【中考一轮专项复习】2023年中考数学通用版培优专项训练 16 全等三角形 半角模型（原卷版+解析版）

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模型知识总结
一：正方形中的半角模型
【条件】如图①两个角共顶点，②其中一个角（45）是另一个角（90）的一半

【结论】①EF=BE+DF
①∶延长CB至点P，使得BP=DF 连接AP,
第一次全等 第二次全等
在△ABP和△ADF中 在△AEP和△AEF中
AB=AD（正方形边长相等） AP=AF
∠ABP=∠ADF=90º ∠PAE=∠FAE
BP=DF（构造） AE=AE
∴ △ABP≌△ADF（SAS） ∴△AEP≌△AEF（SAS）
∴AP=AF ，∠1=∠2 ∴PE=EF
∵∠2+∠3=45º 即PB+BE=EF
∴∠1+∠3=45º, ∴DF+BE =EF
∴∠PAE=∠FAE
②EA平分∠BEF，FA平分∠DFE
由①得： △AEP≌△AEF，
则∠4=∠5，∠AFE=∠P
又△APB≌△AFD，
∴∠P=∠AFD，
∴∠AFE=∠AFD
∴EA平分∠BEF，FA平分∠DFE
③△EFC的周长等于正方形边长的2倍

由①得：EF=BE+DF，
∴△EFC的周长＝EF+EC+CF＝BE+DF+EC+CF
=BC+DC，
∴△EFC的周长等于正方形边长的

④ 如图：作AM⊥EF,则AM=AB

过A作AM⊥EF，
则∠AME=∠B=90º。
由①得∠1=∠2，AE=AE，
∴△ABE≌△AME（AAS）
∴AM=AB
⑤ 如图：
∠EAF=45º，则EF²=BE²+FC²
【证明】 如图，过点A作AP⊥AF 且AP=AF.连接PE
∵∠CAB= ∠PAF=90º，∠1=∠2
第一次全等 第二次全等
在△ABP和△ACF中 在△AEP和△AEF中
AB=AC AP=AF
∠2=∠1 ∠PAE=∠FAE
AP=AF AE=AE
∴ △ABP≌△ACF（SAS） ∴△AEP≌△AEF（SAS）
∴BP=CF ，∠ABP=∠C=45º ∴PE=EF
∵∠EAF=45º 在Rt△PBE中，PE²=PB²+BE²
∴∠1+∠3=45º, 即EF²=CF²+BE²
∴∠2+∠3 =45º
eq \\ac(○,巧) eq \\ac(○,记) eq \\ac(○,口) eq \\ac(○,诀)
见半角，旋全角，盖半角，得半角。

二：等腰三角形中的半角模型
【条件】 如图，△ABC是等边三角形，△BDC 是等腰三角形，
且∠BDC=120°，∠MDN=60，

【结论】①MN= BM+CN;
②△MAN 的周长等于△ABC边长的 2 倍;
③MD是∠BMN的平分线，ND是∠CNM的平分线
【证明】∵△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°，
∴∠BCD=∠DBC=30°.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC = ∠BAC = ∠BCA=60°,
∴∠DBA= ∠DCA=90°.
延长 AB至点F，使BF=CN，连接DF，
如图.在△BDF 和△CDN 中，DB=DC,∠DBF=∠DCN,BF=CN,
∴△BDF≌△CDN(SAS），
∴∠BDF=∠CDN,∠F=∠CND,DF=DN.
∵∠MDN=60°, ∴∠BDM+∠CDN=60°,∴∠BDM+∠BDF=60°，
即∠FDM=60°=∠MDN.
在△DMN 和△DMF 中，DN=DF,∠MDN= ∠MDF, DM=DM,
∴△DMN≌△DMF（SAS），
∴ MN=MF=BM+CN,
∠F=∠MND=∠CND，∠FMD=∠DMN，
∴△AMN的周长是 AM＋AN＋MN=AM＋MB＋CN＋AN=AB＋AC=2边长.
三：对角互补且邻边相等的半角模型
【条件】如图，∠B＋∠D=180°，∠BAD= 2∠EAF，AB=AD，

【结论】①EF=BE+FD;
②EA 是∠BEF的平分线，FA是∠DFE的平分线.
1．（2022·山东·龙口市培基学校八年级期中）如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在边AB，BC上，若F是BC的中点，且∠EDF＝45°，则DE的长为 _____．
2．（2021·全国·九年级专题练习）在中，，点在边上，．若，则的长为__________．
1．（2022·浙江·南海实验学校旌旗山初中校区八年级期末）已知：边长为4的正方形ABCD，∠EAF的两边分别与射线CB、DC相交于点E、F，且∠EAF＝45°，连接EF．求证：EF＝BE+DF．
思路分析：
(1)如图1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°，
∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADE'，则F、D、E'在一条直线上，
∠E'AF＝ 度，……
根据定理，可证：△AEF≌△AE'F．
∴EF＝BE+DF．
类比探究：
(2)如图2，当点E在线段CB的延长线上，探究EF、BE、DF之间存在的数量关系，并写出证明过程；
拓展应用：
(3)如图3，在△ABC中，AB＝AC，D、E在BC上，∠BAC＝2∠DAE．若S△ABC＝14，S△ADE＝6，求线段BD、DE、EC围成的三角形的面积．
2．（2022·陕西西安·七年级期末）问题背景：
如图1，在四边形ABCD中，，，E、F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°，探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______．
实际应用：
如图2，在新修的小区中，有块四边形绿化ABCD，四周修有步行小径，且AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，在小径BC，CD上各修一凉亭E，F，在凉亭E与F之间有一池塘，不能直接到达，经测量得，BE＝10米，DF＝15米，试求两凉亭之间的距离EF．
3．（2022·江苏·八年级专题练习）问题情境
在等边△ABC的两边AB，AC上分别有两点M，N，点D为△ABC外一点，且∠MDN＝60°，∠BDC＝120°，BD＝DC．
特例探究
如图1，当DM＝DN时，
（1）∠MDB＝ 度；
（2）MN与BM，NC之间的数量关系为 ；
归纳证明
（3）如图2，当DM≠DN时，在NC的延长线上取点E，使CE＝BM，连接DE，猜想MN与BM，NC之间的数量关系，并加以证明．
拓展应用
（4）△AMN的周长与△ABC的周长的比为 ．
1．（1）如图①，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：__________；
（2）如图②，在四边形中，，，，分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；
（3）在四边形中，，，，分别是边，所在直线上的点，且．请画出图形（除图②外），并直接写出线段，，之间的数量关系．
2．如图，在等边三角形ABC中，点E是边AC上一定点，点D是直线BC上一动点，以DE为一边作等边三角形DEF，连接CF．
（1）如图1，若点D在边BC上，直接写出CE，CF与CD之间的数量关系；
（2）如图2，若点D在边BC的延长线上，请探究线段CE，CF与CD之间存在怎样的数量关系？并说明理由；
（3）如图3，若点D在边CB的延长线上，请直接写出CE，CF与CD之间的数量关系．