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【中考一轮复习】2023年中考数学通用版考点梳理+练习——第7讲 分式方程及其应用（含答案）
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这是一份【中考一轮复习】2023年中考数学通用版考点梳理+练习——第7讲 分式方程及其应用（含答案），共6页。试卷主要包含了一元二次方程，一般形式，一元二次方程的解法，下列方程中，没有实数根的是等内容，欢迎下载使用。
考 点 清 单
考点1 一元二次方程及其解法
1．一元二次方程：只含有① 个未知数，并且未知数的最高次数是② 的整式方程叫做一元二次方程．
2．一般形式：
3．一元二次方程的解法
【易错警示】方程求解过程中，等号两边不能同时约去含有未知数的相同因式．
考点2 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
1．概念：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况可由⑥ 来判定，我们将b2－4ac称为根的判别式．
2．一元二次方程根的情况与根的判别式的关系
(1)b2－4ac＞0⇔方程有两个⑦ 的实数根；
(2)b2－4ac＝0⇔方程有两个⑧ 的实数根；
(3)b2－4ac＜0⇔方程⑨ 实数根．
【易错警示】(1)使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，那么要加上二次项系数不为0这个限制条件；(2)b2－4ac≥0⇔一元二次方程有实数根．
*3．一元二次方程根与系数的关系
如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根分别是x1，x2，那么x1＋x2＝⑩ ，x1x2＝⑪ .
考点3 一元二次方程的应用
1．平均增长率(下降率)模型
设a为变化前的量，b为变化后的量．
当x为平均增长率，增长次数为2时，有a(1＋x)2＝b；
当x为平均下降率，下降次数为2时，有a(1－x)2＝b.
2．几何图形面积模型
(1)如图1，设阴影部分的宽为x，则S空白＝⑫ .
(2)如图2，图3，设阴影部分的宽为x，则S空白＝⑬ .
【温馨提示】解决此类题应注意解出来的x值需要讨论是否符合题意．
3．握手、单循环赛与送礼物模型
若n(n≥2)个人相互之间握手(或进行单循环赛)，则握手(或进行单循环赛)总次数为eq \f(n(n－1),2)；
若n(n≥2)个人相互赠送礼物，则礼物总份数为n(n－1)．
强 化 演 练
基础练
1．如果2是方程x2－c＝0的一个根，那么c的值是( )
A．4 B．－4 C．2 D．－2
2．用配方法解方程x2＋4x＋1＝0时，配方结果正确的是( )
A．(x－2)2＝5 B．(x－2)2＝3
C．(x＋2)2＝5 D．(x＋2)2＝3
3．方程(x－1)(x＋3)＝x－1的根是( )
A．x＝1 B．x1＝－3，x2＝1
C．x1＝－2，x2＝1 D．x1＝－3，x2＝0
4．已知关于x的方程x2＋2x＋a＝0有两个相等的实数根，则a的值为( )
A．－1 B．0 C．1 D．4
5．关于x的一元二次方程x2－(a＋2)x＋a＝0根的情况为( )
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
6．下列方程中，没有实数根的是( )
A．x2－2x＋1＝0 B．x2－2x－1＝0
C．x2－2x＋2＝0 D．kx2－x－k＝0
7．已知一元二次方程x2－3x＋1＝0的两根为x1，x2，则xeq \\al(2,1)－5x1－2x2的值为( )
A．－7 B．－3 C．2 D．5
8．口罩成为近期人们必备的物品，某服装厂加工口罩，为满足市场需求，该厂改进了生产技术，这样月增长率为10%，如果该厂3月份生产15万个，那么该厂首次突破20万个口罩的月份是( )
A．5月 B．6月 C．7月 D．8月
9．如果x2＝4，则x＝ .
10．若x2＋x－1＝0，则3x－eq \f(3,x)＝ .
11．在国家积极研发和生产调配下，某种型号的医疗器械连续两年降价，第一年下降20%，第二年下降80%，那么该医疗器械这两年的平均降价率是 .
12．解方程：(x－3)2＝4.
13．小敏与小霞两位同学解方程3(x－3)＝(x－3)2的过程如下框：
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
14．据报道，某省2018年全省GDP约为3万亿元，虽然2019年因疫情对经济产生了巨大影响，但在全省人民的共同努力下，2020年全省GDP仍然达到约3.9万亿元．若2019年、2020年全省GDP逐年增长，请解答下列问题：
(1)求2019年、2020年某省全省GDP年平均增长率(eq \r(1.3)≈1.14)；
(2)如果2021年和2022年某省全省GDP仍保持相同的平均增长率，请预测2022年全省GDP能达到约多少万亿元？
15．某种农产品今年第一季度价格大幅度下降，下降后每千克的价格是原价格的eq \f(2,3)，下降后，用60元买这种农产品比原来多买了2千克．
(1)求该种农产品下降后的价格；
(2)从第二季度开始，该种农产品的价格开始回升，经过两个季度，该种农产品的价格上升到每千克14.4元．求第二和第三季度该种农产品价格的平均增长率．
强化练
16．已知关于x的一元二次方程x2－2x＋m－1＝0有两个不相等的实数根．若m为非负整数，且该方程的根都是整数，则m的值为( )
A．1 B．0 C．0或1 D．m＜2
17．某服装店以每件30元的价格购进一批T恤，如果以每件40元出售，那么一个月内能售出300件，根据以往销售经验，销售单价每提高1元销售量就会减少10件，设T恤的销售单价提高x元．
(1)服装店希望一个月内销售该种T恤能获得利润3 360元，并且尽可能减少库存，问T恤的销售单价应提高多少元？
(2)当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种T恤获得的利润最大？最大利润是多少元？
提升练
18．定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q，有[m，p]※[q，n]＝mn＋pq，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：[2，3]※[4，5]＝2×5＋3×4＝22.若关于x的方程[x2＋1，x]※[5－2k，k]＝0有两个实数根，则k的取值范围是( )
A．k＜eq \f(5,4)且k≠0 B．k≤eq \f(5,4) C．k≤eq \f(5,4)且k≠0 D．k≥eq \f(5,4)
参 考 答 案
考点清单
①一 ②2 ③1 ④eq \f(－b±\r(b2－4ac),2a) ⑤＜ ⑥b2－4ac ⑦不相等 ⑧相等 ⑨没有 ⑩－eq \f(b,a) ⑪eq \f(c,a)
⑫(a－2x)(b－2x) ⑬(a－x)(b－x)
强化演练
1. A 2. D 3. C 4. C 5. A 6. C 7. A 8. C 9. ±2 10. －3 11. 60%
12. 解：两边同时开平方，得x－3＝±2，解得x1＝1，x2＝5.
13. 解：小敏：×；小霞：×．
正确的解答方法：移项，得3(x－3)－(x－3)2＝0，提取公因式，得(x－3)(3－x＋3)＝0，则x－3＝0或3－x＋3＝0，解得x1＝3，x2＝6.
14. 解：(1)设2019年、2020年某省全省GDP年平均增长率为x，依题意得3(1＋x)2＝3.9，解得x1＝0.14＝14%，x2＝－2.14(不合题意，舍去)．答：2019年、2020年某省全省GDP年平均增长率约为14%.
(2)根据题意知，3.9×(1＋14%)2≈5.07(万亿元)．答：预测2022年全省GDP能达到约5.07万亿元．
15. 解：(1)设该种农产品的原价格是x元/千克，则下降后的价格是eq \f(2,3)x元/千克，根据题意，得eq \f(60,\f(2,3)x)＝eq \f(60,x)＋2，解得x＝15，经检验x＝15是原方程的根，且符合题意，故eq \f(2,3)x＝10. 答：该种农产品下降后的价格是每千克10元．
(2)设第二和第三季度该种农产品价格的平均增长率是a，根据题意，得10(1＋a)2＝14.4，解得a＝0.2＝20%或a＝－2.2(不合题意，舍去)．答：第二和第三季度该种农产品价格的平均增长率是20%.
16. A
17. 解：(1)由题意，列方程得(x＋40－30)(300－10x)＝3 360，解得x1＝2，x2＝18. ∵要尽可能减少库存，∴x2＝18不合题意，故舍去，∴T恤的销售单价应提高2元．
(2)设利润为W元，由题意可得W＝(x＋40－30)(300－10x)＝－10x2＋200x＋3 000＝－10(x－10)2＋4 000，∴当x＝10时，W最大值为4 000元，∴销售单价为40＋10＝50(元)，∴当服装店将销售单价定为50元时，得到最大利润是4 000元．
解法
适用方程类型
步骤
直接开平方法
对于形如(x＋a)2＝b(b≥0)的方程
(1)方程两边同时开方，得x＋a＝±eq \r(b)；
(2)将方程的解写成x＝±eq \r(b)－a的形式
配方法
所有一元二次方程
(1)若二次项系数不为1，先把系数化为③ 再配方；
(2)把常数项移到方程的另一边；
(3)方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
(4)把方程整理成(x＋a)2＝b的形式；
(5)运用直接开平方法解方程
公式法
所有一元二次方程
(1)将方程化成一般形式；
(2)确定a，b，c的值(注意符号)；
(3)若b2－4ac≥0，则代入求根公式x＝④ ；若b2－4ac⑤ 0，则方程没有实数根
因式
分解法
方程一边为0，另一边能分解成两个一次因式的积
(1)将方程一边化为0；
(2)把方程的另一边分解为两个一次因式的积；
(3)令每个因式分别为0，转化为两个一元一次方程；
(4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的根
小敏
两边同除以(x－3)，得
3＝x－3，
则x＝6.
小霞
移项，得3(x－3)－(x－3)2＝0，
提取公因式，得(x－3)(3－x－3)＝0，
则x－3＝0或3－x－3＝0，
解得x1＝3，x2＝0.
考 点 清 单
考点1 一元二次方程及其解法
1．一元二次方程：只含有① 个未知数，并且未知数的最高次数是② 的整式方程叫做一元二次方程．
2．一般形式：
3．一元二次方程的解法
【易错警示】方程求解过程中，等号两边不能同时约去含有未知数的相同因式．
考点2 一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
1．概念：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的情况可由⑥ 来判定，我们将b2－4ac称为根的判别式．
2．一元二次方程根的情况与根的判别式的关系
(1)b2－4ac＞0⇔方程有两个⑦ 的实数根；
(2)b2－4ac＝0⇔方程有两个⑧ 的实数根；
(3)b2－4ac＜0⇔方程⑨ 实数根．
【易错警示】(1)使用根的判别式解决问题时，如果二次项系数中含有字母，那么要加上二次项系数不为0这个限制条件；(2)b2－4ac≥0⇔一元二次方程有实数根．
*3．一元二次方程根与系数的关系
如果一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两根分别是x1，x2，那么x1＋x2＝⑩ ，x1x2＝⑪ .
考点3 一元二次方程的应用
1．平均增长率(下降率)模型
设a为变化前的量，b为变化后的量．
当x为平均增长率，增长次数为2时，有a(1＋x)2＝b；
当x为平均下降率，下降次数为2时，有a(1－x)2＝b.
2．几何图形面积模型
(1)如图1，设阴影部分的宽为x，则S空白＝⑫ .
(2)如图2，图3，设阴影部分的宽为x，则S空白＝⑬ .
【温馨提示】解决此类题应注意解出来的x值需要讨论是否符合题意．
3．握手、单循环赛与送礼物模型
若n(n≥2)个人相互之间握手(或进行单循环赛)，则握手(或进行单循环赛)总次数为eq \f(n(n－1),2)；
若n(n≥2)个人相互赠送礼物，则礼物总份数为n(n－1)．
强 化 演 练
基础练
1．如果2是方程x2－c＝0的一个根，那么c的值是( )
A．4 B．－4 C．2 D．－2
2．用配方法解方程x2＋4x＋1＝0时，配方结果正确的是( )
A．(x－2)2＝5 B．(x－2)2＝3
C．(x＋2)2＝5 D．(x＋2)2＝3
3．方程(x－1)(x＋3)＝x－1的根是( )
A．x＝1 B．x1＝－3，x2＝1
C．x1＝－2，x2＝1 D．x1＝－3，x2＝0
4．已知关于x的方程x2＋2x＋a＝0有两个相等的实数根，则a的值为( )
A．－1 B．0 C．1 D．4
5．关于x的一元二次方程x2－(a＋2)x＋a＝0根的情况为( )
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
6．下列方程中，没有实数根的是( )
A．x2－2x＋1＝0 B．x2－2x－1＝0
C．x2－2x＋2＝0 D．kx2－x－k＝0
7．已知一元二次方程x2－3x＋1＝0的两根为x1，x2，则xeq \\al(2,1)－5x1－2x2的值为( )
A．－7 B．－3 C．2 D．5
8．口罩成为近期人们必备的物品，某服装厂加工口罩，为满足市场需求，该厂改进了生产技术，这样月增长率为10%，如果该厂3月份生产15万个，那么该厂首次突破20万个口罩的月份是( )
A．5月 B．6月 C．7月 D．8月
9．如果x2＝4，则x＝ .
10．若x2＋x－1＝0，则3x－eq \f(3,x)＝ .
11．在国家积极研发和生产调配下，某种型号的医疗器械连续两年降价，第一年下降20%，第二年下降80%，那么该医疗器械这两年的平均降价率是 .
12．解方程：(x－3)2＝4.
13．小敏与小霞两位同学解方程3(x－3)＝(x－3)2的过程如下框：
你认为他们的解法是否正确？若正确请在框内打“√”；若错误请在框内打“×”，并写出你的解答过程．
14．据报道，某省2018年全省GDP约为3万亿元，虽然2019年因疫情对经济产生了巨大影响，但在全省人民的共同努力下，2020年全省GDP仍然达到约3.9万亿元．若2019年、2020年全省GDP逐年增长，请解答下列问题：
(1)求2019年、2020年某省全省GDP年平均增长率(eq \r(1.3)≈1.14)；
(2)如果2021年和2022年某省全省GDP仍保持相同的平均增长率，请预测2022年全省GDP能达到约多少万亿元？
15．某种农产品今年第一季度价格大幅度下降，下降后每千克的价格是原价格的eq \f(2,3)，下降后，用60元买这种农产品比原来多买了2千克．
(1)求该种农产品下降后的价格；
(2)从第二季度开始，该种农产品的价格开始回升，经过两个季度，该种农产品的价格上升到每千克14.4元．求第二和第三季度该种农产品价格的平均增长率．
强化练
16．已知关于x的一元二次方程x2－2x＋m－1＝0有两个不相等的实数根．若m为非负整数，且该方程的根都是整数，则m的值为( )
A．1 B．0 C．0或1 D．m＜2
17．某服装店以每件30元的价格购进一批T恤，如果以每件40元出售，那么一个月内能售出300件，根据以往销售经验，销售单价每提高1元销售量就会减少10件，设T恤的销售单价提高x元．
(1)服装店希望一个月内销售该种T恤能获得利润3 360元，并且尽可能减少库存，问T恤的销售单价应提高多少元？
(2)当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种T恤获得的利润最大？最大利润是多少元？
提升练
18．定义新运算“※”：对于实数m，n，p，q，有[m，p]※[q，n]＝mn＋pq，其中等式右边是通常的加法和乘法运算，例如：[2，3]※[4，5]＝2×5＋3×4＝22.若关于x的方程[x2＋1，x]※[5－2k，k]＝0有两个实数根，则k的取值范围是( )
A．k＜eq \f(5,4)且k≠0 B．k≤eq \f(5,4) C．k≤eq \f(5,4)且k≠0 D．k≥eq \f(5,4)
参 考 答 案
考点清单
①一 ②2 ③1 ④eq \f(－b±\r(b2－4ac),2a) ⑤＜ ⑥b2－4ac ⑦不相等 ⑧相等 ⑨没有 ⑩－eq \f(b,a) ⑪eq \f(c,a)
⑫(a－2x)(b－2x) ⑬(a－x)(b－x)
强化演练
1. A 2. D 3. C 4. C 5. A 6. C 7. A 8. C 9. ±2 10. －3 11. 60%
12. 解：两边同时开平方，得x－3＝±2，解得x1＝1，x2＝5.
13. 解：小敏：×；小霞：×．
正确的解答方法：移项，得3(x－3)－(x－3)2＝0，提取公因式，得(x－3)(3－x＋3)＝0，则x－3＝0或3－x＋3＝0，解得x1＝3，x2＝6.
14. 解：(1)设2019年、2020年某省全省GDP年平均增长率为x，依题意得3(1＋x)2＝3.9，解得x1＝0.14＝14%，x2＝－2.14(不合题意，舍去)．答：2019年、2020年某省全省GDP年平均增长率约为14%.
(2)根据题意知，3.9×(1＋14%)2≈5.07(万亿元)．答：预测2022年全省GDP能达到约5.07万亿元．
15. 解：(1)设该种农产品的原价格是x元/千克，则下降后的价格是eq \f(2,3)x元/千克，根据题意，得eq \f(60,\f(2,3)x)＝eq \f(60,x)＋2，解得x＝15，经检验x＝15是原方程的根，且符合题意，故eq \f(2,3)x＝10. 答：该种农产品下降后的价格是每千克10元．
(2)设第二和第三季度该种农产品价格的平均增长率是a，根据题意，得10(1＋a)2＝14.4，解得a＝0.2＝20%或a＝－2.2(不合题意，舍去)．答：第二和第三季度该种农产品价格的平均增长率是20%.
16. A
17. 解：(1)由题意，列方程得(x＋40－30)(300－10x)＝3 360，解得x1＝2，x2＝18. ∵要尽可能减少库存，∴x2＝18不合题意，故舍去，∴T恤的销售单价应提高2元．
(2)设利润为W元，由题意可得W＝(x＋40－30)(300－10x)＝－10x2＋200x＋3 000＝－10(x－10)2＋4 000，∴当x＝10时，W最大值为4 000元，∴销售单价为40＋10＝50(元)，∴当服装店将销售单价定为50元时，得到最大利润是4 000元．
解法
适用方程类型
步骤
直接开平方法
对于形如(x＋a)2＝b(b≥0)的方程
(1)方程两边同时开方，得x＋a＝±eq \r(b)；
(2)将方程的解写成x＝±eq \r(b)－a的形式
配方法
所有一元二次方程
(1)若二次项系数不为1，先把系数化为③ 再配方；
(2)把常数项移到方程的另一边；
(3)方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
(4)把方程整理成(x＋a)2＝b的形式；
(5)运用直接开平方法解方程
公式法
所有一元二次方程
(1)将方程化成一般形式；
(2)确定a，b，c的值(注意符号)；
(3)若b2－4ac≥0，则代入求根公式x＝④ ；若b2－4ac⑤ 0，则方程没有实数根
因式
分解法
方程一边为0，另一边能分解成两个一次因式的积
(1)将方程一边化为0；
(2)把方程的另一边分解为两个一次因式的积；
(3)令每个因式分别为0，转化为两个一元一次方程；
(4)解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的根
小敏
两边同除以(x－3)，得
3＝x－3，
则x＝6.
小霞
移项，得3(x－3)－(x－3)2＝0，
提取公因式，得(x－3)(3－x－3)＝0，
则x－3＝0或3－x－3＝0，
解得x1＝3，x2＝0.
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