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所属成套资源：2023年中考数学通用版一轮总复习学案[原卷版＋解析版]
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【中考一轮复习】2023年中考数学总复习学案——专题22 相似三角形（原卷版＋解析版）
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这是一份【中考一轮复习】2023年中考数学总复习学案——专题22 相似三角形（原卷版＋解析版），文件包含专题22相似三角形归纳与讲解解析版docx、专题22相似三角形归纳与讲解原卷版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共47页， 欢迎下载使用。
技巧1：巧用“基本图形”探索相似条件
技巧2：巧作平行线构造相似三角形
技巧3：证比例式或等积式的技巧
【题型】一、相似图形的概念和性质
【题型】二、平行线分线段成比例定理
【题型】三、相似三角形的判定
【题型】四、相似三角形的性质
【题型】五、利用相似三角形解决实际问题
【题型】六、位似图形的概念与性质
【题型】七、平面直角坐标系与位似图形
【考纲要求】
1、了解比例线段的有关概念及其性质，并会用比例的性质解决简单的问题．
2、了解相似多边形，相似三角形的概念，掌握其性质和判定并会运用．
3、了解位似变换和位似图形的概念，掌握并运用其性质.
【考点总结】一、相似图形及比例线段
【考点总结】二、相似三角形
【技巧归纳】
技巧1：巧用“基本图形”探索相似条件
相似三角形的四类结构图：
1.平行线型．
2．相交线型．
3．子母型．
4．旋转型．
【类型】一、平行线型
1．如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作ED∥BC交AB于点D.
(1)求证：AE·BC＝BD·AC；
(2)如果S△ADE＝3，S△BDE＝2，DE＝6，求BC的长．
【类型】二、相交线型
2．如图，点D，E分别为△ABC的边AC，AB上的点，BD，CE交于点O，且eq \f(EO,BO)＝eq \f(DO,CO)，试问△ADE与△ABC相似吗？请说明理由．
【类型】三、子母型
3．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，E为AC的中点，ED的延长线交AB的延长线于点F.求证：eq \f(AB,AC)＝eq \f(DF,AF).
【类型】四、旋转型
4．如图，已知∠DAB＝∠EAC，∠ADE＝∠ABC.
求证：(1)△ADE∽△ABC；
(2)eq \f(AD,AE)＝eq \f(BD,CE).
技巧2：巧作平行线构造相似三角形
【类型】一、巧连线段的中点构造相似三角形
1．如图，在△ABC中，E，F是边BC上的两个三等分点，D是AC的中点，BD分别交AE，AF于点P，Q，求BPPQQD.
【类型】二、过顶点作平行线构造相似三角形
2．如图，在△ABC中，AC＝BC，F为底边AB上一点，BFAF＝32，取CF的中点D，连接AD并延长交BC于点E，求eq \f(BE,EC)的值．
【类型】三、过一边上的点作平行线构造相似三角形
3．如图，在△ABC中，AB＞AC，在边AB上取一点D，在AC上取一点E，使AD＝AE，直线DE和BC的延长线交于点P.求证：eq \f(BP,CP)＝eq \f(BD,EC).
【类型】四、过一点作平行线构造相似三角形
4．如图，在△ABC中，点M为AC边的中点，点E为AB上一点，且AE＝eq \f(1,4)AB，连接EM并延长交BC的延长线于点D.求证：BC＝2CD.
技巧3：证比例式或等积式的技巧
【类型】一、构造平行线法
1．如图，在△ABC中，D为AB的中点，DF交AC于点E，交BC的延长线于点F，
求证：AE·CF＝BF·EC.
2．如图，已知△ABC的边AB上有一点D，边BC的延长线上有一点E，且AD＝CE，DE交AC于点F，
求证：AB·DF＝BC·EF.
【类型】二、三点定型法
3．如图，在▱ABCD中，E是AB延长线上的一点，DE交BC于F.
求证：eq \f(DC,AE)＝eq \f(CF,AD).
4．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，M为BC的中点，DM⊥BC交CA的延长线于D，交AB于E.
求证：AM2＝MD·ME.
【类型】三、构造相似三角形法
5．如图，在等边三角形ABC中，点P是BC边上任意一点，AP的垂直平分线分别交AB，AC于点M，N.
求证：BP·CP＝BM·CN.
【类型】四、等比过渡法
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE∥BC，点F在边AC上，DF与BE相交于点G，且∠EDF＝∠ABE.
求证：(1)△DEF∽△BDE；
(2)DG·DF＝DB·EF.
7．如图，CE是Rt△ABC斜边上的高，在EC的延长线上任取一点P，连接AP，作BG⊥AP于点G，交CE于点D.
求证：CE2＝DE·PE.
【类型】五、两次相似法
8．如图，在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高，∠ABC的平分线BE交AC于E，交AD于F.
求证：eq \f(BF,BE)＝eq \f(AB,BC).
9．如图，在▱ABCD中，AM⊥BC，AN⊥CD，垂足分别为M，N.求证：
(1)△AMB∽△AND；
(2)eq \f(AM,AB)＝eq \f(MN,AC).
【类型】六、等积代换法
10．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.
求证：eq \f(AE,AF)＝eq \f(AC,AB).
【类型】七、等线段代换法
11．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点P是AD上一点，CF∥AB，延长BP交AC于点E，交CF于点F，
求证：BP2＝PE·PF.
12．如图，已知AD平分∠BAC，AD的垂直平分线EP交BC的延长线于点P.
求证：PD2＝PB·PC.
【题型讲解】
【题型】一、相似图形的概念和性质
例1、如图，在△ABC中，DE∥AB，且＝，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【题型】二、平行线分线段成比例定理
例2、如图，在中，，，，，则的长为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【题型】三、相似三角形的判定
例3、如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍然无法判定的是（ ）
A．B．C．D．
【题型】四、相似三角形的性质
例4、如图，在中，D、E分别是AB和AC的中点，，则（ ）
A．30B．25C．22．5D．20
【题型】五、利用相似三角形解决实际问题
例5、为测量某河的宽度，小军在河对岸选定一个目标点A，再在他所在的这一侧选点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，然后找出AD与BC的交点E，如图所示．若测得BE＝90 m，EC＝45 m，CD＝60 m，则这条河的宽AB等于( )
A．120 mB．67.5 mC．40 mD．30 m
【题型】六、位似图形的概念与性质
例6、如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA∶OD=1∶2，则△ABC与△DEF的面积比为（ ）
A．1∶2B．1∶3C．1∶4D．1∶5
【题型】七、平面直角坐标系与位似图形
例7、如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2：5，且三角板的一边长为8cm．则投影三角板的对应边长为（ ）
A．20cmB．10cmC．8cmD．3.2cm
相似三角形（达标训练）
一、单选题
1．如图，已知，，则与的周长之比为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在中，高、相交于点图中与一定相似的三角形有（ ）
A．个B．个C．个D．个
3．在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，则△ADE与△ABC的面积之比为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，D是的边BC上的一点，那么下列四个条件中，不能够判定△ABC与△DBA相似的是（ ）
A．B．
C．D．
5．已知∽，和是它们的对应角平分线，若，，则与的面积比是（ ）
A．：B．：C．：D．；
二、填空题
6．如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高为1.5m，测得AB＝3m，AC＝10m，则建筑物CD的高是_____m．
7．如图所示，要使，需要添加一个条件__________（填写一个正确的即可）
三、解答题
8．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，且AD:AB=AE:AC=2:3．
(1)求证：△ADE∽△ABC；
(2)若DE=4，求BC的长．
相似三角形（提升测评）
一、单选题
1．如图，在菱形ABCD中，点E在AD边上，EF∥CD，交对角线BD于点F，则下列结论中错误的是（ ）
A．B．C．D．
2．如图1为一张正三角形纸片，其中点在上，点在上．今以为折线将点往右折后，、分别与相交于点、点，如图2所示．若，，，，则的长度为多少？（ ）
A．7B．8C．9D．10
3．如图，在平面直角坐标系中有A，两点，其中点A的坐标是（-2，1），点的横坐标是，连接，已知，则点B的纵坐标是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，D是的边上的一点，过点D作的平行线交于点E，连接，过点D作的平行线交于点F，则下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
5．如图，小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子落在了地上和墙上，此时测得地面上的影长为4m，墙上的影子长为1m，同一时刻一根长为1m的垂直于地面上的标杆的影长为0.5m，则树的高度为______m．
6．如图，梯形中，，，点在的延长线上，与相交于点，与边相交于点．如果，那么与的面积之比等于______．
三、解答题
7．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，连接AF交CG于点K，H是AF的中点，连接CH．
(1)求tan∠GFK的值；
(2)求CH的长．
8．如图所示，的顶点在矩形对角线的延长线上，与交于点，连接，满足∽其中对应对应对应
(1)求证：．
(2)若，求的值．
解直角三角形的应用
相似图形
在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形.
相似多边形
若两个边数相同的多边形，它们的对应角相等、对应边成比例，则这两个多边形叫做相似多边形。
特征：对应角相等，对应边成比例。
比例线段的定义
在四条线段a，b，c，d中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，即(或a∶b＝c∶d)，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．
比例线段的性质
(1)基本性质：eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)ad＝bc；
(2)合比性质：eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)eq \f(a＋b,b)＝eq \f(c＋d,d)；
(3)等比性质：
若eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)＝…＝eq \f(m,n)(b＋d＋…＋n≠0)，那么eq \f(a＋c＋…＋m,b＋d＋…＋n)＝eq \f(a,b).
黄金分割
点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果eq \f(AC,AB)＝eq \f(BC,AC)，则线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比．
相似三角形
定义
各角对应相等，各边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形．
判定
(1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似；
(2)两角对应相等，两三角形相似；
(3)两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；
(4)三边对应成比例，两三角形相似；
(5)斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．
性质
(1)相似三角形的对应角相等，对应边成比例；
(2)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比；
(3)相似三角形周长的比等于相似比；
(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方
技巧1：巧用“基本图形”探索相似条件
技巧2：巧作平行线构造相似三角形
技巧3：证比例式或等积式的技巧
【题型】一、相似图形的概念和性质
【题型】二、平行线分线段成比例定理
【题型】三、相似三角形的判定
【题型】四、相似三角形的性质
【题型】五、利用相似三角形解决实际问题
【题型】六、位似图形的概念与性质
【题型】七、平面直角坐标系与位似图形
【考纲要求】
1、了解比例线段的有关概念及其性质，并会用比例的性质解决简单的问题．
2、了解相似多边形，相似三角形的概念，掌握其性质和判定并会运用．
3、了解位似变换和位似图形的概念，掌握并运用其性质.
【考点总结】一、相似图形及比例线段
【考点总结】二、相似三角形
【技巧归纳】
技巧1：巧用“基本图形”探索相似条件
相似三角形的四类结构图：
1.平行线型．
2．相交线型．
3．子母型．
4．旋转型．
【类型】一、平行线型
1．如图，在△ABC中，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作ED∥BC交AB于点D.
(1)求证：AE·BC＝BD·AC；
(2)如果S△ADE＝3，S△BDE＝2，DE＝6，求BC的长．
【类型】二、相交线型
2．如图，点D，E分别为△ABC的边AC，AB上的点，BD，CE交于点O，且eq \f(EO,BO)＝eq \f(DO,CO)，试问△ADE与△ABC相似吗？请说明理由．
【类型】三、子母型
3．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，E为AC的中点，ED的延长线交AB的延长线于点F.求证：eq \f(AB,AC)＝eq \f(DF,AF).
【类型】四、旋转型
4．如图，已知∠DAB＝∠EAC，∠ADE＝∠ABC.
求证：(1)△ADE∽△ABC；
(2)eq \f(AD,AE)＝eq \f(BD,CE).
技巧2：巧作平行线构造相似三角形
【类型】一、巧连线段的中点构造相似三角形
1．如图，在△ABC中，E，F是边BC上的两个三等分点，D是AC的中点，BD分别交AE，AF于点P，Q，求BPPQQD.
【类型】二、过顶点作平行线构造相似三角形
2．如图，在△ABC中，AC＝BC，F为底边AB上一点，BFAF＝32，取CF的中点D，连接AD并延长交BC于点E，求eq \f(BE,EC)的值．
【类型】三、过一边上的点作平行线构造相似三角形
3．如图，在△ABC中，AB＞AC，在边AB上取一点D，在AC上取一点E，使AD＝AE，直线DE和BC的延长线交于点P.求证：eq \f(BP,CP)＝eq \f(BD,EC).
【类型】四、过一点作平行线构造相似三角形
4．如图，在△ABC中，点M为AC边的中点，点E为AB上一点，且AE＝eq \f(1,4)AB，连接EM并延长交BC的延长线于点D.求证：BC＝2CD.
技巧3：证比例式或等积式的技巧
【类型】一、构造平行线法
1．如图，在△ABC中，D为AB的中点，DF交AC于点E，交BC的延长线于点F，
求证：AE·CF＝BF·EC.
2．如图，已知△ABC的边AB上有一点D，边BC的延长线上有一点E，且AD＝CE，DE交AC于点F，
求证：AB·DF＝BC·EF.
【类型】二、三点定型法
3．如图，在▱ABCD中，E是AB延长线上的一点，DE交BC于F.
求证：eq \f(DC,AE)＝eq \f(CF,AD).
4．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，M为BC的中点，DM⊥BC交CA的延长线于D，交AB于E.
求证：AM2＝MD·ME.
【类型】三、构造相似三角形法
5．如图，在等边三角形ABC中，点P是BC边上任意一点，AP的垂直平分线分别交AB，AC于点M，N.
求证：BP·CP＝BM·CN.
【类型】四、等比过渡法
6．如图，在△ABC中，AB＝AC，DE∥BC，点F在边AC上，DF与BE相交于点G，且∠EDF＝∠ABE.
求证：(1)△DEF∽△BDE；
(2)DG·DF＝DB·EF.
7．如图，CE是Rt△ABC斜边上的高，在EC的延长线上任取一点P，连接AP，作BG⊥AP于点G，交CE于点D.
求证：CE2＝DE·PE.
【类型】五、两次相似法
8．如图，在Rt△ABC中，AD是斜边BC上的高，∠ABC的平分线BE交AC于E，交AD于F.
求证：eq \f(BF,BE)＝eq \f(AB,BC).
9．如图，在▱ABCD中，AM⊥BC，AN⊥CD，垂足分别为M，N.求证：
(1)△AMB∽△AND；
(2)eq \f(AM,AB)＝eq \f(MN,AC).
【类型】六、等积代换法
10．如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F.
求证：eq \f(AE,AF)＝eq \f(AC,AB).
【类型】七、等线段代换法
11．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，点P是AD上一点，CF∥AB，延长BP交AC于点E，交CF于点F，
求证：BP2＝PE·PF.
12．如图，已知AD平分∠BAC，AD的垂直平分线EP交BC的延长线于点P.
求证：PD2＝PB·PC.
【题型讲解】
【题型】一、相似图形的概念和性质
例1、如图，在△ABC中，DE∥AB，且＝，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【题型】二、平行线分线段成比例定理
例2、如图，在中，，，，，则的长为（ ）
A．6B．7C．8D．9
【题型】三、相似三角形的判定
例3、如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍然无法判定的是（ ）
A．B．C．D．
【题型】四、相似三角形的性质
例4、如图，在中，D、E分别是AB和AC的中点，，则（ ）
A．30B．25C．22．5D．20
【题型】五、利用相似三角形解决实际问题
例5、为测量某河的宽度，小军在河对岸选定一个目标点A，再在他所在的这一侧选点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，然后找出AD与BC的交点E，如图所示．若测得BE＝90 m，EC＝45 m，CD＝60 m，则这条河的宽AB等于( )
A．120 mB．67.5 mC．40 mD．30 m
【题型】六、位似图形的概念与性质
例6、如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．已知OA∶OD=1∶2，则△ABC与△DEF的面积比为（ ）
A．1∶2B．1∶3C．1∶4D．1∶5
【题型】七、平面直角坐标系与位似图形
例7、如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为2：5，且三角板的一边长为8cm．则投影三角板的对应边长为（ ）
A．20cmB．10cmC．8cmD．3.2cm
相似三角形（达标训练）
一、单选题
1．如图，已知，，则与的周长之比为（ ）
A．B．C．D．
2．如图，在中，高、相交于点图中与一定相似的三角形有（ ）
A．个B．个C．个D．个
3．在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，则△ADE与△ABC的面积之比为（ ）
A．B．C．D．
4．如图，D是的边BC上的一点，那么下列四个条件中，不能够判定△ABC与△DBA相似的是（ ）
A．B．
C．D．
5．已知∽，和是它们的对应角平分线，若，，则与的面积比是（ ）
A．：B．：C．：D．；
二、填空题
6．如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高为1.5m，测得AB＝3m，AC＝10m，则建筑物CD的高是_____m．
7．如图所示，要使，需要添加一个条件__________（填写一个正确的即可）
三、解答题
8．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC边上的点，且AD:AB=AE:AC=2:3．
(1)求证：△ADE∽△ABC；
(2)若DE=4，求BC的长．
相似三角形（提升测评）
一、单选题
1．如图，在菱形ABCD中，点E在AD边上，EF∥CD，交对角线BD于点F，则下列结论中错误的是（ ）
A．B．C．D．
2．如图1为一张正三角形纸片，其中点在上，点在上．今以为折线将点往右折后，、分别与相交于点、点，如图2所示．若，，，，则的长度为多少？（ ）
A．7B．8C．9D．10
3．如图，在平面直角坐标系中有A，两点，其中点A的坐标是（-2，1），点的横坐标是，连接，已知，则点B的纵坐标是（ ）
A．B．C．D．
4．如图，D是的边上的一点，过点D作的平行线交于点E，连接，过点D作的平行线交于点F，则下列结论错误的是（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
5．如图，小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子落在了地上和墙上，此时测得地面上的影长为4m，墙上的影子长为1m，同一时刻一根长为1m的垂直于地面上的标杆的影长为0.5m，则树的高度为______m．
6．如图，梯形中，，，点在的延长线上，与相交于点，与边相交于点．如果，那么与的面积之比等于______．
三、解答题
7．如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，连接AF交CG于点K，H是AF的中点，连接CH．
(1)求tan∠GFK的值；
(2)求CH的长．
8．如图所示，的顶点在矩形对角线的延长线上，与交于点，连接，满足∽其中对应对应对应
(1)求证：．
(2)若，求的值．
解直角三角形的应用
相似图形
在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形.
相似多边形
若两个边数相同的多边形，它们的对应角相等、对应边成比例，则这两个多边形叫做相似多边形。
特征：对应角相等，对应边成比例。
比例线段的定义
在四条线段a，b，c，d中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，即(或a∶b＝c∶d)，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．
比例线段的性质
(1)基本性质：eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)ad＝bc；
(2)合比性质：eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)eq \f(a＋b,b)＝eq \f(c＋d,d)；
(3)等比性质：
若eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)＝…＝eq \f(m,n)(b＋d＋…＋n≠0)，那么eq \f(a＋c＋…＋m,b＋d＋…＋n)＝eq \f(a,b).
黄金分割
点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果eq \f(AC,AB)＝eq \f(BC,AC)，则线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比．
相似三角形
定义
各角对应相等，各边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形．
判定
(1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似；
(2)两角对应相等，两三角形相似；
(3)两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；
(4)三边对应成比例，两三角形相似；
(5)斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．
性质
(1)相似三角形的对应角相等，对应边成比例；
(2)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比；
(3)相似三角形周长的比等于相似比；
(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方
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