【中考一轮复习】2023年中考数学总复习学案——专题13 二次函数（原卷版＋解析版）

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技巧1：二次函数的图像与系数的六种关系
技巧2：二次函数图像信息题的四种常见类型
技巧3：求二次函数表达式的常见类型
【题型】一、二次函数的图象及性质
【题型】二、二次函数的图象与系数之间的关系
【题型】三、二次函数的对称性
【题型】四、二次函数的最值
【题型】五、用待定系数法求二次函数解析式
【题型】六、二次函数平移问题
【题型】七、二次函数解决实际问题
【考纲要求】
1、理解二次函数的有关概念，会用描点法画二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质．
2、会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴，并能掌握二次函数图象的平移．
3、熟练掌握二次函数解析式的求法，并能用它解决有关的实际问题．
【考点总结】一、二次函数
【考点总结】二、二次函数的性质
【考点总结】三、二次函数与的关系
【注意】
二次函数ax2+bx+c=0
① a决定开口方向及开口大小，这与y=ax2中的a完全一样.
a>0时，抛物线开口向上；a<0时，抛物线开口向下；a的绝对值越大，开口越小.
② b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线，故：
A. b=0时，对称轴为y轴；B. >0（即a,b同号）时，对称轴在y轴左侧；C. <0（即a,b异号）时，对称轴在y轴右侧.(口诀:“左同右异”）
【技巧归纳】
技巧1：二次函数的图像与系数的六种关系
【类型】一、a与图像的关系
1．如图，四个函数的图像分别对应的是①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2，则a，b，c，d的大小关系为( )
A．a＞b＞c＞d B．a＞b＞d＞c C．b＞a＞c＞d D．b＞a＞d＞c
【类型】二、b与图像的关系
2．若二次函数y＝3x2＋(b－3)x－4的图像如图所示，则b的值是( )
A．－5 B．0 C．3 D．4
3．当抛物线y＝x2－nx＋2的对称轴是y轴时，n______0；当对称轴在y轴左侧时，n______0；当对称轴在y轴右侧时，n______0.(填“＞”“＜”或“＝”)
【类型】三、c与图像的关系
4．下列抛物线可能是y＝ax2＋bx的图像的是( )
5．若将抛物线y＝ax2＋bx＋c－3向上平移4个单位长度后得到的图像如图所示，则c＝________．
【类型】四、a，b与图像的关系
6．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像如图所示，则下列说法中不正确的是( )

A．a＞0 B．b＜0 C．3a＋b＞0 D．b＞－2a
【类型】五、a，c与图像的关系
7．二次函数y＝(3－m)x2－x＋n＋5的图像如图所示，试求eq \r(（m－3）2)＋eq \r(n2)－|m＋n|的值．
【类型】六、b，c与图像的关系
8．【中考·六盘水】已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则( )
A．b＞0，c＞0 B．b＞0，c＜0 C．b＜0，c＜0D．b＜0，c＞0
【类型】七、a，b，c与图像的关系
9．在二次函数y＝ax2＋bx＋c中，a＜0，b＞0，c＜0，则符合条件的图像是( )
10．如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，给出以下四个结论：
①abc＝0，②a＋b＋c＞0，③a＞b，④4ac－b2＜0.其中正确的结论有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
参考答案
1．A 点拨：本题运用数形结合思想，在二次函数y＝ax2中，|a|越大，其图像的开口越小，所以①，②中，a＞b＞0，③，④中，d＜c＜0，所以a＞b＞c＞d，故选A.
2．C 点拨：∵二次函数y＝3x2＋(b－3)x－4的图像关于y轴对称，∴b－3＝0，b＝3.
3．＝；＜；＞
4．D 5.1 6.D
7．解：由图像知eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(3－m＞0，,n＋5＜0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＜3，,n＜－5.))
∴m－3＜0，m＋n＜－2.
∴eq \r(（m－3）2)＋eq \r(n2)－|m＋n|＝3－m－n＋m＋n＝3.
8．B 点拨：∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的开口向下，∴a＜0.∵二次函数的图象与y轴交于负半轴，∴c＜0.
∵对称轴x＝－eq \f(b,2a)＞0，∴b＞0.
故选B.
9．D
10．C 点拨：首先根据二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过原点，可得c＝0，所以abc＝0；然后根据x＝1时，y＜0，可得a＋b＋c＜0；再根据图象开口向下，可得a＜0，图象的对称轴为直线x＝－eq \f(3,2)，可得－eq \f(b,2a)＝－eq \f(3,2)，b＜0，所以b＝3a，a＞b；最后根据二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴有两个交点，可得b2－4ac＞0，所以4ac－b2＜0，据此解答即可．
技巧2：二次函数图像信息题的四种常见类型
【类型】一、根据抛物线的特征确定a，b，c及与其有关的代数式的符号
1．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA＝OC.则下列结论：
①abc＜0；②eq \f(b2－4ac,4a)＞0；③ac－b＋1＝0；④OA·OB＝－eq \f(c,a).其中正确结论的个数是( )
A．4 B．3 C．2 D．1
【类型】二、利用二次函数的图像比较大小
2．二次函数y＝－x2＋bx＋c的图像如图，若点A(x1，y1)，B(x2，y2)在此函数图像上，且x1A．y1≤y2 B．y1＜y2 C．y1≥y2 D．y1＞y2
【类型】三、利用二次函数的图像求方程的解或不等式的解集
3．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图像如图所示，则当函数值y＞0时，x的取值范围是( )
A．x＜－1 B．x＞3 C．－1＜x＜3 D．x＜－1或x＞3
4．如图，二次函数y＝ax2＋bx＋3的图像经过点A(－1，0)，B(3，0)，那么一元二次方程ax2＋bx＝0的根是____________．
【类型】四、根据抛物线的特征确定其他函数的图像
5．二次函数y＝ax2＋bx的图像如图所示，那么一次函数y＝ax＋b的图像大致是( )

6．如图，A(－1，0)，B(2，－3)两点在一次函数y1＝－x＋m与二次函数y2＝ax2＋bx－3的图像上．
(1)求m的值和二次函数的表达式；
(2)设二次函数的图像交y轴于点C，求△ABC的面积．
参考答案
1．B 2.B 3.D 4.x1＝0，x2＝2 5.C
6．解：(1)将点A(－1，0)的坐标代入y1＝－x＋m，得m＝－1；
将点A(－1，0)，B(2，－3)的坐标分别代入y2＝ax2＋bx－3，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a－b－3＝0，,4a＋2b－3＝－3.))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝－2.))
∴y2＝x2－2x－3.
(2)易知C点的坐标为(0，－3)，一次函数的图像与y轴的交点坐标为(0，－1)．
∴S△ABC＝eq \f(1,2)×[－1－(－3)]×1＋eq \f(1,2)×[－1－(－3)]×2＝eq \f(1,2)×2×1＋eq \f(1,2)×2×2＝3.
技巧3：求二次函数表达式的常见类型
【类型】一、由函数的基本形式求表达式
题型1：利用一般式求二次函数表达式
1．已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图像与y轴交于点C(0，－6)，与x轴的一个交点坐标是A(－2，0)．
(1)求二次函数的表达式，并写出顶点D的坐标；
(2)将二次函数的图像沿x轴向左平移eq \f(5,2)个单位长度，当y<0时，求x的取值范围．
题型2：利用顶点式求二次函数表达式
2．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c，当x＝1时，有最大值8，其图像的形状、开口方向与抛物线y＝－2x2相同，则这个二次函数的表达式是( )
A．y＝－2x2－x＋3 B．y＝－2x2＋4
C．y＝－2x2＋4x＋8 D．y＝－2x2＋4x＋6
3．已知某个二次函数的最大值是2，图像顶点在直线y＝x＋1上，并且图像经过点(3，－6)．求这个二次函数的表达式．
题型3：利用交点式求二次函数表达式
4．已知抛物线与x轴交于A(1，0)，B(－4，0)两点，与y轴交于点C，且AB＝BC，求此抛物线对应的函数表达式．
题型4：利用平移法求二次函数表达式
5．把二次函数y＝2x2的图像向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，平移后抛物线的表达式是___________．
6．已知y＝x2＋bx＋c的图像向右平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的图像的表达式为y＝x2－2x－3.
(1)b＝________，c＝________；
(2)求原函数图像的顶点坐标；
(3)求两个图像顶点之间的距离．
题型5：利用对称轴法求二次函数表达式
7．如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c的对称轴为直线x＝1，且与x轴的一个交点为(3，0)，那么它对应的函数表达式是________________．
8．如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，点A的坐标为(2，0)，点C的坐标为(0，3)，抛物线的对称轴是直线x＝－eq \f(1,2).
(1)求抛物线的表达式；
(2)M是线段AB上的任意一点，当△MBC为等腰三角形时，求点M的坐标．
题型6：灵活运用方法求二次函数的表达式
9．已知抛物线的顶点坐标为(－2，4)，且与x轴的一个交点坐标为(1，0)，求抛物线对应的函数表达式．
【类型】二、由函数图像中的信息求表达式
10．如图，是某个二次函数的图像，根据图像可知，该二次函数的表达式是( )
A．y＝x2－x－2 B．y＝－eq \f(1,2)x2－eq \f(1,2)x＋2 C．y＝－eq \f(1,2)x2－eq \f(1,2)x＋1 D．y＝－x2＋x＋2
11．某企业生产并销售某种产品，假设销售量与产量相等．如图中的折线ABD，线段CD分别表示该产品每千克生产成本y1(单位：元)，销售价y2(单位：元)与产量x(单位：kg)之间的函数关系．
(1)请解释图中点D的横坐标、纵坐标的实际意义；
(2)求线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式；
(3)当该产品产量为多少时，获得的利润最大？最大利润是多少？
【类型】三、由表格信息求表达式
12．若y＝ax2＋bx＋c，则由表格中信息可知y与x之间的函数关系式是( )
A.y＝x2－4x＋3 B．y＝x2－3x＋4 C．y＝x2－3x＋3 D．y＝x2－4x＋8
13．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)自变量x和函数值y的部分对应值如下表：
则该二次函数的表达式为______________．
【类型】四、几何应用中求二次函数的表达式
14．某校校园内有一个大正方形花坛，如图甲所示，它由四个边长为3米的小正方形组成，且每个小正方形的种植方案相同．其中的一个小正方形ABCD如图乙所示，DG＝1米，AE＝AF＝x米，在五边形EFBCG区域上种植花卉，则大正方形花坛种植花卉的面积y与x的函数图像大致是( )
【类型】五、实际问题中求二次函数表达式
15．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两墙足够长)，用28 m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB，BC两边)，设AB＝x m，花园的面积为S m2.
(1)求S与x之间的函数表达式；
(2)若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15 m和6 m，要将这棵树围在花园内(含边界，不考虑树的粗细)，求花园面积的最大值．
参考答案
1．解：(1)∵把C点坐标(0，－6)代入二次函数的表达式得c＝－6，把A点坐标(－2，0)代入y＝x2＋bx－6得b＝－1，
∴二次函数的表达式为y＝x2－x－6.
即y＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(1,2)))eq \s\up12(2)－eq \f(25,4).
∴顶点D的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(25,4))).
(2)将二次函数的图像沿x轴向左平移eq \f(5,2)个单位长度所得图像对应的函数表达式为y＝(x＋2)2－eq \f(25,4).
令y＝0，得(x＋2)2－eq \f(25,4)＝0，
解得x1＝eq \f(1,2)，x2＝－eq \f(9,2).
∵a>0，
∴当y<0时，x的取值范围是－eq \f(9,2)2．D
3．解：设二次函数图像的顶点坐标为(x，2)，则2＝x＋1，所以x＝1，所以图像的顶点坐标为(1，2)．设二次函数的表达式为y＝a(x－1)2＋2，将点(3，－6)的坐标代入上式，可得a＝－2.所以该函数的表达式为y＝－2(x－1)2＋2，即y＝－2x2＋4x.
4．解：由A(1，0)，B(－4，0)可知AB＝5，OB＝4.
又∵BC＝AB，∴BC＝5.
在Rt△BCO中，OC＝eq \r(BC2－OB2)＝eq \r(52－42)＝3，
∴C点的坐标为(0，3)或(0，－3)．
设抛物线对应的函数表达式为y＝a(x－1)(x＋4)，将点(0，3)的坐标代入得3＝a(0－1)×(0＋4)，解得a＝－eq \f(3,4).
将点(0，－3)的坐标代入得－3＝a(0－1)×(0＋4)，解得a＝eq \f(3,4).
∴该抛物线对应的函数表达式为y＝－eq \f(3,4)(x－1)(x＋4)或y＝eq \f(3,4)(x－1)(x＋4)，即y＝－eq \f(3,4)x2－eq \f(9,4)x＋3或y＝eq \f(3,4)x2＋eq \f(9,4)x－3.
点拨：若给出抛物线与x轴的交点坐标或对称轴及抛物线与x轴的两交点间的距离，通常可设交点式求解．
5．y＝2x2＋4x
6．解：(1)2；0
(2)原函数的表达式为y＝x2＋2x＝(x＋1)2－1.
∴其图像的顶点坐标为(－1，－1)．
(3)原函数图像的顶点为(－1，－1)，新函数图像的顶点为(1，－4)．由勾股定理易得两个顶点之间的距离为eq \r(13).
7．y＝－x2＋2x＋3
8．解：(1)设抛物线的表达式为y＝aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋k.
把点(2，0)，(0，3)的坐标代入，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(25,4)a＋k＝0，,\f(1,4)a＋k＝3.))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－\f(1,2)，,k＝\f(25,8).))
∴y＝－eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(25,8)，
即y＝－eq \f(1,2)x2－eq \f(1,2)x＋3.
(2)由y＝0，得－eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(25,8)＝0，
解得x1＝2，x2＝－3，∴B(－3，0)．[来源:学.科.网]
①当CM＝BM时，∵BO＝CO＝3，即△BOC是等腰三角形，∴当M点在原点O处时，△MBC是等腰三角形．
∴M点坐标为(0，0)．
②当BC＝BM时，在Rt△BOC中，BO＝CO＝3，由勾股定理得BC＝eq \r(OC2＋OB2)＝3eq \r(2)，∴BM＝3eq \r(2).
∴M点坐标为(3eq \r(2)－3，0)．
综上所述，点M坐标为(0，0)或(3eq \r(2)－3，0)．
9．解：方法一：设抛物线对应的函数表达式为y＝ax2＋bx＋c，由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)＝－2，,\f(4ac－b2,4a)＝4，,a＋b＋c＝0.))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－\f(4,9)，,b＝－\f(16,9)，,c＝\f(20,9).))
∴抛物线对应的函数表达式为y＝－eq \f(4,9)x2－eq \f(16,9)x＋eq \f(20,9).
方法二：设抛物线对应的函数表达式为y＝a(x＋2)2＋4，将点(1，0)的坐标代入得0＝a(1＋2)2＋4，解得a＝－eq \f(4,9).
∴抛物线对应的函数表达式为y＝－eq \f(4,9)(x＋2)2＋4.
即y＝－eq \f(4,9)x2－eq \f(16,9)x＋eq \f(20,9).
方法三：∵抛物线的顶点坐标为(－2，4)，与x轴的一个交点坐标为(1，0)，
∴抛物线的对称轴为直线x＝－2，与x轴的另一个交点坐标为(－5，0)．
设抛物线对应的函数表达式为y＝a(x－1)(x＋5)，将点(－2，4)的坐标代入得4＝a(－2－1)(－2＋5)，
解得a＝－eq \f(4,9).
∴抛物线对应的函数表达式为y＝－eq \f(4,9)(x－1)(x＋5)，
即y＝－eq \f(4,9)x2－eq \f(16,9)x＋eq \f(20,9).
点拨：本题分别运用了一般式、顶点式、交点式求二次函数表达式，求二次函数的表达式时要根据题目条件灵活选择方法，如本题中，第一种方法列式较复杂，且计算量大，第二、三种方法较简便，计算量小．
10．D
11．解：(1)点D的横坐标、纵坐标的实际意义：当产量为130 kg时，该产品每千克生产成本与销售价相等，都为42元．
(2)设线段AB所表示的y1与x之间的函数表达式为y1＝k1x＋b1.
因为y1＝k1x＋b1的图像过点(0，60)与(90，42)，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b1＝60，,90k1＋b1＝42.))
解方程组得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k1＝－0.2，,b1＝60.))
这个一次函数的表达式为y1＝－0.2x＋60(0≤x≤90)．
(3)设y2与x之间的函数表达式为y2＝k2x＋b2.
因为y2＝k2x＋b2的图像过点(0，120)与(130，42)，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b2＝120，,130k2＋b2＝42.))
解方程得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(k2＝－0.6，,b2＝120.))
这个一次函数的表达式为y2＝－0.6x＋120(0≤x≤130)．
设产量为x kg时，获得的利润为W元．
当0≤x≤90时，W＝x[(－0.6x＋120)－(－0.2x＋60)]＝－0.4(x－75)2＋2 250.
所以，当x＝75时，W的值最大，最大值为2 250.
当90当x＝90时，W＝－0.6×(90－65)2＋2 535＝2 160.
由－0.6＜0知，当x＞65时，W随x的增大而减小，所以90因此，当该产品产量为75 kg时，获得的利润最大，最大利润是2 250元．
12．A 13. y＝x2＋x－2
14．A 点拨：先求出△AEF和△DEG的面积，然后可得到五边形EFBCG的面积，继而可得y与x的函数表达式．
S△AEF＝eq \f(1,2)AE×AF＝eq \f(1,2)x2，S△DEG＝eq \f(1,2)DG×DE＝eq \f(1,2)×1×(3－x)＝eq \f(3－x,2)，
S五边形EFBCG＝S正方形ABCD－S△AEF－S△DEG＝9－eq \f(1,2)x2－eq \f(3－x,2)＝－eq \f(1,2)x2＋eq \f(1,2)x＋eq \f(15,2)，
则y＝4×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)x2＋\f(1,2)x＋\f(15,2)))＝－2x2＋2x＋30.
∵0＜AE∴y＝－2x2＋2x＋30(0故选A.
15．解：(1)∵AB＝x m，∴BC＝(28－x) m.
于是易得S＝AB·BC＝x(28－x)＝－x2＋28x.
即S＝－x2＋28x(0＜x＜28)．
(2)由题意可知，eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x≥6，,28－x≥15.))
解得6≤x≤13.
由(1)知，S＝－x2＋28x＝－(x－14)2＋196.
易知当6≤x≤13时，S随x的增大而增大，∴当x＝13时，S最大值＝195，即花园面积的最大值为195 m2.
【题型讲解】
【题型】一、二次函数的图象及性质
例1、二次函数的部分图象如图所示，则下列选项错误的是（ ）
A．若，是图象上的两点，则
B．
C．方程有两个不相等的实数根
D．当时，y随x的增大而减小
【答案】D
【提示】根据二次函数的图象与性质（对称性、增减性）、二次函数与一元二次方程的联系逐项判断即可得．
【详解】由函数的图象可知，二次函数的对称轴为
则当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，选项D错误
由对称性可知，时的函数值与时的函数值相等
则当时，函数值为
，则选项A正确
又当时，
，即，选项B正确
由函数的图象可知，二次函数的图象与x轴有两个交点
则将二次函数的图象向上平移2个单位长度得到的二次函数与x轴也有两个交点
因此，关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根
即方程有两个不相等的实数根，选项C正确
故选：D．
【题型】二、二次函数的图象与系数之间的关系
例2、如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（4，0），其对称轴为直线x＝1，结合图象给出下列结论：
①ac＜0；
②4a﹣2b+c＞0；
③当x＞2时，y随x的增大而增大；
④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．
其中正确的结论有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【提示】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及与x轴y轴的交点，综合判断即可．
【详解】解：抛物线开口向上，因此a＞0，与y轴交于负半轴，因此c＜0，故ac＜0，所以①正确；
抛物线对称轴为x＝1，与x轴的一个交点为（4，0），则另一个交点为（﹣2，0），于是有4a﹣2b+c＝0，所以②不正确；
x＞1时，y随x的增大而增大，所以③正确；
抛物线与x轴有两个不同交点，因此关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，所以④正确；
综上所述，正确的结论有：①③④，
故选：C．
【题型】三、二次函数的对称性
例3、抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴是直线，其部分图象如图所示，则此抛物线与x轴的另一个交点坐标是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【提示】由函数的对称性可得结论．
【详解】
解：设此抛物线与x轴的另一个交点坐标为（x，0），
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴是直线，
∴，解得x=3,
此抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），
故选：B．
【题型】四、二次函数的最值
例4、点P(m，n)在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上．则m﹣n的最大值等于（ ）
A．B．4C．﹣D．﹣
【答案】C
【提示】根据题意，可以得到a的值以及m和n的关系，然后将m、n作差，利用二次函数的性质，即可求出m﹣n的最大值．
【详解】解：∵点P（m，n）在以y轴为对称轴的二次函数y＝x2+ax+4的图象上，
∴a＝0，
∴n＝m2+4，
∴m﹣n＝m﹣（m2+4）＝﹣m2+m﹣4＝﹣（m﹣）2﹣，
∴当m＝时，m﹣n取得最大值，此时m﹣n＝﹣，
故选：C．
【题型】五、用待定系数法求二次函数解析式
例5、已知二次函数（是常数，）的与的部分对应值如下表：
下列结论：
①；
②当时，函数最小值为；
③若点，点在二次函数图象上，则；
④方程有两个不相等的实数根．
其中，正确结论的序号是__________________．（把所有正确结论的序号都填上）
【答案】①③④
【提示】先根据表格中的数据利用待定系数法求出抛物线的解析式，进而可直接判断①；由抛物线的性质可判断②；把点和点代入解析式求出y1、y2即可③；当y=﹣5时，利用一元二次方程的根的判别式即可判断④，进而可得答案．
【详解】解：由抛物线过点（﹣5，6）、（2，6）、（0，﹣4），可得：
，解得：，
∴二次函数的解析式是，
∴a=1＞0，故①正确；
当时，y有最小值，故②错误；
若点，点在二次函数图象上，则，，∴，故③正确；
当y=﹣5时，方程即，∵，∴方程有两个不相等的实数根，故④正确；
综上，正确的结论是：①③④．
故答案为：①③④．
【题型】六、二次函数平移问题
例6、把函数的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【提示】抛物线在平移时开口方向不变，a不变，根据图象平移的口诀“左加右减、上加下减”即可解答．
【详解】把函数的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为
，
故选：C．
【题型】七、二次函数解决实际问题
例7、如图，某小区有一块靠墙（墙的长度不限）的矩形空地ABCD，为美化环境，用总长为100m的篱笆围成四块矩形花圃（靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计）．
（1）若四块矩形花圃的面积相等，求证：AE＝3BE；
（2）在（1）的条件下，设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．
【答案】（1）见解析；（2），见解析．
【提示】（1）由题意易得AM＝2ME，故可直接得证；
（2）由（1）及题意得2AB+GH+3BC＝100，设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2即可得出函数关系式．
【详解】解：（1）证明：∵矩形MEFN与矩形EBCF面积相等，
∴ME＝BE，AM＝GH．
∵四块矩形花圃的面积相等，即S矩形AMDND＝2S矩形MEFN，
∴AM＝2ME，
∴AE＝3BE；
（2）∵篱笆总长为100m，
∴2AB+GH+3BC＝100，
即，
∴
设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2，
则，
∵，
∴，
解得，
∴．
二次函数（达标训练）
一、单选题
1．（2022·广东广州·一模）如图，二次函数y＝ax2+bx的图象开口向下，且经过第三象限的点P．若点P的横坐标为﹣1，则一次函数y＝（a﹣b）x+b的图象大致是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据二次函数的图象可以判断a、b、a-b的正负情况，从而可以得到一次函数经过哪几个象限，本题得以解决．
【详解】解：由二次函数的图象可知，
a＜0，b＜0，
当x=-1时，y=a-b＜0，
∴y=（a-b）x+b的图象在第二、三、四象限，
故选：D．
【点睛】本题考查二次函数的性质、一次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用函数的思想解答．
2．（2022·山东烟台·二模）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，对称轴为直线x=1．下列结论：①abc>0；②若(−3，y1)，(4，y2)在抛物线上，则y10．其中正确的有（ ）
A．①②B．①④C．①③④D．②④
【答案】B
【分析】根据抛物线开口方向得到a＞0，根据抛物线的对称轴得b=-2a＜0，抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c＜0，可对①进行判断；通过点（-3，y1）和点（4，y2）离对称轴的远近对②进行判断；观察图象，抛物线与x轴的一个交点−1【详解】解：①抛物线开口向上，则a＞0，抛物线与y交于负半轴，则c＜0，
x=-=1，即b=-2a，则b＜0，
∴abc＞0，故①正确；
②∵（-3，y1）离对称直线x=1的距离为1-（-3）=4，
（4，y2）离对称直线x=1的距离为4-1=3，
∴点（-3，y1）离对称轴要比点（4，y2）离对称轴要远，
又∵抛物线开口向上，离对称轴越远，函数值越大，4＞3，
∴y1＞y2，故②错误；
③观察图象，抛物线与x轴的一个交点为−1∴当−1④当x=-2时，y＞0，则4a-2b+c＞0，
∵b=-2a，
∴8a+c＞0，所以④正确；
综上，正确的有①④，
故选：B．
【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数y=ax2+bx+c系数符号与抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数的关系是解题的关键．
3．（2022·河南新乡·二模）二次函数y=−x2+4x+7的顶点坐标和对称轴分别是（ ）
A．，x＝2B．，x＝2C．，x＝－2D．，x＝2
【答案】A
【分析】将题目中函数解析式化为顶点式，从而可以得到该函数的顶点坐标和对称轴，本题得以解决．
【详解】解：∵y=-x2+4x+7
=-（x-2）2+11，
∴该函数的顶点坐标是（2，11），对称轴是直线x=2．
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确二次函数的性质，利用二次函数的顶点式解答．
4．（2022·黑龙江哈尔滨·三模）将抛物线向左平移2个单位长度，在向上平移1个单位长度，则平移后得到的抛物线解析式是（ ）．
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．
【详解】解：将抛物线y=-x2先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的抛物线的解析式为：y=-（x+2）2+1．
故选：D．
【点睛】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．
5．（2022·福建福州·一模）下列y关于x的函数中，是二次函数的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据二次函数的定义：进行判断即可．
【详解】A、不是二次函数，不符合题意；
B、是二次函数，符合题意；
C、，不是二次函数，不符合题意；
D、，不是二次函数，不符合题意；
故选B．
【点睛】本题考查二次函数的概念．熟练掌握二次函数的概念是解题的关键．
二、填空题
6．（2022·河南·驻马店市第二初级中学模拟预测）观察函数与的图像，写出一条它们的共同特征：______．
【答案】都过等
【分析】从函数图像的分布，图像过点等角度去探索答案．
【详解】∵函数与的图像都经过点（0，-1），
故答案为：（0，-1）．
【点睛】本题考查了函数图像的特点，熟练掌握图像的特点是解题的关键．
7．（2022·甘肃·一模）已知抛物线的部分图像如图所示，则方程的解是___________
【答案】或
【分析】根据抛物线的轴对称性即可求得抛物线与x轴的另一个交点的坐标，这两个交点的横坐标就是方程的解．
【详解】解：由图像可知抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，
设抛物线与x轴的另一个交点为，则，
解得：．
∴方程的解为或．
故答案为：或
【点睛】本题考查的是利用二次函数的图像求解一元二次方程，以及抛物线的对称性问题，正确理解抛物线与x轴的交点的横坐标与相应的一元二次方程的根之间的关系是解题的关键．
三、解答题
8．（2022·浙江丽水·一模）如图，抛物线与x轴相交于点，与y轴相交于点C．
(1)求抛物线的解析式．
(2)点是抛物线上不同的两点．
①若，求之间的数量关系．
②若，求的最小值．
【答案】(1)
(2)①；②最小值为
【分析】（1）将A，B两点代入解析式解得即可；（2）①若，则，化简即可得到的关系；②代入化简成顶点式即可得到最小值．
（1）
抛物线与x轴相交于点
解得
；
（2）
①点是抛物线上不同的两点．
若，则．
；
②
==，
当=1时，的最小值为-2．
【点睛】本题是二次函数的综合，考查了待定系数法求解析式，二次函数的性质和最值问题，熟练掌握待定系数法是解题的关键．
二次函数（提升测评）
一、单选题
1．（2022·内蒙古·包头市第三十五中学三模）已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④；⑤（，m为实数），其中正确的结论有（ ）个．
A．2个B．3个C．4个D．5个
【答案】B
【分析】直接根据二次函数的图像与系数的关系及性质进行求解即可．
【详解】解：由图像可知：对称轴为直线
即
∴①，
故错误．
②由二次函数的图像可知与x轴的一个交点在0和之间，根据二次函数的对称性可知抛物线与x轴的另外一个交点在2和3之间，
∴当时，即
故正确．
③时即
故正确．
④ 时，即
又∵对称轴
故错误．
⑤由图像可得当时，函数取得最大值，即
当时，
故正确．
所以正确的有：②③⑤．
故选：B．
【点睛】本题主要考查二次函数的图像跟性质，熟练掌握二次函数的图像与系数的关系及性质是解题的关键．
2．（2022·广东·揭阳市实验中学模拟预测）在二次函数的图像上有点．则的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由二次函数解析式可得抛物线对称轴及开口方向，再根据三点到对称轴的距离大小求解，即可．
【详解】解：∵，
∴抛物线开口向上，且对称轴为直线，
∵，
∴．
故选：D
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是掌握二次函数的图象和性质．
3．（2022·广东·深圳市宝安中学（集团）三模）二次函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图像可能是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】逐一分析每个选项图象与函数解析式中的系数的关系，结论一致的就是正确的，结论不一致的就是错误的，从而可得答案．
【详解】解：选项A中的一次函数 抛物线中的图象开口向下，顶点坐标为 ，则 对称轴是直线故符合题意，
选项B中的一次函数 抛物线中的图象开口向下，顶点坐标为 ，则但是对称轴不是直线 故不符合题意，
选项C中的一次函数 抛物线中的图象开口向上，顶点坐标为 ，则 故不符合题意，
选项D中的一次函数 抛物线中的图象开口向上，顶点坐标为 ，则对称轴不是直线 故不符合题意，
故选A
【点睛】本题考查的是一次函数与二次函数的图象共存的问题，掌握“结合一次函数与二次函数的系数与图象的关系进行分析”是解本题的关键．
4．（2022·广东·深圳市宝安中学（集团）三模）二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图象是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据二次函数图象开口向上得到a＞0，再根据对称轴确定出b＞0，根据与y轴的交点确定出c＜0，然后确定出一次函数图象与反比例函数图象的情况，即可得解．
【详解】解：∵二次函数图象开口方向向上，
∴a＞0，即－a＜0，
又∵对称轴为直线x＝－＜0，
∴b＞0，
∵与y轴的负半轴相交，
∴c＜0，
∴y＝－ax+b的图象经过第一、二、四象限，反比例函数图象在第二、四象限，
只有A选项图象符合．
故选：A．
【点睛】本题考查了二次函数的图象，一次函数的图象，反比例函数的图象，熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、与y轴的交点坐标等确定出a、b、c的情况是解题的关键．
5．（2022·浙江嘉兴·一模）已知是二次函数图象上的点，则下列说法一定正确的是（ ）
A．若，则B．若，则
C．若，则D．若，则
【答案】D
【分析】根据函数的表达式求出函数的对称轴，根据函数开口方向的不同进行分类讨论即可．
【详解】解：∵，
∴该函数的对称轴直线为：x=﹣1，
∵函数经过，
∴函数经过，
当a>0时，函数开口向上，此时当x>-1时，y随x在增大而增大；
∵0<1<2<3，
∴，
A：若，则或，故A不一定正确，
B：若，则或，故B不一定正确，
C：若，则或，故C不一定正确，
D：若，则，故D一定正确；
当a<0时，函数开口向下，此时，当x>-1时，y随x的增大而减小，
∵0<1<2<3，
∴，
A：若，则或，故A不一定正确，
B：若，则或，故B不一定正确，
C：若，则或，故C不一定正确，
D：若，则，故D一定正确；
综上：D一定正确，
故选：D．
【点睛】本题主要考查了二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的性质，能够根据函数表达式求出函数的对称轴，根据开口方向和对称轴分析函数的增减性是解题的关键．
二、填空题
6．（2022·内蒙古呼和浩特·三模）如图，和是边长分别为5和2的等边三角形，点、、、都在直线上，固定不动，将在直线上自左向右平移．开始时，点与点重合，当点移动到与点重合时停止．设移动的距离为，两个三角形重叠部分的面积为，请写出与之间的函数关系式_________．
【答案】
【分析】根据运动过程可分三种情况讨论：当时，两个三角形重叠部分为的面积，当时，两个三角形重叠部分为的面积，当时，两个三角形重叠部分为的面积，分别求解即可．
【详解】当时，如图1所示，两个三角形重叠部分为的面积，
由题意得，，
和是边长分别为5和2的等边三角形，
是边长x的等边三角形，
过点D作DE⊥BC于点E，
，
，
，
即；
当时，如图2所示，两个三角形重叠部分为的面积，
由题意得，，
过点作于点E，
，
，
即；
当时，如图3所示，两个三角形重叠部分为的面积，
由题意得，，
和是边长分别为5和2的等边三角形，
是等边三角形，且，
过点D作DE⊥BC于点E，
，
，
即；
综上，写出与之间的函数关系式为．
【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，列二次函数解析式，勾股定理，平移与三角形面积问题，熟练掌握知识点并能够分类讨论是解题的关键．
7．（2022·江苏·淮安市淮安区教师发展中心学科研训处模拟预测）二次函数（）的图像与直线交于点、两点，则关于的不等式的解集为 _______．
【答案】##
【分析】由题意，可大致画出函数图像，根据图形的对称性，求出点C、D的横坐标，即可求解．
【详解】解：由题意，可大致画出函数图像如下，
则直线关于y轴对称的直线为，
根据图形的对称性，设点M、N关于y轴的对称点分别为点D、C，
则点C、D的横坐标分别为-1、2，
观察函数图像的解集为，
即关于的不等式解集为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数与不等式的应用，解题关键是熟练运用数形结合的思想分析问题．
三、解答题
8．（2022·浙江宁波·一模）已知：一次函数，二次函数为（b，c为常数）.
(1)如图，两函数图象交于点.求二次函数的表达式，并写出当时x的取值范围.
(2)请写出一组b，c的值，使两函数图象只有一个公共点，并说明理由.
【答案】(1)，-2＜x＜3；
(2)b=2，c=-2，（答案不唯一）
【分析】（1）将（3，m），（n,-6）代入直线解析式求出点坐标，然后通过待定系数法求解，根据图象可得时x的取值范围．
（2）令，由Δ=0求解．
（1）
将（3，m）代入得m=6-2=4，
将（n,-6）代入得-6=2n-2，
解得n=-2，
∴抛物线经过点（3，4），（-2，-6），
将（3，4），（-2，-6）代入得
，
解得，
∴，
由图象可得-2＜x＜3时，抛物线在直线上方，
∴时x的取值范围是-2＜x＜3．
（2）
令，整理得，
当时，两函数图象只有一个公共点，
∴b=2，c=-2，满足题意．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数图象与系数的关系．
二
次
函
数
二次
函数
的概念
一般地，如果y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．
注意：
(1)二次项系数a≠0；
(2)ax2＋bx＋c必须是整式；
(3)一次项可以为零，常数项也可以为零，一次项和常数项可以同时为零；
(4)自变量x的取值范围是全体实数．
二次函数的图象及性质
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)
图象
(a＞0)
(a＜0)
开口方向
开口向上
开口向下
对称轴
直线x＝－eq \f(b,2a)
直线x＝－eq \f(b,2a)
顶点坐标
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))
eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(b,2a)，\f(4ac－b2,4a)))
增减性
当x＜－eq \f(b,2a)时，y随x的增大而减小；当x＞－eq \f(b,2a)时，y随x的增大而增大
当x＜－eq \f(b,2a)时，y随x的增大而增大；当x＞－eq \f(b,2a)时，y随x的增大而减小
最值
当x＝－eq \f(b,2a)时，y有最小值eq \f(4ac－b2,4a)
当x＝－eq \f(b,2a)时，y有最大值eq \f(4ac－b2,4a)
1、抛物线的顶点式，对称轴是平行于轴的直线。
2、当时，抛物线在轴的上方（除顶点外），它的开口向上，并且向上无限伸展；
当时，抛物线在轴的下方（除顶点外），它的开口向下，并且向下无限伸展。
3、当时，在对称轴（）的左侧，随着的增大而减小；在对称轴（）的右侧，随着的增大而增大；当时，函数的值最小（是0）；
当时，在对称轴（）的左侧，随着的增大而增大；在对称轴（）的右侧，随着的增大而减小；当时，函数的值最大（是0）。
4、二次函数与的图像形状相同，可以看作是抛物线整体沿轴平移了个单位（当时，向右平移个单位；当时，向左平移个单位）得到的。
二次函数与的关系
一般地，由的图像便可得到二次函数的图像：的图像可以看成先沿轴整体左（右）平移了个单位（当时，向右平移个单位；当时，向左平移个单位），再沿轴整体上（下）平移了个单位（当时，向上平移个单位；当时，向下平移个单位）。
因此，二次函数的图像是一条抛物线，它的开口方向、对称轴和顶点坐标与的值有关
二次函数的图像与性质
抛物线
顶点坐标
对称轴
直线
直线
位置
由和的符号确定
由和的符号确定
开口方向
向上
向下
增减性
在对称轴的左侧，随着的增大而减小；
在对称轴的右侧，随着的增大而增大。
在对称轴的左侧，随着的增大而增大；
在对称轴的右侧，随着的增大而减小。
最值
当时，最小值为
当时，最大值为
开口大小
|a| 越大,开口越小，|a| 越小,开口越大。
x
－1
0
1
ax2
1
ax2＋bx＋c
8
3
x
…
－eq \f(3,2)
－1
－eq \f(1,2)
0
eq \f(1,2)
1
eq \f(3,2)
…
y
…
－eq \f(5,4)
－2
－eq \f(9,4)
－2
－eq \f(5,4)
0
eq \f(7,4)
…
0
2
6
0
6