结果属于______类（填A，B或C）；
（3）从A类数中任意取出m个数，从B类数中任意取出n个数（m，n为正整数），把他们都加起来，若最后的结果属于A类，则下列关于m，n的叙述正确的是_______（填序号）．
①m属于A类；②m+2n属于A类；③m，n不属于同一类；④|m−n|属于A类．
【思路点拨】
（1）由2022÷3=674，可知2022属于C类；
（2）①设B类的两个数为3m+2，3n+2，则（3m+2）+（3n+2）被3除余数为1，由此可求解；
②设这2021个数的和3a+2021，设这2022个数的和为3b+2022×2=3b+4044，设这k个数的和为3c，则有3a+2021+3b+4044+3c=3（a+b+c）+6065，再由  6065÷3=2021…2，即可求解；
（3）设这m个数的和为3x+m，设这n个数的和为3y+2n，则有3x+m+3y+n=3（x+y）+m+2n，由题意可知m+2n被3除余数为1，再由此分三类当n属于A类，m属于B类；当n属于B类，m属于C类；当n属于C类，m属于A类，结合选项依次判断即可．
【解题过程】
（1）解：∵2022÷3=674，
∴2022属于C类，
故答案为：C；
（2）①设B类的两个数为3m+2，3n+2，
∴3m+2+3n+3=3（m+n）+4=3（m+n+1）+1，
∴（3m+2）+（3n+2）被3除余数为1，
∴从B类数中任取两个数，则它们的和属于A类，
故答案为：A；
②∵从A类数中任意取出2021个数，
∴设这2021个数的和3a+2021，
∵从B类数中任意取出2022个数，
∴设这2022个数的和为3b+2022×2=3b+4044，
∵从C类数中任意取出k个数（k为正整数），
∴设这k个数的和为3c，
∴3a+2021+3b+4044+3c=3（a+b+c）+6065，
∴6065÷3=2021…2，
∴3（a+b+c）+6065被3除余数为2，
∴结果属于B类，
故答案为：B；
（3）从A类数中任意取出m个数，
设这m个数的和为3x+m，
从B类数中任意取出n个数，
设这n个数的和为3y+2n，
∴3x+m+3y+n=3（x+y）+m+2n，
∵最后的结果属于A类，
∴m+2n被3除余数为1，
∴m+2n属于A类，
故②正确；
当n属于A类时，m属于B类，故①不正确；
当n属于A类，m属于B类；当n属于B类，m属于C类；当n属于C类，m属于A类，故③正确；
当n属于B类，m属于C类时，|m-n|=|3x-3y-2|=|3（x-y）-2|属于B类；故④不正确；
故②③正确，
故选：②③．
5．（2021·浙江·七年级期末）如果一个两位数的个位数字是n，十位数字是m，那么我们可以把这个两位数简记为mn，即mn=10m+n． 如果一个三位数的个位数字是c，十位数字是b，百位数字是a，那么我们可以把这个三位数简记为abc，即abc=100a+10b+c．
（1）若一个两位数mn满足mn=7m+5n，请求出m，n的数量关系并写出这个两位数．
（2）若规定：对任意一个三位数abc进行M运算，得到整数Mabc=a3+b2+c． 如：M321=33+22+1=32． 若一个三位数5xy满足M5xy=132，求这个三位数．
（3）已知一个三位数abc和一个两位数ac，若满足abc=6ac+5c，请求出所有符合条件的三位数．
【思路点拨】
（1）根据题意列等式并合并同类项计算，即可得到m和n的关系式；再结合m和n的取值范围及整数性质，根据有理数乘除运算的性质计算，即可得到答案
（2）结合题意，根据有理数乘方和加减运算的性质，得x和y的关系式；再结合x和y的取值范围及整数性质，根据有理数混合运算的性质计算，即可得到答案；
（3）结合题意，通过列等式并合并同类项计算，得a、b、c的关系式，再结合a、b、c的取值范围及整数的性质，通过计算即可得到答案．
【解题过程】
解：（1）根据题意得：mn=10m+n，mn=7m+5n
∴10m+n=7m+5n
∴n=34m
∵m为1到9的整数，n为0到9的整数
∴m＝4，n＝3或m＝8，n＝6
∴这两个数是43或86；
（2）根据题意得：M5xy=53+x2+y=132
∴x2+y=7
∵x，y为0到9的整数
∴当x=0时，y=7
当x=1时，y=6
当x=2时，y=3
∴这三个数是507或516或523；
（3）∵abc=100a+10b+c，ac=10a+c，且abc=6ac+5c
∴100a+10b+c=610a+c+5c
∴4a+b=c
∵a为1到9的整数，b、c为0到9的整数
当a=1时，得：4+b=c
当b＝0时，c＝4，三位数是104
当b＝1时，c＝5，三位数是115
当b＝2时，c＝6，三位数是126
当b＝3时，c＝7，三位数是137
当b＝4时，c＝8，三位数是148
当b＝5时，c＝9，三位数是159
当a=2时，得：8+b=c
当b＝0时，c＝8，三位数是208
当b＝1时，c＝9，三位数是219
∴符合条件的三位数有：104、115、126、137、148、159、208、219．
6．（2021·江苏南通·七年级期末）对于数轴上不重合的两点A，B，给出如下定义：若数轴上存在一点M，通过比较线段AM和BM的长度，将较短线段的长度定义为点M到线段AB的“绝对距离”．若线段AM和BM的长度相等，将线段AM或BM的长度定义为点M到线段AB的“绝对距离”．

（1）当数轴上原点为O，点A表示的数为-1，点B表示的数为5时
①点O到线段AB的“绝对距离”为______；
②点M表示的数为m，若点M到线段AB的“绝对距离”为3，则m的值为______；
（2）在数轴上，点P表示的数为-6，点A表示的数为-3，点B表示的数为2．点P以每秒2个单位长度的速度向正半轴方向移动时，点B同时以每秒1个单位长度的速度向负半轴方向移动，设移动的时间为tt>0秒，当点P到线段AB的“绝对距离”为2时，求t的值．
【思路点拨】
(1))①分别求出OA、OB的长，然后比较大小，较短线段的长就是O点到线段AB的“绝对距离”．
②分三种情况：点M在点A左边时；点M在A、B中间时；点M在B点右侧时．
(2)求出点P运动到点A时需要的时间为32秒，点B运动到点A时需要的时间为5秒，点P、点B相遇需要的时间为83秒．再表示出移动时间为t秒时，点P、点B表示的数，然后分四种情况进行讨论：①05．根据点P到线段AB的“绝对距离”为2列出方程，解方程即可．
【解题过程】
解：（1）①∵OA=1，OB=5，1<5，
∴点O到线段AB的“绝对距离”为1，
故答案为1
②点M表示的数为m，点A表示的数为﹣1，点B表示的数为5，
若点M到线段AB的“绝对距离”为3，则可分三种情况：
Ⅰ）当点M在点A的左边时，MA ∵点M到线段AB的“绝对距离”为3，
∴−1−m=3，
∴m=−4，符合题意；
Ⅱ）当点M在点A、B之间时，
∵MA=m+1，MB=5−m，
如果m+1=3，那么m=2，此时5−m=3，符合题意；
Ⅲ）当点M在点B的右边时，MB ∵点M到线段AB的“绝对距离”为3，
∴m−5=3，
∴m=8，符合题意；
综上，所求m的值为﹣4或2或8．
故答案为﹣4或2或8．
（2）点P运动到点A时需要的时间为32秒，点B运动到点A时需要的时间为5秒，点P、点B相遇需要的时间为83秒．
当移动的时间为tt>0秒时，点P表示的数为−6+2t，点B表示的数为2−t．
分四种情况：
①当0 ∵PA=−3−−6+2t=3−2t=2，
∴t=12，符合题意；
②当32 PA=−6+2t−−3=2t−3，PB=2−t−−6+2t=8−3t，
如果2t−3=2，t=52，此时8−3t=12<2，不合题意，舍去；
如果8−3t=2，t=2，此时2t−3=1<2，不合题意，舍去；
③当83 ∵PB=−6+2t−2−t=3t−8=2，
∴t=103，符合题意；
④当t>5时，PA ∵PA=−6+2t−−3=2t−3=2，
∴t=52<5，不合题意，舍去．
综上，所求t的值为12或103
7．（2021·重庆渝北·七年级期末）如图，数轴上有A，B，C三个点，点B对应的数是−4，点A、C对应的数分别为a，c，且a，c满足|a+12|+(c−3)2=0

（1）直接写出a，c的值；
（2）若数轴上有两个动点P，Q分别从A，B两点出发沿数轴同时出发向右匀速运动，点P速度为3单位长度/秒，点Q速度为1单位长度/秒，若运动时间为t秒，运动过程中，是否存在线段AP的中点M到点Q的距离为4，若存在，请求出t的值，若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，另外两个动点E，F分别随着P，Q一起运动，且始终保持线段EP=2，线段FQ=3（点E在P的左边，点F在Q的左边），当点P运动到点C时，线段EP立即以相同的速度返回，当点P再次运动到点A时，线段EP和FQ立即同时停止运动，在整个运动过程中，是否存在使两条线段重叠部分为EP的一半，若存在，请直接写出此时点P表示的数，并把求其中一个点P表示的数的过程写出来：若不存在，请说明理由.
【思路点拨】
（1）由|a+12|+（c-3）2=0，直接可得a=−12,c=3；
（2）根据动点P，Q分别从A，B两点出发沿数轴同时出发向右匀速运动，点P速度为3单位长度/秒，点Q速度为1单位长度/秒，运动时间为t秒，知P表示的数是-12+3t，Q表示的数是-4+t，M表示的数是32t−12，又M到点Q的距离为4，列方程|−12+32t−(−4+t)|=4,再解方程即可解得答案；
（3）分两种情况（每种情况又分两种）：①在EP与FQ两线段第一次重合中，即0＜t≤5时，可知E表示的数是-14+3t，F表示的数是-7+t，当P表示的数比F表示的数大1时，重叠部分为EP的一半，可得-12+3t-（-7+t）=1，解得t=3，P表示的数是-12+3t=-3，当Q表示的数比E表示的数大1时，重叠部分为EP的一半，-4+t-（-14+3t）=1，解得t=92，P表示的数是-12+3t=32，②在PQ与MN两线段第二次重合中，即5＜t≤10时，可知P到C后返回，P表示的数是18-3t，则E表示的数是16-3t，同理可得P表示的数是94或0．
【解题过程】
（1）解：∵|a+12|+（c-3）2=0，
∴a+12=0，c-3=0，
∴a=−12,c=3；
（2）存在线段AP的中点M到点Q的距离为4，
∵动点P，Q分别从A，B两点出发沿数轴同时出发向右匀速运动，点P速度为3单位长度/秒，点Q速度为1单位长度/秒，运动时间为t秒，
∴P表示的数是−12+3t，Q表示的数是-4+t，
∵M为线段AP的中点，
∴M表示的数是12(−12+3t−12)=32t−12，
若M到点Q的距离为4，则|−12+32t−(−4+t)|=4,
解得t=8或t=24；
答：存在线段AP的中点M到点Q的距离为4，t的值是8或24；
（3）存在使两条线段重叠部分为EP的一半，
①在EP与FQ两线段第一次重合中，由P到C的时间为5秒，即0＜t≤5时，
由（2）知P表示的数是-12+3t，Q表示的数是-4+t， 又线段EP=2，线段FQ=3（点E在P的左边，点F在Q的左边），
∴E表示的数是-14+3t，F表示的数是-7+t，
当P表示的数比F表示的数大1时，重叠部分为EP的一半，
∴-12+3t-（-7+t）=1，解得t=3，
∴此时P表示的数是-12+3t=-3，
当Q表示的数比E表示的数大1时，重叠部分为EP的一半，
∴-4+t-（-14+3t）=1，解得t=92，
∴此时P表示的数是-12+3t=32，
②在PQ与MN两线段第二次重合中，即5＜t≤10时，
P到C后返回，P表示的数是3-3（t-5）=18-3t，
则E表示的数是16-3t，
当Q表示的数比E表示的数大1时，重叠部分为EP的一半，
∴-4+t-（16-3t）=1，解得t=214，
∴此时P表示的数是18-3t=94，
当P表示的数比F表示的数大1时，重叠部分为EP的一半，
∴18-3t-（-7+t）=1，解得t=6，
∴此时P表示的数是18-3t=0，
综上所述，两条线段重叠部分为EP的一半时，P表示的数是-3或32或94或0．
8．（2021·江苏盐城·七年级期末）对于数轴上的点M，线段AB，给出如下定义：
P为线段AB上任意一点，我们把M、P两点间距离的最小值称为点M关于线段AB的“靠近距离”，记作d1（点M，线段AB）；把M、P两点间的距离的最大值称为点M关于线段AB的“远离距离”，记作d2（点M，线段AB）．
特别的，若点M与点P重合，则M，P两点间的距离为0．
已知点A表示的数为-5，点B表示的数为2．
例如如图，若点C表示的数为3，则d1（点C，线段AB）=1，d2（点C，线段AB）=8．

（1）若点D表示的数为-7，则d1（点D，线段AB）_____________，d2（点D，线段AB）_____________；
（2）若点M表示的数为m，d1（点M，线段AB）=3，则m的值为_____________；若点N表示的数为n，d2（点N，线段AB）=12，则n的值为_____________．
（3）若点E表示的数为x，点F表示的数为x+2，d2（点F，线段AB）是d1（点E，线段AB）的3倍．求x的值．
【思路点拨】
（1）根据已知给出的定义，进行计算即可解答；
（2）分两种情况讨论，点M在点A的两侧，点N在点B的两侧；
（3）分别讨论点E在A点左侧和B点右侧两种情况，根据EF=2及已知数量关系列出等式求解即可．
【解题过程】
解：（1）d1=AD=−7−−5=2，
d2=DB=−7−2=9
（2）①当M点在顶点A左边时，d1=AM=m−−5=3且m<−5，
解得：m=−8 ，
当M点在点A右边时，d1=BM=m−2=3且m>2 ，
解得：m=5 ，
∴m的值为-8或5，
②当N点在点B左边时，d2=BN=n−2=12，且n<−5 ，
解得：n=−10 ，
当N点在点B右边时，d2=AN=n−−5=12 ，且n>2 ，
解得：n=7 ，
∴n的值为-10或7；
（3）由题意可知，点F在点E的右侧且EF=2.
①若点E在线段AB上，则d1（点E，线段AB）=0，d2（点F，线段AB）≠0，不合题意；
②若点E在点A的左侧，即x<−5时，

d1（点E，线段AB）=AE=−5−x=−5−x
∵点F在点E的右侧且EF=2，AB=7，
∴d2（点F，线段AB）=BF=2−x+2=−x
∵d2（点F，线段AB）=3d1（点E，线段AB），
∴3−5−x=−x
解得x=−7.5.
③若点E在点B的右侧，即x>2时，

d1（点E，线段AB）=BE=x−2=x−2
d2（点F，线段AB）=AF=x+2−−5=x+7
∵d2（点F，线段AB）=3d1（点E，线段AB），
∴x+7=3x−2
解得x=6.5
综上所述，x的值为-7.5或6.5．
9．（2021·吉林·东北师大附中明珠学校七年级期末）如图，数轴上有A、B、C三个点，分别表示数－18、－10、20，有两条动线段PQ和MN（点Q与点A重合，点N与点B重合，且点P总在点Q的左边，点M总在点N的左边），PQ＝2，MN＝5，线段MN以每秒1个单位的速度从点B开始一直向右匀速运动，同时线段PQ以每秒3个单位的速度从点A开始向右匀速运动，当点Q运动到点C时，线段PQ立即以相同的速度返回；当点P运动到点A时，线段PQ、MN立即同时停止运动．设运动时间为t秒（整个运动过程中，线段PQ和MN保持长度不变）．

（1）当t＝2时，点Q表示的数为______，点M表示的数为______．
（2）当开始运动后，t＝______秒时，点Q和点C重合．
（3）在整个运动过程中，求点Q和点N重合时t的值．
（4）在整个运动过程中，当线段PQ和MN重合部分长度为1时，请直接写出此时t的值．
【思路点拨】
（1）根据两点间距离的定义，线段的和差定义计算即可；
（2）当线段PQ开始运动后点Q和点C重合；利用点Q运动的速度×时间=AC，列方程求t；
（3）在整个运动过程中，点Q和点N重合分两种情况，当PQ从点A开始运动到C过程中，利用追击问题点Q运动的路程=AB间程+点N运动路程，列方程求出t，当PQ返回时，利用相遇问题点Q与点N运动的路程=AC+BC，列方程求解即可；
（4）在整个运动过程中，线段PQ和MN重合部分长度能为1，当PQ从点A开始运动到C过程和当PQ返回从OC-2开始到A过程，线段PQ进MN的长度为1和出MN长度为1，列出方程求出时间t即可．
【解题过程】
解：（1）当t＝2时，点Q运动长度：3×2=6
∵A点表示数－18，且点Q与点A重合
∴运动后点Q表示的数为：-18+6=-12；
当t＝2时，点M运动长度：1×2=2
∵B点表示数－10，点N与点B重合
∴运动后点N表示的数为：-10+2=-8
∵MN＝5
∴运动后点M表示的数为：-8-5=-13
故填：-12、-13．
（2）当线段PQ开始运动t秒后，点Q和点C重合；
根据题意3t=20−−18，
解得：t=1223秒，
故填：1223．
（3）在整个运动过程中，点Q和点N重合分两种情况，
当PQ从点A开始运动到C过程中，
根据题意3t=−10−−18+t，
解得t=4秒，
当PQ返回时，
根据题意3t+t=20−−18+20−−10，
解得：t=17秒，
t的值为：4秒或17秒；
（4）在整个运动过程中，线段PQ和MN重合部分长度能为1，
当PQ从点A开始运动到C过程中，线段PQ进MN的长度为1和出MN长度为1，
∵MN=5，M点从-15开始运动，
线段PQ进MN的长度为1时，等量关系为：点Q行程=QM起点距离+1+点M行程
根据题意3t=−15−−18+1+t，
解得t=2秒，
线段PQ出MN长度为1，等量关系为：点P行程=PN起点距离+1+点N行程
根据题意3t=−10−−18+t+1，
解得t=4.5秒，
当PQ返回时，
线段PQ进MN的长度为1时，等量关系为：点Q行程+点N行程=Q、N起点到C距离-2+1
根据题意3t+t=20−−18+20−−10−2+1，
解得：t=674=1634秒；
线段PQ出MN长度为1，等量关系为：点P行程+点M行程 =P、M到C距离+1
根据题意3t+t=18−−20+18−−15+1，
解得：t=724=18秒；
在整个运动过程中，当线段PQ和MN重合部分长度为1时，t的值为2秒,4.5秒, 1634秒,18秒．
10．（2021·江苏·七年级期末）已知点A、B、C是数轴上的三点，点C表示的数c，且A、B表示的数a、b满足：（a+5）2020+|7﹣b|＝0．
（1）当AC的长度为4个单位长度时，则a＝　 　，b＝　 　，c＝　 　．
（2）在（1）条件下，点P、Q分别是AB、AC的中点，求P、Q的长度．
（3）在数轴上有两个同时出发的动点M、N，点M从点A出发，以4个单位每秒的速度向点B运动，到达B点停留3秒，再加快速度（仍保持匀速运动）返回到点A，点N从点O出发，以2个单位每秒的速度向点B运动，到达点B后立即以相同速度返回到原点O并停止运动，结果点M到达A点比点N到达O点晚1秒，记点M从出发到运动结束的时间为t秒，在整个运动过程中，当MN=3时,求t的值求t的值．

【思路点拨】
（1）根据非负数的性质和两点间的距离公式即可求解；
（2）根据中点坐标公式和两点间的距离公式即可求解；
（3）根据题意先求出点N从出发到返回原点O并停止运动的时间，点M返回到点A时的速度，根据题意分情况画出图形，即可求解．
【解题过程】
解：（1）∵（a+5）2020+|7﹣b|＝5．
∴a+5＝0，7﹣b＝0，
∴a＝﹣5，b＝7，
∵AC的长度为4个单位长度，
∴AC＝4，即|﹣5﹣c|＝4，
∴点C表示的数c为：﹣9或﹣1，
故答案为：﹣5，7，﹣9或﹣1；
（2）当点C表示的数c为﹣9时，
∵点P、Q分别是AB，AC的中点，
∴点P表示的数为1，点Q表示的数为﹣7，
∴PQ＝1﹣（﹣7）＝8；
当点C表示的数c为﹣1时，
∵点P、Q分别是AB，
∴点P表示的数为1，点Q表示的数为﹣3，
∴PQ＝1﹣（﹣3）＝4；
答：PQ的长度是8或4；
（3）点N从出发到返回原点O并停止运动的时间：7×2÷7＝7（秒），
点M从出发到运动结束的时间为7+1＝8（秒），
点M从点A出发到达点B用时12÷4＝3（秒），
点M从点B加快速度（仍保持匀速运动）返回到点A用时8﹣3﹣3＝2（秒），
点M从点B加快速度（仍保持匀速运动）返回时的速度：12÷2＝6，
①当点M、N都向点B运动时，
MN＝2t﹣（﹣5+4t）＝3，
解得：t＝1；
②当点M到达点B停留4秒时，点N正返回原点O，
2t＝7+3，
解得：t＝5；
③当点M从点B加快速度（仍保持匀速运动）返回到点A时，此时点N距离点B：6×2﹣7＝5，
设点M从点B运动x秒时，MN＝3，
6x+3＝2x+5，
解得：x＝0.5，
∴t＝6+0.5＝6.5；
④当点N返回到原点O并停止运动，点M从点B加快速度（仍保持匀速运动）运动10个单位时，
∴10÷6＝53（秒），
∴t=6+53=233，
∴当MN＝3时，t的值为1或5或6.5或233．
11．（2021·辽宁沈阳·七年级期末）如图，数轴上点A、B、C分别表示的数为﹣70、60、20，在点O处有动点P，在点C处有动点Q，P点和Q点可在数轴上匀速运动，设运动时间为t秒．

（1）当点P以每秒10个单位长度的速度向左运动t秒时，点P与点A相距___个单位长度（用含t的代数式填空）．
（2）若点Q先停留在点C的位置点，P以每秒10个单位长度的速度向右运动，当P与Q相遇时，点P就停留在点Q的位置，然后点Q以点P的速度和方向继续运动；当点Q到达B时，点Q则以相同的速度反向运动；当Q与P相遇时，点Q就停留在点P的位置，点P以点Q的速度和方向继续运动；当P到达A点时，P则以相同的速度反向运动到达O后停止运动．
①求点P从开始运动到最后停止时t的值；
②当线段PB的中点与线段OQ的中点重合时，请直接写出t的值．
【思路点拨】
（1）先求出向左运动t秒时，点P所表示的数，再根据数轴的定义即可得；
（2）①先根据数轴的定义可得OC=20,BC=40,AC=90,OA=70，再根据“时间=路程÷时间”求出各个运动过程所需时间，由此即可得出答案；
②根据（2）①分0≤t≤2、2 【解题过程】
解：（1）由题意，向左运动t秒时，点P所表示的数为−10t，
则点P与点A的距离为−10t−(−70)=70−10t个单位长度，
故答案为：70−10t；
（2）①由题意得：OC=20,BC=60−20=40,AC=20−(−70)=90,OA=70，
则在各个运动过程中，所需时间如下：
点P向右运动到点Q所需时间为OC10=2010=2（秒），
点Q向右运动到点B所需时间为BC10=4010=4（秒），
点Q向左运动与点P相遇所需时间为BC10=4010=4（秒），
点P向左运动到点A所需时间为AC10=9010=9（秒），
点P向右运动到点O所需时间为OA10=7010=7（秒），
所以点P从开始运动到最后停止时，t=2+4+4+9+7=26（秒）；
②结合（2）①，分以下五种情况：
（ⅰ）当0≤t≤2时，PB=60−10t,OQ=20，
则线段PB的中点表示的数为60−12(60−10t)=30+5t，
线段OQ的中点表示的数为12×20=10，
因此有30+5t=10，
解得t=−4，不符题设，舍去；
（ⅱ）当2 则线段PB的中点表示的数为60−12×40=40，
线段OQ的中点表示的数为12×10t=5t，
因此有5t=40，
解得t=8，不符题设，舍去；
（ⅲ）当6 则线段PB的中点表示的数为60−12×40=40，
线段OQ的中点表示的数为12(120−10t)=60−5t，
因此有60−5t=40，
解得t=4，不符题设，舍去；
（ⅳ）当10 则线段PB的中点表示的数为60−12(10t−60)=90−5t，
线段OQ的中点表示的数为12×20=10，
因此有90−5t=10，
解得t=16，符合题设；
（ⅴ）当19 则线段PB的中点表示的数为60−12(320−10t)=5t−100，
线段OQ的中点表示的数为12×20=10，
因此有5t−100=10，
解得t=22，符合题设；
综上，t的值为16或22．
12．（2021·陕西·西安市铁一中学七年级期末）如图，数轴上线段AB=2（单位长度），CD=4（单位长度），点A在数轴上表示的数是−10，点C在数轴上表示的数是16．若线段AB以6个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以2个单位长度/秒的速度向左匀速运动．设运动的时间为t秒，请解决下列问题：

（1）当t=1时，A点表示的数为_________，此时BC=_________；
（2）当运动到BC=6（单位长度）时，求运动时间t的值；
（3）P是线段AB上一点，当点B运动到线段CD上时，若关系式BD−AP=4PC成立，请直接写出此时线段PD的长：PD=________．
【思路点拨】
（1）用−10加上A点运动1秒的路程可得A点表示的数；分别求出B、C两点运动1秒后在数轴上表示的数，再利用两点间的距离公式即可求出BC；
（2）设运动t秒时，BC=6（单位长度），然后分点B在点C的左边和右边两种情况，根据题意列出方程求解即可；
（3）随着点B的运动，分别讨论当点B和点C重合、点C在点A和B之间及点A与点C重合时的情况．
【解题过程】
解：（1）当t=1时，A点表示的数为−10+6×1=−4；
∵B、C两点运动1秒后在数轴上表示的数为−8+6×1=−2，16−2×1=14，
∴此时BC=14−(−2)=16．
故答案为：−4，16；
（2）设运动t秒时，BC=6（单位长度），
①当点B在点C的左边时，
由题意得：6t+6+2t=24，
解得：t=94；
②当点B在点C的右边时，
由题意得：6t−6+2t=24，
解得：t=154．
综上所述，当运动到BC=6（单位长度）时，运动时间t的值为94或154；
（3）设线段AB未运动时点P所表示的数为x，B点运动时间为t，
则此时C点表示的数为16−2t，D点表示的数为20−2t，A点表示的数为−10+6t，B点表示的数为−8+6t，P点表示的数为x+6t，
∴BD=20−2t−(−8+6t)=28−8t，
AP=x+6t−(−10+6t)=10+x，
PC=|16−2t−(x+6t)|=|16−8t−x|，
PD=20−2t−(x+6t)=20−8t−x=20−(8t+x)，
∵BD−AP=4PC，
∴28−8t−(10+x)=4|16−8t−x|，
即：18−8t−x=4|16−8t−x|，
①当C点在P点右侧时，
18−8t−x=4(16−8t−x)=64−32t−4x，
∴x+8t=463，
∴PD=20−(8t+x)=20−463=143；
②当C点在P点左侧时，
18−8t−x=−4(16−8t−x)=−64+32t+4x，
∴x+8t=825，
∴PD=20−(8t+x)=20−825=185；
∴PD的长有2种可能，即143或185．
故答案为：143或185．
13．（2021·河北唐山·七年级期末）[知识背景]：
数轴上，点A，B表示的数为a，b，则A，B两点的距离AB=a−b，A，B的中点P表示的数为a+b2，
[知识运用]：
若线段AB上有一点P，当PA=PB时，则称点P为线段AB的中点．已知数轴上A，B两点对应数分别为a和b，a+22+b−4=0，P为数轴上一动点，对应数为x．

（1）a=______，b=______；
（2）若点P为线段AB的中点，则P点对应的数x为______．若B为线段AP的中点时则P点对应的数x为______
（3）若点A、点B同时向左运动，点A的速度为1个单位长度/秒，点B的速度为3个单位长度/秒，则经过多长时间点B追上点A？（列一元一次方程解应用题）；此时点B表示的数是______
（4）若点A、点B同时向左运动，它们的速度都为1个单位长度/秒，与此同时点P从-16处以2个单位长度/秒的速度向右运动，经过多长时间后，点A、点B、点P三点中其中一点是另外两点的中点？__________________（直接写出答案．）
【思路点拨】
（1）利用非负数的性质解即可；
（2）利用线段中点定义，和数轴求两点距离的方法列出方程，解方程即可；
（3）利用点A的行程+AB间距离=B行程，列出方程t+6=3t求出t，点B表示的数用4减B点行程即可；
（4）设运动的时间为tS，先用“t”表示A、B、P表示的数分三种情况考虑，①点A为点P与点B的中点，PA=AB，列方程4-t-(-2-t)=-2-t-(-16+2t)，②点P为点A与点B的中点，即AP=PB，列方程-16+2t-(-2-t)=4-t-(-16+2t)③点B为点A与点P中点，即AB=BP列方程-16+2t-(4-t)=4-t-(-2-t)解方程即可．
【解题过程】
解：（1）∵a+22+b−4=0，a+22≥0，b−4≥0，
∴a+2=0，b−4=0，
∴a=−2，b=4，
故答案为：﹣2；4；
（2）∵点P为线段AB的中点，P点对应的数为x，
∴4-x=x-(-2)，
∴x=1，
∵B为线段AP的中点时则P点对应的数x，
∴x-4=4-(-2)，
∴x=10，
故答案为：1、10；
（3）解：设经过t秒点B追上点A．

t+6=3t，
(3－1)t=6，
t=3，
B表示的数为：4-3×3=-5，
∴经过3秒点B追上点A．此时点B表示的数是－5，
答案为：经过3秒点B追上点A；－5；
（4）设运动的时间为tS，
点P表示-16+2t,点A表示-2-t，点B表示4-t，
①点A为点P与点B的中点，PA=AB，
4-t-(-2-t)=-2-t-(-16+2t)，
3t=8，
t=83s，
②点P为点A与点B的中点，即AP=PB，
-16+2t-(-2-t)=4-t-(-16+2t)，
6t=34，
t=173s，
③点B为点A与点P中点，即AB=BP，
-16+2t-(4-t)=4-t-(-2-t)，
3t=26，
t=263s，

故答案为：83s、173s、263s．
14．（2021·全国·七年级期末）如图，点C在线段AB上，AC=6cm，CB=4cm．点M以1cm/s的速度从点A沿线段AC向点C运动；同时点N以2cm/s的速度从点C出发，在线段CB上做往返运动（即沿C→B→C→B→⋯运动），当点M运动到点C时，点M、N都停止运动．设点M运动的时间为t（s）．

（1）当t=1时，求MN的长．
（2）当点C为线段MN的中点时，求t的值．
（3）若点P是线段CN的中点，在整个运动过程中，是否存在某个时间段，使PM的长度保持不变？如果存在，求出PM的长度并写出其对应的时间段；如果不存在，请说明理由．
【思路点拨】
（1）当t=1时，AM=1cm，CN=2cm，可得MN=7cm；
（2）由题意，得：AM=t cm，MC=（6-t）cm，根据点M运动到点C时，点M、N都停止运动，可得0≤t≤6，分三种情况：①当0≤t≤2时，点N从C向B运动，可求得t=2；②当2＜t≤4时，点N从B向C运动，求出t=2不合题意；③当4＜t≤6时，点N从C向B运动，可求得t=143；
（3）存在某个时间段，使PM的长度保持不变，与（2）一样分三种情况分别探究即可．
【解题过程】
（1）解：当t=1时，AM=1cm，CN=2cm，
∴MC=AC-AM=6-1=5（cm），
∴MN=MC+CN=5+2=7（cm）；
（2）如图，由题意，得：AM=t cm，MC=（6-t）cm，
∵点M运动到点C时，点M、N都停止运动，
∴0≤t≤6，

①当0≤t≤2时，点N从C向B运动，CN=2t cm，
∵点C为线段MN的中点，
∴MC=CN，即6-t=2t， 解得：t=2；
②当2＜t≤4时，点N从B向C运动，BN=（2t-4）cm，CN=4-（2t-4）=（8-2t）cm，
∵点C为线段MN的中点，
∴MC=CN，即6-t=8-2t， 解得：t=2（舍去）；
③当4＜t≤6时，点N从C向B运动，CN=（2t-8）cm，
∵点C为线段MN的中点，
∴MC=CN，即6-t=2t-8，
解得：t=143； 综上所述，当t=2或143时，点C为线段MN的中点．
（3）如图2，①当0≤t≤2时，点N从C向B运动，CN=2t cm，

∵点P是线段CN的中点，
∴CP=12CN=t cm，
∴PM=MC+CP=6-t+t=6cm，此时，PM的长度保持不变；
②当2＜t＜4时，点N从B向C运动，CN=（8-2t）cm，
∵点P是线段CN的中点，
∴CP=12CN=12（8-2t）=（4-t） cm，
∴PM=MC+CP=6-t+（4-t）=（10-2t）cm，此时，PM的长度变化；
③当4≤t≤6时，点N从C向B运动，CN=（2t-8）cm，
∵点P是线段CN的中点，
∴CP=12CN=12（2t-8）=（t-4）cm，
∴PM=MC+CP=6-t+（t-4）=2cm，此时，PM的长度保持不变；
综上所述，当0≤t≤2或4≤t≤6时，使PM的长度保持不变；PM的长度分别为6cm或2cm．
15．（2021·浙江舟山·七年级期末）已知点C在线段AB上，AC＝2BC，点D、E在直线AB上，点D在点E的左侧，

（1）若AB＝18，DE＝8，线段DE在线段AB上移动，
①如图1，当E为BC中点时，求AD的长；
②当点C是线段DE的三等分点时，求AD的长；
（2）若AB＝2DE，线段DE在直线上移动，且满足关系式AD+ECBE=32，则CDAB＝　 　．
【思路点拨】
（1）根据已知条件得到BC＝6，AC＝12，①由线段中点的定义得到CE＝3，求得CD＝5，由线段的和差得到AD＝AC﹣CD＝12﹣5＝7；②当点C线段DE的三等分点时，可求得CE＝13DE＝83或CE＝23DE＝163，则CD＝163或83，由线段的和差即可得到结论；
（2）当点E在线段BC之间时，设BC＝x，则AC＝2BC＝2x，求得AB＝3x，设CE＝y，得到AE＝2x+y，BE＝x﹣y，求得y＝27x，当点E在点A的左侧，设BC＝x，则DE＝1.5x，设CE＝y，求得DC＝EC+DE＝y+1.5x，得到y＝4x，于是得到结论．
【解题过程】
解：（1）∵AC＝2BC，AB＝18，
∴BC＝6，AC＝12，
①∵E为BC中点，
∴CE＝3，
∵DE＝8，
∴CD＝5，
∴AD＝AC﹣CD＝12﹣5＝7；
②∵点C是线段DE的三等分点，DE＝8，
∴CE＝13DE＝83或CE＝23DE＝163，
∴CD＝163或CD＝83，
∴AD＝AC﹣CD＝12﹣163＝203或12-83=283；
（2）当点E在线段BC之间时，如图，

设BC＝x，
则AC＝2BC＝2x，
∴AB＝3x，
∵AB＝2DE，
∴DE＝1.5x，
设CE＝y，
∴AE＝2x+y，BE＝x﹣y，
∴AD＝AE﹣DE＝2x+y﹣1.5x＝0.5x+y，
∵AD+ECBE=32，
∴0.5x+y+yx−y=32，
∴y＝27x，
∴CD＝1.5x﹣27x＝1714x，
∴CDAB=1714x3x=1742；
当点E在点A的左侧，如图，

设BC＝x，则DE＝1.5x，
设CE＝y，
∴DC＝EC+DE＝y+1.5x，
∴AD＝DC﹣AC＝y+1.5x﹣2x＝y﹣0.5x，
∵AD+ECBE=32，BE＝EC+BC＝x+y，
∴y−0.5x+yx+y=32，
∴y＝4x，
∴CD＝y+1.5x＝4x+1.5x＝5.5x，BD＝DC+BC＝y+1.5x+x＝6.5x，
∴AB＝BD﹣AD＝6.5x﹣y+0.5x＝6.5x﹣4x+0.5x＝3x，
∴CDAB=5.5x3x=116，
当点E在线段AC上及点E在点B右侧时，无解，
综上所述CDAB的值为1742或116．
故答案为：1742或116．
16．（2021·辽宁大连·七年级期末）如图1所示，已知线段AB=32cm，点P为线段AB上一点（不与A、B重合），M，N两点分别从A、P同时出发沿射线AB向右运动，点M的运动速度为4cm/秒，点N运动速度为3cm/秒，设运动时间为t秒t≠8．

（1）若AP=8cm，
①t=1时，则MN的长为______；
②点M、N在移动过程中，线段BM、MN之间是否存在某种确定的的数量关系，判断并说明理由；
（2）如图2所示，点M、N在射线AB上移动，若BM=4，MN=3，直接写出APPB的值．
【思路点拨】
（1）①根据题意画出图形，分别求出t=1时，AM，PN的长，进而求出AN，即可求解；
②分0＜t＜8和t＞8两种情况，分别表示出AM，PN，BM，MN的长，即可求解；
（2）分0＜t＜8和t＞8两种情况，每种情况再分点N在点M左边，点N在点M右边，分别表示出AM，PN，AP，PB的长，即可求解．
【解题过程】
解：（1）①如图：

t=1时，AM=4cm，PN=3cm，
∴AN=AP+PN=8cm+3cm=11cm，
∴MN=AN−AM=11cm−4cm=7cm；
②∵AP=8，AB=32，
∴BP=24
当t=8时点M、N同时到达点B
∴当0
∴MP=8−4t
∴MN=MP+NP =8−4t+3t =8−t
∵BM=32−4t=48−t
∴BM=4MN；
当t>8时AM=4t，PN=3t，如图：

∴AN=8+3t
∴MN=AM−AN =4t−8−3t =t−8
∵BM=4t−32=4t−8
∴BM=4MN；
（2）0＜t＜8，点N在点M左边时，如图：

∵AM=4t，BM=4，AB=32，
∴AM=4t=AB−BM=28，t=7，
∵PN=3t，MN=3，
∴PN=3t=21，AN=AB−BM−MN=25，
∴AP=AN−PN=25−21=4，PB=AB−AP=32−4=28，
∴APPB=428=17；
0＜t＜8，点N在点M右边时，如图：

∵AM=4t，BM=4，AB=32，
∴AM=4t=AB−BM=28，t=7，
∵PN=3t，MN=3，
∴PN=3t=21，AN=AB−BM+MN=31，
∴AP=AN−PN=31−21=10，PB=AB−AP=32−10=22，
∴APPB=1022=511；
t＞8，点N在点M左边时，如图：

∵AM=4t，BM=4，AB=32，
∴AM=4t=AB+BM=36，t=9，
∵PN=3t，MN=3，
∴PN=3t=27，AN=AB+BM−MN=33，
∴AP=AN−PN=33−27=6，PB=AB−AP=32−6=26，
∴APPB=626=313；
t＞8，点N在点M右边时，如图：

∵AM=4t，BM=4，AB=32，
∴AM=4t=AB+BM=36，t=9，
∵PN=3t，MN=3，
∴PN=3t=27，AN=AM+MN=39，
∴AP=AN−PN=39−27=12，PB=AB−AP=32−12=20，
∴APPB=1220=35．
∴APPB的值为17，511，313，35．
17．（2021·湖南岳阳·七年级期末）（1）特例感知：如图①，已知线段MN＝30cm，AB＝2cm，线段AB在线段MN上运动(点A不超过点M，点B不超过点N)，点C和点D分别是AM，BN的中点．
① 若AM＝16cm，则CD＝　　　　cm；
② 线段AB运动时，试判断线段CD的长度是否发生变化？如果不变，请求出CD的长度，如果变化，请说明理由．
（2）知识迁移：我们发现角的很多规律和线段一样，如图②，已知∠AOB在∠MON内部转动，射线OC和射线OD分别平分∠AOM和∠BON．
① 若∠MON＝150°，∠AOB＝30°，求∠COD=_____________度．
② 请你猜想∠AOB，∠COD和∠MON三个角有怎样的数量关系．请说明理由．
（3）类比探究：如图③，∠AOB在∠MON内部转动，若∠MON＝150°，∠AOB＝30°，∠MOC∠AOC=∠NOD∠BOD=k，用含有k的式子表示∠COD的度数． (直接写出计算结果)

【思路点拨】
（1）①欲求CD，需求AC+AB+BD．已知CD，需求AC+BD．点C和点D分别是AM，BN的中点，得AC= 12AM，BD=12BN，那么AC+BD=12AM+12BN=12（AM+BN），进而解决此题． ②与①同理．
（2）①欲求∠COD，需求∠AOC+∠AOB+∠BOD．已知∠AOB，需求∠AOC+∠BOD．由OC和OD分别平分∠AOM和∠BON，得∠AOC=12∠AOM，∠BOD=12∠BON，进而解决此题． ②与①同理．
（3）由∠MOC∠AOC=∠NOD∠BOD=k可得∠AOM=（1+k）∠AOC，∠BON=（1+k）∠BOD，所以∠AOC+∠BOD=120°k+1，根据∠COD=∠AOC+∠AOB+∠BOD可得结论．
【解题过程】
解：（1）①∵MN=30cm，AB=2cm，AM=16cm，
∴BN=MN-AB-AM=12（cm），
∵点C和点D分别是AM，BN的中点，
∴AC= 12AM=8cm，BD=12BN=6cm．
∴AC+BD=14（cm）．
∴CD=AC+AB+BD=14+2=16（cm）．
故答案为：16．
②不变，理由如下： ∵点C和点D分别是AM，BN的中点，
∴AC= 12AM，BD=12BN，
∴AC+BD=12AM+12BN=12（AM+BN）．
又∵MN=30cm，AB=2cm，
∴AM+BN=MN-AB=30-2=28（cm）．
∴AC+BD=12（AM+BN）=14（cm）．
∴CD=AC+AB+BD=14+2=16（cm）．
（2）①∵OC和OD分别平分∠AOM和∠BON，
∴∠AOC=12∠AOM，∠BOD=12∠BON．
∴∠AOC+∠BOD=12∠AOM+12∠BON=12（∠AOM+∠BON）．
又∵∠MON=150°，∠AOB=30°，
∴∠AOM+∠BON=∠MON-∠AOB=120°．
∴∠AOC+∠BOD=60°．
∴∠COD=∠AOC+∠BOD+∠AOB=60°+30°=90°．
故答案为：90．
②∠COD=12（∠MON+AOB）．理由如下：
∵OC和OD分别平分∠AOM和∠BON，
∴∠AOC=12∠AOM，∠BOD=12∠BON．
∴∠AOC+∠BOD=12∠AOM+12∠BON=12（∠AOM+∠BON）．
∴∠COD=∠AOC+∠BOD+∠AOB =12（∠AOM+∠BON）+∠AOB
=12（∠MON-∠AOB）+∠AOB． =12（∠MON+AOB）．
（3）∵∠MON=150°，∠AOB=30°，
∴∠AOM+∠BON=120°，
∵ ∠MOC∠AOC=∠NOD∠BOD=k，
∴∠MOC=k∠AOC，∠NOD=k∠BOD，
∴∠AOM=∠MOC+∠AOC=（1+k）∠AOC，
∠BON=∠NOD+∠BOD=（1+k）∠BOD，
∴∠AOC+∠BOD=120°k+1，
∴∠COD=∠AOC+∠BOD+∠AOB= 120°k+1+30°．
18．（2021·湖北十堰·七年级期末）如图，已知∠AOB=∠COD=90°，∠BOC=2∠AOD．

（1）求∠BOC的度数；
（2）若射线OA绕点O以每秒旋转10°的速度顺时针旋转，同时射线OD以每秒旋转5°的速度逆时针旋转，设旋转的时间为t秒0 （3）若∠AOC绕点O以每秒旋转5°的速度逆时针旋转，同时∠BOD绕点O以每秒旋转10°的速度逆时针旋转，设旋转的时间为t秒0 【思路点拨】
（1）设∠AOD=x，从而可得∠AOC=∠BOD=90°−x，再根据角的和差可得∠BOC=180°−x，然后根据∠BOC=2∠AOD建立方程，解方程即可得；
（2）先分别求出射线OA与射线OD重合时、射线OA旋转至射线OD的初始位置时、射线OD旋转至射线OA的初始位置时t的值，再分三种情况讨论，分别建立方程，解方程即可得；
（3）先判断出在旋转的过程中，∠BOD一定在∠AOC的后面，再求出旋转t秒后，∠AOB,∠COD,∠BOC的度数，然后根据角平分线的定义求出∠BOM,∠CON的度数，最后根据∠MON=∠BOC−∠BOM−∠CON即可得出结论．
【解题过程】
（1）解：设∠AOD=x，
∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOC=∠BOD=90°−x，
∴∠BOC=∠AOB+∠AOC=180°−x，
又∵∠BOC=2∠AOD，
∴180°−x=2x，
解得x=60°，
则∠BOC=180°−x=180°−60°=120°．
（2）解：当射线OA与射线OD重合时，
则10°t+5°t=60°，解得t=4，
当射线OA旋转至射线OD的初始位置时，t=60°10°=6，
当射线OD旋转至射线OA的初始位置时，t=60°5°=12，
因此，分以下三种情况：
①当0 ②当4 ③当6 综上，当∠AOD=15°时t的值为3或5．
（3）解：当∠AOC与∠BOD重合时，
则10°t−5°t=90°，解得t=18>12，
∴当0 ∴旋转t秒后，∠AOB=5°t+90°−10°t=90°−5°t，∠COD=5°t+90°−10°t=90°−5°t，∠BOC=5°t+120°−10°t=120°−5°t，
∵OM平分∠AOB，ON平分∠COD，
∴∠BOM=12∠AOB=45°−5°2t，∠CON=12∠COD=45°−5°2t，
∴∠MON=∠BOC−∠BOM−∠CON
=120°−5°t−(45°−5°2t)−(45°−5°2t)
=30°，
即在旋转的过程中，∠MON的度数不发生改变，其值为30°．
19．（2021·吉林白山·七年级期末）如果两个角的差的绝对值等于90°，就称这两个角互为垂角，例如：∠1＝120°，|∠1﹣∠2|＝90°，则∠1和∠2互为垂角．(本题中所有角都是指大于0°且小于180°的角)

（1）如图1所示，O为直线AB上一点，∠AOC＝90°，则∠AOD垂角为 　 　和 　 　；
（2）如果一个角的垂角等于这个角的补角的23 ，求这个角的度数；
（3）如图2所示，O为直线AB上一点，∠AOC＝90°，∠BOD＝30°，且射线OC绕点O以9°/s的速度逆时针旋转，射线OD绕点O以6°/s的速度顺时针旋转，两条射线OC、OD同时运动，运动时间为ts(0＜t＜20)，试求当t为何值时，∠AOC和∠AOD互为垂角．
【思路点拨】
（1）根据互为垂角的定义即可求解；
（2）利用题中的“一个角的垂角等于这个角的补角的23”作为等量关系列方程求解；
( 3 )根据所有角都是指大于0且小于180°的角，可分0＜t＜5，5＜t＜10，10＜t＜20三种情况讨论，并建立相应的方程求解后可得符合题意的t的值．
【解题过程】
解：（1）∵∠AOC＝90°，∠EOD＝90°，
∴∠AOD﹣∠COD＝90°，∠AOD﹣∠AOE＝90°，
∴AOD的垂角是∠COD和∠AOE；
故答案为：∠COD，∠AOE；
（2）设这个角的度数为x度，则
①当0＜x＜90时，它的垂角是(90+x)度，根据题意得：
90+x＝23( 180﹣x )，
解得：x＝18；
②当90＜x＜180时，它的垂角是(x﹣90)度，根据题意得：
x﹣90＝23(180﹣x)，
解得：x＝126，
∴这个角的度数为18°或126°；
（3）分三种情况：
①当0＜t＜5时，∠AOC＝(90﹣9t)°，∠AOD＝(150+6t)°，
∴(150+6t)﹣(90﹣9t)＝90，
解得t＝2；
②当5＜t＜10时，∠AOC＝(90﹣9t )°，∠AOD＝(210﹣6t)°，
∴(210﹣6t)﹣(90﹣9t)＝90，
解得t＝﹣10(舍去)；
③当10＜t＜20时，∠AOC＝(9t﹣90)°，∠AOD＝(210﹣6t)°，
∴( 210﹣6t)﹣(9t﹣90)＝90，
解得：t＝14．
综上所述：t的值为2s或14s时，∠AOC和∠AOD互为垂角．
20．（2021·全国·七年级期末）【阅读理解】射线OC是∠AOB内部的一条射线，若∠COA=13∠AOB，则我们称射线OC是射线OA的“友好线”，例如，如图1，∠AOB=60°，∠AOC=∠COD=∠BOD=20°，则∠AOC=13∠AOB，称射线OC是射线OA的友好线：同时，由于∠BOD=13∠AOB，称射线OD是射线OB的友好线．

（1）如图2，∠AOB=120°，射线OM是射线OA的友好线，则∠AOM=________°；
（2）如图3，∠AOB=180°，射线OC与射线OA重合，并绕点O以每秒2°的速度逆时针旋转，射线OD与射线OB重合，并绕点O以每秒3゜的速度顺时针旋转，当射线OD与射线OA重合时，运动停止；
①是否存在某个时刻t（秒），使得∠COD的度数是40°，若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；
②当t为多少秒时，射线OC、OD、OA中恰好有一条射线是另一条射线的友好线．（直接写出答案）
【思路点拨】
（1）根据“友好线”的含义即可完成；
（2）①分两种情况：OC与OD相遇之前，根据180゜减去OC、OD旋转的角度的和等于40度列出方程即可；OC与OD相遇之后，根据OC、OD旋转的角度的和减去180゜等于40゜列出方程即可；
②分相遇前与相遇后两种情况：相遇前又分两种情况：OC是OA的“友好线”；OC是OD的“友好线”；相遇后也分两种情况：OD是OC的“友好线”；OD是OA的“友好线”；根据“友好线”的含义即可求得t的值．
【解题过程】
解：（1）∵射线OM是射线OA的“友好线”，且∠AOB=120°
∴∠AOM=13∠AOB=13×120°=40°
故答案为：40；
（2）射线OD与OA重合时，t=60（秒）
①存在
当∠COD的度数是40°时，∠AOC=(2t)°，∠BOD=(3t)°
有两种可能：
若在相遇之前，则180°−∠BOD−∠AOC=40°，即180−3t−2t=40，
∴t=28；
若在相遇之后，则∠BOD+∠AOC−180°=40°，即3t+2t−180=40，
∴t=44；
综上所述，当t=28秒或44秒时，∠COD的度数是40°．
②相遇之前：
（I）如图1，

OC是OA的“友好线”时，则∠AOC=13∠AOD，
即2t=13(180−3t)，
∴t=20
（II）如图2，

OC是OD的“友好线”时，则∠COD=13∠AOD，
即180−3t−2t=13(180−3t)，
∴t=30
相遇之后：
（III）如图3，

OD是OC的“友好线”时，则∠COD=13∠AOC
即3t+2t−180=13×2t，
∴t=54013
（Ⅳ）如图4，

OD是OA的“友好线”时，则∠AOD=13∠AOC
即180−3t=13×2t，
∴t=54011
所以，综上所述，当t=20，30，54013，54011时，OC、OD、OA中恰好有一条射线是另一条射线的“友好线”．
21．（2021·湖北黄石·七年级期末）将一副直角三角板ABC，AED，按如图1放置，其中B与E重合，∠BAC=45°，∠BAD=30°．

（1）如图1，点F在线段CA的延长线上，求∠FAD的度数；
（2）将三角板AED从图1位置开始绕A点逆时针旋转，AM，AN分别为∠BAE，∠CAD的角平分线．
①如图2，当AE旋转至∠BAC的内部时，求∠MAN的度数；
②当AE旋转至∠BAC的外部时，直接写出∠MAN的度数．
【解题过程】
（1）解：如图1，

∵∠BAC=45°，∠BAD=30°，
∴∠DAC=45°−30°=15°，
∴∠FAD=180°−15°=165°．
（2）解：①如图2，

∵AM，AN分别为∠BAE，∠CAD的角平分线，
∴∠MAE=12∠BAE，∠NAC=12∠DAC，
∴∠MAN
=∠MAE+∠NAC+∠CAE
=12(∠BAE+∠DAC)+∠CAE
=12(∠BAC+∠DAE−2∠CAE)+∠CAE
=12(∠BAC+∠DAE)
=12×75°
=37.5°；
②如图3，当AE旋转至∠BAC的外部，且∠BAE＜180°时，

∵AM，AN分别为∠BAE，∠CAD的角平分线，
∴∠MAE=12∠BAE，∠NAC=12∠DAC，
∴∠MAN
=∠MAE+∠NAC−∠CAE
=12(∠BAE+∠DAC)−∠CAE
=12(∠BAC+∠DAE+2∠CAE)−∠CAE
=12(∠BAC+∠DAE)
=12×75°
=37.5°；
如图4，当AE旋转至∠BAC的外部，且180°＜∠BAE＜210°时，

∵AM，AN分别为∠BAE，∠CAD的角平分线，
∴∠MAE=12∠BAE，∠NAD=12∠DAC，
∴∠MAN
=∠MAE+∠NAD−∠DAE
=12(∠BAE+∠DAC)−∠DAE
=12(∠BAD+∠CAE+2∠DAE)−∠DAE
=12(∠BAD+∠DAE)
=12×360°−30°−45°
=142.5°；
如图5，当AE旋转至∠BAC的外部，且∠BAE＞210°时，

∵AM，AN分别为∠BAE，∠CAD的角平分线，
∴∠MAB=12∠BAE，∠NAD=12∠DAC，
∴∠MAN
=∠MAB+∠NAD−∠DAB
=12(∠BAE+∠DAC)−∠DAB
=12(∠BAC+∠DAE+2∠DAB)−∠DAB
=12(∠BAC+∠DAE)
=12×75°
=37.5°．
综上所述：∠MAN的值为37.5°或142.5°．
22．（2021·全国·七年级期末）已知：如图1，∠AOB=30°，∠BOC=34∠AOC．

（1）求∠AOC的度数；
（2）如图2，若射线OP从OA开始绕点O以每秒旋转10°的速度逆时针旋转，同时射线OQ从OB开始绕点O以每秒旋转6°的速度逆时针旋转；其中射线OP到达OC后立即改变运动方向，以相同速度绕O点顺时针旋转，当射线OQ到达OC时，射线OP，OQ同时停止运动．设旋转的时间为t秒，当∠POQ=10°时，试求t的值；
（3）如图3，若射线OP从OA开始绕O点逆时针旋转一周，作OM平分∠AOP，ON平分∠COP，试求在运动过程中，∠MON的度数是多少？（请直接写出结果）
【思路点拨】
（1）由题意可得，∠AOB=14∠AOC，可直接求解；
（2）由射线的运动可知，需要分两种情况讨论，①OP逆时针运动时，OP，OQ相遇前和相遇后；②OP顺时针旋转，OP，OQ相遇前和相遇后，分别画图求解即可；
（3）根据射线OP的运动，需要分四种情况，①当射线OP与OA重合前，②当射线OP与OA重合后，∠AOP=180°前，③∠CON=180°前，④OP与OQ重合前，画出图形，结合角平分线求解即可．
【解题过程】
（1）解：∠BOC=34∠AOC，∠BOC+∠AOB=∠AOC，
∴∠AOB=14∠AOC，
∵∠AOB=30°，
∴∠AOC=120°；
（2）由（1）知，∠AOC=120°，∠BOC=90°，
①OP逆时针运动时，即0≤t≤12时，

由OP，OQ的运动可知，∠AOP=10°t，∠BOQ=6°t，
OP，OQ相遇前，如图2（1），∠AOQ=∠AOP+∠POQ=∠AOB+∠BOQ，即10°t+10°=30°+6°t，解得t=5，
OP，OQ相遇后，如图2（2），∠AOP=∠AOB+∠BOQ+∠POQ，即10°t=30°+6°t+10°，解得t=10；
②OP顺时针旋转时，∠COP=10°t-120°，∠BOQ=6°t，

OP，OQ相遇前，如图（3），∠BOC=∠COP+∠BOQ+∠POQ，即90°=10°t-120°+6°t+10°，解得t=12.5，
OP，OQ相遇后，如图（4），∠BOC=∠COP+∠BOQ-∠POQ，即90°=10°t-120°+6°t-10°，解得t=13.75，
综上，当t的值为5，10，12.5或13.75时，∠POQ=10°．
（3）由（1）知∠AOC=120°，
根据射线OP的运动，需要分四种情况，
①当射线OP与OA重合前，如图3（1），
∵OM平分∠AOP，ON平分∠COP，
∴∠POM=12∠AOP，∠PON=12∠COP，
∴∠MON=∠POM+∠PON=12∠AOP+12∠COP=12∠AOC=60°；
②当射线OP与OA重合后，∠AOP=180°前，如图3（2），
∵OM平分∠AOP，ON平分∠COP，
∴∠POM=12∠AOP，∠PON=12∠COP，
∴∠MON=∠POM-∠PON=12∠AOP-12∠COP=12∠AOC=60°；

③∠CON=180°前，如图3（3），
∵OM平分∠AOP，ON平分∠COP，
∴∠POM=12∠AOP，∠PON=12∠COP，
∴∠MON=∠POM+∠PON=12∠AOP+12∠COP=12（360°-∠AOC）=120°；
④OP与OQ重合前，如图3（4），

∵OM平分∠AOP，ON平分∠COP，
∴∠POM=12∠AOP，∠PON=12∠COP，
∴∠MON=∠PON-∠POM=12∠COP+12∠AOP=12∠AOC=60°；
综上，∠MON的度数为60°或120°．
23．（2021·四川成都·七年级期末）已知∠AOB=90°，∠COD=80°，OE是∠AOC的角平分线．

（1）如图1，当∠AOD=13∠AOB时，求∠DOE；
（2）如图2，若OD在∠AOB内部运动，且OF是∠AOD的角平分线时，求∠AOE−∠DOF的值；
（3）在（1）的条件下，若射线OP从OE出发绕O点以每秒10°的速度逆时针旋转，射线OQ从OD出发绕O点以每秒6°的速度顺时针旋转，若射线OP、OQ同时开始旋转t秒(0 【思路点拨】
（1）由已知条件结合角的和差关系依次求解∠AOD,∠BOD,∠BOC,∠AOC, 再利用角平分线的定义求解∠AOE, 利用∠DOE=∠AOE−∠AOD，从而可得结论；
（2）设∠BOC=m°,由已知条件结合角的和差关系依次表示∠AOC,∠BOD,∠AOD, 再结合角平分线分别表示：∠AOE,∠DOF，从而可得答案；
（3）分三种情况讨论，当0＜t≤5时，当5＜t≤ 5.5时，当5.5＜t＜23.5时，再利用角的和差分别表示∠COP,∠AOQ，再利用∠COP=43∠AOQ列方程可得答案．
【解题过程】
解：（1）如图1，∵ ∠AOD=13∠AOB，∠AOB=90°，
∴∠AOD=30°， ∠BOD=∠AOB−∠AOD=60°，
∵∠COD=80°，
∴∠BOC=∠COD−∠BOD=80°−60°=20°，
∴∠AOC=∠AOB+∠BOC=90°+20°=110°，
∵ OE是∠AOC的角平分线，
∴∠AOE=∠COE=12∠AOC=55°，

∴∠DOE=∠AOE−∠AOD=55°−30°=25°.
（2）如图2，设∠BOC=m°,
∵∠AOB=90°，∠COD=80°， ∠BOC=m°,
∴∠AOC=(90+m)°, ∠BOD=(80−m)°,
∴∠AOD=∠AOB−∠BOD=90°−(80−m)°=(10+m)°,
∵OF是∠AOD的角平分线，
∴∠DOF=12∠AOD=12(10+m)°=(5+12m)°,
∵ OE是∠AOC的角平分线，
∴∠AOE=∠COE=(45+12m)°,

∴∠AOE−∠DOF=(45+12m)°−(5+12m)°=40°.
（3）由（1）得：∠COE=55°，∠AOD=30°,
又OP旋转的角度为10t°, OQ旋转的角度为6t°,
OP与OC重合时，t=5510=5.5s, OQ与OA重合时，t=306=5s，
如图3，当0＜t≤5时，
∠COP=(55−10t)°, ∠AOQ=(30−6t)°,
∵ ∠COP=43∠AOQ，
∴55−10t=43(30−6t),

∴t=7.5（不合题意舍去）
当5＜t≤ 5.5时，如图4，

同理可得：∠COP=(55−10t)°, ∠AOQ=(6t−30)°,
∵ ∠COP=43∠AOQ，
∴55−10t=43(6t−30),
∴t=9518,
经检验：t=9518s符合题意，
如图5，当5.5＜t＜23.5时，

当t=23.5时，OP旋转235°, OQ旋转141°，
从而同理可得：∠POC=(10t−55)°,∠AOQ=(6t−30)°,
∵ ∠COP=43∠AOQ，
∴10t−55=43(6t−30),
∴t=7.5,
经检验：t=7.5s符合题意，
综上：当t=9518s或t=7.5s时，∠COP=43∠AOQ．
24．（2021·陕西宝鸡·七年级期末）以直线AB上一点O为端点作射线OC，使∠BOC=40°，将一个直角角板的直角顶点放在O处，即∠DOE=90°．

（1）如上图1，若直角三角板DOE的一边OE放在射线OA上，则∠COD=_______；
（2）如上图2，将直角三角板DOE绕点O顺时针转动到某个位置，
①若OE恰好平分∠AOC，则∠COD=_______；
②若OD在∠BOC内部，请直接写出∠BOD与∠COE有怎样的数量关系；
（3）将直角三角板DOE绕点O顺时针转动（OD与OB重合时为停止）的过程中，恰好有∠COD=13∠AOE，求此时∠BOD的度数．
【思路点拨】
（1）利用余角的定义可求解；
（2）①由平角的定义及角平分线的定义求解∠COE的度数，进而可求解；
②由∠COD＝∠BOC−∠BOD，∠COD＋∠COE＝90°，结合∠BOC的度数可求解；
（3）可分两种情况：①当∠COD在∠BOC的内部时，②当∠COD在∠BOC的外部时，根据角的和差可求解．
【解题过程】
解：（1）由题意得∠BOD＝90°，
∵∠BOC＝40°，
∴∠COD＝90°−40°＝50°，
故答案为50°；
（2）①∵∠AOC＋∠BOC＝180°，∠BOC＝40°，
∴∠AOC＝180°−40°＝140°，
∵OE平分∠AOC，
∴∠COE＝12∠AOC＝70°，
∵∠DOE＝90°，
∴∠COD＝90°−70°＝20°，
故答案为20°；
②∵∠COD＝∠BOC−∠BOD，∠COD＋∠COE＝90°，
∴∠BOC−∠BOD＋∠COE＝90°，
∴∠COE−∠BOD＝90°−∠BOC，
∵∠BOC＝40°，
∴∠COE−∠BOD＝90°−40°＝50°，
∴∠BOD与∠COE数量关系为：∠COE−∠BOD=50°．
（3）①当∠COD在∠BOC的内部时，

∵∠COD=∠BOC−∠BOD，而∠BOC=40°
∴∠COD=40°−∠BOD
∵∠AOE+∠EOD+∠BOD=180°,∠EOD=90°
∴∠AOE=90°−∠BOD，
又∵∠COD=13∠AOE，
∴40°−∠BOD=1390°−∠BOD，
∴∠BOD=15°；
②当∠COD在∠BOC的外部时，

∵∠COD=∠BOD−∠BOC，而∠BOC=40°，
∴∠COD=∠BOD−40°，
∵∠AOE+∠EOD−∠BOD=180°,∠EOD=90°
∴∠AOE=90°−∠BOD
又∵∠COD=13∠AOE，
∴∠BOD−40°=1390°−∠BOD，
∴∠BOD=52.5°，
综上所述：∠BOD的度数为15°或52.5°．
25．（2021·重庆南开中学七年级期末）已知∠AOB=150°，OD为∠AOB内部的一条射线．
（1）如图（1），若∠BOC=60°，OD为∠AOB内部的一条射线，∠COD=13∠BOC，OE平分∠AOB，求∠DOE的度数；
（2）如图（2），若OC、OD是∠AOB内部的两条射线，OM、ON分别平分∠AOD，∠BOC，且∠MOC≠∠NOD，求∠AOC−∠BOD∠MOC−∠NOD的值；
（3）如图（3），C1为射线OB的反向延长线上一点，将射线OB绕点O顺时针以6°/s的速度旋转，旋转后OB对应射线为OB1，旋转时间为t秒（0＜t„35），OE平分∠AOB1，OF为∠C1OB1的三等分线，∠C1OF=13∠C1OB1，若∠C1OF−∠AOE=30°，直接写出t的值为_________．

【思路点拨】
（1）先根据当OD在∠BOC内部时，当OD在∠AOC内部时，求出∠BOD的度数，再根据角平分线的定义求出∠BOE，然后根据角的和差即可得；
（2）设∠AOD=2x,∠BOC=2y，先根据角平分线的定义得出∠AOM=∠MOD=x,∠BON=∠NOC=y，再根据角的和差化简所求式子的分子分母即可得；
（3）先依题意，找到两个临界位置：OB1在AO的反向延长线上；OB1与OC1重合；然后根据角平分线的定义、角的和差倍分求解即可得．
【解题过程】
解：（1）如图1，当OD在∠BOC内部时，

∵∠COD=13∠BOC,∠BOC=60°，
∴∠BOD=23∠BOC=23×60°=40°，
∵OE平分∠AOB，∠AOB=150°，
∴∠BOE=12∠AOB=12×150°=75°，
∴∠DOE=∠BOE−∠BOD=75°−40°=35°；
当OD在∠AOC内部时，

∵∠BOC=60°，∠COD=13∠BOC=20°，
∴∠BOD=∠BOC+∠COD=80°，
∵OE平分∠AOB，∠AOB=150°，
∴∠BOE=12∠AOB=12×150°=75°，
∴∠DOE=∠BOD−∠BOE=80°−75°=5°；
（2）设∠AOD=2x,∠BOC=2y，

则∠AOM=∠MOD=x,∠BON=∠NOC=y，
∴∠AOC−∠BOD∠MOC−∠NOD=(∠AOD−∠COD)−(∠BOC−∠COD)(∠MOD−∠COD)−(∠NOC−∠COD)，
=∠AOD−∠BOC∠MOD−∠NOC，
=2x−2yx−y，
=2(x−y)x−y，
=2，
故∠AOC−∠BOD∠MOC−∠NOD的值为2；
（3）∵0 ∴射线OB旋转到OA即停止转动，
由题意得，∠BOB1=6°t，
∵OE平分∠AOB1，
∴∠AOE=12∠AOB1，
因0°<∠AOB1<180°,0°<∠C1OB1<180°，
则有两个临界位置：OB1在AO的反向延长线上，此时t=180°−150°6°=5(s)；
OB1与OC1重合，此时t=180°6°=30(s)，
因此，分以下三种情况分析：
如图3-1，

当0 则∠AOE=12∠AOB1=12(∠AOB+∠BOB1)=12(150°+6°t)=75°+3°t∠C1OF=13∠C1OB1=13(180°−∠BOB1)=13(180°−6°t)=60°−2°t，
∴∠C1OF−∠AOE=60°−2°t−(75°+3°t)=15°+5°t=30°，
解得t=3(s)，符合题设，
②如图3-2，

当5 则∠AOE=12∠AOB1=12(360°−∠AOB−∠BOB1)=12(360°−150°−6°t)=105°−3°t∠C1OF=13∠C1OB1=13(180°−∠BOB1)=13(180°−6°t)=60°−2°t，
∴∠C1OF−∠AOE=60°−2°t−(105°−3°t)=45°−1°t=30°，
解得t=15(s)，符合题设，
③如图3-3，当30
则∠AOE=12∠AOB1=12(360°−∠AOB−∠BOB1)=12(360°−150°−6°t)=105°−3°t∠C1OF=13∠C1OB1=13(6°t−180°)=2°t−60°，
∴∠C1OF−∠AOE=2°t−60°−(105°−3°t)=5°t−165°=30°，
解得t=39(s)或27(s)，均不符题设，舍去，
综上，t的值为3或15，
故答案为：3或15．
26．（2021·全国·七年级期末）平面内一定点A在直线CD的上方，点O为直线CD上一动点，作射线OA,OE,OA′，当点O在直线CD上运动时，始终保持∠COE＝90°，∠AOE=∠A′OE，将射线OA绕点O顺时针旋转75°得到射线OB．

（1）如图1，当点O运动到使点A在射线OE的左侧时，若OB平分∠A′OE，求∠AOE的度数；
（2）当点O运动到使点A在射线OE的左侧时，且∠AOC=4∠A′OB时，求∠AOE的度数；
（3）当点O运动到某一时刻时，满足∠A′OB=120°，求出此时∠BOE的度数．
【思路点拨】
（1）设∠AOE的度数为x，由题意知∠A′OE＝x，∠EOB＝75°﹣x，根据2∠EOB＝∠A′OE列出方程，解之可得答案；
（2）分射线OB在∠A′OE内部和射线 OB在∠A′OE外部两种情况求解即可；
（3）OE在CD上方时，当∠A′OB＝120°时有两种图形，分别求解即可，同理OE在CD下方时，求上述两种情况下的角的补角即可，最后产生的答案共有四种情况．
【解题过程】
解：（1）设∠AOE的度数为x，
由题意知∠A′OE＝x，∠EOB＝75°﹣x，
∵OB平分∠A′OE，
∴2∠EOB＝∠A′OE，
∴2（75°﹣x）＝x，
解得x＝50，
答：∠AOE=50°；
（2）①如图2，当射线OB在∠A′OE内部时，设∠AOE的度数为y，

由题意知，∠A′OE＝y，∠EOB＝75°−y，
∵∠COE＝90°，
∴∠AOC＝90°−y，
∵∠AOC＝4∠A′OB，
∴∠A′OB＝14（90°−y），
∵∠A′OB+∠EOB＝∠A′OE，
∴14（90°−y）+75°−y＝y，
解得y=1303；
②如图3，当射线OB在∠A′OE外部时，设∠AOE的度数为y，

由题意知，∠A′OE＝y，∠EOB＝75°﹣y，
∵∠COE＝90°，
∴∠AOC＝90°﹣y，
∵∠AOC＝4∠A′OB，
∴∠A′OB＝14（90°﹣y），
∵∠AOE+∠A′OE+∠A′OB＝75°，
∴y+y+14（90°﹣y）＝75°，
解得y＝30，
综上可得：∠AOE的度数为1303°或30°；
（3）如图4，当∠A′OB＝120°时，

由图可得：∠A′OA＝∠A′OB﹣∠AOB＝120°﹣75°＝45°，
又∵∠AOE＝∠A′OE，
∴∠AOE＝22.5°，
∴∠BOE＝75°+22.5°＝97.5°；
如图5，当∠A′OB＝120°，

由图可得∠A′OA＝360°﹣120°﹣75°＝165°，
又∵∠A′OE＝∠AOE，
∴∠AOE＝82.5°，
∴∠BOE＝75°+82.5°＝157.5°；
当射线OE在CD下面时，如图6、图7，

可得到∠BOE=180°−157.5°=22.5°或∠BOE=180°−97.5°=82.5°，
综上，∠BOE的度数为157.5°或97.5°或22.5°或82.5°．
27．（2021·四川成都·七年级期末）【阅读理解】
定义：在一条直线同侧的三条具有公共端点的射线之间若满足以下关系，其中一条射线分别与另外两条射线组成的角恰好满足2倍的数量关系，则称该射线是另外两条射线的“双倍和谐线”．如图1，点P在直线l上，射线PR，PS，PT位于直线l同侧，若PS平分∠RPT，则有∠RPT＝2∠RPS，所以我们称射线PR是射线PS，PT的“双倍和谐线”．

【迁移运用】
（1）如图1，射线PS　　（选填“是”或“不是”）射线PR，PT的“双倍和谐线”；射线PT　　（选填“是”或“不是”）射线PS，PR的“双倍和谐线”；
（1）如图2，点O在直线MN上，OA⊥MN，∠AOB＝40°，射线OC从ON出发，绕点O以每秒4°的速度逆时针旋转，运动时间为t秒，当射线OC与射线OA重合时，运动停止．
①当射线OA是射线OB，OC的“双倍和谐线”时，求t的值；
②若在射线OC旋转的同时，∠AOB绕点O以每秒2°的速度逆时针旋转，且在旋转过程中，射线OD平分∠AOB．当射线OC位于射线OD左侧且射线OC是射线OM，OD的“双倍和谐线”时，求∠CON的度数．
【思路点拨】
（1）利用“双倍和谐线”的意义结合图形进行判断即可；
（2）①由题意得：∠AOC=90°-4°t，∠AOB=40°，利用分类讨论的思想方法分∠AOC=2∠AOB或∠AOB=2∠AOC两种情况讨论解答，依据上述等式列出方程，解方程即可求得结论；
②由题意得：∠CON=4°t，∠AON=90°+2°t，∠AOD=20°，∠DON=∠AON-∠AOD=70°+2°t，利用分类讨论的思想方法分∠COM=2∠COD或∠COD=2∠COM两种情况讨论解答，依据上述等式列出方程，解方程即可求得结论．
【解题过程】
（1）解：∵PS平分∠RPT，
∴∠RPS=∠TPS，
∴射线PS不是射线PR，PT的“双倍和谐线”；
∵PS平分∠RPT，
∴∠TPR=2∠TPS．
∴射线PT是射线PS，PR的“双倍和谐线”．
故答案为：不是；是；
（2）①由题意得：∠AOC=90°-4°t，∠AOB=40°．
∵射线OA是射线OB，OC的“双倍和谐线”，
∴∠AOC=2∠AOB或∠AOB=2∠AOC．
当∠AOC=2∠AOB时，如图，

则：90-4t=2×40．
解得：t=52，
当∠AOB=2∠AOC时，如图，

则：40=2（90-4t）．
解得：t=352，
综上，当射线OA是射线OB，OC的“双倍和谐线”时，t的值为52或352；
②由题意得：∠CON=4°t，∠AON=90°+2°t，∠AOD=20°，∠DON=∠AON-∠AOD=70°+2°t．
∵当射线OC与射线OA重合时，运动停止，
∴此时∠AON=∠CON．
∴90+2t=4t．
∴t=45．
∴当t=45秒时，运动停止，此时∠AON=180°．
∵射线OC位于射线OD左侧且射线OC是射线OM，OD的“双倍和谐线”，
∴∠COM=2∠COD或∠COD=2∠COM．
当∠COM=2∠COD时，如图，

即：180°-∠CON=2（∠CON-∠DON），
则：180-4t=2（4t-70-2t）．
解得：t=40．
∴∠CON=4°×40=160°．
当∠COD=2∠COM时，如图，

即：∠CON-∠DON=2（180°-∠CON）．
则：4t-（70+2t）=2（180-4t）．
解得：t=43．
∴∠CON=4°×43=172°．
综上，当射线OC位于射线OD左侧且射线OC是射线OM，OD的“双倍和谐线”时，∠CON的度数为160°或172°．
28．（2021·江苏·射阳县实验初级中学七年级期末）【感受新知】
如图1，射线OC在∠AOB在内部，图中共有3个角：∠AOB、∠AOC和∠BOC，若其中一个角的度数是另一个角度数的三倍，则称射线OC是∠AOB的“和谐线”．[注：本题研究的角都是小于平角的角．]

（1）一个角的角平分线_______这个角的“和谐线”．（填是或不是）
（2）如图1，∠AOB=60°，射线OC是∠AOB的“和谐线”，求∠AOC的度数．
【运用新知】
（3）如图2，若∠AOB＝90°，射线OM从射线OA的位置开始，绕点O按逆时针方向以每秒15°的速度旋转，同时射线ON从射线OB的位置开始，绕点O按顺时针方向以每秒7.5°的速度旋转，当一条射线回到出发位置的时候，整个运动随之停止，旋转的时间为t（s），问：当射线OM、ON旋转到一条直线上时，求t的值．
【解决问题】
（4）在（3）的条件下，请直接写出当射线ON是∠BOM的“和谐线”时t的值．
【思路点拨】
（1）结合“和谐线”和角平分线的定义，即可得到答案；
（2）分四种情况讨论，由“和谐线”的定义，列出方程可求∠AOC的度数；
（3）根据题意，分三种情况讨论，列出方程可求t的值；
（4）根据题意，分四种情况进行讨论，列出方程，分别解方程，即可求出t的值．
【解题过程】
解：（1）∵一个角的平分线平分这个角，且这个角是所分两个角的2倍，
∴一个角的角平分线不是这个角的“和谐线”；
故答案为：不是；
（2）根据题意，
∵∠AOB=60°，射线OC是∠AOB的“和谐线”，
可分为四种情况进行分析：
①当∠AOB=3∠AOC=60°时，
∴∠AOC=20°；
②当∠AOB=3∠BOC=60°时，
∴∠BOC=20°，
∴∠AOC=40°；
③当∠AOC=3∠BOC时，
∵∠AOC+∠BOC=∠AOB=60°，
∴∠AOC=45°；
④当∠BOC=3∠AOC时，
∵∠AOC+∠BOC=∠AOB=60°，
∴∠AOC=15°；
（3）由题意得，∵360°÷15°=24（秒），
∴运动时间范围为：0＜t≤24，则有
①当OM与ON第一次成一个平角时，
90+15t+7.5t=180，
解得：t=4（秒）；
②当OM与ON成一个周角时，
90+15t+7.5t=360，
解得：t=12（秒）；
③当OM与ON第二次成一个平角时，
90+15t+7.5t=180+360，
解得：t=20（秒）
综上，t的值为4或12或20秒；
（4）当OM与OB在同一条直线上时，有
t=(180°−90°)÷15°=6（秒），
当OM与ON成一个周角时，有t=12，
∴6≤t≤12；
根据“和谐线”的定义，可分为四种情况进行分析：
①当∠MON=3∠BON时，如图：

∵∠MON=360°−90°−15t−7.5t，∠BON=7.5t，
∴360°−90°−15t−7.5t=3×7.5t，
解得：t=6；
②当∠BOM=3∠BON时，如图：

∵∠BOM=360°−90°−15t，∠BON=7.5t，
∴360°−90°−15t=3×7.5t，
解得：t=7.2；
③当∠BOM=3∠MON时，如图：

∵∠BOM=360°−90°−15t，∠MON=(360°−90°)−(15t+7.5t)=270°−22.5t，
∴360°−90°−15t=3×(270−22.5t)，
解得：t=727；
④当∠BON=3∠MON时，如图：

∵∠BON=7.5t，∠MON=270°−22.5t，
∴7.5t=3×(270−22.5t)，
解得：t=10.8；
29．（2021·湖北武汉·七年级期末）【学习概念】 如图1，在∠AOB的内部引一条射线OC，则图中共有3个角，分别是∠AOB、∠AOC和∠BOC．若其中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线OC是∠AOB的“好好线”．
【理解运用】
（1）①如图2，若∠MPQ＝∠NPQ，则射线PQ ∠MPN的“好好线”（填“是”或“不是”）；
②若∠MPQ≠∠NPQ，∠MPQ＝α，且射线PQ是∠MPN的“好好线”，请用含α的代数式表示∠MPN；
【拓展提升】
（2）如图3，若∠MPN＝120°，射线PQ绕点P从PN位置开始，以每秒12°的速度逆时针旋转，旋转的时间为t秒．当PQ与PN成110°时停止旋转．同时射线PM绕点P以每秒6°的速度顺时针旋转，并与PQ同时停止． 当PQ、PM其中一条射线是另一条射线与射线PN的夹角的“好好线”时，则t＝ 秒．

【思路点拨】
（1）①根据新定义的理解，即可得到答案；
②根据题意，可分为两种情况：当∠MPQ=2∠QPN时；当∠QPN=2∠MPQ时；分别求出∠MPN即可；
（2）根据题意，设运用的时间为t秒，则PM运用后有∠NPQ=12t，∠MPN=120−6t，然后对PM和PQ的运动情况进行分析，可分为四种情况进行分析，分别求出每一种情况的运动时间，即可得到答案．
【解题过程】
解：（1）①如图，若∠MPQ＝∠NPQ，


∴∠MPN=2∠NPQ=2∠MPQ，
∴射线PQ是∠MPN的“好好线”；
②∵射线PQ是∠MPN的“好好线”
又∵ ∠MPQ≠∠NPQ
∴此题有两种情况
Ⅰ．如图1，当∠MPQ=2∠QPN时

∵∠MPQ=α
∴∠QPN=12α
∴∠MPN=∠MPQ+∠QPN=32α；
Ⅱ．如图2，当∠QPN=2∠MPQ时

∵∠MPQ=α
∴∠QPN=2α
∴∠MPN=∠MPQ+∠QPN=3α
综上所述：∠MPN=32α或∠MPN=3α．
（2）根据题意，PM运动前∠MPN＝120°，
设运用的时间为t秒，则PM运用后有
∠NPQ=12t，∠MPN=120−6t，
①当∠MPQ=2∠NPQ时，如图：

∴120−6t−12t=2×12t，
解得：t=207；
②当∠MPQ=∠NPQ，即∠MPN=2∠NPQ时，如图：

∴120−6t=2×12t，
解得：t=4；
③当∠NPQ=2∠MPQ，如图：

∴12t=2×(120−6t−12t)，
解得：t=5；
④当∠MPN=2∠MPQ，如图：

∵∠MPN=120−6t，∠MPQ=6t+12t−120，
∴120−6t=6t+12t−120，
解得：t=10；
∵t的最大值为：t=11012<10，
∴t=10不符合题意，舍去；
综合上述，t=207，4，5秒．
30．（2021·全国·七年级期末）如果两个角的差的绝对值等于60°，就称这两个角互为“伙伴角”，其中一个角叫做另一个角的“伙伴角”（本题所有的角都指大于0°小于180°的角），例如∠1=80∘，∠2=20∘，|∠1−∠2|=60∘，则∠1和∠2互为“伙伴角”，即∠1是∠2的“伙伴角”，∠2也是∠1的“伙伴角”．

（1）如图1．O为直线AB上一点，∠AOC=∠EOD=90∘，∠AOE=60∘，则∠AOE的“伙伴角”是_______________．
（2）如图2，O为直线AB上一点，∠AOC=30∘，将∠BOC绕着点O以每秒1°的速度逆时针旋转得∠DOE，同时射线OP从射线OA的位置出发绕点O以每秒4°的速度逆时针旋转，当射线OP与射线OB重合时旋转同时停止，若设旋转时间为t秒，求当t何值时，∠POD与∠POE互为“伙伴角”．
（3）如图3，∠AOB=160∘，射线OI从OA的位置出发绕点O顺时针以每秒6°的速度旋转，旋转时间为t秒(0 【思路点拨】
（1）按照“伙伴角”的定义写出式子，解方程即可求解；
（2）通过时间t把∠AOI与∠POI表示出来，根据∠AOI与∠POI互为“伙伴角”，列出方程，解出时间t；
（3）根据OI在∠AOB的内部和外部以及∠AOP和∠AOI的大小分类讨论，分别画出对应的图形，由旋转得出经过t秒旋转角的大小，角的和差，利用角平分线的定义分别表示出∠AOI和∠POI及“伙伴角”的定义求出结果即可．
【解题过程】
解：（1）

∵两个角差的绝对值为60°，
则此两个角互为“伙伴角”，
而∠AOE=60∘，∴设其伙伴角为∠x，
|∠AOE−∠x|=60∘，
则∠x=120∘，
由图知∠EOB=120∘，∴∠AOE的伙伴角是∠EOB．
（2）
∵∠BOC绕O点，
每秒1°逆时针旋转得∠DOE，
则t秒旋转了t∘，
而OP从OA开始逆时针绕O旋转且每秒4°，
则t秒旋转了4t∘，
∴此时∠POD=∠POC−∠COD
=30∘+4t−t∘
=30∘+3t∘，
∠POE=∠POB+∠BOE
=180∘−4t∘+t∘
=180∘−3t∘，
又OP与OB重合时旋转同时停止，
∴4t∘⩽180∘，
t⩽45（秒），
又∠POD与∠POE互为伙伴角，
∴|∠POD−∠POE|=60∘，
∴|30∘+3t∘−180∘+3t∘|=60∘，
∴|6t∘−150∘|=60∘，
t=35秒或15秒．
答：t为35或15时，∠POD与∠POE互为伙伴角．
（3）①若OI在∠AOB的内部且OI在OP左侧时，即∠AOP＞∠AOI，如下图所示

∵OI从OA出发绕O顺时针每秒6°旋转，则t秒旋转了6t∘，
∴∠AOI=6t°，
∵OM平分∠AOI，
∴∠AOM=∠IOM=12∠AOI=3t°
此时6t＜160
解得：t＜803
∵射线ON平分∠BOI，
∴∠ION=12∠BOI
∴∠MON=∠IOM＋∠ION=12（∠AOI＋∠BOI）=12∠AOB=80°
∵射线OP平分∠MON
∴∠POM=12 ∠MON=40°
∴∠POI=∠POM－∠IOM=40°－3t
根据题意可得|∠AOI−∠POI|=60∘
即|6t−(40−3t)|=60
解得：t=1009或−209（不符合实际，舍去）
∴此时∠AOI=6×1009=(2003)°
∠AOP=∠AOM＋∠MOP=（3×1009）°＋40°=(2203)°＞∠AOI，符合前提条件
∴t=1009符合题意；
②若OI在∠AOB的内部且OI在OP右侧时，即∠AOP＜∠AOI，如下图所示

∵OI从OA出发绕O顺时针每秒6°旋转，则t秒旋转了6t∘，
∴∠AOI=6t°，
∵OM平分∠AOI，
∴∠AOM=∠IOM=12∠AOI=3t°
此时6t＜160
解得：t＜803
∵射线ON平分∠BOI，
∴∠ION=12∠BOI
∴∠MON=∠IOM＋∠ION=12（∠AOI＋∠BOI）=12∠AOB=80°
∵射线OP平分∠MON
∴∠POM=12 ∠MON=40°
∴∠POI=∠IOM－∠POM =3t－40°
根据题意可得|∠AOI−∠POI|=60∘
即|6t−(3t−40)|=60
解得：t=203或−1003（不符合实际，舍去）
∴此时∠AOI=6×203=40°
∠AOP=∠AOM＋∠MOP=（3×203）°＋40°=60°＞∠AOI，不符合前提条件
∴t=203不符合题意，舍去；
③若OI在∠AOB的外部但OI运动的角度不超过180°时，如下图所示

∵OI从OA出发绕O顺时针每秒6°旋转，则t秒旋转了6t∘，
∴∠AOI=6t°，
∵OM平分∠AOI，
∴∠AOM=∠IOM=12∠AOI=3t°
此时160<6t≤180
解得：803＜t≤30
∵射线ON平分∠BOI，
∴∠ION=12∠BOI
∴∠MON=∠IOM－∠ION=12（∠AOI－∠BOI）=12∠AOB=80°
∵射线OP平分∠MON
∴∠POM=12 ∠MON=40°
∴∠POI=∠IOM－∠POM =3t－40°
根据题意可得|∠AOI−∠POI|=60∘
即|6t−(3t−40)|=60
解得：t=203（不符合前提条件，舍去）或−1003（不符合实际，舍去）
∴此时不存在t值满足题意；
④若OI运动的角度超过180°且OI在OP右侧时，即∠AOI＞∠AOP如下图所示

此时6t>180
解得： t＞30
∵OI从OA出发绕O顺时针每秒6°旋转，则t秒旋转了6t∘，
∴∠AOI=360°−6t，
∵OM平分∠AOI，
∴∠AOM=∠IOM=12∠AOI=180°－3t
∵射线ON平分∠BOI，
∴∠ION=12∠BOI
∴∠MON=∠IOM＋∠ION=12（∠AOI＋∠BOI）=12（360°－∠AOB）=100°
∵射线OP平分∠MON
∴∠POM=12 ∠MON=50°
∴∠POI=∠IOM－∠POM =130°－3t
根据题意可得|∠AOI−∠POI|=60∘
即|(360−6t)−(130−3t)|=60
解得：t=1703（不符合0 ∴此时不存在t值满足题意；
⑤若OI运动的角度超过180°且OI在OP左侧时，即∠AOI＜∠AOP，如下图所示

此时6t>180
解得： t＞30
∵OI从OA出发绕O顺时针每秒6°旋转，则t秒旋转了6t∘，
∴∠AOI=360°−6t，
∵OM平分∠AOI，
∴∠AOM=∠IOM=12∠AOI=180°－3t
∵射线ON平分∠BOI，
∴∠ION=12∠BOI
∴∠MON=∠IOM＋∠ION=12（∠AOI＋∠BOI）=12（360°－∠AOB）=100°
∵射线OP平分∠MON
∴∠POM=12 ∠MON=50°
∴∠POI=∠POM－∠IOM =3t－130°
根据题意可得|∠AOI−∠POI|=60∘
即|(360−6t)−(3t−130)|=60
解得：t=4309或5509（不符合0 ∴此时∠AOI=360°－6×4309=(2203)°
∠AOP=∠AOM＋∠MOP=180°－（3×4309）°＋50°=(2603)°＞∠AOI，符合前提条件
∴t=4309符合题意；
综上：当t=1009或4309时，∠AOI与∠POI互为“伙伴角”．