安徽省蚌埠市2023届高三数学下学期第二次质量检查试题（Word版附解析）

蚌埠市2023届高三年级第二次教学质量检查考试

数学

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 设集合，，则（）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据交集的知识求得正确答案.

【详解】依题意，.

故选：C

2. 已知复数满足，则（）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【详解】由得，.

故选:A.

考点：复数的运算.

3. 已知双曲线C：，其一条渐近线被圆截得弦长为（）

A.  B. 1 C.  D. 2

【答案】C

【解析】

【分析】先求出渐近线的方程和圆心到渐近线的距离，再利用圆的弦长公式求解.

【详解】双曲线C：的一条渐近线方程为，即.

圆的圆心为，半径为，

所以圆心到渐近线的距离为.

所以渐近线被圆截得弦长为.

故选：C

4. 已知随机变量X服从正态分布，且，则（）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，由正态分布密度曲线的对称性，代入计算，即可得到结果.

【详解】根据题意可得，，

则.

故选:D

5. 设，是两个不同的平面，a，b是两条不同的直线，下列说法正确的是（）

A. 若，，，则 B. 若，，，则

C. 若，，，则 D. 若，，，则

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意，由空间中直线与平面的位置关系对选项逐一判断，即可得到结果.

【详解】对于A，若，，，则，故正确；

对于B，若，，，则与相交或者，故错误；

对于C，若，，，则，故错误；

对于D，若，，，则与相交，不一定垂直，故错误.

故选:A

6. 某校对高三男生进行体能抽测，每人测试三个项日，1000米为必测项目，再从“引体向上，仰卧起坐，立定跳远”中随机抽取两项进行测试，则某班参加测试的5位男生测试项目恰好相同的概率为（）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】计算抽取方式的种数，得到其中一种抽取方式的概率，计算5人都抽取这一结果的概率，再把所有类型的结果相加即可.

【详解】从“引体向上，仰卧起坐，立定跳远”中随机抽取两项进行测试，有种结果，

其中抽得“引体向上，仰卧起坐”这两项的概率为，5位男生都抽到这两项概率为，

同理， 5位男生都抽到“引体向上，立定跳远”

这两项和5位男生都抽到“仰卧起坐，立定跳远” 这两项的概率都是，

所以5位男生测试项目恰好相同的概率为.

故选：B

7. 已知函数的图象如图所示，则该函数的解析式可能是（）

A.  B.

C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】在各选项的函数中取特殊值计算，并与已知图像比较，采用排除法即可做出判定.

【详解】由题可知，图像过点，取，

对于A：；

对于B：；

对于C：；

对于D：；

故可排除B、D，又由图像可知，当时，，取，

对于A：；

对于C：；

可排除C，

故答案选：A.

8. 已知，，，则（）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】证明，设，证明，设，证明，即得解.

【详解】，

设，因为函数在上递增（增+增=增），，，即，由零点存在定理可知；

设函数，易知在上递减（减+减=减），，，即，由零点存在定理可知.

即.

故选：A．

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．

9. 关于平面向量，下列说法不正确的是（）

A. 若，则

B.

C. 若，则

D.

【答案】ACD

【解析】

【分析】由数量积性质可判断A，由分配律可判断B，由相反向量可判断C，由向量垂直可以判断D.

【详解】对于A，若，则不一定有，A错误；

对于B，根据分配律即可得到，B正确；

对于C，若，则可能，那么，C错误；

对于D，若，则有，那么就不一定有，D错误.

故选：ACD

10. 作为世界经济增长的重要引擎，中国经济充满韧性活力，备受世界瞩日．当前，新冠疫情延宕反复，全球通胀攀升，美联储激进加息冲击全球，世界经济下行压力明显增大．在此背景下，中国经济稳住了自身发展势头，不断向世界经济输送宝贵增长动能，续写世界经济发展史上的中国奇迹．中共二十大报告为中国的未来擘画了发展蓝图，让全球经济界人士继续看好中国经济光明前景．根据世界银行最新公布的数据，下列说法正确的是（）

世界主要国家经济增长率和对世界经济增长的贡献率（单位：%）

注：①根据2015年为基期的国内生产总值计算．资料来源：世界银行WDI数据库．

A. 2013-2021年，我国经济平均增速6.6%，居世界主要经济体前列

B. 2013-2021年，我国对世界经济增长的年均贡献率达到38.6%，超过表中其他国家年均贡献率的总和，是推动世界经济增长的第一动力

C. 2021年，我国的经济增长率位居世界第一

D. 表中“2021年世界主要国家经济增长率”这组数据的75百分位数是7.4

【答案】ABD

【解析】

【分析】A.B. C. 根据表中数据判断；D.利用百分位数的定义判断.

【详解】A. 由表知：2013-2021年，我国经济平均增速6.6%，居世界主要经济体前列，故正确；

B. 由表知：2013-2021年，我国对世界经济增长的年均贡献率达到38.6%，超过表中其他国家年均贡献率的总和，是推动世界经济增长的第一动力，故正确；

C. 由表知：2021年，我国的经济增长率位居世界第二，故错误；

D.表中“2021年世界主要国家经济增长率”这组数据为1.6，2.9，4.0，4.6，5.7，6.6，7，7.4，8.1，8.9，则，所以这组数据的75百分位数是7.4，故正确；

故选：ABD

11. 已知函数，将的图像上所有点向右平移个单位长度，然后横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图像．若为奇函数，且最小正周期为，则下列说法正确的是（）

A. 函数的图像关于点中心对称

B. 函数在区间上单调递减

C. 不等式的解集为

D. 方程在上有2个解

【答案】ACD

【解析】

【分析】根据图像变换求出函数与的解析式，利用三角函数的对称，单调性分别进行判断即可.

【详解】根据题意可得，，

又因为最小正周期为，则，且，则，

即，

又因为为奇函数，则

解得，且，

所以当时，，所以，

则，

对于A，当时，，所以点是的对称中心，故正确；

对于B，令，解得，所以不是的子集，故错误；

对于C，因为，即，

所以，解得，故正确；

对于D，分别画出与在的图像，通过图像即可得到共有两个交点，故正确.

故选:ACD

12. 球冠是指球面被平面所截得的一部分曲面，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高．小明撑伞站在太阳下，撑开的伞面可以近似看作一个球冠．已知该球冠的底半径为，高为．假设地面是平面，太阳光线是平行光束，下列说法正确的是（）

A. 若伞柄垂直于地面，太阳光线与地面所成角为，则伞在地面的影子是圆

B. 若伞柄垂直于地面，太阳光线与地面所成角为，则伞在地面的影子是椭圆

C. 若伞柄与太阳光线平行，太阳光线与地面所成角，则伞在地面的影子为椭圆，且该椭圆离心率为

D. 若太阳光线与地面所成角为，则小明调整伞柄位置，伞在地面的影子可以形成椭圆，且椭圆长轴长的最大值为

【答案】ACD

【解析】

【分析】先由已知条件求出圆面的半径，结合已知条件分别画出太阳光线与伞还原的球状，根据所成的不同角度，逐一判断伞在地面的影子形状，作出判断即可．

【详解】图一，在中，由于，解得；

选项A，太阳光线与地面所成角为时，如图二将伞还原成完整的球状，光线将打在半球上，球冠被完整照射，于是投影形成完整的圆，正确；

选项B，太阳光线与地面所成角为时，如图三球冠只有部分被照射，故不能形成完整的圆，错误；

选项C，太阳光线与地面所成角，且伞柄沿着光线方向时，球冠被完整照射，如图四，而由于与地面成一定角度，投影被拉长，故形成影子为椭圆，短轴长度不变，长轴被拉长为原来的倍，则，离心率为，正确；

选项D，太阳光线与地面所成角为时，如图五，当垂直于地面，与地面所成角最大，可最大程度拉长影长，而且球冠被完整照射，故投影成椭圆，此时长轴长为，正确；

故选：ACD

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．

13. 的展开式中的系数为______．

【答案】60

【解析】

【分析】先求出二项式展开式的通项，再给取值即得解.

【详解】的展开式的通项为：，

令，则，

∴的展开式中的系数为60.

故答案为：60.

14. 已知数列中：，则的前8项和为______．

【答案】

【解析】

【分析】根据题意，依次得到到，然后相加，即可得到结果.

【详解】根据题意可得，

，

，

，

，

，

则的前8项和为

故答案:

15. 如图是我国古代测量粮食的容器“升”，其形状是正四棱台，“升”装满后用手指或筷子沿升口刮平，这叫“平升”，若该“升”内粮食的高度为“平升”的一半时，粮食的体积约为“平升”时体积的，则该“升”升口边长与升底边长的比值为______．

【答案】

【解析】

【分析】利用设边长方法，结合题中所给条件列方程求解.

【详解】设升底边长为，升口边长为，则“升”内粮食的高度为“平升”的一半时，上表面边长为，

设“升”的高度为，“升”内粮食的高度为“平升”的一半时，粮食的体积约为“平升”时体积的，

则有，

化简得，由，解得，即升口边长与升底边长的比值为.

故答案为：.

16. 若函数的定义域为，且，，则______．

【答案】

【解析】

【分析】由函数的定义域为，且，取，解得，再把拆分成再由，整理出，结合等差数列前项和公式及，即可求解.

【详解】函数的定义域为，且，

取，有，解得，

又因为，结合，则：

故答案为：.

四、解答题：本题共6个小题，共70分．解答应写出说明文字、演算式、证明步骤．

17. 正项数列的前n项和满足，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列满足，为数列的前n项和，求．

【答案】（1）；

（2）.

【解析】

【分析】（1），，两式相减得到数列是首项为2，公差为3的等差数列，即得解；

（2）求出，，即得解.

【小问1详解】

∵①

∴②

①－②得：，即

，

因为正项数列，∴

又，，∵，∴

∴数列是首项为2，公差为3的等差数列，

∴，即的通项公式为．

【小问2详解】

∵，∴

∴．

∴，∴．

18. 已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，且．

（1）求A的大小；

（2）若，求的面积．

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）已知等式利用诱导公式和倍角公式化简，可求A的大小；

（2）条件中的等式，利用正弦定理角化边，再用余弦定理求得边，用面积公式计算面积.

【小问1详解】

，

∴，

因为，得，所以或，

解得或，因为，得，∴．

【小问2详解】

由（1）知，，，由正弦定理，得，

由余弦定理，得，即，

整理，得，由得，

所以．

19. 如图，正方体的棱长为1，E，F是线段上的两个动点．

（1）若平面，求的长度；

（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）连接交于点O，连接，由线面平行证线线平行，证得即可求值；

（2）建立空间直角坐标系，利用法向量解决线面角问题.

【小问1详解】

正方体，连接交于点O，连接，如图所示，

∴平面，平面平面，平面，

∴，又，∴为平行四边形，

则.

小问2详解】

以点C为坐标原点，，，方向分别为x轴、y轴、z轴正方向建立空间直角坐标系，如图所示，

则，，，，

，，

，，

设平面的法向量为，则，

取，解得，

设直线与平面所成角为，则，

即直线与平面所成角的正弦值为．

20. 有研究显示，人体内某部位的直径约的结节约有0.2%的可能性会在1年内发展为恶性肿瘤．某医院引进一台检测设备，可以通过无创的血液检测，估计患者体内直径约的结节是否会在1年内发展为恶性肿瘤，若检测结果为阳性，则提示该结节会在1年内发展为恶性肿瘤，若检测结果为阴性，则提示该结节不会在1年内发展为恶性肿瘤．这种检测的准确率为85%，即一个会在1年内发展为恶性肿瘤的患者有85%的可能性被检出阳性，一个不会在1年内发展为恶性肿瘤的患者有85%的可能性被检出阴性．患者甲被检查出体内长了一个直径约的结节，他做了该项无创血液检测．

（1）求患者甲检查结果为阴性的概率；

（2）若患者甲的检查结果为阴性，求他的这个结节在1年内发展为恶性肿瘤的概率（结果保留5位小数）；

（3）医院为每位参加该项检查的患者缴纳200元保险费，对于检测结果为阴性，但在1年内发展为恶性肿瘤的患者，保险公司赔付该患者20万元，若每年参加该项检查的患者有1000人，请估计保险公司每年在这个项目上的收益．

【答案】（1）0.8486；

（2）0.00035；

（3）13万元.

【解析】

【分析】（1）记事件A：直径约的结节在1年内发展为恶性肿瘤，事件B：该项无创血液检测的检查结果为阴性，利用求解；

（2）先求出，再利用得解；

（3）设获得20万元赔付的有X人，利用二项分布求出，记保险公司每年在这个项目上的收益为Y元，求出即得解.

【小问1详解】

记事件A：直径约的结节在1年内发展为恶性肿瘤，事件B：该项无创血液检测的检查结果为阴性，

由题，，，，，，，则

所以患者甲检查结果为阴性的概率为0.8486．

【小问2详解】

，

．

所以患者甲的检查结果为阴性，他的这个结节在1年内发展为恶性肿瘤的概率为0.00035．

【小问3详解】

记参加该项检查的1000位患者中，获得20万元赔付的有X人，

，则，

记保险公司每年在这个项目上的收益为Y元，

，

则，

所以保险公司每年在这个项目上的收益估计为13万元．

21. 已知抛物线，点在C上，A关于动点的对称点记为M，过M的直线l与C交于，，M为P，Q的中点．

（1）当直线l过坐标原点O时，求外接圆的标准方程；

（2）求面积的最大值．

【答案】（1）

（2）

【解析】

【分析】（1）由题意解得抛物线方程，设直线方程，代入抛物线方程，利用M为P，Q的中点解出P，Q的坐标，利用圆上三点求圆的方程；

（2）把面积表示为的函数，利用导数研究单调性求最大值.

【小问1详解】

由点在C上，代入，解得，即．

因为M为A关于动点的对称点，所以．

设直线，

联立整理得，

则，

，，

由M为P，Q的中点，得，故，

由，解得，

由直线l过坐标原点O，得，则，

解得，，即，，

设外接圆的一般方程，

代入，，，

解得，，，即，

即外接圆的标准方程为．

【小问2详解】

由（1）可知，，

A到直线的距离为，

则面积，

，由，解得，

当，，S单调递增；当，，S单调递减；

故，面积的最大值．

【点睛】思路点睛：解答直线与抛物线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系；最值问题经常转化成函数问题处理.

22. 已知函数，．

（1）若不等式恒成立，求 的取值范围；

（2）若时，存4个不同实数，，，，满足，证明：．

【答案】（1）

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）该问题为恒成立问题，只需，所以我们分情况讨论计算的最大值，然后满足计算出的取值范围即可;(2)因为，得，利用指对同构找到，，，之间的关系计算即可.

【小问1详解】

由题易知，，

①当，函数定义域为，

，不合题意，舍去；

②当，函数定义域为，由，解得，

当，，即在区间单调递增，

当，，即在区间单调递减，

，即，

设函数，，

，即在单调递增，

又因为，故时，成立，即成立，

故的取值范围是．

【小问2详解】

当，，

设函数，，，

易知，，单调递增，

，，单调递减，

不妨令，

由，即，

又因为，，

故，即，

由函数单调性可知，方程至多有两解，

故不妨令，，

两式相减得，

由，得，

故，问题得证．

【点睛】函数与函数都可以构造为同一函数，其中，，或者构造为，其中，；该题同构为计算较为方便.