湖南省益阳市2022-2023学年高二上学期期末质量检测数学试题（含答案）

2022-2023学年湖南省益阳市上学期期末质量检测高二数学

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  直线的斜率为(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知等比数列中，，则(    )

A.  B.  C.  D.

3.  过点且与直线平行的直线方程是(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知抛物线的方程为，则其焦点坐标为(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知两个向量，，若，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  在四面体中，，，，，分别为，的中点，则(    )

A.  B.
C.  D.

7.  如图所示空间直角坐标系中，是正三棱柱的底面内一动点，，直线和底面所成角为，则点坐标满足(    )
 

A.  B.
C.  D.

8.  已知实数，，，满足，，，记，则的最大值是(    )

A.  B.  C.  D.

二、多选题（本大题共4小题，共20.0分。在每小题有多项符合题目要求）

9.  已知直线，其中为实常数，则(    )

A. 直线过一定点
B. 无论取何值，直线不经过原点
C. 当时，直线与轴交于它的负半轴
D. 当时，直线与坐标轴围成的三角形的面积是

10.  已知两个等差数列，的前项和分别为和，且，则使得为整数的的取值可以是(    )

A.  B.  C.  D.

11.  已知正方体的边长为，是棱的中点，则(    )

A.  B.
C.  D.

12.  已知点为双曲线的右支上一点，、为双曲线的两条渐近线，过点分别作，，垂足依次为、，为坐标原点，则(    )

A. 为定值
B.
C. 若是直角三角形时，的周长是
D. 若是正三角形时，

三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  已知两个向量，，则          ．

14.  双曲线的离心率，则          ．

15.  我们知道，平行于抛物线对称轴的光线不与对称轴重合经抛物线两次反射后，入射光线与最后的反射光线平行。如右图，若入射光线与最后的反射光线间的最小距离为，则此抛物线的标准方程为          ．

16.  在长方体中，，，点为棱上靠近点的三等分点，点是长方形内一动点含边界，且直线，与平面所成角的大小相等，则线段长度的取值范围为          ．

四、解答题（本大题共6小题，共70.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分

已知等差数列的前项和为，且，．

求数列的通项公式

若数列满足，求数列的前项和．

18.  本小题分

已知点和直线．

若直线经过点，且，求直线的方程

若直线过原点，且点到直线，的距离相等，求直线的方程．

19.  本小题分

如图，在平面直角坐标系中，过原点的直线与圆交于，两个不同的点，过原点且垂直于的直线与圆的一个交点为不与原点重合．

求直线的斜率的取值范围

若线段的中点为，且，求直线的方程．

20.  本小题分

已知数列满足，且

求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式

求数列的前项和．

21.  本小题分

如图甲，在矩形中，，为线段的中点，将沿直线折起，使得平面平面，如图乙．

求证：平面

线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为若存在，请确定点的位置若不存在，说明理由．

22.  本小题分

已知椭圆过点，离心率为，经过圆上一动点作两条直线，它们分别与椭圆恰有一个公共点，公共点分别记为、．

求椭圆的标准方程

求证：

求面积的最大值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查直线的斜率，化方程为斜截式是解决问题的关键，属基础题．
化方程为斜截式，由斜截式的特点可得．

【解答】

解：化直线的方程为斜截式可得：，
由斜截式的特点可知已知直线的斜率为：．

2.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查等比数列的性质，属基础题．

【解答】

解：已知等比数列中，，则．

3.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查待定系数法求直线方程，属于基础题．

【解答】

解：所求直线与直线平行，
设所求直线的方程为，
直线经过点，
，解得：，
故所求直线的方程为．

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了抛物线的简单性质，属于基础题．
根据抛物线的焦点坐标公式得出焦点坐标．

【解答】

解：抛物线方程为，
抛物线的焦点在轴的负半轴，，．
抛物线的焦点坐标为．
故选：．

5.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查空间向量共线的坐标表示，属基础题．

【解答】

解：，
存在实数使得，
解得，，
故选D．

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查空间向量的线性运算，属于基础题．

【解答】

解：，分别为，的中点，
，．
 

7.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查空间向量的坐标运算以及线面夹角问题，属于中档题．

【解答】

解：由题意可知点纵坐标，过作平面的垂线交平面于点，易知四边形为矩形，，所以在直角三角形中，由，可知，又，所以，故选A．

8.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查圆的轨迹方程，直线与圆的位置关系，属难题．

【解答】

解：由题意，，
设，，
则，在以原点为圆心，为半径的圆上，
由得．
设点，到直线的距离之和为，
则．
则本题可转化为求的最大值．
设点为点与点的中点，则．
故点轨迹方程为圆．
设点到直线的距离为，
则，圆上点到直线距离的最大值．
所以的最大值是．

9.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查直线过定点问题，直线得一般式方程，截距等，属于基础题．

【解答】

解：直线，
令，得，即直线过定点，故A对；
若直线过原点，则有，显然不成立，所以无论取何值，直线不经过原点，故B对；
当时，直线方程为，令，则，即直线与轴交于它的正半轴，故C错；
当时，直线方程为，则直线与轴、轴的交点坐标分别是，，得直线与坐标轴围成的三角形的面积是，故D对．

10.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查等差数列的性质、等差中项的综合应用，属于中档题．

【解答】

解：由等差数列的前项和公式可得
要使得为整数，需为整数，需为整数，故可能为，，，不可能为，
故选ACD．

11.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查空间向量的运算，属中档题．

【解答】

解：由，则不正确；
，故；
；
，，故选BC．

12.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查双曲线的渐近线，双曲线的标准方程，点到直线的距离公式，圆的几何性质等，属于综合题．

【解答】

解：由，，则，，，四点在以为直径的圆上，
由双曲线，可设：，：，则，
设，满足，
则，
由点到直线的距离的公式可得，．
同理可得，
所以．
，故A对．
因为，，，四点在以为直径的圆上，设、的中点为、，连接，，则，在直角中，，
又，，
所以 ，即，故B对；
若是直角三角形，则点或点与原点重合，
设点与原点重合，，，
在直角中，设，则，，
又，，得，
所以的周长是，当点与原点重合时结果相同，故C对；
当是正三角形时，，得，
在等腰中，边上的高，，
此时，点为双曲线的右顶点故D错．
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查向量的坐标运算，属于基础题．

【解答】

解：，

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查双曲线的离心率，属基础题．

【解答】

解：由题意得，故．

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查抛物线的标准方程，属于综合题．

【解答】

解：设抛物线的方程为，入射光线、第二次反射光线与抛物线的交点分别为、，
因为入射光线与最后的反射光线间的最小距离为，且一水平光线射到抛物线上一点，经抛物线反射后，反射光线必过焦点所以入射光线为，第二次反射光线为，第一次反射光线过焦点且垂直于抛物线的对称轴，
联立抛物线与直线方程可得到坐标，，得，得，
所以抛物线方程为．

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查直线与平面所成角，属于较难题．

【解答】

解：如图所示，连接，作交于，连接．

因为平面，所以为与平面所成的角．

因为平面，所以为与平面所成的角．

因为，与平面所成角的大小相等，所以，则，又因为，所以，则点在的中垂线上，即点在线段Ⅰ上运动，如图．
 

因为，，为棱上靠近的三等分点，
所以，
则，
因为，所以，
又，可得，，，，
当点在点处时，线段的长度取到最大值，最大值为，
当点在点处，线段的长度取到最小值，最小值为，
所以线段的长度的取值范围为

17.【答案】解：设等差数列的公差为，则．
解得：，，所以，
所以，数列的通项公式为．
由知，则，
所以，． 

【解析】本题考查等差数列的通项公式及前项和公式，等比数列前项和公式，属基础题．
 

18.【答案】解：由直线的方程可知它的斜率为，因为，所以直线的斜率为．
又直线经过点，所以直线的方程为：，
即
点到直线的距离为：，
当直线的斜率不存在时，的方程为：，点到直线的距离为，与已知矛盾
当直线的斜率存在时，可设直线的方程为：，
则，解得
所以直线的方程为：． 

【解析】本题考查点斜式方程，点到直线的距离，两直线垂直时的斜率关系，属于基础题．
 

19.【答案】解：依题意可设直线的方程为，
直线与圆两个不同的交点，，
解得，
直线的斜率的取值范围是
设到直线的距离为，到直线的距离为，
则，
所以，
解得：，直线的方程为 

【解析】本题主要考查直线和圆的位置关系的综合应用，属于中档题
 

20.【答案】解：证明：，，
即，又，数列是等差数列，
由上可知，公差，其首项，
，解得．
，
，
，得
，
． 

【解析】本题考查数列的递推公式，等差数列，利用错位相减法求和，属中档题．
 

21.【答案】解：证明：取线段的中点，连接，

在中，，，，
，又平面平面，
平面平面，
平面，又平面，．
又，，则，，
又，平面．

过作的平行线，以为原点，，，分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，平面的法向量，
设，则，，
设平面的法向量为，
．
令，则，，．
由题意可知二面角为锐二面角，

所以，，解之得：，或舍，
所以，点是线段的靠近点的三等分点． 

【解析】本题考查线面垂直的判定，面面垂直的性质，平面与平面所成角的向量求法，属于综合题．
 

22.【答案】解：由椭圆的离心率，，，又椭圆过点，
，解得，则，故椭圆的标准方程为．
设点坐标为依题意、的斜率不能同时不存在或同为．
若、中的斜率有一个不存在时的斜率有一个不存在时，另一个为，若有一个
为时，则另一个不存在，不妨设的斜率不存在，则直线的方程为，，
则另一条直线的方程为，此时．
若、斜率存在且不为时，设过点的方程为，代入方程
得：，，
整理得：且，又，
，方程的两个根即为、的斜率，
，即．
综上：．
同设及，，
当或时，
当时，，斜率存在且不为，设方程为：，
联立椭圆消去并整理得：，
，
化简得：，解得：，又，
故，直线的方程为：，即，
同理可得的方程为：又在直线、上，
则直线的方程为：．
由，消去整理可得：，
又，所以，，
，．
．．
又点到直线的距离，
，
，且，或，或，
故．
综上可知，面积的最大值为 

【解析】本题考查椭圆的方程和性质，考查直线和圆与直线和椭圆的位置关系，注意联立直线方程与椭圆的方程，考查方程思想和化简运算能力、推理能力，属于难题．