专题13 几何图形问题-2022-2023学年初中数学学科素养能力培优竞赛试题精选专练

专题13 几何图形问题

一、数正方体个数

【典例】如图是由若干个大小相同的小正方体所搭成的几何体的三视图，则搭成这个几何体的小正方体的个数是（　　）

A．6个 B．7个 C．8个 D．9

【解答】解：综合三视图可知，这个几何体的底层有4个小正方体，第二层有1个小正方体，第三层有1个小正方体，因此搭成这个几何体所用小正方体的个数是4+1+1＝6个．

故选：A．

【巩固】由一些大小相同的小正方体搭成的几何体的左视图和俯视图，如图所示，则搭成该几何体的小正方体的个数最多是（　　）

A．7 B．8 C．9 D．10

二、正方体的展开与折叠

【学霸笔记】

正方体的11种不同的展开图

“一四一”型

“一三二”型

“阶梯”型

【典例】如图，是一个几何体的表面展开图．

（1）该几何体是 　       　；

（2）依据图中数据求该几何体的体积．

【解答】解：（1）由展开图得这个几何体为长方体，

故答案为：长方体．

（2）表面积：3×1×2+3×2×2+2×1×2＝22（米2），

体积：3×2×1＝6（米3），

答：该几何体的表面积是22平方米，体积是6立方米．

【巩固】如图是一个正方体的展开图，标注了字母A，C的面分别是正方体的正面和底面，其他面分别用字母B，D，E，F表示．已知A＝kx+1，B＝3x﹣2，C＝1，D＝x﹣1，E＝2x﹣1，F＝x．

（1）如果正方体的左面与右面所标注字母代表的代数式的值相等，求出x的值；

（2）如果正面字母A代表的代数式与对面字母代表的代数式的值相等，且x为整数，求整数k的值．

三、叠放的几何体求表面积或体积

【典例】棱长为a的正方体，摆成如图所示的形状．

（1）如果这一物体摆放三层，试求该物体的表面积；

（2）依图中摆放方法类推，如果该物体摆放了上下20层，求该物体的表面积．

（3）依图中摆放方法类推，如果该物体摆放了上下n层，求该物体的表面积．

【解答】解：（1）6×（1+2+3）•a2＝36a2．

故该物体的表面积为36a2；

（2）6×（1+2+3+…+20）•a2＝1260a2．

故该物体的表面积为1260a2；

（3）6×（1+2+3+…+n）•a2＝3n（1+n）a2．

故该物体的表面积为3n（1+n）a2．

【巩固】将一个棱长为整数的正方体木块的表面涂红色，然后分割成棱长为1的小正方体，若各个面未染色的小正方体有2197个，则只有两个面染色的小正方体有　    　个．

巩固练习

1．一个几何体由大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状图如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置的小正方块的个数，能正确表示该几何体的主视图的是（　　）

A． B． C． D．

2．如图是一个几何体的三视图，根据图中所标数据计算这个几何体的体积为（　　）

A．12π B．18π C．24π D．30π

3．如图所示的正方体，如果把它展开，可以是下列图形中的（　　）

A． B． 

C． D．

4．一个几何体由大小相同的小立方块搭成，从上面看到的几何体的形状如图所示，其中小正方形中的数字表示在该位置上的小正方块的个数，请你画出从正面与左面看到的这个几何体的形状图．

5．（1）如图1，一个正方体纸盒的棱长为4厘米，将它的一些棱剪开展成一个平面图形，求这个平面图形的周长．

（2）如图2，一个长方体纸盒的长、宽、高分别是a厘米、b厘米、c厘米（a＞b＞c）将它的一些棱剪开展成一个平面图形，求这个平面图形的最大周长，画出周长最大的平面图形．

6．请在下面的五个方框中画出5种不同的正方体的展开图（经过平移或旋转后能够重合的，算作一种）．

7．如图，下列几何体是由若干棱长为1的小立方体按一定规律在地面上摆成的，若将露出的表面都涂上颜色（底面不涂色），观察该图，探究其中的规律．

（1）第1个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有　  　个．第3个几何体中只有2个面涂色的小立方体共有　    　个．

（2）设第n个几何体中只有2个面涂色的小立方体的块数为M，请用含字母n的代数式表示M；

（3）求出前100个几何体中只有2个面涂色的小立方体的块数的和．

8．（1）在如图（1）所示的正方体表面展开图中的三个空白正方形内各填入一个质数，使该图复原成正方体后，三组对面上的两数之和都相等．

（2）图（2）是由四个如图（1）所示的正方体拼成的长方体，其中有阴影的面上为合数，无阴影的面上为质数，并且整个表面上任意两个相邻正方形内的数都不是图（1）所示的正方体相对面上的两数．已知长方体正面上的四个数之和为质数，那么其左侧面上的数是　    　（填具体数）．

（3）如果把图（2）中的长方体从中间等分成左右两个小长方体，它们各自表面上的各数之和分别为S左和S右，那么S左与S右的大小关系是S左　   　S右．

9．六盒磁带按“规则方式”打包，所谓“规则方式”是指每相邻两盒必须以完全一样的面对接，最后得到的包装形状是一个长方形．已知磁带盒的大小为abc＝11×7×2（单位cm）．

（1）请画出示意图，给出一种打包方式，使其表面积最小；

（2）若不给出a、b、c的具体尺寸，只假定a≥b≥c，3问能否按照已知的方式打包，使其表面积最小？并说明理由．

10．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：

（1）根据上面多面体的模型及表格中的数据：

你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是　             　；

（2）一个多面体每个顶点处都有3条棱，多面体的棱数比顶点数大10，则这个多面体的面数是　    　；

（3）某个玻璃饰品的外形是简单的多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，每个顶点处都有3条棱，共有棱36条．若该多面体外表面三角形的个数比八边形的个数的2倍多2，求该多面体外表面三角形的个数．