专题22 相似三角形与函数的综合-2023年中考数学二轮复习核心考点专题提优拓展训练

专题22 相似三角形与函数的综合（原卷版）

第一部分 典例剖析

类型一 求线段的长

1．（2022•淮安）如图（1），二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），直线l经过B、C两点．

（1）求该二次函数的表达式及其图象的顶点坐标；

（2）点P为直线l上的一点，过点P作x轴的垂线与该二次函数的图象相交于点M，再过点M作y轴的垂线与该二次函数的图象相交于另一点N，当PMMN时，求点P的横坐标；

（3）如图（2），点C关于x轴的对称点为点D，点P为线段BC上的一个动点，连接AP，点Q为线段AP上一点，且AQ＝3PQ，连接DQ，当3AP+4DQ的值最小时，直接写出DQ的长．

典例2（2021春•海州区校级期中）如图1，矩形ABCD中，动点P在AD边上由点A向终点D运动，设AP＝x，△PAB的面积为y，整个平移过程中若y与x存在函数关系如图2所示，点A关于BP的对称点为Q，连接BQ、PQ．

（1）直接写出AD的长是 　 　，AB的长是  　．

（2）当点Q落在矩形ABCD的对角线上时，求x的值．

类型二 求字母的值

典例3（2021•苏州）如图，二次函数y＝x2﹣（m+1）x+m（m是实数，且﹣1＜m＜0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），其对称轴与x轴交于点C．已知点D位于第一象限，且在对称轴上，OD⊥BD，点E在x轴的正半轴上，OC＝EC，连接ED并延长交y轴于点F，连接AF．

（1）求A、B、C三点的坐标（用数字或含m的式子表示）；

（2）已知点Q在抛物线的对称轴上，当△AFQ的周长的最小值等于时，求m的值．

类型三 求比值或比值的最值

典例4（2022•宿迁）如图，二次函数yx2+bx+c与x轴交于O（0，0），A（4，0）两点，顶点为C，连接OC、AC，若点B是线段OA上一动点，连接BC，将△ABC沿BC折叠后，点A落在点A′的位置，线段A′C与x轴交于点D，且点D与O、A点不重合．

（1）求二次函数的表达式；

（2）①求证：△OCD∽△A′BD；

②求的最小值；

（3）当S△OCD＝8S△A'BD时，求直线A′B与二次函数的交点横坐标．

类型四 求点的坐标

典例5 （2021•惠阳区一模）如图，已知抛物线经过原点O，顶点为A（1，1），且与直线y＝x﹣2交于B，C两点．

（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；

（2）求△ABC的面积；

（3）若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

第二部分 专题提优训练

1．（2022•河东区一模）如图，A为反比例函数y（其中x＞0）图象上的一点，在x轴正半轴上有一点B，OB＝4．连接OA，AB，且OA＝AB，过点B作BC⊥OB，交反比例函数y（其中x＞0）的图象于点C，连接OC交AB于点D，则k＝　 　；　　．

2．如图，在平面直角坐标系中，Rt△BCD中，其中B（0，4），C（2，0），点D在反比例函数y（x＞0）图象上，且CD，以BC为边作平行四边形BCEF，其中点F在反比例函数y（x＞0）图象上，点E在x轴上，则点E的横坐标为（　　）

A． B． C．3 D．

3．（2021•越秀区模拟）如图，点A（2，n）和点D是反比例函数y（m＞0，x＞0）图象上的两点，一次函数y＝kx+3（k≠0）的图象经过点A，与y轴交于点B，与x轴交于点C，过点D作DE⊥x轴，垂足为E，连接OA、OD．已知△OAB与△ODE的面积满足S△OAB：S△ODE＝3：4．

（1）求m；

（2）已知点P（6，0）在线段OE上，当∠PDE＝∠CBO时，求点D的坐标．

4．如图，二次函数y＝﹣x2+bx+3的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣1，0），点D为OC的中点，点P在抛物线上．

（1）b＝　 　；

（2）若点P在第一象限，过点P作PH⊥x轴，垂足为H，PH与BC、BD分别交于点M、N．是否存在这样的点P，使得PM＝MN＝NH，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

5．（2019•盐城）如图所示，二次函数y＝k（x﹣1）2+2的图象与一次函数y＝kx﹣k+2的图象交于A、B两点，点B在点A的右侧，直线AB分别与x、y轴交于C、D两点，其中k＜0．

（1）求A、B两点的横坐标；

（2）若△OAB是以OA为腰的等腰三角形，求k的值；

（3）二次函数图象的对称轴与x轴交于点E，是否存在实数k，使得∠ODC＝2∠BEC，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．