【中考一轮复习】2023年中考数学总复习学案——专题12 一次函数（原卷版＋解析版）

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技巧1：一次函数常见的四类易错题
技巧2：一次函数的两种常见应用
技巧3：一次函数与二元一次方程(组)的四种常见应用
【题型】一、正比例函数的定义
【题型】二、正比例函数的图像与性质
【题型】三、一次函数的定义求参数
【题型】四、一次函数的图像
【题型】五、一次函数的性质
【题型】六、求一次函数解析式
【题型】七、一次函数与一元一次方程
【题型】八、一次函数与一元一次不等式
【题型】九、一次函数与二元一次方程（组）
【题型】十、一次函数的实际应用
【考纲要求】
1、理解一次函数的概念，会画一次函数的图象，掌握一次函数的基本性质．
2、会求一次函数解析式，并能用一次函数解决实际问题.
【考点总结】一、一次函数和正比例函数的定义
【考点总结】二、一次函数的图象与性质
【注意】
1、确定一次函数表达式
用待定系数法求一次函数表达式的一般步骤:
（1）由题意设出函数的关系式;
（2）根据图象所过的已知点或函数满足的自变量与因变量的对应值列出关于待定系数的方程组;
（3）解关于待定系数的方程或方程组，求出待定系数的值;
（4）将求出的待定系数代回到原来设的函数关系式中即可求出.
2、y＝kx＋b与kx＋b＝0
直线y＝kx＋b与x轴交点的横坐标是方程kx＋b＝0的解，方程kx＋b＝0的解是直线y＝kx＋b与x轴交点的横坐标．
3、y＝kx＋b与不等式kx＋b＞0
从函数值的角度看，不等式kx＋b＞0的解集为使函数值大于零(即kx＋b＞0)的x的取值范围；从图象的角度看，由于一次函数的图象在x轴上方时，y＞0，因此kx＋b＞0的解集为一次函数在x轴上方的图象所对应的x的取值范围．
4、一次函数与方程组
两个一次函数图象的交点坐标就是它们的解析式所组成的二元一次方程组的解；以二元一次方程组的解为坐标的点是两个二元一次方程所对应的一次函数图象的交点．
【技巧归纳】
技巧1：一次函数常见的四类易错题
【类型】一、忽视函数定义中的隐含条件而致错
1．已知关于x的函数y＝(m＋3)x|m＋2|是正比例函数，求m的值．
2．已知关于x的函数y＝kx－2k＋3－x＋5是一次函数，求k的值．
【类型】二、忽视分类或分类不全而致错
3．已知一次函数y＝kx＋4的图像与两坐标轴围成的三角形的面积为16，求这个一次函数的表达式．
4．一次函数y＝kx＋b，当－3≤x≤1时，对应的函数值的取值范围为1≤y≤9，求k＋b的值．
5．在平面直角坐标系中，点P(2，a)到x轴的距离为4，且点P在直线y＝－x＋m上，求m的值．
【类型】三、忽视自变量的取值范围而致错
6．若等腰三角形的周长是80 cm，则能反映这个等腰三角形的腰长y(cm)与底边长x(cm)的函数关系的图像是( )
7．若函数y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋6（x≤3），,5x（x>3），))则当y＝20时，自变量x的值是( )
A．±eq \r(14) B．4 C．±eq \r(14)或4 D．4或－eq \r(14)
8．现有450本图书供给学生阅读，每人9本，求余下的图书本数y(本)与学生人数x(人)之间的函数表达式，并求自变量x的取值范围．
【类型】四、忽视一次函数的性质而致错
9．若正比例函数y＝(2－m)x的函数值y随x的增大而减小，则m的取值范围是( )
A．m<0 B．m>0 C．m<2 D．m>2
10．下列各图中，表示一次函数y＝mx＋n与正比例函数y＝mnx(m，n是常数，且mn≠0)的大致图像的是( )
11．若一次函数y＝kx＋b的图像不经过第三象限，则k，b的取值范围分别为k________0，b________0.
参考答案
1．解：因为关于x的函数y＝(m＋3)x|m＋2|是正比例函数，
所以m＋3≠0且|m＋2|＝1，
解得m＝－1.
2．解：若关于x的函数y＝kx－2k＋3－x＋5是一次函数，则有以下三种情况：
①－2k＋3＝1，解得k＝1，
当k＝1时，函数y＝kx－2k＋3－x＋5可化简为y＝5，不是一次函数．
②x－2k＋3的系数为0，即k＝0，则原函数化简为y＝－x＋5，是一次函数，
所以k＝0.
③－2k＋3＝0，解得k＝eq \f(3,2)，原函数化简为y＝－x＋eq \f(13,2)，是一次函数，
所以k＝eq \f(3,2).
综上可知，k的值为0或eq \f(3,2).
3．解：设函数y＝kx＋4的图像与x轴、y轴的交点分别为A，B，坐标原点为O.当x＝0时，y＝4，所以点B的坐标为(0，4)．所以OB＝4.因为S△AOB＝eq \f(1,2)OA·OB＝16，所以OA＝8.所以点A的坐标为(8，0)或(－8，0)．
把(8，0)代入y＝kx＋4，得0＝8k＋4，解得k＝－eq \f(1,2).
把(－8，0)代入y＝kx＋4，得0＝－8k＋4，解得k＝eq \f(1,2).
所以这个一次函数的表达式为y＝－eq \f(1,2)x＋4或y＝eq \f(1,2)x＋4.
4．解：①若k>0，则y随x的增大而增大，
则当x＝1时y＝9，即k＋b＝9.
②若k<0，则y随x的增大而减小，
则当x＝1时y＝1，即k＋b＝1.
综上可知，k＋b的值为9或1.
5．解：因为点P到x轴的距离为4，
所以|a|＝4，所以a＝±4，当a＝4时，P(2，4)，
此时4＝－2＋m，解得m＝6.
当a＝－4时，同理可得m＝－2.
综上可知，m的值为－2或6.
6．D 7.D
8．解：余下的图书本数y(本)与学生人数x(人)之间的函数表达式为y＝450－9x，自变量x的取值范围是0≤x≤50，且x为整数．
9．D 10.A 11.<；≥
技巧2：一次函数的两种常见应用
【类型】一、利用一次函数解决实际问题
题型1：行程问题
1．甲、乙两车从A城出发匀速行驶至B城，在整个行驶过程中，甲、乙两车离开A城的距离y(km)与甲车行驶的时间t(h)之间的函数关系如图所示，则下列结论：
①A，B两城相距300 km；
②乙车比甲车晚出发1 h，却早到1 h；
③乙车出发后2.5 h追上甲车；
④当甲、乙两车相距50 km时，t＝eq \f(5,4)或eq \f(15,4).
其中正确的结论有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．甲、乙两地相距300 km，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地．如图，线段OA表示货车离甲地的距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系，折线BCDE表示轿车离甲地的距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系，根据图像，解答下列问题：
(1)线段CD表示轿车在途中停留了________h；
(2)求线段DE对应的函数表达式；
(3)求轿车从甲地出发后经过多长时间追上货车．
题型2：工程问题
3．甲、乙两组工人同时加工某种零件，乙组在工作中有一段时间停产更换设备，更换设备后，乙组的工作效率是原来的2倍．两组各自加工零件的数量y(件)与时间x(h)之间的函数图像如图所示．
(1)求甲组加工零件的数量y与时间x之间的函数表达式．
(2)求乙组加工零件总量a的值．
(3)甲、乙两组加工出的零件合在一起装箱，每够300件装一箱，零件装箱的时间忽略不计，经过多长时间恰好装满第1箱？再经过多长时间恰好装满第2箱？
题型3：实际问题中的分段函数
4．某种铂金饰品在甲、乙两个商场销售．甲标价为477元/g，按标价出售，不优惠；乙标价为530元/g，但若买的铂金饰品质量超过3 g，则超出部分可打八折．
(1)分别写出到甲、乙两个商场购买该种铂金饰品所需费用y(元)和质量x(g)之间的函数表达式；
(2)李阿姨要买一个质量不少于4 g且不超过10 g的此种铂金饰品，到哪个商场购买合算？
5.我国是世界上严重缺水的国家之一．为了增强居民的节水意识，某市自来水公司对居民用水采用以户为单位分段计费办法收费．即一个月用水10 t以内(包括10 t)的用户，每吨收水费a元；一个月用水超过10 t的用户，10 t水仍按每吨a元收费，超过10 t的部分，按每吨b(b＞a)元收费．设一户居民月用水x t，应交水费y元，y与x之间的函数关系如图所示．
(1)求a的值；某户居民上月用水8 t，应交水费多少元？
(2)求b的值，并写出当x＞10时，y与x之间的函数表达式．
【类型】二、利用一次函数解决几何问题
题型4：利用图像解几何问题
6．如图①所示，正方形ABCD的边长为6 cm，动点P从点A出发，在正方形的边上沿A→B→C→D运动，设运动的时间为t(s)，△APD的面积为S(cm2)，S与t的函数图像如图②所示，请回答下列问题：
(1)点P在AB上运动的时间为________s，在CD上运动的速度为________cm/s，△APD的面积S的最大值为________cm2；
(2)求出点P在CD上运动时S与t之间的函数表达式；
(3)当t为何值时，△APD的面积为10 cm2?
题型5：利用分段函数解几何问题(分类讨论思想、数形结合思想)
7．在长方形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P从点A开始按A→B→C→D的方向运动到点D.如图，设动点P所经过的路程为x，△APD的面积为y.(当点P与点A或D重合时，y＝0)
(1)写出y与x之间的函数表达式；
(2)画出此函数的图像．
参考答案
1．B
2．解：(1)0.5
(2)设线段DE对应的函数表达式为y＝kx＋b(2.5≤x≤4.5)．
将D(2.5，80)，E(4.5，300)的坐标分别代入y＝kx＋b可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(80＝2.5k＋b，,300＝4.5k＋b.))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝110，,b＝－195.))
所以y＝110x－195(2.5≤x≤4.5)．
(3)设线段OA对应的函数表达式为y＝k1x(0≤x≤5)．
将A(5，300)的坐标代入y＝k1x可得300＝5k1，
解得k1＝60.所以y＝60x(0≤x≤5)．
令60x＝110x－195，解得x＝3.9.
故轿车从甲地出发后经过3.9－1＝2.9(h)追上货车．
3．解：(1)设甲组加工零件的数量y与时间x之间的函数表达式为y＝kx，因为当x＝6时，y＝360，所以k＝60，
即甲组加工零件的数量y与时间x之间的函数表达式为y＝60x(0≤x≤6)．
(2)a＝100＋100÷2×2×(4.8－2.8)＝300.
(3)当工作2.8 h时共加工零件100＋60×2.8＝268(件)，
所以装满第1箱的时刻在2.8 h后．
设经过x1 h恰好装满第1箱．
则60x1＋100÷2×2(x1－2.8)＋100＝300，解得x1＝3.
从x＝3到x＝4.8这一时间段内，甲、乙两组共加工零件(4.8－3)×(100＋60)＝288(件)，
所以x>4.8时，才能装满第2箱，此时只有甲组继续加工．
设装满第1箱后再经过x2 h装满第2箱．
则60x2＋(4.8－3)×100÷2×2＝300，解得x2＝2.
故经过3 h恰好装满第1箱，再经过2 h恰好装满第2箱．
4．解：(1)y甲＝477x，
y乙＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(530x（0≤x≤3），,424x＋318（x＞3）.))
(2)当477x＝424x＋318时，
解得x＝6，
即当x＝6时，到甲、乙两个商场购买所需费用相同；
当477x<424x＋318时，解得x<6，
又x≥4，于是当4≤x＜6时，到甲商场购买合算；
当477x>424x＋318时，解得x>6，
又x≤10，于是当6＜x≤10时，到乙商场购买合算．
5．解：(1)当x≤10时，由题意知y＝ax.将x＝10，y＝15代入，得15＝10a，所以a＝1.5.
故当x≤10时，y＝1.5x.当x＝8时，y＝1.5×8＝12.
故应交水费12元．
(2)当x＞10时，由题意知y＝b(x－10)＋15.将x＝20，y＝35代入，
得35＝10b＋15，所以b＝2.故当x＞10时，y与x之间的函数表达式为y＝2x－5.
点拨：本题解题的关键是从图像中找出有用的信息，用待定系数法求出表达式，再解决问题．
6．解：(1)6；2；18
(2)PD＝6－2(t－12)＝30－2t，S＝eq \f(1,2)AD·PD＝eq \f(1,2)×6×(30－2t)＝90－6t，
即点P在CD上运动时S与t之间的函数表达式为S＝90－6t(12≤t≤15)．
(3)当0≤t≤6时易求得S＝3t，将S＝10代入，得3t＝10，解得t＝eq \f(10,3)；当12≤t≤15时，S＝90－6t，将S＝10代入，得90－6t＝10，解得t＝eq \f(40,3).所以当t为eq \f(10,3)或eq \f(40,3)时，△APD的面积为10 cm2.
7．解：(1)点P在边AB，BC，CD上运动时所对应的y与x之间的函数表达式不相同，故应分段求出相应的函数表达式．
①当点P在边AB上运动，即0≤x＜3时，
y＝eq \f(1,2)×4x＝2x；
②当点P在边BC上运动，即3≤x＜7时，
y＝eq \f(1,2)×4×3＝6；
③当点P在边CD上运动，即7≤x≤10时，
y＝eq \f(1,2)×4(10－x)＝－2x＋20.
所以y与x之间的函数表达式为
y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x （0≤x＜3），,6 （3≤x＜7），,－2x＋20 （7≤x≤10）.))
(2)函数图像如图所示．
点拨：本题考查了分段函数在动态几何中的运用，体现了数学中的分类讨论思想和数形结合思想．根据点P在边AB，BC，CD上运动时所对应的y与x之间的函数表达式不相同，分段求出相应的函数表达式，再画出相应的函数图像．
技巧3：一次函数与二元一次方程(组)的四种常见应用
【类型】一、利用两直线的交点坐标确定方程组的解
1．已知直线y＝－x＋4与y＝x＋2如图所示，则方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝－x＋4，,y＝x＋2))的解为( )
A.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3,y＝1)) B.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1,y＝3)) C.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝0,y＝4)) D.eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝4,y＝0))
2．已知直线y＝2x与y＝－x＋b的交点坐标为(1，a)，试确定方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－y＝0，,x＋y－b＝0))的解和a，b的值．
3．在平面直角坐标系中，一次函数y＝－x＋4的图像如图所示．
(1)在同一坐标系中，作出一次函数y＝2x－5的图像；
(2)用作图像的方法解方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝4，,2x－y＝5；))
(3)求一次函数y＝－x＋4与y＝2x－5的图像与x轴所围成的三角形的面积．
【类型】二、利用方程(组)的解求两直线的交点坐标
4．已知方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－mx＋y＝n，,ex＋y＝f))的解为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝6，))则直线y＝mx＋n与y＝－ex＋f的交点坐标为( )
A．(4，6) B．(－4，6) C．(4，－6) D．(－4，－6)
5．已知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝－2))和eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝1))是二元一次方程ax＋by＝－3的两组解，则一次函数y＝ax＋b的图像与y轴的交点坐标是( )
A．(0，－7) B．(0，4) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(3,7))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,7)，0))
【类型】三、方程组的解与两个一次函数图像位置的关系
6．若方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y＝2，,2x＋2y＝3))没有解，则一次函数y＝2－x与y＝eq \f(3,2)－x的图像必定( )
A．重合 B．平行 C．相交 D．无法确定
7．直线y＝－a1x＋b1与直线y＝a2x＋b2有唯一交点，则二元一次方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1x＋y＝b1，,a2x－y＝－b2))的解的情况是( )
A．无解 B．有唯一解 C．有两个解 D．有无数解
【类型】四、利用二元一次方程组求一次函数的表达式
8．已知一次函数y＝kx＋b的图像经过点A(1，－1)和B(－1，3)，求这个一次函数的表达式．
9．已知一次函数y＝kx＋b的图像经过点A(3，－3)，且与直线y＝4x－3的交点B在x轴上．
(1)求直线AB对应的函数表达式；
(2)求直线AB与坐标轴所围成的△BOC(O为坐标原点，C为直线AB与y轴的交点)的面积．
参考答案
1．B
2．解：将(1，a)代入y＝2x，得a＝2.
所以直线y＝2x与y＝－x＋b的交点坐标为(1，2)，
所以方程组eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(2x－y＝0，,x＋y－b＝0))的解是eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝1，,y＝2.))
将(1，2)代入y＝－x＋b，得2＝－1＋b，解得b＝3.
3．解：(1)画函数y＝2x－5的图像如图所示．
(2)由图像看出两直线的交点坐标为(3，1)，所以方程组的解为eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝3，,y＝1.))
(3)直线y＝－x＋4与x轴的交点坐标为(4，0)，直线y＝2x－5与x轴的交点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)，0))，又由(2)知，两直线的交点坐标为(3，1)，所以三角形的面积为eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4－\f(5,2)))×1＝eq \f(3,4).
4．A 5.C 6.B 7.B
8．解：依题意将A(1，－1)与B(－1，3)的坐标分别代入y＝kx＋b中，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＋b＝－1，,－k＋b＝3，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝－2，,b＝1.))
所以这个一次函数的表达式为y＝－2x＋1.
9．解：(1)因为一次函数y＝kx＋b的图像与直线y＝4x－3的交点B在x轴上，
所以将y＝0代入y＝4x－3中，得x＝eq \f(3,4)，所以Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，0))，
把A(3，－3)，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，0))的坐标分别代入y＝kx＋b中，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3k＋b＝－3，,\f(3,4)k＋b＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k＝－\f(4,3)，,b＝1.))
则直线AB对应的函数表达式为y＝－eq \f(4,3)x＋1.
(2)由(1)知直线AB对应的函数表达式为y＝－eq \f(4,3)x＋1，
所以直线AB与y轴的交点C的坐标为(0，1)，
所以OC＝1，
又Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)，0))，所以OB＝eq \f(3,4).
所以S△BOC＝eq \f(1,2)OB·OC＝eq \f(1,2)×eq \f(3,4)×1＝eq \f(3,8).
即直线AB与坐标轴所围成的△BOC的面积为eq \f(3,8).
【题型讲解】
【题型】一、正比例函数的定义
例1、若一次函数y=(m﹣3)x+m2﹣9是正比例函数，则m的值为_______．
【答案】m=﹣3
【解析】
∵y=(m﹣3)x+m2﹣9是正比例函数，
∴
解得m=-3．
故答案是：-3.
【题型】二、正比例函数的图像与性质
例2、若正比例函数经过两点（1，）和（2，），则和的大小关系为（ ）
A．B．C．D．无法确定
【答案】A
【分析】分别把点（1，），点（2，）代入函数，求出点，的值，并比较出其大小即可．
【详解】∵点（1，），点（2，）是函数图象上的点，
∴，，
∵，
∴．
故选：A．
【题型】三、一次函数的定义求参数
例3、已知一次函数的图象经过点，且随的增大而减小，则点的坐标可以是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先根据一次函数的增减性判断出k的符号，再将各项坐标代入解析式进行逐一判断即可．
【详解】∵一次函数的函数值随的增大而减小，
∴k﹤0，
A．当x=-1，y=2时，-k+3=2，解得k=1﹥0，此选项不符合题意；
B．当x=1，y=-2时，k+3=-2,解得k=-5﹤0，此选项符合题意；
C．当x=2，y=3时，2k+3=3，解得k=0，此选项不符合题意；
D．当x=3，y=4时，3k+3=4，解得k=﹥0，此选项不符合题意，
故选：B．
【题型】四、一次函数的图像
例4、若m﹣2，则一次函数的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由m＜﹣2得出m+1＜0，1﹣m＞0，进而利用一次函数的性质解答即可．
【详解】解：∵m＜﹣2，
∴m+1＜0，1﹣m＞0，
所以一次函数的图象经过一，二，四象限，
故选：D．
【题型】五、一次函数的性质
例5、设，关于的一次函数，当时的最大值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用一次函数的性质可得当x=1时，y最大，然后可得答案．
【详解】∵一次函数中，
∴随的增大而减小，
∵，
∴当时，，
故选：A．
【题型】六、求一次函数解析式
例6、直线在平面直角坐标系中的位置如图所示，则不等式的解集是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】先根据图像求出直线解析式，然后根据图像可得出解集．
【详解】解：根据图像得出直线经过（0，1），（2，0）两点，
将这两点代入得，解得，
∴直线解析式为：，
将y=2代入得，
解得x=-2，
∴不等式的解集是，
故选：C．
【题型】七、一次函数与一元一次方程
例7、一次函数（为常数且）的图像经过点（－2，0），则关于的方程的解为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据一次函数图象的平移即可得到答案．
【详解】解：∵是由的图像向右平移5个单位得到的，
∴将一次函数的图像上的点（－2，0）向右平移5个单位得到的点的坐标为（3，0）
∴当y=0时，方程的解为x=3，
故选：C．
【题型】八、一次函数与一元一次不等式
例8、如图，直线经过点，当时，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】将代入，可得,再将变形整理，得，求解即可．
【详解】解：由题意将代入，可得，即，
整理得，，
∴，
由图像可知，
∴，
∴，
故选：A．
【题型】九、一次函数与二元一次方程（组）
例9、在平面直角坐标系中，O为坐标原点．若直线y＝x+3分别与x轴、直线y＝﹣2x交于点A、B，则△AOB的面积为（ ）
A．2B．3C．4D．6
【答案】B
【分析】
根据方程或方程组得到A(﹣3，0)，B(﹣1，2)，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】
解：在y＝x+3中，令y＝0，得x＝﹣3，
解得，，
∴A(﹣3，0)，B(﹣1，2)，
∴△AOB的面积＝3×2＝3，
故选：B．
【题型】十、一次函数的实际应用
例10、A，B两地相距200千米．早上8：00货车甲从A地出发将一批物资运往B地，行驶一段路程后出现故障，即刻停车与B地联系．B地收到消息后立即派货车乙从B地出发去接运甲车上的物资．货车乙遇到甲后，用了18分钟将物资从货车甲搬运到货车乙上，随后开往B地．两辆货车离开各自出发地的路程y（千米）与时间x（小时）的函数关系如图所示．（通话等其他时间忽略不计）
（1）求货车乙在遇到货车甲前，它离开出发地的路程y关于x的函数表达式．
（2）因实际需要，要求货车乙到达B地的时间比货车甲按原来的速度正常到达B地的时间最多晚1个小时，问货车乙返回B地的速度至少为每小时多少千米？
【答案】（1）y＝80x﹣128（1.6≤x≤3.1）；（2）货车乙返回B地的车速至少为75千米/小时
【分析】
（1）先设出函数关系式y＝kx+b（k≠0），观察图象，经过两点（1.6，0），（2.6，80），代入求解即可得到函数关系式；
（2）先求出货车甲正常到达B地的时间，再求出货车乙出发回B地时距离货车甲比正常到达B地晚1个小时的时间以及故障地点距B地的距离，然后设货车乙返回B地的车速为v千米/小时，最后列出不等式并求解即可．
【详解】
解：（1）设函数表达式为y＝kx+b（k≠0），
把（1.6，0），（2.6，80）代入y＝kx+b，得 ，
解得： ，
∴y关于x的函数表达式为y＝80x﹣128（1.6≤x≤3.1）；
（2）根据图象可知：货车甲的速度是80÷1.6＝50（km/h）
∴货车甲正常到达B地的时间为200÷50＝4（小时），
18÷60＝0.3（小时），4+1＝5（小时），
当y＝200﹣80＝120 时，
120＝80x﹣128，
解得x＝3.1，
5﹣3.1﹣0.3＝1.6（小时），
设货车乙返回B地的车速为v千米/小时，
∴1.6v≥120，
解得v≥75．
答：货车乙返回B地的车速至少为75千米/小时．
一次函数（达标训练）
一、单选题
1．已知一次函数经过，，且，它的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据一次函数的增减性，可知它的图象可能为B、C选项，结合一次函数y=kx+4的图象经过点(0，4)，即可得到答案．
【详解】∵一次函数y=kx+4经过(1,y1)，(2,y2)且y1∴y随x的增大而增大，
又∵一次函数y=kx+4的图象经过点(0，4)，
∴它的图象可能是B选项，
故选B．
【点睛】本题主要考查一次函数的系数与函数图象之间的关系，掌握一次函数系数的几何意义，是解题的关键．
2．已知一次函数经过，两点，且，则k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．不能确定
【答案】C
【分析】根据一次函数的增减性可得出结论．
【详解】∵，
∴函数y随x的增大而减小．
∴k＜0，
故选：C．
【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数的性质是解答此题的关键．
3．一次函数的图象经过第一、二、四象限，则m可能的取值为（ ）
A．-1B．C．0D．
【答案】B
【分析】根据一次函数的图象和性质，即可求解．
【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限，
∴，
∴m可能的取值为．
故选：B
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象，熟练掌握一次函数，当时，一次函数图象经过第一、二、三象限；当时，一次函数图象经过第一、三、四象限；当时，一次函数图象经过第一、二、四象限；当时，一次函数图象经过第二、三、四象限是解题的关键．
4．一次函数的图象经过（ ）
A．一、二、四象限B．一、三、四象限
C．一、二、三象限D．二、三、四象限
【答案】A
【分析】根据一次函数关系中系数符号k＜0，b＞0解答即可．
【详解】解：∵中，
∴一次函数图象经过第二、四象，
∵ ，
∴ 一次函数图象经过一、二、四象限．
故选：A．
【点睛】此题考查了一次函数的图象，根据k和b的符号进行判断是解题的关键．
5．若，y是x的正比例函数，则b的值是（ ）
A．0B．C．D．
【答案】C
【分析】根据y是x的正比例函数，可知，即可求得b值．
【详解】解：∵y是x的正比例函数，
∴，
解得：，
故选：C．
【点睛】本题主要考查的是正比例函数的定义，掌握其定义是解题的关键．
二、填空题
6．请写出一个图象经过点的函数的解析式：______．
【答案】（答案不唯一）
【分析】写出一个经过点（2，0）的一次函数即可．
【详解】解：经过点的函数的解析式可以为，
故答案为：（答案不唯一）．
【点睛】本题主要考查了函数图象上点的坐标特征，熟知函数图象上的点一定满足其函数解析式是解题的关键．
7．将直线y＝2x－1向下平移3个单位后得到的直线表达式为________．
【答案】
【分析】根据一次函数平移的规律解答．
【详解】解：直线y＝2x－1向下平移3个单位后得到的直线表达式为y＝2x－1－3=2x－4，
即y=2x－4，
故答案为y=2x－4．
【点睛】此题考查了一次函数平移的规律：左加右减，上加下减，熟记平移的规律是解题的关键．
三、解答题
8．某中学积极响应“双减”政策，为了丰富学生的课外活动，激发学生参加体育活动的兴趣，准备购买一批新的羽毛球拍．已知甲、乙两商店销售同一种羽毛球拍，但两个商店的原价和销售方式均不同．在甲商店，无论一次性购买多少支羽毛球拍，一律按原价出售；在乙商店，一次性购买羽毛球拍的数量不超过20支，按原价销售，若一次性购买球拍数量超过20支，超出的部分打八折．设该学校购买了x支羽毛球拍，在甲商店购买所需的费用为元，在乙商店购买所需的费用为元，，关于x的函数图像如图所示．
(1)分别求出，关于x的函数解析式．
(2)请求出m的值，并说明m的实际意义．
(3)若该学校一次性购买羽毛球拍的数量超过80支，但不超过120支，到哪家商店购买更优惠？
【答案】(1)；
(2)m=100，m的实际意义是当一次性购买羽毛球球拍的数量100支时，甲、乙商店所需费用相同，都为4200元
(3)当80【分析】（1）根据函数图像设出表达式，利用待定系数法解得即可；（2）根据图像交点，当x>20时，令，解得x，y的值即可；（3）由m的意义，结合图像，谁的图像靠下谁更合算．
（1）
由题意，甲商店设，
∴，
∴，
∴；
乙商店：当0∴，
∴，
∴，
当x>20时，，
∴；
（2）
当x>20时，令，即，
∴x=100，y=4200，
∴m=100，
∴m的实际意义是当一次购买羽毛球球拍的数量100支时，甲、乙商店所需费用相同，都为4200元；
（3）
由m的意义，结合图像可知，谁的图像在下谁更合算，当80【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，解题的关键是掌握一次函数图像的性质．
一次函数（提升测评）
一、单选题
1．一次函数的图象如图所示，则使式子有意义的的值可能为（ ）
A．－3B．－1C．－2D．2
【答案】B
【分析】通过一次函数图象可以得出：，解得：．使式子有意义的条件为：，解得：且．将两个关于k的解集综合，得到k的范围是：且．根据所求范围即可得出答案选B．
【详解】解：由图象得：，解得：
由题意得：若使式子有意义，则，解得：且
综上所述，k的取值范围是：且．
A、-3不在k的取值范围内，不符合题意；
B、-1在k的取值范围内，符合题意；
C、-2不在k的取值范围内，不符合题意；
D、2不在k的取值范围内，不符合题意．
故选B．
【点睛】本题主要考查知识点为，一次函数图象与一次函数系数的关系、使二次根式有意义的条件，零指数幂中底数的范围．熟练掌握以上知识点，是解决此题的关键．
2．已知直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，若将直线向右平移m（m>0）个单位得到直线，直线与x轴交于C点，若△ABC的面积为6，则m的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】先求出点B（0，4），可得OB=4，再根据平移的性质，可得AC=m，再根据△ABC的面积为6，即可求解．
【详解】解：∵直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，
当x=0时，y=4，
∴点B（0，4），
∴OB=4，
∵将直线向右平移m（m>0）个单位得到直线，直线与x轴交于C点，
∴AC=m，
∵△ABC的面积为6，
∴，
解得：m=3．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一次函数的性质，一次函数的平移问题，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．
3．已知一次函数y=-kx+k，y随x的增大而减小，则在直角坐标系内大致图象是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由于一次函数y=-kx+k（k≠0），y随x的增大而减小，可得-k＜0，然后，判断一次函数y=-kx+k的图象经过的象限即可．
【详解】解：∵一次函数y=-kx+k（k≠0），y随x的增大而减小，
∴-k＜0，即k>0，
∴一次函数y=-kx+k的图象经过一、二、四象限．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了一次函数的图象，掌握一次函数y=kx+b的图象性质：
①当k＞0，b＞0时，图象过一、二、三象限；
②当k＞0，b＜0时，图象过一、三、四象限；
③当k＜0，b＞0时，图象过一、二、四象限；
④当k＜0，b＜0时，图象过二、三、四象限．
4．在平而直角坐标系中，一次函数的图像关于直线对称后经过坐标原点，则m的值为（ ）
A．1B．2C．D．
【答案】A
【分析】由题意一次函数与y轴的交点为（0，），根据点（0，）与原点关于直线对称，即可求出答案．
【详解】解：根据题意，在一次函数中，
令，则，
∴一次函数与y轴的交点为（0，），
∵点（0，）与原点关于直线对称，
∴，
∴；
故选：A．
【点睛】本题考查了一次函数的性质，轴对称的性质，解题的关键是掌握一次函数的性质进行解题．
5．甲、乙两自行车运动爱好者从A地出发前往B地，匀速骑行．甲、乙两人离A地的距离y（单位：km）与乙骑行时间x（单位：h）之间的关系如图所示．下列说法正确的是（ ）
A．乙骑行1h时两人相遇
B．甲的速度比乙的速度慢
C．3h时，甲、乙两人相距15km
D．2h时，甲离A地的距离为40km
【答案】C
【分析】根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【详解】解：由图象可知，甲乙骑行1.5h时两人相遇，故选项A不合题意；
甲的速度比乙的速度快，故选项B不合题意；
甲的速度为：30÷（1.5-1）=30（km/h），乙的速度为：30÷1.5=20（km/h），
3h时，甲、乙两人相距：30×（3-0.5）-20×3=15（km），故选项C符合题意；
2h时，甲离A地的距离为：30×（2-0.5）=45（km），故选项D不合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
二、填空题
6．如图，直线和相交于点，则关于x的不等式的解集是______．
【答案】
【分析】先根据直线求出P点坐标，不等式的解即为直线OP在直线PQ下方时，对应的x的范围
【详解】
∵点在上
∴
即
故
∵
即直线OP在直线PQ下方
由图知，此时
故答案为：
【点睛】本题考查一元一次不等式与一次函数，注意以两直线交点作为分界点去看
7．如图，直线l的函数表达式为，在直线l上顺次取点，构成形如“┐”的图形的阴影部分面积分别表示为，则__________．
【答案】4046
【分析】分别求出S1，S2，S3，S4的值，得出规律，根据规律即可求解．
【详解】解：由题意得：S1=2×3-2×1=4=2×（1+1），
S2=4×3-2×3=6=2×（2+1），
S3=5×4-4×3=8=2×（3+1），
S4=6×5-5×4=10=2×（4+1），
⋯
∴Sn=2（n+1），
∴S2022=2×（2022+1）=4046．
故答案为：4046．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、矩形的性质以及规律型：点的坐标，根据点的坐标的变化找出阴影部分面积的变化规律是解题的关键．
三、解答题
8．如图，在平面直角坐标系中，点A（﹣5，m），B（m﹣3，m），其中m＞0，直线y＝kx﹣1与y轴相交于C点．
(1)求点C坐标 ．
(2)若m＝2，
①求△ABC的面积；
②若点A和点B在直线y＝kx﹣1的两侧，求k的取值范围；
(3)当k＝﹣1时，直线y＝kx﹣1与线段AB的交点为P点（不与A点、B点重合），且AP＜2，求m的取值范围．
【答案】(1)（0，-1）
(2)①6；②
(3)2【分析】（1）求x=0时y的值，即可得到点C的坐标；
（2）①当m=2时，A（-5，2），B（-1，2），延长线段AB交y轴于点D，求出CD，AB，利用面积公式计算即可；
②求出直线AC和直线BC的解析式，即可得到；
（3）当k=-1时，直线为y=-x-1，当x=-5时，y=4，只有情况时，直线y=-x-1与线段AB相交，且P不与A、B点重合，此时m<4；得到点P的坐标，求出AP的长度，即可得到答案．
（1）
解：直线y=kx-1与y轴交于点C，
当x=0时y=-1，故C（0，-1），
故答案为（0，-1）；
（2）
①当m=2时，A（-5，2），B（-1，2），
∵点A、B纵坐标相同，
∴ABx轴，AB⊥y轴，
延长线段AB交y轴于点D，
∴线段CD为△ABC以AB边为底的高，
∵CD=2-(-1)=3，AB=-1-（-5）=4，
∴；
②设直线AC的解析式为y=kx+b，
∴，解得，
∴直线AC的解析式为，
设直线BC的解析式为y=mx+n，
∴，解得，
∴直线BC的解析式为，
∵点A和点B在直线y＝kx﹣1的两侧，
∴,
∴；
（3）
当k=-1时，直线为y=-x-1，
当x=-5时，y=4，
如图，只有情况时，直线y=-x-1与线段AB相交，且P不与A、B点重合，此时m<4；
当x=m-3时y=2-m，
由图知2-m∴m>1，
∴1当y=m时，x=-1-m，
∴点P坐标为（-1-m，m），
∴，
∵AP<2，
∴<2，
∵1∴m-4<0，
∴=4-m，
∴4-m<2，
∴m>2，
综上，2【点睛】此题考查了一次函数的性质，一次函数交点问题，正确理解一次函数的性质是解题的关键．
一次函数与正比例函数
一次函数与正比例函数的定义
如果y=kx+b(k≠0)，那么y叫x的一次函数，当b=0时，一次函数y=kx也叫正比例函数.正比例函数是一次函数的特例，具有一次函数的性质.
一次函数与正比例函数的关系
一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是过点(0,b)与直线y=kx平行的一条直线。它可以由直线y=kx平移得到.它与x轴的交点为，与y轴的交点为(0,b).
一次函数的图象与性质
函数
系数取值
大致
图象
经过的象限
函数性质
y=kx
(k≠0)
k>0
一、三
y随x增大而增大
k<0
二、四
y随x增大而减小
y=kx+b
(k≠0)
k>0
b>0
一、二、三
y随x增大而增大
k>0
b<0
一、三、四
k<0
b>0
一、二、四
y随x增大而减小
k<0
b<0
二、三、四