专题31 中考热点新定义问题专项训练-2023年中考数学二轮复习核心考点专题提优拓展训练

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专题31 中考热点新定义问题专项训练（解析版）
专题诠释：新定义题型是近几年来中考的热点问题。它常集合数形结合思想，类比思想，转化思想，分类讨论思想，方程思想，函数思想于一体。常以压轴题身份出现。本专题精选新定义问题共20条，欢迎下载使用。
一．选择题
1．（2021•河北模拟）对于实数x，y，我们定义符号max{x，y}的意义：当x≥y时，max{x，y}＝x，当x＜y时，max{x，y}＝y．例如max{﹣1，﹣2}＝﹣1，max{3，π}＝π，则关于x的函数y＝max{3x，x+2}的图象为（　　）
A． B．
C． D．
思路引领：令3x＝x+2，解得x＝1，画出直线y＝3x和直线y＝x+2的图象即可判断．
解：令3x＝x+2，解得x＝1，

直线y＝3x和直线y＝x+2的图象如图所示，它们的交点坐标为（1，3），由图象可知，x＜1时，x+2＞3x；
当x＞1时，3x＞x+2，
故关于x的函数y＝max{3x，x+2}的图象是选项C中的图象．
故选：C．
总结提升：本题主要考查了函数的图象，正确画出函数图象并得出交点坐标是解答本题的关键．
二．填空题
2．（2021•深圳模拟）用“●”“□”定义新运算：对于数a，b，都有a●b＝a和a□b＝b．例如3●2＝3，3□2＝2，则（2020□2021）●（2021□2020）＝　 　．
思路引领：根据“●”“□”的运算法则进行计算即可得解．
解：∵a●b＝a，a□b＝b，
∴（2020□2021）●（2021□2020）
＝2021●2020
＝2021．
故答案为：2021．
总结提升：本题考查了有理数的混合运算，读懂题目信息，理清新定义的运算方法是解题的关键．
3．（2021•碑林区校级模拟）（正多边形的每个内角都相等）如图，在正八边形ABCDEFGH中，对角线BF的延长线与边DE的延长线交于点M，则∠M的大小为 　 ．

思路引领：根据正求出多边形的内角和公式∠DEF，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理求出∠BFE，计算即可．
解：∵八边形ABCDEFGH是正八边形，
∴∠DEF＝（8﹣2）×180°÷8＝135°，
∴∠FEM＝45°，
∴∠DEF＝∠EFG，
∵BF平分∠EFG，
∴∠EFB＝∠BFG=12∠EFG＝67.5°，
∵∠BFE＝∠FEM+∠M，
∴∠M＝∠BFE﹣∠FEM，
∴∠M＝22.5°．
故答案为：22.5°．
总结提升：本题考查的是正多边形和圆的有关计算，掌握正多边形的内角的求法是解题的关键．
4．（2019•福田区三模）对于m，n（n≥m）我们定义运算Anm＝n（n﹣1）（n﹣2）（n﹣3）…（n﹣（m﹣1）），A73＝7×6×5＝210，请你计算A42＝　 ．
思路引领：将n＝4，m＝2代入公式求解可得．
解：A42＝4×（4﹣1）＝12，
故答案为：12．
总结提升：本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是掌握新定义规定的运算法则．
5．（2022春•塔城地区期末）在实数范围内定义一种新运算“⊕”，其运算规则为：a⊕b＝2a+3b．如：1⊕5＝2×1+3×5＝17．则不等式x⊕4＞0的解集为　 　．
思路引领：根据新定义规定的运算规则列出不等式，解不等式即可求得．
解：不等式x⊕4＞0化为：
2x+12＞0，
2x＞﹣12，
x＞﹣6，
故答案为：x＞﹣6．
总结提升：本题主要考查解一元一次不等式，解题的关键是根据新定义列出关于x的不等式及解不等式的步骤．
6．（2022秋•魏县期中）若x是不等于1的实数，我们把11−x称为x的差倒数，如2的差倒数是11−2=−1，﹣1的差倒数为11−(−1)=12，现已知x1=13，x2是x1的差倒数，x3是x2的差倒数，x4是x3的差倒数，…，依此类推，则x2022的值为 　 ．
思路引领：根据差倒数的定义，通过计算发现每3次运算结果循环出现一次，由此可得x2022＝x3＝﹣2．
解：∵x1=13，
∴x2=11−13=32，x3=11−32=−2，x4=11−(−2)=13，……，
∴每3次运算结果循环出现一次，
∵2022÷3＝674，
∴x2022＝x3＝﹣2，
∴x2022的值为﹣2，
故答案为：﹣2．
总结提升：本题考查数字的变化规律，通过计算探索出运算结果的循环规律是解题的关键．
三．解答题
7．（2021秋•汉阳区期中）对任意一个四位数n，如果千位与十位上的数字之和为9，百位与个位上的数字之和也为9，则称n为“极数”．
（1）请任意写出两个“极数”　 　，　 　；
（2）猜想任意一个“极数”是否是99的倍数，请说明理由；
（3）如果一个正整数a是另一个正整数b的平方，则称正整数a是完全平方数．若四位数m为“极数”，记D（m）=m33，则满足D（m）是完全平方数的所有m的值是 　 　．
思路引领：（1）根据“极数”的定义，任意写出两个“极数”即可；
（2）由“极数”的定义可得出n＝99（10a+b+1），进而可得出任意一个“极数”都是99的倍数；
（3）由（2）可得出D（m）＝3（10x+y+1），由D（m）为完全平方数，可得出10x+y+1＝12，10x+y+1＝27，10x+y+1＝48，10x+y+1＝75，解之可得出x，y的值，进而可得出m的值，即可得出结论．
解：（1）由“极数”的定义得，1287，2376，
故答案为1287，2376；

（2）任意一个“极数”都是99的倍数，理由如下：
设任意一个“极数”为ab(9−a)(9−b)（1≤a≤9，0≤b≤9，且a、b为整数），
则ab(9−a)(9−b)=1000a+100b+10（9﹣a）+（9﹣b）＝990a+99b+99＝99（10a+b+1），
∵1≤a≤9，0≤b≤9，且a、b为整数，
∴10a+b+1是整数，
∴任意一个“极数”都是99的倍数．

（3）设四位数m为xy(9−x)(9−y)（1≤x≤9，0≤y≤9，且x、y为整数），
∵四位数m为“极数”，D（m）=m33，
∴D（m）=99(10x+y+1)33=3（10x+y+1）．
∵D（m）是完全平方数，1≤x≤9，0≤y≤9，且x、y为整数，
∴10x+y+1＝3×4＝12，10x+y+1＝3×9＝27，10x+y+1＝3×16＝48，10x+y+1＝3×25＝75，
∴x=1y=1或x=2y=6或x=4y=7或x=7y=4，
∴m可以为1188或2673或4752或7425．
总结提升：本题考查了完全平方数以及倍数，解题的关键是：（1）根据“极数”的定义，任意写出两个“极数”；（2）根据“极数”的定义，找出n＝99（10a+b+1）；（3）根据D（m）是完全平方数，找出10x+y+1的值．
8．（2022秋•胶州市期末）《道德经》中的“道生一，一生二，二生三，三生万物”道出了自然数的特征．在数的学习过程中，我们会对其中一些具有某种特性的数进行研究，如学习自然数时，我们研究了奇数、偶数、质数、合数等．现在我们来研究另一种特殊的自然数——“纯数”．
定义：对于自然数n，在计算n+（n+1）+（n+2）时，各数位都不产生进位，则称这个自然数n为“纯数”．
例如：32是“纯数”，因为计算32+33+34时，各数位都不产生进位；23不是“纯数”，因为计算23+24+25时，个位产生了进位．
（1）判断2022是否是“纯数”？请说明理由；
（2）请直接写出2023到2050之间的“纯数”；
（3）不大于100的“纯数”的个数为 　 　．
思路引领：（1）根据“纯数”的定义判断；
（2）根据“纯数”的定义求解；
（3）根据“纯数”的定义写出数，再查个数．
解：（1）∵计算2022+2023+2024时，各数位都不产生进位，
∴2022是“纯数”；
（2）2023到2050之间的“纯数”有：2030，2031，2032，；
（3）不大于100的“纯数”有：0，1，2，10，11，12，20，21，22，30，30，32，100共13个，
故答案为：13．
总结提升：本题考查了整式的加减，理解新定义是解题的关键．
9．（2021•任城区二模）如果一个三角形有一条边上的高等于这条边的一半，那么我们把这个三角形叫做“半高三角形”．这条高称为“半高”．如图1，对于△ABC，BC边上的高AD等于BC的一半，△ABC就是“半高三角形”．此时，称△ABC是“BC边半高三角形”，AD是“BC边半高”；如图2，对于△EFG，EF边上的高GH等于EF的一半，△EFG就是半高三角形，此时，称△EFG是EF边半高三角形，GH是“EF边半高”．
（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，若ABC是“BC边半高三角形”，则AC＝　 　cm；
（2）若一个三角形既是等腰三角形又是半高三角形，且“半高”长为2cm，则该等腰三角形底边长的所有可能值为　 　．
（3）如图3，平面直角坐标系内，直线y＝x+2与抛物线y＝x2交于R，S两点，点P是抛物线y＝x2上的一个动点，点Q是坐标系内一点，且使得△RSQ为“RS边半高三角形”．当点P介于点R与点S之间，且PQ取得最小值时，求点P的坐标．

思路引领：（1）设AC＝h，则BC＝2AC＝2h，由勾股定理即可求解；
（2）分“半高”是底边上的高、“半高”是腰上的高两种情况，分别求解即可；
（3）当点P介于点R与点S之间时，与RS平行且与抛物线只有一个交点P′时，PQ取得最小值，即可求解．
解：（1）设AC＝h，则BC＝2AC＝2h，
由勾股定理得：h2+（2h）2＝102，解得：h＝25，
故答案为25；

（2）①当“半高”是底边上的高时，
如图1，AD是“半高”，AB、AC为等腰三角形的腰，

由题意得：AD＝2，BC＝4；
②当“半高”是腰上的高时，
如下图，底边为BC、“半高”CD为腰上的高，

如图2，当△ABC为锐角三角形时，CD＝2，AB＝AC＝4，
在Rt△ADC中，AD=AC2−CD2=23，
在Rt△BCD中，BC=BD2+CD2=(4−23)2+22=26−22；
如图3，当△ABC为钝角三角形时，CD＝2，AB＝AC＝4，
同理可得：BC＝26+22；
故答案为：4或26+22或26−22；

（3）将抛物线的表达式y＝x2与直线方程y＝x+2联立并解得：x＝﹣1或2，
即：点R、S的坐标分别为（﹣1，1）、（2，4），则RS＝32，
则RS边上的高为：12×32=322，
则点Q在于RS平行的上下两条直线上，如下图，

设直线RS与y轴交于点N，故点N作NQ⊥TQ于点Q，
则NQ=322，则QT=QHsin45°=3，
点T（0，5），则点M（0，5），点M于点T重合，
则点Q的直线方程为：y＝x+5，
当该直线在直线RS的下方时，y＝x﹣1，
故点Q所在的直线方程为：y＝x+5或y＝x﹣1；
如图4，当点P介于点R与点S之间时，
设与RS平行且与抛物线只有一个交点P′的直线方程为：y＝x+d，
将该方程与抛物线方程联立并整理得：x2﹣x﹣d＝0，
△＝1+4d＝0，解得：d=−14，
此时，x2﹣x+14=0，解得：x=12，
点P′（12，14），此时，P（P′）Q取得最小值．
总结提升：本题主要考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、根的判别式、三角形有关计算等，此类新定义型题目，通常按题设顺序逐次求解．
10．（2022春•梁平区期末）在平面直角坐标系中，对于任意两点A（a，b），B（c，d），若点T（x，y）满足x=a+c3，y=b+d3那么称点T是点A，B的融合点．
例如：A＝（﹣1，8），B＝（4，﹣2），当点T（x，y）满足x=−1+43=1，y=8+(−2)3=2时，则点T（1，2）是点A，B的融合点．
（1）已知点A（﹣1，5），B（7，7），C（2，4），请说明其中一个点是另外两个点的融合点．
（2）如图，点D（3，0），点E（t，2t+3）是直线l：y＝2x+3上任意一点，点T（x，y）是点D，E的融合点．
①试确定y与x的关系式．
②若直线ET交x轴于点H，当∠TDH为直角时，求直线ET的解析式．

思路引领：（1）根据点T是点A，B的融合点的定义判断即可；
（2）①根据融合点的定义，构建关系式，可得结论；
②图中，当∠TDH＝90°时，点T、D横坐标相同，再根据①中得到的横纵坐标关系即可求出点T坐标，再根据融合点定义求出点E坐标，求一次函数解析式即可．
解：（1）∵A （﹣1，5），B（7，7），C（2，4），
∴x=13×（﹣1+7）＝2，y=13×（5+7）＝4，
∴点C是点A、B的融合点；

（2）①∵点T（x，y）是点D，E的融合点，
∴x=13（3+t），y=13（0+2t+3），
∴y＝2x﹣1；
②如图，当∠TDH＝90°时，

∴点T、D横坐标相同，xT＝xD＝3，
∴yT＝2x﹣1＝2×3﹣1＝5，即T（3，5），
∵点E（t，2t+3），点T（3，5），点D（3，0），且点T（x，y）是点D，E的融合点．
∴3=13（3+t），
∴t＝6，
∴点E（6，15），
设直线ET的解析式为：y＝kx+b，
把E（6，15），T（3，5），代入得：
6k+b=153k+b=5，
解得：k=103b=−5，
∴直线ET的解析式为：y=103x﹣5．
总结提升：本题属于三角形综合题，考查了直角三角形的判定和性质，融合点的定义，一次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
11．（2019•浙江）如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为4，边OA，OC分别在x轴，y轴的正半轴上，把正方形OABC的内部及边上，横、纵坐标均为整数的点称为好点．点P为抛物线y＝﹣（x﹣m）2+m+2的顶点．
（1）当m＝0时，求该抛物线下方（包括边界）的好点个数．
（2）当m＝3时，求该抛物线上的好点坐标．
（3）若点P在正方形OABC内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点，求m的取值范围．

思路引领：（1）如图1中，当m＝0时，二次函数的表达式y＝﹣x2+2，画出函数图象，利用图象法解决问题即可．
（2）如图2中，当m＝3时，二次函数解析式为y＝﹣（x﹣3）2+5，如图2，结合图象即可解决问题．
（3）如图3中，∵抛物线的顶点P（m，m+2），推出抛物线的顶点P在直线y＝x+2上，由点P在正方形内部，则0＜m＜2，如图3中，E（2，1），F（2，2），观察图象可知，当点P在正方形OABC内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点时，抛物线与线段EF有交点（点F除外），求出抛物线经过点E或点F时m的值，即可判断．
解：（1）如图1中，当m＝0时，二次函数的表达式y＝﹣x2+2，函数图象如图1所示．
∵当x＝0时，y＝2，当x＝1时，y＝1，
∴抛物线经过点（0，2）和（1，1），
观察图象可知：好点有：（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），共5个．

（2）如图2中，当m＝3时，二次函数解析式为y＝﹣（x﹣3）2+5．如图2．

∵当x＝1时，y＝1，当x＝2时，y＝4，当x＝4时，y＝4，
∴抛物线经过（1，1），（2，4），（4，4），
根据图象可知，抛物线上存在好点，坐标分别为（1，1），（2，4），（4，4）．

（3）由于0＜m＜2，取m＝1开始，发现抛物线内有10个好点，不符合意思，所以抛物线向下并向左移动，可得如图3中，
∵抛物线的顶点P（m，m+2），
∴抛物线的顶点P在直线y＝x+2上，
∵点P在正方形内部，则0＜m＜2，

如图3中，E（2，1），F（2，2），观察图象可知，当点P在正方形OABC内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点时，抛物线与线段EF有交点（点F除外），
当抛物线经过点E时，﹣（2﹣m）2+m+2＝1，
解得m=5−132或5+132（舍弃），
当抛物线经过点F时，﹣（2﹣m）2+m+2＝2，
解得m＝1或4（舍弃），
∴当5−132≤m＜1时，顶点P在正方形OABC内部，该抛物线下方（包括边界）恰好存在8个好点．
总结提升：本题属于二次函数综合题，考查了正方形的性质，二次函数的性质，好点的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会正确画出图象，利用图象法解决问题，学会利用特殊点解决问题，属于中考压轴题．
12．（2022•亭湖区校级三模）定义：有两个相邻内角互余的四边形称为邻余四边形，这两个角的夹边称为邻余线．
（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，E，F分别是BD，AD上的点．
求证：四边形ABEF是邻余四边形．
（2）如图2，在5×4的方格纸中，A，B在格点上，请画出一个符合条件的邻余四边形ABEF，使AB是邻余线，E，F在格点上．
（3）如图3，在（1）的条件下，取EF中点M，连接DM并延长交AB于点Q，延长EF交AC于点N．若N为AC的中点，DE＝4BE，QB＝6，求邻余线AB的长．


思路引领：（1）由等腰三角形的“三线合一“性质可得AD⊥BC，则可得∠DAB与∠DBA互余，即∠FAB与∠EBA互余，从而可得答案；
（2）画出图形即可．
（3）先由等腰三角形的“三线合一“性质可得BD＝CD、DM＝ME，再判定△DBQ∽△ECN，从而列出比例式，将已知线段的长代入即可得解．
解：（1）∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠DAB+∠DBA＝90°，
∴∠FAB与∠EBA互余，
∴四边形ABEF是邻余四边形；
（2）如图所示（答案不唯一），

四边形AFEB为所求；
（3）∵AB＝AC，AD是△ABC的角平分线，
∴BD＝CD，
∵DE＝4BE，
∴BD＝CD＝5BE，
∴CE＝CD+DE＝9BE，
∵∠EDF＝90°，点M是EF的中点，
∴DM＝ME，
∴∠MDE＝∠MED，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴△DBQ∽△ECN，
∴QBNC=BDCE=59，
∵QB＝6，
∴NC=545，
∵AN＝CN，
∴AC＝2CN=1085，
∴AB＝AC=1085．
总结提升：本题考查了四边形的新定义，综合考查了等腰三角形的“三线合一“性质、相似三角形的判定与性质等知识点，读懂定义并明确相关性质及定理是解题的关键．
13．（2021•南丰县模拟）如果一个四边形的对角线把四边形分成两个三角形，一个是等边三角形，另一个是该对角线所对的角为60°的三角形，我们把这条对角线叫做这个四边形的理想对角线，这个四边形称为理想四边形．
（1）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD⊥AB，E为BC中点，连接DE．求证：四边形ADEC为理想四边形；
（2）如图2，△ABD是等边三角形，若BD为理想对角线，为使四边形ABCD为理想四边形，小明同学给出了他的设计图（见设计后的图），其中圆心角∠BOD＝120°；请你解释他这样设计的合理性．
（3）在（2）的条件下，
①若△BCD为直角三角形，BC＝3，求AC的长度；
②如图3，若CD＝x，BC＝y，AC＝z，请直接写出x，y，z之间的数量关系．


思路引领：（1）证明△ACB∽△ADC，推出∠ADC＝∠ACB＝90°，再证明△CDE是等边三角形即可．
（2）如设计后的图中，△ABD是等边三角形，当点C在BCD上时，∠DCB=12∠DOB＝60°，满足条件．
（3）①分两种情形：如图3中，当∠CDB＝90°时，如图4中，当∠CBD＝90°时，分别利用勾股定理求解即可．
②以CD为边作等边△ECD，连接BE，作EF⊥BC交BC的延长线于F．利用全等三角形的性质以及勾股定理可得结论．
解：（1）如图1，∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，
∴∠A＝60°，
∵CD⊥AB，
∴∠BDC＝90°，
∴∠BCD＝°﹣∠B＝90°﹣30°＝60°，
∵E为BC中点，
∴DE＝CE，
∴△CDE是等边三角形，
∴四边形ADEC为理想四边形；
（2）如设计后的图中，△ABD是等边三角形，OD＝OB，∠BOD＝120°，
当点C在BCD上时，∠DCB=12∠DOB＝60°，故四边形ABCD为理想四边形．


（3）①当∠CDB＝90°时，如图3中，
∵∠CDB＝90°，∠BCD＝60°，BC＝3，
∴BD＝BC•sin60=332，∠CBD＝30°，
∵△ABD是等边三角形，
∴AB＝BD=332，∠ABD＝60°，
∴∠ABC＝90°，
∴AC=AB2+BC2=(332)2+32=372；
当∠CBD＝90°时，如图4中，同法可得AC=AD2+CD2=(33)2+62=37；
综上所述，AC的值为372或37．
②如图5中，结论：x2+xy+y2＝z2．
理由如下：以CD为边作等边△ECD，连接BE，作EF⊥BC交BC的延长线于F．
∵∠EDC＝∠ADB＝60°，
∴∠EDB＝∠CDA，
∵ED＝CD，BD＝AD，
∴△EDB≌△CDA（SAS），
∴AC＝BE＝z，
∵∠ECD＝∠DCB＝60°，CD＝CE＝x，
∴∠ECF＝60°，∠CEF＝30°，
∴CF=12EC=12x．EF=3CF=32x．
在Rt△EFB中，∵BE2＝EF2+BF2，
∴z2＝（32x）2+（y+12x）2，
整理得：x2+xy+y2＝z2．




总结提升：本题属于四边形综合题，考查了理想四边形的定义，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确理解并运用新定义“理想四边形”和“理想对角线”，学会用分类讨论的思想思考问题．
14．（2020•朝阳区一模）在平面直角坐标系xOy中，点A（t，0），B（t+2，0），C（n，1），若射线OC上存在点P，使得△ABP是以AB为腰的等腰三角形，就称点P为线段AB关于射线OC的等腰点．

（1）如图，t＝0，
①若n＝0，则线段AB关于射线OC的等腰点的坐标是　 　；
②若n＜0，且线段AB关于射线OC的等腰点的纵坐标小于1，求n的取值范围；
（2）若n=33，且射线OC上只存在一个线段AB关于射线OC的等腰点，则t的取值范围是　 　．
思路引领：（1）①根据线段AB关于射线OC的等腰点的定义可知OP＝AB＝2，由此即可解决问题．
②如图2中，当OP＝AB时，作PH⊥x轴于H．求出点P的横坐标，利用图象法即可解决问题．
（2）如图3﹣1中，作CH⊥y轴于H．分别以A，B为圆心，AB为半径作⊙A，⊙B．首先证明∠COH＝30°，∵由射线OC上只存在一个线段AB关于射线OC的等腰点，推出射线OC与⊙A，⊙B只有一个交点，求出几种特殊位置t的值，利用数形结合的思想解决问题即可．
解：（1）①如图1中，由题意A（0，0），B（2，0），C（0，1），

∵点P是线段AB关于射线OC的等腰点，
∴OP＝AB＝2，
∴P（0，2）．
故答案为（0，2）．

②如图2中，当OP＝AB时，作PH⊥x轴于H．

在Rt△POH中，∵PH＝OC＝1，OP＝AB＝2
∴OH=OP2−PH2=22−12=3，
观察图象可知：若n＜0，且线段AB关于射线OC的等腰点的纵坐标小于1时，n＜−3．

（3）如图3﹣1中，作CH⊥y轴于H．分别以A，B为圆心，AB为半径作⊙A，⊙B．

由题意C（33，1），
∴CH=33，OH＝1，
∴tan∠COH=CHOH=33，
∴∠COH＝30°，
当⊙B经过原点时，B（﹣2，0），此时t＝﹣4，
∵射线OC上只存在一个线段AB关于射线OC的等腰点，
∴射线OC与⊙A，⊙B只有一个交点，观察图象可知当﹣4＜t≤﹣2时，满足条件，

如图3﹣2中，当点A在原点时，∵∠POB＝60°，此时两圆的交点P在射线OC上，满足条件，此时t＝0，

如图3﹣3中，当⊙B与OC相切于P时，连接BP．

∴OC是⊙B的切线，
∴OP⊥BP，
∴∠OPB＝90°，
∵BP＝2，∠POB＝60°，
∴OB=PBcos60°=433，此时t=433−2，
如图3﹣4中，当⊙A与OC相切时，同法可得OA=433，此时t=433，此时符合题意．

如图3﹣5中，当⊙A经过原点时，A（2，0），此时t＝2，

观察图形可知，满足条件的t的值为：433−2＜t≤2，
综上所述，满足条件t的值为﹣4＜t≤﹣2或t＝0或433−2＜t≤2或t=433
故答案为：﹣4＜t≤﹣2或t＝0或433−2＜t≤2或t=433．
总结提升：本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，线段AB关于射线OC的等腰点的定义，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用辅助圆解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
15．（2022•房山区模拟）对于平面直角坐标系xOy中的图形W1和图形W2，给出如下定义：在图形W1上存在两点A，B（点A，B可以重合），在图形W2上存在两点M，N（点M，N可以重合）使得AM＝2BN，则称图形W1和图形W2满足限距关系．
（1）如图1，点C（3，0），D（0，﹣1），E（0，1），点P在线段CE上运动（点P可以与点C，E重合），连接OP，DP．
①线段OP的最小值为 　　，最大值为 　　；线段DP的取值范围是 　　；
②在点O，点D中，点 　 　与线段DE满足限距关系；

（2）在（1）的条件下，如图2，⊙O的半径为1，线段FG与x轴、y轴正半轴分别交于点F，G，且FG∥EC，若线段FG与⊙O满足限距关系，求点F横坐标的取值范围；
（3）⊙O的半径为r（r＞0），点H，K是⊙O上的两个点，分别以H，K为圆心，2为半径作圆得到⊙H和⊙K，若对于任意点H，K，⊙H和⊙K都满足限距关系，直接写出r的取值范围．

思路引领：（1）①根据垂线段最短以及已知条件，确定OP，DP的最大值，最小值即可解决问题；
②根据限距关系的定义判断即可；
（2）根据两直线平行k相等计算设FG的解析式为：y=−33x+b，得G（0，b），F（3b，0），分三种情形：①线段FG在⊙O内部，②线段FG与⊙O有交点，③线段FG 与⊙O没有交点，分别构建不等式求解即可；
（3）如图3﹣1中，不妨设⊙K，⊙H的圆心在x轴上位于y轴的两侧，根据⊙H和⊙K都满足限距关系，构建不等式求解即可．
解：（1）①如图1中，

∵点C（3，0），E（0，1），
∴OE＝1，OC=3，
∴EC＝2，∠ECO＝30°，
当OP⊥EC时，OP的值最小，当P与C重合时，OP的值最大是3，
Rt△OPC中，OP=12OC=32，即OP的最小值是32；
如图2，当DP⊥EC时，DP的值最小，

Rt△DEP中，∠OEC＝60°，
∴∠EDP＝30°，
∵DE＝2，
∴cos30°=DPDE，
∴DP2=32，
∴DP=3，
当P与E重合时，DP的值最大，DP的最大值是2，
∴线段DP的取值范围是：3≤DP≤2；
故答案为：32，3，3≤DP≤2；
②根据限距关系的定义可知，线段DE上存在两点M，N，满足OM＝2ON，如图3，

故点O与线段DE满足限距关系；
根据限距关系的定义可知，线段DE上存在两点M，N，满足DM＝2DN，如图3，

故点D与线段DE满足限距关系；
故答案为：O和D；

（2）∵点C（3，0），E（0，1），
∴设直线CE的解析式为：y＝kx+m，
∴3k+m=0m=1，解得：k=−33m=1，
∴直线CE的解析式为：y=−33x+1，
∵FG∥EC，
∴设FG的解析式为：y=−33x+b，
∴G（0，b），F（3b，0），
∴OG＝b，OF=3b，
当0＜3b＜1时，如图5，线段FG在⊙O内部，与⊙O无公共点，

此时⊙O上的点到线段FG的最小距离为1−3b，最大距离为1+3b，
∵线段FG与⊙O满足限距关系，
∴1+3b≥2（1−3b），
解得3b≥13，
∴b的取值范围为13≤3b＜1；
当1≤3b≤6时，线段FG与⊙O有公共点，线段FG与⊙O满足限距关系，
当3b＞6时，如图6，线段FG在⊙O的外部，与⊙O没有公共点，

此时⊙O上的点到线段FG的最小距离为3b﹣1，最大距离为3b+1，
∵线段FG与⊙O满足限距关系，
∴3b+1≥2（3b﹣1），
而3b+1≥2（3b﹣1）总成立，
∴3b＞6时，线段FG 与⊙O满足限距关系，
综上所述，点F横坐标的取值范围是：3b≥13；

（3）如图3﹣1中，不妨设⊙K，⊙H的圆心在x轴上位于y轴的两侧，

两圆的距离的最小值为2r﹣4，最大值为2r+4，
∵⊙H和⊙K都满足限距关系，
∴2r+4≥2（2r﹣4），
解得r≤6，
故r的取值范围为0＜r≤6．
总结提升：本题属于圆综合题，考查了解直角三角形，垂线段最短，直线与圆的位置关系，限距关系的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数构建不等式解决问题，属于中考创新题型．
16．（2022•西城区校级模拟）点P（x1，y1），Q（x2，y2）是平面直角坐标系中不同的两个点，且x1≠x2．若存在一个正数k，使点P，Q的坐标满足|y1﹣y2|＝k|x1﹣x2|，则称P，Q为一对“限斜点”，k叫做点P，Q的“限斜系数”，记作k（P，Q）．由定义可知，k（P，Q）＝k（Q，P）．
例：若P（1，0），Q（3，12），有|0−12|=14|1﹣3|，所以点P，Q为一对“限斜点”，且“限斜系数”为14．
已知点A（1，0），B（2，0），C（2，﹣2），D（2，12）．
（1）在点A，B，C，D中，找出一对“限斜点”：　 　，它们的“限斜系数”为 　 　；
（2）若存在点E，使得点E，A是一对“限斜点”，点E，B也是一对“限斜点”，且它们的“限斜系数”均为1．求点E的坐标；
（3）⊙O半径为3，点M为⊙O上一点，满足MT＝1的所有点T，都与点C是一对“限斜点”，且都满足k（T，C）≥1，直接写出点M的横坐标xM的取值范围．

思路引领：（1）根据定义通过计算求解即可；
（2）设E（x，y），由题意可得|y|＝|x﹣1|，|y|＝|x﹣2|，求解方程即可求点E的坐标；
（3）由题意可知C点在直线y＝﹣x上，T点在以M为圆心1为半径的圆上，M点在以O为圆心3为半径的圆上，则T点在以O为圆心2为半径的圆上或以O为圆心4为半径的圆上，当T点在直线y＝﹣x上时，k＝1，再由k（T，C）≥1，可知T点在直线y＝﹣x的上方，T点在直线y＝﹣x的上方，直线y＝x﹣4的上方，半径为2的圆和半径为4的圆构成的圆环内部．
解：（1）A（1，0），C（2，﹣2），有|0+2|＝2|1﹣2|，
∴A、C为一对“限斜点”，且“限斜系数”为2；
A（1，0），D（2，12），有|0−12|=12|1﹣2|，
∴A、D为一对“限斜点”，且“限斜系数”为12；
故答案为：A、C或A、D，2或12；
（2）设E（x，y），
∴|y|＝|x﹣1|，|y|＝|x﹣2|，
∴|x﹣1|＝|x﹣2|，
解得x=32，
∴y＝±12，
∴E（32，12）或（32，−12）；
（3）∵C（2，﹣2），
∴C点在直线y＝﹣x上，
∵MT＝1，
∴T点在以M为圆心1为半径的圆上，
∵M点在以O为圆心3为半径的圆上，
∴T的轨迹是半径为2的圆和半径为4的圆构成的圆环，
当T点在直线y＝﹣x上时，设T（m，﹣m），
∴|﹣m+2|＝k|m﹣2|，
∴k＝1，
∵k（T，C）≥1，
∴T点在直线y＝﹣x的上方，直线y＝x﹣4的上方，半径为2的圆和半径为4的圆构成的圆环内部，如图所示，
∴−322≤xM≤4．

总结提升：本题考查圆的综合应用，弄清定义，熟练掌握圆与直线的关系，绝对值方程的解法，数形结合解题是关键．
17．（2020•密云区一模）对于平面直角坐标系xOy中的任意一点P，给出如下定义：经过点P且平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫做点P的“特征线”．
例如：点M（1，3）的特征线是y＝x+2和y＝﹣x+4；
（1）若点D的其中一条特征线是y＝x+1，则在D1（2，2）、D2（﹣1，0）、D3（﹣3，4）三个点中，可能是点D的点有　D2　；
（2）已知点P（﹣1，2）的平行于第二、四象限夹角平分线的特征线与x轴相交于点A，直线y＝kx+b（k≠0）经过点P，且与x轴交于点B．若使△BPA的面积不小于6，求k的取值范围；
（3）已知点C（2，0），T（t，0），且⊙T的半径为1．当⊙T与点C的特征线存在交点时，直接写出t的取值范围．

思路引领：（1）画出图形，根据点的特征线的定义解决问题即可．
（2）过点P平行于第二四象限角平分线的特征线的解析式为y＝﹣x+b，求出△PAB的面积为6时点B的坐标，再利用待定系数法求直线PB的解析式，结合图形即可解决问题．
（3）如图3中，由题意点C的特征线的解析式为y＝x﹣2或y＝﹣x+2，设当⊙T与直线y＝﹣x+2相切于点M时，当⊙T′与直线y＝x﹣2相切于点N时，分别求出OT，OT′结合图象即可解决问题．
解：（1）如图1中，观察图象可知，点D2的特征线是y＝x+1．

故答案为D2．

（2）如图2中，

设过点P平行于第二四象限角平分线的特征线的解析式为y＝﹣x+b，
∴1+b＝2，
∴b＝1，
∴过点P平行于第二四象限角平分线的特征线的解析式为y＝﹣x+1，
∴A（1，0），
当△BPA的面积＝6时，12•AB•2＝6，
∴AB＝6，
∴B（﹣5，0）或（7，0），
当y＝kx+b′经过P（﹣1，2），B（﹣5，0）时，
−k+b′=2−5k+b′=0解得k=12，
当直线y＝kx+b′经过P（﹣1，2），B（7，0）时，
−k+b′=27k+b′=0，解得k=−14，
观察图形可知满足条件的k的值为−14≤k≤12且k≠0．

（3）如图3中，由题意点C的特征线的解析式为y＝x﹣2或y＝﹣x+2，

当⊙T与直线y＝﹣x+2相切于点M时，连接TM，
在Rt△TCM中，∵∠TMC＝90°，∠MCT＝45°，
∴MT＝MC＝1，
∴TC=2TM=2，
∴OT＝2−2，此时t＝2−2．
当⊙T′与直线y＝x﹣2相切于点N时，同理可得OT′＝2+2，此时t＝2+2，
结合图象可知满足条件的t的值为：2−2≤t≤2+2．
总结提升：本题属于圆综合题，考查了直线与圆的位置关系，一次函数的性质，三角形的面积，点P的“特征线”的定义，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会利用特殊位置解决问题，属于中考压轴题．
18．（2022秋•西城区校级期中）已知函数y＝x2+bx+c（x≥2）的图象过点A（2，1），B（5，4）．
（1）直接写出y＝x2+bx+c（x≥2）的解析式；
（2）如图，请补全分段函数y=−x2+2x+1(x＜2)x2+bx+c(x≥2)的图象（不要求列表）．
并回答以下问题：
①写出此分段函数的一条性质：　 　；
②若此分段函数的图象与直线y＝m有三个公共点，请结合函数图象直接写出实数m的取值范围；
（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记（2）中函数的图象与直线y=12x−1围成的封闭区域（不含边界）为“W区域”，请直接写出区域内所有整点的坐标．

思路引领：（1）用待定系数法求函数解析式即可；
（2）①根据函数图象写出性质即可；②由图象可求出m的取值范围；
（3）根据图象求整点坐标即可．
解：（1）把A（2，1），B（5，4）代入解析式得：4+2b+c=125+5b+c=4，
解得b=−6c=9，
∴y＝x2+bx+c（x≥2）的解析式为y＝x2﹣6x+9；
（2）如图所示：

①性质：抛物线关于点（2，1）成中心对称，
故答案为：抛物线关于点（2，1）成中心对称；
②由图象可得：实数m的取值范围为0＜m＜2；
（3）如图：

由函数图象可得：“W区域“内所有整点的坐标为（0，0），（1，1）．
总结提升：本题考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的性质，关键是对函数性质的掌握和运用．
19．（2021春•丰台区校级月考）在平面直角坐标系xOy中，过⊙T（半径为r）外一点P引它的一条切线，切点为Q，若0＜PQ≤2r，则称点P为⊙T的伴随点．
（1）当⊙O的半径为1时，
①在点A（﹣3，0），B（﹣1，3），C（2，﹣1）中，⊙O的伴随点是 　 　；
②点D在直线y＝﹣x+3上，且点D是⊙O的伴随点，求点D的横坐标d的取值范围；
（2）⊙M的圆心为M（m，0），半径为3，直线y＝2x+3与x轴，y轴分别交于点E，F．若线段EF上的所有点都是⊙M的伴随点，直接写出m的取值范围．

思路引领：（1）①画出图形，求出切线长，根据⊙O的伴随点的定义判断即可．
②如图2中，设点D的坐标为（d，﹣d+3），构建方程求出两种特殊位置时点D的坐标即可解决问题．
（2）求出几种特殊位置时m的值即可判断．①如图3﹣1中，设ET是⊙M的切线，当FT＝6时，线段EF上的所有点都是⊙M的伴随点．②如图3﹣2中，设ET是⊙M的切线，连接MT，则∠MTE＝90°．③如图3﹣3中，当⊙M在直线EF的右侧与EF相切时，设切点为T，连接MT．分别求出m的值，结合图形即可得出结论．
解：（1）①如图1中，

∵A（﹣3，0），B（﹣1，3），C（2，﹣1），
∴切线AG的长=32−12=22＞2，
切线BN的长＝2，
切线CM的长＝2，
∴点B，C是，⊙O的伴随点，
故答案为：B，C．

②如图2中，设点D的坐标为（d，﹣d+3），

当过点D的切线长为2r＝2时，
OD=12+22=5，
∴d2+（﹣d+3）2＝5，
解得 d1＝2，d2＝1．
结合图象可知，点D的横坐标d的取值范围是1≤d≤2．

（2）由题意E（−32，0），F（0，3）．
①如图3﹣1中，设ET是⊙M的切线，当FT＝6时，线段EF上的所有点都是⊙M的伴随点，此时m＝6．

观察图象可知：当﹣6≤m＜−92时，线段EF上的所有点都是⊙M的伴随点．

②如图3﹣2中，设ET是⊙M的切线，连接MT，则∠MTE＝90°

当ET＝6时，EM=ET2+MT2=32+62=35，此时m＝35−32，
③如图3﹣3中，当⊙M在直线EF的右侧与EF相切时，设切点为T，连接MT．

∵E（−32，0），F（0，3），
∴OE=32，OF＝3，
∴EF=1．52+32=352，
∵EF是切线，
∴EF⊥MT，
∴∠MTE＝∠EOF＝90°，
∵∠MET＝∠FEO，
∴△MTE∽△FOE，
∴EMEF=MTOF，
∴EM352=33
∴EM=352，
此时m=352−32，
结合图象可知，当352−32＜m≤35−32时，线段EF上的所有点都是⊙M的伴随点，
综上所述，m的取值范围是﹣6≤m＜−92或352−32＜m≤35−32．
总结提升：本题属于圆综合题，考查了圆的伴随点的定义，切线的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会利用特殊位置解决问题，属于中考压轴题．
20．（2020•丰台区校级开学）已知：点P为图形M上任意一点，点Q为图形N上任意一点，若点P与点Q之间的距离PQ始终满足PQ＞0，则称图形M与图形N相离．
（1）已知点A（1，2）、B（0，﹣5）、C（2，﹣1）、D（3，4）．
①与直线y＝3x﹣5相离的点是　 　；
②若直线y＝3x+b与△ABC相离，求b的取值范围；
（2）设直线y＝x+3、直线y＝﹣x+3及直线y＝﹣3围成的图形为W，正方形T的对角线长为2，两条对角线分别平行于坐标轴，该正方形对角线的交点坐标为（t，0），直接写出正方形T与图形W相离的t的取值范围．

思路引领：（1）①将A，B，C，D四个点的坐标代入直线y＝3x﹣5计算即可判断．
②根据直线y＝3x+b经过点A，和点C计算b的值即可得出答案．
（2）先画出图形，再分三种情形求出经过特殊位置的T的坐标即可得出答案．
解：（1）①∵点A（1，2），
∴当x＝1时，3﹣5＝﹣2，
∴点A不在直线y＝3x﹣5上，
同理，点C（2，﹣1）不在直线y＝3x﹣5上，点B（0，﹣5），点D（3，4）在直线上，
∴与直线y＝3x﹣5相离的点是A，C；
故答案为：A，C；
②当直线y＝3x+b过点A（1，2）时，
∴3+b＝2．
∴b＝﹣1．
当直线y＝3x+b过点C（2，﹣1）时，
∴6+b＝﹣1．
∴b＝﹣7．
∴b的取值范围是b＞﹣1或b＜﹣7．
（2）如图所示，正方形T与图形W相离的t的取值范围是t＜﹣4或﹣2＜t＜2或t＞4．

总结提升：本题考查了一次函数综合题，涉及一次函数的性质，正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决数学问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．