【中考一轮专项复习】2023年中考数学通用版培优专项训练 01 线段双中点（原卷版+解析版）

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模型知识总结
◎【结论1】如图，已知OP为∠AOB内一条射线，OM平分∠BOP，ON平分∠AOP，则∠MON= ∠AOB


【证明】∵OM平分∠BOP，ON 平分∠AOP，
∴∠POM= ∠BOP，∠PON= ∠AOP，
∴∠MON=∠POM+∠PON=∠BOP+ ∠AOP
=（∠BOP+ ∠AOP）=∠AOB
【奇思妙想消消消：等号左边∠POM，∠PON消掉共同字母P,得∠MON。
等号右边 ∠BOP，∠AOP消掉共同字母P，得∠AOB】
◎【结论2】如图，已知OP为∠AOB外一条射线，OM平分∠BOP，ON平分∠AOP，则∠MON=∠AOB

【证明】∵OM 平分∠BOP，ON平分∠AOP，
∴∠POM= ∠BOP，∠PON= ∠AOP，
∴∠MON=∠POM-∠PON=∠BOP-∠AOP
=（∠BOP-∠AOP）=∠AOB
【奇思妙想消消消：等号左边∠POM，∠PON消掉共同字母P,得∠MON。
等号右边 ∠BOP，∠AOP消掉共同字母P，得∠AOB】
1．（2022·全国·七年级专题练习）如图，OB平分∠AOD，OC平分∠BOD，∠AOC＝45°，则∠BOC＝（ ）
A．5°B．10°C．15°D．20°
2．（2022·全国·七年级课时练习）如图，∠AOB=120°，OC是∠AOB内部任意一条射线，OD，OE分别是∠AOC，∠BOC的角平分线，下列叙述正确的是（ ）
A．∠DOE的度数不能确定B．∠AOD=∠EOC
C．∠AOD+∠BOE=60°D．∠BOE=2∠COD
1．（2022·山东·万杰朝阳学校七年级阶段练习）如图，已知OC是∠AOB的平分线，OD是∠AOC的平分线，且∠AOD=30°，则∠AOB的度数为_______．
2．（2022·黑龙江·哈尔滨市第四十九中学校期中）如图，平分，OE平分，则的度数为_______．
3．（2022·重庆彭水·七年级期末）如图，已知，，OB平分，OD平分，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·全国·七年级课时练习）把一副三角尺按如图所示拼在一起，如图，其中B，C，D三点在同一条直线上，∠ACB=45°，∠DCE=60°．
（1）若CM和CN分别平分∠ACB和∠DCE，如图1，则∠MCN的度数为___________；
（2）若CM平分∠BCE，CN平分∠DCA，如图2，则∠MCN的度数为___________．
1．（2019·山西·一模）已知中，射线在内部，是的平分线，是的平分线．
（1）若如图1，求的度数；
（2）若在（1）的基础上增加了，如图2，求的度数；
（3）若射线在的外部，如图3(与在直线的同侧)，求的度数．
2．（2019·四川南充·一模）已知是内部任意的一条射线，，分别是、的平分线.
（1）若，，求的度数；
（2）若，求的度数.
3．（2020·浙江杭州·模拟预测）如图所示，点，，在同一条直线上，，，是的平分线.
（1）求的度数；
（2）是的平分线吗？为什么？
（3）请直接写出图中所有与互余的角.