【中考一轮复习】2023年中考数学总复习学案——专题01 有理数（原卷版＋解析版）

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技巧1：实数大小比较的七种技巧
技巧2：实数与数轴的关系
技巧3：非负数应用的常见题型
【题型】一、求算术平方根 【题型】二、求平方根
【题型】三、求立方根 【题型】四、实数与数轴
【题型】五、实数比较大小
【题型】六、无理数的估值
【题型】七、非负数性质的应用
【题型】八、实数的运算
【考纲要求】
1、知道实数与数轴上的点一一对应．
2、了解平方根、算术平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根．
3、熟练掌握实数的运算，会用各种方法比较两个实数的大小.
【考点总结】一、实数的分类
【考点总结】二、平方根、算术平方根、立方根
【考点总结】三、实数的运算
【考点总结】五、实数的大小比较
1．在数轴上表示两个数的点，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大．
2．正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；两个负数比较，绝对值大的反而小．
3．取差比较法
(1)a－b＞0a＞b；(2)a－b＝0a＝b；(3)a－b＜0a＜B．
4．倒数比较法
若eq \f(1,a)＞eq \f(1,b)，a＞0，b＞0，则a＜B．
5．平方法：因为由a＞b＞0，可得eq \r(a)＞eq \r(b)，所以我们可以把eq \r(a)与eq \r(b)的大小问题转化成比较a和b的大小问题．
【注意】
1．比较实数大小的五种方法
（1）绝对值比较法：两个负数比较大小，绝大值大的反而小
（2）数轴比较法：在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大
（3）平方比较法：先将要平方的两个数分别平方，再根据a>0,b>0时，可由a2>b2得到a>b来比较大小。
（4）取近以值法：首先对要比较的两个数取近以值通过比较其近似值来比较两个数的大小，
（5）差值比较法
2．无理数常见的四种类型
（1）开不尽的数，如，
（2）含有π的绝大部分数，如π，
（3）具有特定结构的数，如0.10100000(两个1之间依次增加1个0)
（4）三角函数数中的一些数，如，，.
【技巧归纳】
技巧1：实数大小比较的七种技巧
【类型】一、比较绝对值法
1．比较－eq \r(5)－2与－eq \r(7)－2的大小．
【类型】二、开方法
2．比较7eq \f(1,2)与eq \r(56)的大小．
【类型】三、平方法或立方法
3．比较－eq \r(10)和－π的大小．
【类型】四、取近似值法
4．比较eq \r(5)＋2与4.3的大小．
【类型】五、放缩法
5．比较eq \r(6)＋2与eq \r(57)－2的大小．
【类型】六、作差法
6．比较eq \f(\r(13)－1,2)和eq \f(3,2)的大小．
【类型】七、特殊值法
7．已知－1＜x＜0，将x，eq \f(1,x)，x2，eq \r(3,x)按从小到大的顺序排列为 .
技巧2：实数与数轴的关系
【类型】一、利用数轴上的点表示实数
1．已知x2＝3，那么在数轴上x对应的点（如图）可能是（ ）
A．点P1 B．点P4
C．点P2或点P3 D．点P1或点P4
2．如图，在数轴上表示eq \r(15)的点可能是（ ）
A．点P B．点Q C．点M D．点N
【类型】二、利用数轴比较实数的大小
3．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，把－a，－b，0按照从小到大的顺序排列，正确的是（ ）
A．－a<0<－b B．0<－a<－b
C．－b<0<－a D．0<－b<－a
4．表示实数a，b的点在数轴上的位置如图所示，则a 0，b 0，|a| －b.（填“＞”或“＜”）
【类型】三、利用实数与数轴的关系进行计算
5．实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简：eq \r(a2)＋eq \r(（－b）2)－|a－eq \r(3)|－|eq \r(3)－b|＋|a－b|.
技巧3：非负数应用的常见题型
【类型】一、绝对值的非负性
1．如果一个数的绝对值为a，那么数a在数轴上（如图）对应的点不可能是（ ）
A．点M B．点O C．点P D．点N
2．如果|a－2|＋|b|＝0，那么a，b的值为（ ）
A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝3
C．a＝2，b＝0 D．a＝0，b＝2
【类型】二、偶次方的非负性
3．若（x＋3）2＝a－2，则a的值可以是（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
4．若x2＋（y－4）4＝0，求xy的值．
【类型】三、算术平方根的非负性
一、eq \r(a)中被开方数a≥0的应用
5．如果eq \r(1－a)＝b，那么a的取值范围是（ ）
A．a＞1 B．a＜1 C．a＝1 D．a≤1
6．已知x，y都是有理数，且y＝eq \r(x－3)＋eq \r(3－x)＋8，求x＋3y的立方根．
二、eq \r(a)≥0的应用
7．已知x，y是有理数，且eq \r(3x＋4)＋|y－3|＝0，则xy的值是（ ）
A．4 B．－4 C.eq \f(9,4) D．－eq \f(9,4)
8．已知eq \r(x＋3)＋eq \r(2y－4)＝0，求（x＋y）2 018的值．
三、算术平方根的双重非负性的应用
9．当x为何值时，eq \r(2x＋1)＋6 有最小值，最小值为多少？
10．若a＋eq \r(a－2)＝2，求eq \r(a＋2)的值．
【题型讲解】
【题型】一、求算术平方根
例1、若一个正方形的面积是12，则它的边长是（ ）
A．B．3C．D．4
【题型】二、求平方根
例2、的平方是（ ）
A．B．C．D．2
【题型】三、求立方根
例3、8的相反数的立方根是（ ）
A．2B．C．﹣2D．
【题型】四、实数与数轴
例4、实数、在数轴上的对应点的位置如图所示，下列式子成立的是( )
A．B．C．D．
【题型】五、实数比较大小
例5、在下列四个实数中，最小的数是（ ）
A．B．C．0D．
【题型】六、无理数的估值
例6、估计的值应在 （ ）
A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间
【题型】七、非负数性质的应用
例7、若实数x，y满足eq \r(x－2)＋(3－y)2＝0，则代数式xy－x2的值为__________．
【题型】八、实数的运算
例8、计算：(1)；
(2).
实数（达标训练）
一、单选题
1．（2022·湖南·邵阳县教育科学研究室模拟预测）如图，实数在数轴上的对应点可能是（ ）
A．A点B．B点C．C点D．D点
2．（2022·广东·深圳市宝安第一外国语学校三模）下列实数中，最大的数是( )
A．B．C．D．
3．（2022·陕西师大附中模拟预测）4的算术平方根是（ ）
A．B．C．2D．
4．（2022·广东北江实验学校三模）下列说法不正确的是（ ）
A．的平方根是B．的平方根是
C．是的算术平方根D．
5．（2022·浙江丽水·一模）与最接近的整数是（ ）
A．4B．3C．2D．1
二、填空题
6．（2022·浙江金华·一模）如图所示，数轴上表示1，的点分别为A，B，且（C在A的左侧），则点C所表示的数是________．
三、解答题
8．（2022·辽宁沈阳·二模）计算：．
9．（2022·广东·深圳市南山外国语学校三模）计算：．
实数（提升测评）
一、单选题
1．（2022·河北唐山·一模）估计的值应在（ ）
A．和之间B．和之间C．和之间D．和之间
2．（2022·河北·一模）已知，则代数式的值为（ ）
A．B．C．D．
3．（2022·山东临沂·二模）实数在数轴上的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．（2022·河北廊坊·一模）a、b为两个连续整数，若，则的值为（ ）．
A．B．C．D．
5．（2020·湖南永州·一模）已知: 表示不超过的最大整数，例: ，令关于的函数 (是正整数)，例：=1，则下列结论错误的是（ ）
A．B．
C．D．或1
二、填空题
6．（2022·陕西渭南·二模）比较大小：7______．
7．（2022·广东·二模）若，则_______．
三、解答题
8．（2022·安徽·合肥市五十中学西校三模）观察下列各等式：
①；
②；
③；
④
…
按照以上规律，解决下列问题：
(1)写出第5个等式： ；
(2)写出你猜想的第n个等式： （用含n的等式表示），并证明其正确性．实
数
的
分
类
按定义分
有理数
整数
分数
无理数
正无理数
负无理数
按正负分
正实数
0
负实数
实
数
的
相
关
概
念
无理数
无限不循环的小数叫做无理数
平方根
① 如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，记作；
② 性质：正数有两个平方根，它们互为相反数;0的平方根是0；负数没有平方根.
算术平方根
① 如果一个正数的平方等于a，即x2＝a，那么这个数x 叫做a的算术平方根,记作.
② 非负性：，
立方根
① 如果一个数的立方等于a，那么这个数就叫做a的立方根，记作.
② 性质：正数只有一个正的立方根；0的立方根是0；负数只有一个负的立方根.
③ ，
零指数，负指数幂
；
非负数
1．常见的三种非负数：|a|≥0，a2≥0，eq \r(a)≥0(a≥0)．
2．非负数的性质：
① 非负数有最小值是零；
② 任意几个非负数的和仍为非负数；
③ 几个非负数的和为0，则每个非负数都等于0.
实
数
的
运
算
加法
同号两数相加，取原来的符号。并把它们的绝对值相加。
异号两数相加，取绝对储较大的加数的符号，并用较大数的绝对值 减失较小数的绝对值。
减法
减去一个效等于加上这个数的相反数
乘法
两数相乘，同号得正，异号得负，并把它们的绝对值相乘
几个非零实数相乘。积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数有奇数个时，积为负
n个数相乘，有一个因数为0，积为0.
除法
两数相除，同号得正，异号得负，并把它们的绝对值相除
0除以任何一个不等于0的数都得0
乘方
几个相同因数的积的运算，叫做乘方，记作an（a≠0，n为正整数）开方与乘方互为逆运算
运算顺序
分级：加减是一级运算。除是二级运算，乘方和开方是三级运算，三级运算的题序是三二一、（如果有括号，先算括号内的；如果没有括号，在同一级运算中，要从左至右进行运算，无论何种运算，都要注意先定符号后运算）