专题09 方程中常见设元方法技巧-2022-2023学年初中数学学科素养能力培优竞赛试题精选专练

专09 方程中常见设元方法技巧

一、直接设元法

【学霸笔记】

 “直接设元”就是题目中要求的量是什么，就设这个量为未知数，是最常用的设元法.

【典例】中国古代问题：有甲、乙两个牧童，甲对乙说：“把你的羊给我一只，我的羊数就是你的羊数的2倍”．乙回答说：“最好还是把你的羊给我一只，我们羊数就一样了”．若设甲有x只羊，则下列方程正确的是（　　）

A．x+1＝2（x﹣2） B．x+3＝2（x﹣1） C．x+1＝2（x﹣3） D．

【解答】解：∵甲对乙说：“把你的羊给我1只，我的羊数就是你的羊数的两倍”．甲有x只羊，

∴乙有1只，

∵乙回答说：“最好还是把你的羊给我1只，我们的羊数就一样了”，

∴1+1＝x﹣1，即x+1＝2（x﹣3）

故选：C．

【巩固】10个人围成一个圆圈做游戏，游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉与他相邻的两个人，然后每个人将与他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来，若报出来的数如图所示，则报2的人心里想的数是　    　．

【解答】解：设报2的人心里想的数是x，

则报4的人心里想的数应该是6﹣x，

于是报6的人心里想的数是10﹣（6﹣x）＝4+x，

报8的人心里想的数是14﹣（4+x）＝10﹣x，

报10的人心里想的数是18﹣（10﹣x）＝8+x，

报2的人心里想的数是2﹣（8+x）＝﹣6﹣x，

∴x＝﹣6﹣x，

解得x＝﹣3．

故答案为：﹣3．

二、间接设元法

【学霸笔记】

 所设的量是不需要求的，但能够更容易找出题中的等量关系，对于一些采用直接设元法列方程比较困难的问题，可以采用间接设元法会比较容易.（所设未知量与所求未知量要有一定联系）

解绝对值方程的基本方法是去掉绝对值符号，转化为一般方程求解，常见的转化思路如下：

（1）简单的绝对值方程：形如的形式，可以将此类方程转化为两个一元一次方程，即和；

（2）含多重或多个绝对值符号的绝对值方程，可采用“零点分段法”，解此类方程的步骤如下：

①求出各个临界点；

②根据未知数的取值范围进行分类讨论；

③去绝对值符号，化为一般方程求解.

【典例】如图是一个长方形色块图，由6个大小不完全相同的正方形组成，设中间最小的一个正方形边长为1，则这个长方形的面积为　    　．

【解答】解：设右下角正方形的边长为x，则其余正方形的边长依次为x+1，x+2，x+3，

∴2x+5＝3x+1，

解得x＝4，

∴矩形的边长为13，11，

∴矩形的面积为13×11＝143．

故答案为143．

【巩固】小明家的电话号码是八位数，它的前四位数字相同，后五位数字是连续的自然数，电话号码的数字和等于它的最后两位数．问：小明家的电话号码是多少？

【解答】解：①后五位数是依次增加的数．

设前四位数字均为x，则后四位数字依次为x+1，x+2，x+3，x+4，

根据题意，得：4x+（x+1）+（x+2）+（x+3）+（x+4）＝10（x+3）+（x+4），

解得：x＝﹣8 不符合实际意义．

②后五位数是依次减小的数．

设前四位数字均为x，则后四位数字依次为x﹣1，x﹣2，x﹣3，x﹣4，

根据题意得：4x+（x﹣1）+（x﹣2）+（x﹣3）+（x﹣4）＝10（x﹣3）+（x﹣4），

解得：x＝8．

所以后四位数为7654，

因此小明家的电话号码为 88887654．

答：小明家的电话号码是88887654．

三、辅助设元法

【学霸笔记】

 对于一些较为复杂的问题，往往数量之间关系交错复杂，可采用增设未知数，在已知条件和所求结论之间架起一座“桥梁”，从而理清各个数量间的关系，这种设元方法叫做辅助设元法，也叫参数法或设而不求法.

【典例】有一片牧场，草每天都在匀速地生长（即草每天增长的量相等），如果放牧24头牛，则6天吃完牧草；如果放牧21头牛，则8天吃完牧草．设每头牛每天吃草的量是相等的，问：

（1）如果放牧16头牛，几天可以吃完牧草？

（2）要使牧草永远吃不完，至多放牧几头牛？

【解答】解：设牧场原有草量为a，每天生长的草量为b，每头牛每天吃草量为c，16头牛x天吃完草．

（1）由题意得：

由②﹣①得    b＝12c④

由③﹣②得     （x﹣8）b＝（16x﹣168）c⑤

将④代入⑤得 （x﹣8）×12c＝（16x﹣168）c，解得  x＝18

（2）设至多放牧y头牛，牧草才永远吃不完，则有cy≤b，即每天吃的草不能多于生长的草，y12．

答：（1）如果放牧16头牛，18天可以吃完牧草；（2）要使牧草永远吃不完，至多放牧12头牛．

【巩固】有两块锌铜合金的质量分别为10千克、15千克，这两块合金的含铜的质量分数不同，现分别从这两块合金中各切下一块质量相同的合金，交换后分别与另一块合在一起熔化，冷却后测得这两块合金含铜的质量分数相同，求切下的一块合金的质量．

【解答】解：设切下的一块重量是x千克，设10千克和15千克的合金的含铜的百分比为a，b，

则交换后第一块合金含铜的质量为（10﹣x）a+xb，第二块合金含铜量为（15﹣x）b+xa，

由题意得：，

整理得：（b﹣a）x＝6（b﹣a），

解得：x＝6．

答：切下的一块合金的质量为6千克．

四、整体设元法

【学霸笔记】

 有些问题未知量较多，已知关系又少，若未知数的某一部分存在一个整体关系，可设这一部分为一个未知数，从而减少元的个数，这种设元的方法叫做整体设元法.

【典例】以下算式中，每个汉字代表1个数字，不同的汉字代表不同的数字，已知“神”＝3，那么被乘数是　           　．

【解答】解：设“神舟五号“＝A，“飞天”＝B，

则3×（100A+B）＝10000B+A，

300A+3B＝10000B+A，

299A＝9997B，

23A＝769B，而23和769互质，

故B＝23n，A＝769n（n是自然数），2≤n≤4．

但A的首位数字为3．

只可能n＝4，从而A＝3076，B＝92．

所以被乘数是307692．

故答案为307692．

【巩固】一个六位数的3倍等于，则这个六位数是 　           　．

【解答】解：设为x，

∵中的2在十万位上，

∴六位数可表示为2×100000+x，

同理可得可表示为10x+9，

∴（2×100000+x）×3＝10x+9，

解得x＝85713．

∴这个6位数为2×100000+x＝285713，

故答案是285713．

巩固练习

1．一列“动车组”高速列车和一列普通列车的车身长分别为80米与100米，它们相向行驶在平行的轨道上，若坐在高速列车上的旅客看见普通列车驶过窗口的时间是5秒，则坐在普通列车上的旅客看见高速列车驶过窗口的时间是（　　）

A．7.5秒 B．6秒 C．5秒 D．4秒

【解答】解：设坐在普通列车上的旅客看见高速列车驶过窗口的时间是x秒，则

100÷5×x＝80，

解得x＝4．

故选：D．

2．古希腊数学家帕普斯是丢番图是最得意的一个学生，有一天他向老师请教一个问题：有4个数，把其中每3个相加，其和分别是22，24，27，20，则这个四个数是（　　）

A．3，8，9，10 B．10，7，3，12 C．9，7，4，11 D．9，6，5，11

【解答】解：设a、b、c、d为这4个数，且a＞b＞c＞d，

则有，

解得：a＝11，b＝9，c＝7，d＝4．

故选：C．

3．一天晚上停电了，小明同时点上两支粗细不同的蜡烛看书，若干分钟后电来了，小明将两支蜡烛同时熄灭，已知粗的新蜡烛可燃烧2小时，细的新蜡烛可燃烧1小时，开始时两根蜡烛一样长，熄灭时粗蜡烛长是细蜡烛长的2倍，则停电时间为　   　分钟．

【解答】解：设停电x分钟，

依题意得：1，

解得x＝40分钟．

答：停电40分钟．

故答案为：40．

4．如图，一个啤酒瓶的高度为30cm，瓶中装有高度12cm的水，将瓶盖盖好后倒置，这时瓶中水面高度20cm，则瓶中水的体积和瓶子的容积之比为　   　．（瓶底的厚度不计）

【解答】解：设瓶的底面积为Scm2，则左图V水＝12Scm3，右图V空＝10Scm3，

∵V瓶＝V水+V空＝22Scm3，

∴V水：V瓶＝6：11．

故答案为．

5．甲从A地到B地，去时步行，返回时坐车，共用x小时，若他往返都坐车，则全程只需小时，若他往返都步行，则需　   　小时．

【解答】解：∵往返都坐车，全程只需小时，

∴坐车一趟用的时间为x小时，

∵去时步行，返回时坐车，用x小时，

∴步行一趟用xxx小时，

∴往返都步行，需要x×2x小时，

故答案为x．

6．某人从家到学校时，的路程走路，的路程骑车；从学校回家时，前的时间走路，后的时间骑车，结果去学校的时间比回家所用的时间多0.5小时，已知他走路每小时行8千米，骑车每小时行16千米，则此人从家到学校的距离是多少千米？

【解答】解：设此人从家到学校的距离是x千米，

依题意，得：0.5，

解得：x＝78．

答：此人从家到学校的距离是78千米．

7．山脚下有一池塘，山泉以固定的流量（即单位时间里流人池中的水量相同）不停地向池塘内流淌，现池塘中有一定深度的水，若用一台A型抽水机则1小时后正好能把池塘中的水抽完，若用两台A型抽水机则20分钟正好把池塘中的水抽完，问若用三台A型抽水机同时抽，则需要多长时间恰好把池塘中的水抽完？

【解答】解：设池塘中的水有a，山泉每小时的流量是b，一台A型抽水机每小时抽水量是x．

根据题意，得

，

解得bx，ax．

设若用三台A型抽水机同时抽，则需要t小时恰好把池塘中的水抽完．

3tx＝a+bt，

t．

即t＝12分钟．

答：若用三台A型抽水机同时抽，则需要12分钟恰好把池塘中的水抽完．

8．自行车轮胎，安装在后轮上，只能行驶3000km就要报废，安装在前轮上，则行驶5000km才报废．为使一对轮胎能在行驶尽可能多的路程后才报废，在自定车行驶一定路程后，就将前后轮胎调整，这样安装在自行车上的一对轮胎最多可驶多少千米？

【解答】解：设自行车行驶了xkm后，互换前后轮胎再行驶，致使两只轮胎同时报废，因此，前轮胎还可行驶（5000﹣x）km，后轮胎还可行驶（3000﹣x）km

则有（5000﹣x）（3000﹣x）

∴（）x＝2000

解得：x＝1875（km）

（5000﹣1875）1875（km）

1875+1875＝3750（km）

∴安装在自行车上的一对轮胎最多可驶3750千米．

9．大数学家欧拉的数学名著《代数基础》中记录了一个有趣的问题：有一位父亲，临终时嘱咐他的儿子这样来分他的财产：第一个儿子分得100克朗和剩下财产的十分之一；第二个儿子分得200克朗和剩下财产的十分之一；第三个儿子分得300克朗和剩下财产的十分之一；第四个儿子分得400克朗和剩下财产的十分之一；…，按这种方法一直分下去，最后，每一个儿子所得财产一样多．问：这位父亲共有几个儿子？每个儿子分得多少财产？

【解答】解：设遗产总数为x克朗，则老大分得100（x﹣100），老二分得200[x﹣100（x﹣100）﹣200]，

根据题意可得100（x﹣100）＝200[x﹣100（x﹣100）﹣200]，

解得x＝8100，

则老大分得100（x﹣100）＝900，

8100÷900＝9（人）．

答：这位父亲共有共有孩子9人，每个孩子分得遗产900克朗．

10．梅林中学租用两辆小汽车（设速度相同）同时送1名带队老师及7名九年级的学生到县城参加数学竞赛，每辆限坐4人（不包括司机）．其中一辆小汽车在距离考场15km的地方出现故障，此时离截止进考场的时刻还有42分钟，这时唯一可利用的交通工具是另一辆小汽车，且这辆车的平均速度是60km/h，人步行的速度是5km/h（上、下车时间忽略不计）．

（1）若小汽车送4人到达考场，然后再回到出故障处接其他人，请你通过计算说明他们能否在截止进考场的时刻前到达考场；

（2）假如你是带队的老师，请你设计一种运送方案，使他们能在截止进考场的时刻前到达考场，并通过计算说明方案的可行性．

【解答】解：（1）（分钟），

∵45＞42，

∴不能在限定时间内到达考场．

（2）方案1：先将4人用车送到考场，另外4人同时步行前往考场，汽车到考场后返回到与另外4人的相遇处再载他们到考场．

先将4人用车送到考场所需时间为（分钟）．

0.25小时另外4人步行了1.25km，此时他们与考场的距离为15﹣1.25＝13.75（km），

设汽车返回t（h）后先步行的4人相遇，

5t+60t＝13.75，

解得．

汽车由相遇点再去考场所需时间也是．

所以用这一方案送这8人到考场共需．

所以这8个人能在截止进考场的时刻前赶到．

方案2，8人同时出发，4人步行，先将4人用车送到离出发点xkm的A处，然后这4个人步行前往考场，车回去接应后面的4人，使他们跟前面4人同时到达考场，

由A处步行前考场需，

汽车从出发点到A处需先步行的4人走了，

设汽车返回t（h）后与先步行的4人相遇，则有，

解得，

所以相遇点与考场的距离为：．

由相遇点坐车到考场需：．

所以先步行的4人到考场的总时间为：，

先坐车的4人到考场的总时间为：，

他们同时到达则有：，

解得x＝13．

将x＝13代入上式，可得他们赶到考场所需时间为：（分钟）．

∵37＜42，

∴他们能在截止进考场的时刻前到达考场．