云南省泸西县第一中学2023届高三上学期期末学业质量监测数学试题（含答案）

这是一份云南省泸西县第一中学2023届高三上学期期末学业质量监测数学试题（含答案），共19页。试卷主要包含了已知复数z满足，已知集合，则，已知复数z满足，则等内容，欢迎下载使用。
2022-2023学年高三上数学期末摸拟试卷考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上．2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号．3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若双曲线的焦距为，则C的一个焦点到一条渐近线的距离为（    ）A．2     B．4     C．     D．2．如图所示，为了测量A、B两座岛屿间的距离，小船从初始位置C出发，已知A在C的北偏西的方向上，B在C的北偏东的方向上，现在船往东开2百海里到达E处，此时测得B在E的北偏西的方向上，再开回C处，由C向西开百海里到达D处，测得A在D的北偏东的方向上，则A、B两座岛屿间的距离为（    ）A．3     B．     C．4     D．3．在棱长均相等的正三棱柱中，D为的中点，F在上，且，则下述结论：①；②；③平面平面；④异面直线与所成角为其中正确命题的个数为（    ）A．1     B．2     C．3     D．44．已知是平面内三个单位向量，若，则的最小值（    ）A．     B．     C．     D．55．在等差数列中，，若，则数列的最大值是（    ）A．     B．     C．1     D．36．如图，在棱长为4的正方体中，E，F，G分别为棱的中点，M为棱的中点，设P，Q为底面内的两个动点，满足平面，，则的最小值为（    ）A．     B．     C．     D．7．已知复数z满足（其中i为虚数单位），则复数z的虚部是（    ）A．     B．1     C．     D．i8．已知集合，则（    ）A．     B．     C．     D．9．已知函数，其中e为自然对数的底数，若存在实数，使成立，则实数a的值为（    ）A．     B．     C．     D．10．已知复数z满足，则（    ）A．     B．2     C．4     D．311．从抛物线上一点P（P点在x轴上方）引抛物线准线的垂线，垂足为M，且，设抛物线的焦点为F，则直线的斜率为（    ）A．     B．2     C．     D．12．在中，“”是“”的（    ）A．充分不必要条件     B．必要不充分条件     C．充要条件     D．既不充分也不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一2400人、高二2000人、高三人中，抽取90人进行问卷调查．已知高一被抽取的人数为36，那么高三被抽取的人数为_________．14．若方程有两个不等实根，则实数a的取值范围是_________．15．已知随机变量服从正态分布，若，则_________．16．已知随机变量X服从正态分布，则_________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）已知数列满足，数列满足．（Ⅰ）求证数列是等比数列；（Ⅱ）求数列的前n项和．18．（12分）已知函数．（1）若，求函数的单调区间；（2）若恒成立，求实数a的取值范围．19．（12分）已知椭圆的左焦点为F，上顶点为A，直线与直线垂直，垂足为B，且点A是线段的中点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）若M，N分别为椭圆C的左，右顶点，P是椭圆C上位于第一象限的一点，直线与直线交于点Q，且，求点P的坐标．20．（12分）如图，在四棱柱中，平面平面，是边长为2的等边三角形，，，点M为的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的余弦值．（Ⅲ）在线段上是否存在一点N，使直线与平面所成的角正弦值为，若存在求出的长，若不存在说明理由．21．（12分）在创建“全国文明卫生城”过程中，运城市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查（一位市民只能参加一次），通过随机抽样，得到参加问卷调查的100人的得分统计结果如表所示：组别频数212202524134（1）由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分，似为这100人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），利用该正态分布，求；（2）在（1）的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：①得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费；②每次获赠的随机话费和对应的概率为：赠送话费的金额（单位：元）2050概率现有市民甲参加此次问卷调查，记X（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求X的分布列与数学期望．附：参考数据与公式：，若，则，，22．（10分）在平面直角坐标系中，M为直线上动点，过点作M抛物线的两条切线，切点分别为A，B，N为的中点．（1）证明：轴；（2）直线是否恒过定点？若是，求出这个定点的坐标；若不是，请说明理由．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．B【解析】根据焦距即可求得参数m，再根据点到直线的距离公式即可求得结果．【详解】因为双曲线的焦距为，故可得，解得，不妨取；又焦点，其中一条渐近线为，由点到直线的距离公式即可求的．故选：B．【点睛】本题考查由双曲线的焦距求方程，以及双曲线的几何性质，属综合基础题．2．B【解析】先根据角度分析出的大小，然后根据角度关系得到的长度，再根据正弦定理计算出的长度，最后利用余弦定理求解出的长度即可．【详解】由题意可知：，所以，所以，所以，又因为，所以，所以．故选：B．【点睛】本题考查解三角形中的角度问题，难度一般，理解方向角的概念以及活用正、余弦定理是解答问题的关键．3．B【解析】设出棱长，通过直线与直线的垂直判断直线与直线的平行，推出①的正误；判断F是的中点推出②正的误；利用直线与平面垂直推出平面与平面垂直推出③正的误；建立空间直角坐标系求出异面直线与所成角判断④的正误．【详解】解：不妨设棱长为：2，对于①连结，则，∴即与不垂直，又，∴①不正确；对于②，连结，在中，，而，∴F是的中点，所以，∴②正确；对于③由②可知，在中，，连结，易知，而在中，，∴，即，又，∴面，∴平面平面，∴③正确；以为坐标原点，平面上过点垂直于的直线为x轴，所在的直线为y轴，所在的直线为z轴，建立如图所示的直角坐标系；；；异面直线与所成角为，，故．④不正确．故选：B．【点睛】本题考查命题的真假的判断，棱锥的结构特征，直线与平面垂直，直线与直线的位置关系的应用，考查空间想象能力以及逻辑推理能力．4．A【解析】由于，且为单位向量，所以可令，再设出单位向量的坐标，再将坐标代入中，利用两点间的距离的几何意义可求出结果．【详解】解：设，则，从而，等号可取到．故选：A【点睛】此题考查的是平面向量的坐标、模的运算，利用整体代换，再结合距离公式求解，属于难题．5．D【解析】等差数列中，利用已知可求得通项公式，进，借助函数的的单调性可知，当时，取最大即可求得结果．【详解】因为，所以，即，又，所以公差，所以，即，因为函数，在时，单调递减，且；在时，单调递减，且，所以数列的最大值是，且，所以数列的最大值是3．故选D．【点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查数列与函数的关系，借助函数单调性研究数列最值问题，难度较易．6．C【解析】把截面画完整，可得P在上，由知Q在以D为圆心1为半径的四分之一圆上，利用对称性可得的最小值．【详解】如图，分别取的中点H，I，J，连接，易证E，F，G，H，I，J共面，即平面为截面，连接，由中位线定理可得平面平面，则平面，同理可得平面，由可得平面平面，又平面，P在平面上，∴．正方体中平面，从而有，∴，∴Q在以D为圆心1为半径的四分之一圆（圆在正方形内的部分）上，显然M关于直线的对称点为E，，当且仅当E，P，Q，D共线时取等号，∴所求最小值为．故选：C．【点睛】本题考查空间距高的最小值问题，解题时作出正方体的完整截面求出P点轨迹是第一个难点，第二个难点是求出Q点轨迹，第三个难点是利用对称性及圆的性质求得最小值．7．A【解析】由虚数单位i的运算性质可得，则答案可求．【详解】解：，∴，则化为，∴z的虚部为．故选：A．【点睛】本题考查了虚数单位i的运算性质、复数的概念，属于基础题．8．C【解析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．【详解】由题意得，，则．故选C．【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．9．A【解析】令令，故在上是减函数，上是增函数，故当时，y有最小值，而，（当且仅当，即时，等号成立）；故（当且仅当等号同时成立时，等号成立）；故，即．故选：A．10．A【解析】由复数除法求出z，再由模的定义计算出模．【详解】．故选：A．【点睛】本题考查复数的除法法则，考查复数模的运算，属于基础题．11．A【解析】根据抛物线的性质求出点P坐标和焦点F坐标，进而求出点M的坐标，代入斜率公式即可求解．【详解】设点P的坐标为，由题意知，焦点，准线方程，所以，解得，把点代入抛物线方程可得，，因为，所以，所以点M坐标为，代入斜率公式可得，．故选：A【点睛】本题考查抛物线的性质，考查运算求解能力：属于基础题．12．D【解析】通过列举法可求解，如两角分别为，时【详解】当时，，但，故充分条件推不出；当时，，但，故必要条件推不出；所以“”是“”的既不充分也不必要条件．故选：D．【点睛】本题考查命题的充分与必要条件判断，三角函数在解三角形中的具体应用，属于基础题．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．24【解析】由分层抽样的知识可得，即，所以高三被抽取的人数为，应填答案24．14．【解析】由知，故，令，则．当时，；当时，．所以在上递增，在上递减．故，即．15．0.4【解析】因为随机变量服从正态分布，利用正态曲线的对称性，即得解．【详解】因为随机变量服从正态分布所以正态曲线关于对称，所．【点睛】本题考查了正态分布曲线的对称性在求概率中的应用，考查了学生概念理解，数形结合，数学运算的能力，属于基础题．16．0.22．【解析】正态曲线关于对称，根据对称性以及概率和为1求解即可．【详解】【点睛】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，是一个基础题．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（Ⅰ）见证明；（Ⅱ）【解析】（Ⅰ）利用等比数列的定义结合得出数列是等比数列（Ⅱ）数列是“等比-等差”的类型，利用分组求和即可得出前n项和．【详解】解：（Ⅰ）当时，，故．当时，，则，∴，∴数列是首项为6，公比为2的等比数列．（Ⅱ）由（Ⅰ）得，∴，∴，∴．【点睛】（Ⅰ）证明数列是等比数列可利用定义法得出（Ⅱ）采用分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．18．（1）增区间为，减区间为；（2）．【解析】（1）将代入函数的解析式，利用导数可得出函数的单调区间；（2）求函数的导数，分类讨论a的范围，利用导数分析函数的单调性，求出函数的最值可判断是否恒成立，可得实数a的取值范围．【详解】（1）当时，，则，当时，，则，此时，函数为减函数；当时，，则，此时，函数为增函数．所以，函数的增区间为，减区间为；（2），则，①当时，即当时，，由，得7，此时，函数为增函数．由，得，此时，函数为减函数．则，不合乎题意；②当时，即时，．不妨设，其中，令，则或．（ⅰ）当时，，当时，，此时，函数为增函数；当时，，此时，函数为减函数；当时，，此时，函数为增函数．此时，而，构造函数，则，所以，函数在区间上单调递增，则，即当时，，所以，．∴，符合题意；②当时，，函数在上为增函数．∴，符合题意；③当时，同理可得函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，此时，则，解得．综上所述，实数a的取值范围是．【点睛】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与最值，考查恒成立问题，正确求导和分类讨论是关键，属于难题．19．（Ⅰ）．    （Ⅱ）【解析】（Ⅰ）写出A，F坐标，利用直线与直线垂直，得到，求出B点的坐标代入，可得到b，c的一个关系式，由此求得b，c和a的值，进而求得椭圆方程．（Ⅱ）设出P点的坐标，由此写出直线的方程，从而求得Q点的坐标，代入，化简可求得P点的坐标．【详解】（Ⅰ）∵椭圆的左焦点，上顶点，直线与直线垂直∴直线的斜率，即          ①又点A是线段的中点∴点B的坐标为又点B在直线上∴          ②∴由①②得：∴∴椭圆C的方程为．（Ⅱ）设由（Ⅰ）易得顶点M、N的坐标为∴直线的方程是：由得：又点P在椭圆上，故∴∴∴或（舍）∴∴点P的坐标为．【点睛】本小题主要考查直线和圆锥曲线的位置关系，考查两直线垂直的条件，考查向量数量积的运算．属于中档题在解题过程中，首先阅读清楚题意，题目所叙述的坐标、所叙述的直线是怎么得到的，向量的数量积对应的坐标都有哪一些，应该怎么得到，这些在读题的时候需要分析清楚．20．（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）线段上是存在一点N，，使直线与平面所成的角正弦值为．【解析】（Ⅰ）取中点P，连结、，推导出四边形是平行四边形，从而，由此能证明平面；（Ⅱ）取中点O，连结，推导出平面，以O为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值；（Ⅲ）假设在线段上是存在一点N，使直线与平面所成的角正弦值为，设，利用向量法能求出结果．【详解】（Ⅰ）证明：取中点P，连结、，∵是边长为2的等边三角形，，点M为的中点，∴，∴四边形是平行四边形，∴，∵平面平面，∴平面．（Ⅱ）解：取中点O，连结，∵在四棱柱中，平面平面，是边长为2的等边三角形，，点M为的中点，∴平面，以O为原点，为x轴，为y轴，为z轴，建立空间直角坐标系，，，设平面的法向量，则，取，得，设平面的法向量，则，取，得，设二面角的平面角为，则．∴二面角的余弦值．（Ⅲ）解：假设在线段上是存在一点N，使直线与平面所成的角正弦值为，设．则，平面的法向量，∴，解得，∴线段上是存在一点N，，使直线与平面所成的角正弦值为．【点睛】本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查满足正弦值的点是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．21．（1）0.8185    （2）详见解析【解析】（1）由题意，根据平均数公式求得，再根据，参照数据求解．（2）由题意得，获赠话费x的可能取值为20，40，50，70，100，求得相应的概率，列出分布列求期望．【详解】（1）由题意得∴∵∴综上，（2）由题意得，获赠话费X的可能取值为20，40，50，70，100
X的分布列为：X20405070100P∴【点睛】本题主要考查正态分布和离散型随机变量的分布列及期望，还考查了运算求解的能力，属于中档题．22．（1）见解析  （2）直线过定点．【解析】（1）设出A，B两点的坐标，利用导数求得切线的方程，设出M点坐标并代入切线的方程，同理将M点坐标代入切线的方程，利用韦达定理求得线段中点N的横坐标，由此判断出轴．（2）求得N点的纵坐标，由此求得N点坐标，求得直线的斜率，由此求得直线的方程，化简后可得直线过定点．【详解】∵（1）设切点，∴切线的斜率为，切线，设，则有，化简得，同理可的．∴是方程的两根，∴，，∴轴．（2）∵，∴．∵，∴直线：，即，∴直线过定点．【点睛】本小题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查直线过定点问题，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题．