【中考一轮复习】2023年中考数学通用版考点梳理+练习——第20讲 相似三角形（含答案）

这是一份【中考一轮复习】2023年中考数学通用版考点梳理+练习——第20讲 相似三角形（含答案），共9页。试卷主要包含了比例的性质，平行线分线段成比例，黄金分割，生活中到处可见黄金分割的美等内容，欢迎下载使用。

考 点 清 单
考点1 比例与比例线段
1．比例的性质
(1)基本性质：如果eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)，那么① ＝bc(b，d≠0)．
(2)合比、分比性质：如果eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)，那么eq \f(a±b,b)＝eq \f(c±d,d)(b，d≠0)．
(3)等比性质：如果eq \f(a,b)＝eq \f(c,d)＝…＝eq \f(m,n)(b＋d＋…＋n≠0)，那么eq \f(a＋c＋…＋m,b＋d＋…＋n)＝② .
2．平行线分线段成比例
(1)基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．
如图1，如果l3∥l4∥l5，直线l1，l2被l3，l4，l5所截，那么eq \f(AB,BC)＝eq \f(DE,EF)，eq \f(AB,AC)＝eq \f(DE,DF)，eq \f(BC,AC)＝eq \f(EF,DF)，…
(2)推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例．
如图2，DE∥BC，则eq \f(AD,DB)＝eq \f(AE,EC)，eq \f(AD,AB)＝③ .
3．黄金分割
如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果eq \f(AC,AB)＝eq \f(BC,AC)，那么就说线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫黄金比，即eq \f(AC,AB)＝eq \f(\r(5)－1,2)≈0.618.
考点2 相似三角形
1．相似三角形的性质与判定
2．相似三角形的判定思路
eq \a\vs4\al\c1(思,路)eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(有平行截线——用平行线的性质，找等角,有一对等角，找\b\lc\{(\a\vs4\al\c1(另一对等角,该等角的两边对应成比例)),有两边对应成比例，找\b\lc\{(\a\vs4\al\c1(夹角相等,第三边也对应成比例,一对直角)),直角三角形，找\b\lc\{(\a\vs4\al\c1(一对锐角相等,两组直角边对应成比例)),等腰三角形，找\b\lc\{(\a\vs4\al\c1(顶角相等,一对底角相等,底和腰对应成比例))))
考点3 相似多边形及其性质
1．定义：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做相似比．
2．性质
(1)相似多边形的对应角相等，对应边⑨ .
(2)相似多边形对应边的比、周长的比等于⑩ ，面积比等于相似比的平方．
强 化 演 练
基础练
1．下列各组线段中，能成比例的是( )
A．1 cm，3 cm，4 cm，6 cm B．30 cm，12 cm，0.8 cm，0.2 cm
C．0.1 cm，0.2 cm，0.3 cm，0.4 cm D．15 cm，16 cm，40 cm，6 cm
2．如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC＝∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的( )
A．eq \f(AC,AD)＝eq \f(AB,AE) B．eq \f(AC,AD)＝eq \f(BC,DE) C．eq \f(AC,AD)＝eq \f(AB,DE) D．eq \f(AC,AD)＝eq \f(BC,AE)
3．已知△ABC∽△DEF.若周长比为4∶9，则AC∶DF等于( )
A．4∶9 B．16∶81 C．3∶5 D．2∶3
4．如图，在△ECD中，∠C＝90°，AB⊥EC于点B，AB＝1.2，EB＝1.6，BC＝12.4，则CD的长是( )
A．14 B．12.4 C．10.5 D．9.3
5．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，若△ADE的面积是3 cm2，则四边形BDEC的面积为( )
A．12 cm2 B．9 cm2 C．6 cm2 D．3 cm2
6．如图，在△ABC中，BE，CD分别是AC，AB边上的高，且BC＝eq \r(10)DE，BE＝6，则AE的值为( )
A．eq \f(3,2) B．2 C．eq \r(2) D．eq \r(3)
7．如图，线段AB∥CD，连接AD，BC交于点O，若CD＝2AB，则下列选项中错误的是( )
A．△AOB∽△DOC B．eq \f(AO,OC)＝eq \f(1,2)
C．eq \f(△AOB的面积,△DOC的面积)＝eq \f(1,4) D．eq \f(△AOB的周长,△DOC的周长)＝eq \f(1,2)
8．生活中到处可见黄金分割的美．如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感．若图中b为2米，则a约为( )
A．1.24米 B．1.38米 C．1.42米 D．1.62米
9．如图，在△ABC中，D为BC边上的一点，且AD＝AB＝2，AD⊥AB.过点D作DE⊥AD，DE交AC于点E.若DE＝1，则△ABC的面积为( )
A．4eq \r(2) B．4 C．2eq \r(5) D．8
10．如图，在四边形ABCD中，∠ADB＝∠ACB＝90°，∠DAB＝55°，∠ABC＝65°.则eq \f(DC,AB)的值为( )
A．eq \f(\r(3),3) B．eq \f(1,2) C．eq \f(\r(3),2) D．eq \r(3)
11．如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A.在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，DC⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE＝20 m，EC＝10 m，CD＝20 m．则河的宽度AB等于( )
A．60 m B．40 m C．30 m D．20 m
12．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，O是AB的中点，OE⊥AC于点E，若OE＝3，OB＝5，则CD的长度是( )
A．4.8 B．2eq \r(5) C．eq \f(5\r(3),2) D．5
13．已知eq \f(x,2)＝eq \f(y,3)＝eq \f(z,4)，则eq \f(x2＋xy,yz)＝ .
14．如图，在△ABC中，D为BC上一点，BC＝eq \r(3)AB＝3BD，则AD∶AC的值为 .
15．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，AB＝AD＝12，BC＝15，连接BD，AE⊥BD，垂足为E，则AE的长为 .
16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点B作BD⊥CB，垂足为B，且BD＝3，连接CD，与AB相交于点M，过点M作MN⊥CB，垂足为N.若AC＝2，则MN的长为 .
17．如图，在△ABC和△DEC中，∠A＝∠D，∠BCE＝∠ACD.
(1)求证：△ABC∽△DEC；
(2)若S△ABC∶S△DEC＝4∶9，BC＝6，求EC的长．
18．如图，在△ABC中，D在AC上，DE∥BC，DF∥AB.
(1)求证：△DFC∽△AED；
(2)若CD＝eq \f(1,3)AC，求eq \f(S△DFC,S△AED)的值．
19．如图，点O是Rt△ABC斜边AB的中点，点D是BA延长线上一点，∠DCA＝∠ABC，过点B作BE⊥DC，交DC的延长线于点E.
(1)求证：OC⊥DC；
(2)若eq \f(OA,OD)＝eq \f(2,3)，BE＝3，求DA的长．
强化练
20．如图，在Rt△ABC中，AB＝6，AC＝8，∠BAC＝90°，D，E为AB，AC边上的两个动点，且DE＝6，F为DE的中点，则eq \f(1,2)BF＋CF的最小值为( )
A．2eq \r(13) B．eq \r(73) C．eq \f(3\r(5)＋10,2) D．eq \f(\r(265),2)
21．如图，在△ABC中，点D是AB边上的一点，且AD＝3BD，连接CD并取CD的中点E，连接BE.若∠ACD＝∠BED＝45°，且CD＝6eq \r(2)，则AB的长为 .
22．如图，BE是△ABC的中线，点F在BE上，延长AF交BC于点D.若BF＝3FE，则eq \f(BD,DC)＝ .
提升练
23．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝CD，O是对角线AC的中点，连接BO并延长交边CD或边AD于点E.
(1)当点E在CD上．
①求证：△DAC∽△OBC；
②若BE⊥CD，求eq \f(AD,BC)的值；
(2)若DE＝2，OE＝3，求CD的长．
参 考 答 案
考点清单
①ad ②eq \f(a,b) ③eq \f(AE,AC) ④相等 ⑤成比例 ⑥相似比 ⑦相似比的平方 ⑧夹角 ⑨成比例 ⑩相似比
强化演练
1. D 2. C 3. A 4. C 5. B 6. B 7. B 8. A 9. B 10. B 11. B 12. A 13. eq \f(5,6) 14. eq \f(\r(3),3) 15. 3eq \r(6) 16. eq \f(6,5)
17. (1)证明：∵∠BCE＝∠ACD，∴∠BCE＋∠ACE＝∠ACD＋∠ACE，∴∠DCE＝∠ACB. 又∵∠A＝∠D，∴△ABC∽△DEC.
(2)解：∵△ABC∽△DEC，∴eq \f(S△ABC,S△DEC)＝(eq \f(CB,CE))2＝eq \f(4,9). 又∵BC＝6，∴CE＝9.
18. (1)证明：∵DF∥AB，DE∥BC，∴∠DFC＝∠ABF，∠AED＝∠ABF，∴∠DFC＝∠AED. 又∵DE∥BC，∴∠DCF＝∠ADE，∴△DFC∽△AED.
(2)解：∵CD＝eq \f(1,3)AC，∴eq \f(CD,DA)＝eq \f(1,2)，∴△DFC和△AED的相似比为eq \f(1,2)，∴eq \f(S△DFC,S△AED)＝(eq \f(CD,DA))2＝(eq \f(1,2))2＝eq \f(1,4).
19. (1)证明：∵OA＝OB，∠ACB＝90°，∴OB＝OC，∠ACO＋∠OCB＝90°，∴∠OCB＝∠OBC，∴∠ACO＋∠OBC＝90°. ∵∠ABC＝∠DCA，∴∠DCA＋∠ACO＝90°，即∠DCO＝90°，∴OC⊥DC.
(2)解：∵eq \f(OA,OD)＝eq \f(2,3)，且OA＝OB，设OA＝OB＝2x，则OD＝3x，∴DB＝OD＋OB＝5x，∴eq \f(OD,BD)＝eq \f(3,5). ∴∠DCO＝∠E＝90°，∠DOC＝∠DBE，又∵BE⊥DC，OC⊥DC，∴OC∥BE，∴∠DCO＝∠E＝90°，∠DOC＝∠DBE. ∴△DCO∽△DEB，∴eq \f(OC,BE)＝eq \f(OD,BD)＝eq \f(3,5). ∵BE＝3，∴OC＝eq \f(9,5)，由(1)可知OC＝OB，∴2x＝eq \f(9,5)，∴x＝eq \f(9,10)，∴AD＝OD－OA＝x＝eq \f(9,10)，即AD的长为eq \f(9,10).
20. D 21. 4eq \r(13) 22. eq \f(3,2)
23. (1)①证明：∵AD＝CD，∴∠DAC＝∠DCA. ∵AD∥BC，∴∠DAC＝∠ACB. ∵BO是Rt△ABC斜边AC上的中线，∴OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠DAC＝∠DCA＝∠ACB＝∠OBC，∴△DAC∽△OBC.
②解：若BE⊥CD，如图1. 在Rt△BCE中，∵∠OCE＝∠OCB＝∠EBC，∴∠OCE＝∠OCB＝∠EBC＝30°. 过点D作DH⊥BC于点H，设AD＝CD＝2m，则BH＝AD＝2m. 在Rt△DCH中，∵DC＝2m，∠DCH＝60°，∴CH＝m，∴BC＝BH＋CH＝3m，∴eq \f(AD,BC)＝eq \f(2m,3m)＝eq \f(2,3).
(2)解：①如图2，当点E在AD上时．∵AD∥BC，∴∠EAO＝∠BCO，∠AEO＝∠CBO. ∵O是AC的中点，∴OA＝OC，∴△AOE≌△COB(AAS)，∴OB＝OE，∴四边形ABCE是平行四边形．又∵∠ABC＝90°，∴四边形ABCE是矩形．设AD＝CD＝x，∵DE＝2，∴AE＝x－2. ∵OE＝3，∴AC＝6. 在Rt△ACE和Rt△DCE中，CE2＝AC2－AE2，CE2＝CD2－DE2，∴62－(x－2)2＝x2－22，解得x＝1＋eq \r(19)或x＝1－eq \r(19)(舍去)，∴CD＝1＋eq \r(19).
②当点E在CD上时，设AD＝CD＝x，则CE＝x－2，设OB＝OC＝m，∵OE＝3，∴EB＝m＋3. ∵△DAC∽△OBC，∴eq \f(DC,OC)＝eq \f(AC,BC)，∴eq \f(x,m)＝eq \f(2OC,BC)，∴eq \f(OC,BC)＝eq \f(x,2m). 又∵∠EBC＝∠OCE，∠BEC＝∠OEC，∴△EOC∽△ECB，∴eq \f(OE,EC)＝eq \f(EC,EB)＝eq \f(OC,CB)，∴eq \f(3,x－2)＝eq \f(x－2,m＋3)＝eq \f(OC,CB)，∴eq \f(3,x－2)＝eq \f(x－2,m＋3)＝eq \f(x,2m)，∴m＝eq \f(x2－2x,6)，将m＝eq \f(x2－2x,6)代入eq \f(3,x－2)＝eq \f(x－2,m＋3)，整理，得x2－6x－10＝0，解得x＝3＋eq \r(19)或x＝3－eq \r(19)(舍去)，∴CD＝3＋eq \r(19). 综上所述，CD的长为1＋eq \r(19)或3＋eq \r(19).

图1 图2
性质
(1)相似三角形的对应角④ ，对应边⑤ ；
(2)相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于⑥ ；
(3)相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于⑦
判定
(1)两角对应相等，两三角形相似；
(2)两边对应成比例且⑧ 相等，两三角形相似；
(3)三边对应成比例，两三角形相似；
(4)平行于三角形一边的直线和其他两边或两边的延长线相交，所构成的三角形与原三角形相似