2023高考数学复习专项训练《直线的交点坐标与距离公式》

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2023高考数学复习专项训练《直线的交点坐标与距离公式》一 、单选题（本大题共8小题，共40分）1.（5分）直线y=-x+1的倾斜角是()A、45°B、135°C、120°D、90°A. 45° B. 135° C. 120° D. 90°2.（5分）关于空间向量，以下说法正确的是()A. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量不一定共面B. 已知向量{a→,b→,c→}组是空间的一个基底，则{a→-c→,a→-b→,b→-c→}也是空间的一个基底C. 若对空间中任意一点O，有AP→=-23OA→+16OB→+12OC→，则P，A，B，C四点共面D. 若a→⋅b→<0，则a→,b→的夹角是钝角3.（5分）下列四个命题中，正确的是()A. 直线3x+y+2=0在y轴上的截距为2B. 直线y=0的倾斜角和斜率均存在C. 若两直线的斜率k1，k2满足k1=k2，则两直线互相平行D. 若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等4.（5分）已知三棱锥P-ABC的所有棱长均为2，点M为BC边上一动点，若AN⊥PM且垂足为N，则线段CN长的最小值为()A. 27-33 B. 21-33 C. 73 D. 15.（5分）若直线l1:2x-ay+1=0与l2:(a-1)x-y-1=0平行，则l1与l2之间的距离为()A. 2 B. 22 C. 324 D. 246.（5分）已知直线l过点P(1,2,1)，且方向向量为m→=(1,0,-1)，则点A(1,-1,-1)到l的距离为()A. 22 B. 11 C. 23 D. 37.（5分）直线l1：3ax-y-2=0和直线l2：(2a-1)x+5ay-1=0分别过定点A和B，则AB=()A. 135 B. 175 C. 115 D. 8958.（5分）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是C1D1的中点，则异面直线AP与BA1所成角的余弦值为()A. 26 B. 36 C. 13 D. 23二 、多选题（本大题共5小题，共25分）9.（5分）已知空间中三点A(0,1,0)，B(2,2,0)，C(-1,3,1)，则下列结论正确的有()A. 与AB→共线的单位向量是(22,22,0)B. AB→⊥AC→C. AB→与BC→夹角的余弦值是5511D. 平面ABC的一个法向量是(1,-2,5)10.（5分）已知点A(-2,1)，B(3,-2)，C5,185，D(1,6)，则以下四个结论正确的是( )A. AB // CD； B. AB⊥AD；C. |AC|=|BD|； D. AC⊥BD，11.（5分）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，则下面结论中正确的是()A. 点P到平面A1BC1的距离为定值B. 三棱锥D-BPC1的体积为定值C. 异面直线C1P与直线CB1所成的角为定值D. 直线C1P与平面BDC1所成线面角为定值12.（5分）下列说法正确的是()A. 已知直线l过点P(2,3)，且在x、y轴上截距相等，则直线l的方程为x+y-5=0B. 直线3x+y+1=0的倾斜角为120°C. a∈R，b∈R，“直线ax+2y-1=0与直线(a+1)x-2ay+1=0垂直”是“a=3”的必要不充分条件D. 若直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线l的斜率为-2313.（5分）正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为AA1中点，O为BD1中点，以下说法正确的是()A. OM//平面ABCD B. OM//平面BCC1B1C. OM⊥平面BB1D1D D. OM⊥平面BCC1B1三 、填空题（本大题共5小题，共25分）14.（5分）在空间直角坐标系Oxyz(O为坐标原点)中，点A(4,-6,-3)关于y轴的对称点为点B，则|AB|=______.15.（5分）已知直线l：kx+y+1=0(k∈R)，则原点到这条直线距离的最大值为______．16.（5分）已知正方形ABCD的边长为2，E，F分别是边AB，CD的中点，沿EF将四边形AEFD折起，使二面角A-EF-B的大小为60°，则A，C两点间的距离为 ______.17.（5分）设平面ABC的一个法向量为m→=(1,1,0)，平面ABD的一个法向量为n→=(1,0,-1)，则二面角C-AB-D的大小为__________.18.（5分）点B在x轴上运动，点C在直线l：x-y+2=0上运动，若A(1,2)，则△ABC的周长的最小值为 ______.四 、解答题（本大题共5小题，共60分）19.（12分）根据下列条件，求直线的一般方程：  (1)过点(2,1)且与直线2x+3y=0平行；  (2)与直线y=x垂直，且在两坐标轴上的截距之和为-4．20.（12分）如图在四棱锥A-BCDE中，DE//BC，M，N分别是AB，CD的中点，DE=3BC. (1)求证：MN//平面AED； (2)若点F在棱AD上且满足AD=λAF，AB//平面CEF，求λ的值．21.（12分）ΔABC中，顶点A(7,1)，AB边上的中线CE所在直线方程为2x-y-5=0，AC边上的高BF所在直线方程为x-2y-5=0. (1)求顶点C的坐标； (2)求直线BC的方程．22.（12分）如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB//CD，|AB|=|AD|=2，|CD|=4，M为CE的中点． (1)求证：平面BDE⊥平面BCE； (2)求二面角M-DB-C的正切值．23.（12分）如图，三棱锥A-BCD中，AB=AD，AO⊥平面BCD，点O在线段CD上，且满足OD=2OC=2,BD=3OB. (1)证明：BC⊥AD； (2)若二面角C-AB-D的正弦值为265，求三棱锥A-BCD的体积．答案和解析1.【答案】null;【解析】解：由于直线y=-x+1的斜率为-1， 故它的倾斜角是135°， 故选：B. 由题意，根据直线的方程，先求出直线的斜率，可得它的倾斜角． 此题主要考查直线的斜率和倾斜角，属于基础题．2.【答案】C;【解析】解：对于A：若有两个向量共线，由于空间中任意两个向量一定共面，则这三个向量一定共面，故A错误； 对于B：根据空间向量的基本定理，(a→-c→)-(a→-b→)=b→-c→， 由选项A可知，a→-c→、a→-b→、b→-c→一定共面，则不能构成基底，故B错误； 对于C：根据空间向量的基本定理有OP→=xOA→+yOB→+zOC→(x+y+z=1)， AP→=-23OA→+16OB→+12OC→，则OP→=OA→+AP→=OA→-23OA→+16OB→+12OC→=13OA→+16OB→+12OC→， 又13+16+12=1， ∴P，A，B，C四点共面，故C正确； 对于D：a→⋅b→=|a→|⋅|b→|⋅cos，且∈[0,π]， ∴当=π时，a→⋅b→<0，故D错误， 故选：C. 根据向量的定义和空间向量的基本定理，逐一分析选项，即可得出答案． 此题主要考查空间向量的基本定理和平面向量的数量积，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．3.【答案】B;【解析】解：A选项，对于直线3x+y+2=0，令x=0得y=-2，所以直线3x+y+2=0在y轴上的截距为-2，故A错误； B选项，直线y=0的倾斜角为0，斜率为0，存在，故B正确； C选项，若两直线的斜率k1，k2满足k1=k2，则两直线互相平行或重合，所以C错误； D选项，若两直线的倾斜角为90°，则它们的斜率不存在，所以D错误． 故选：B. 根据方程直接求解可判断A；由倾斜角和斜率的定义可判断B；根据直线平行与斜率的关系可判断C；由倾斜角为90°时斜率不存在可判断D. 此题主要考查了直线截距的求法，考查了斜率和倾斜角的关系，是基础题．4.【答案】B;【解析】解：如图所示，取PA中点O，∵AN⊥PM，∴点N在以O为球心，半径为1的球面上，  据此可知点N的轨迹为一段圆弧， 设点O在平面PBC的投影点为O1， 且点O1∈PS(S为BC中点)， 故点N在以O1为圆心的圆弧上，PS=AS=3， 设点A到直线PS的距离为h，则12×3×h=12×2×(3)2-12，解得h=263， 故OO1=63，PO1=1-(63)2=33，PS=22-12=3， NO1=33，CO1=12+(233)2=213， 据此可得当点N在CO1上时，CN取最小值21-33， 故选：B. 首先确定球的球心和半径，进而可确定N点的轨迹，设点O在平面PBC的投影点为O1，则点N在以O1为圆心的圆弧上，找到CN取得最小值时点N的位置然后进行计算即可． 此题主要考查立体几何中的轨迹问题，立体几何中的最值与范围问题，空间想象能力的培养等知识，属于中等题．5.【答案】C;【解析】 此题主要考查两条直线平行的判定及应用以及平行线之间的距离问题，属于基础题. 解：因为直线l1:2x-ay+1=0与l2:(a-1)x-y-1=0平行，所以2×(-1)=-a×(a-1)，解得a=-1或a=2.当a=-1时，l1:2x+y+1=0与l2:-2x-y-1=0重合，故舍去;当a=2时，l1:2x-2y+1=0与l2:2x-2y-2=0之间的距离d=|-2-1|22+(-2)2=324.故选C.6.【答案】B;【解析】解：∵直线l的一个方向向量为m→=(1,0,-1)，取直线l一个单位方向向量为μ→=m→|m→|=(22,0,-22)， 又A(1,-1,-1)为直线外一点，且直线l过点P(1,2,1)，∴PA→=(0,-3,-2)， ∴PA→·μ→=(0,-3,2)·(22,0,-22)=2，|AP→|=13， ∴点A到直线l的距离为d=PA→2-(AP→·μ→)2=13-2=11. 故选：B. 根据直线l一个方向向量为m→，取直线l的一个单位方向向量为μ→=m→|m→|，计算PA→，代入点到直线的距离公式d=PA→2-(AP→·μ→)2计算即可． 此题主要考查空间中点到直线的距离，属于中档题．7.【答案】A;【解析】解：对于直线3ax-y-2=0，令3x=0，求得x=0，y=-2，可得它经过定点A(0,-2)， 对于(2a-1)x+5ay-1=0，即a(2x+5y)-x-1=0，令2x+5y=0，可得-x-1=0，求得x=-1，y=25， ∴它经过定点B(-1,25)， ∴|AB|=(-1-0)2+(25+2)2=135， 故选：A. 令参数的系数等于零，求得x、y的值，可得直线经过定点的坐标，再利用两点间的距离公式，求得|AB|的值． 此题主要考查直线经过定点问题，两点间的距离公式的应用，属于基础题．8.【答案】A;【解析】解；以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，  不妨设正方体的棱长为2，则A(2,0,0)，P(0,1,2)，B(2,2,0)，A1(2,0,2)， 则AP→=(-2,1,2),BA1→=(0,-2,2)， 则cos=AP→·BA1→|AP→||BA1→|=-2+44+1+4×4+4=26. 故选：A. 建立空间直角坐标系，求得AP→,BA1→，利用向量的夹角公式即可得解． 此题主要考查利用空间向量求解异面直线所成角，考查运算求解能力，属于基础题．9.【答案】BD;【解析】解：∵空间中三点A(0,1,0)，B(2,2,0)，C(-1,3,1)， ∴AB→=(2,1,0)，222≠221，∴单位向量是(22,22,0)与AB→不共线，故A错误； AC→=(-1,2,1)，AB→·AC→=0，∴AB→⊥AC→，故B正确； BC→=(-3,1,1)，cos=AB→·BC→|AB→|·|BC→|=-555=-5511，故C错误； 设m→=(1,-2,5)，则m→·AB→=0，m→·BC→=0，AB∩BC=B， ∴平面ABC的一个法向量是(1,-2,5)，故D正确． 故选：BD. 利用共线向量和单位向量的定义判断A；利用向量垂直的性质判断B；利用向量夹角余弦公式判断C；利用法向量定义判断D. 此题主要考查共线向量、单位向量的定义、向量垂直的性质、向量夹角余弦公式、法向量定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．10.【答案】AB;【解析】 此题主要考查了直线的斜率、两直线垂直、平行的判定、两点间距离公式，属于基础题. 计算相应直线的斜率及两点间的距离逐个验证解答. 解：kAB=-2-13+2=-35,kCD=6-1851-5=-35，kAD=6-11+2=53,kAC=185-15+2=1335,kBD=6+21-3=-4， ∵kAB=kCD=-35,∴AB//CD，A选项正确， ∵kAB.kAD=-35×53=-1,∴AB⊥AD，B选项正确； ∵kAC.kBD=1335×-4≠-1,∴AC与BD不垂直，D选项错误； ∵AC=-2-52+1-1852=49+16925， BD=3-12+-2-62=217，∴AC≠BD，C选项不正确， 故选AB.11.【答案】ABC;【解析】解：对于A，在正方体ABCD-A1B1C1D1中， 直线AD1//BC1，AD1⊄平面A1BC1，BC1⊂平面A1BC1，所以直线AD1//平面A1BC1， 所以点P到平面A1BC1的距离，即为直线AD1与平面A1BC1的距离，为定值．故A正确； 对于B，由于VD-BPC1=VP-DBC1，而S△DBC1为定值， 在正方体ABCD-A1B1C1D1中， AD1//BC1，BC1⊂平面BDC1，AD1⊄平面BDC1，所以AD1//平面BDC1， 又P∈AD1，所以点P到该平面BDC1的距离即为直线AD1与平面BDC1的距离，为定值， 所以三棱锥D-BPC1的体积为定值，故B正确； 对于C，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1C⊥BC1，B1C⊥AB，BC1∩AB=B， 所以B1C⊥平面ABC1D1，而C1P⊂平面ABC1D1，所以B1C⊥C1P， 故这两条异面直线所成的角为90°，故C正确； 对于D，由B选项的分析可知，点P到平面BDC1的距离d不变， 所以直线C1P与平面BDC1所成线面角，设为θ，由C1P的长度确定， 即sinθ=dC1P，因为C1P的长度是变化的，故线面角θ的大小不确定，故D错误． 故选：ABC. 利用线面平行、等体积法、异面直线所成角、线面角的知识进行判断求解． 此题主要考查了线面平行的判定以及空间角和空间距离的问题，属于中档题．12.【答案】BCD;【解析】解：对于A，当直线在x、y轴上截距为0时， 直线l过点P(2,3)， 则直线l的方程为y=32x， 当直线在x、y轴上截距不为0时， 可设直线方程为xa+ya=1，即x+y=a， 直线l过点P(2,3)， 则a=5， 故直线l的方程为x+y-5=0， 故直线l的方程为y=32x 或x+y-5=0，故A错误， 对于B，直线3x+y+1=0的斜率k=-3， 则该直线的倾斜角为120°，故B正确， 对于C，直线ax+2y-1=0与直线(a+1)x-2ay+1=0垂直， 则a(a+1)-4a=0， 故a2-3a=0，解得a=0或a=3， 故“直线ax+2y-1=0与直线(a+1)x-2ay+1=0垂直”是“a=3”的必要不充分条件，故C正确， 对于D，由题意可知，直线l的斜率存在， 设直线l的方程为y=kx+b， 直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置， 则y=k(x+3)+b+2=kx+b，解得k=-23，故D正确． 故选：BCD. 对于A，结合分直线在x、y轴上截距为0，不为0两种情况讨论，即可求解， 对于B，结合斜率与倾斜角的关系，即可求解， 对于C，结合直线垂直的性质，即可求解， 对于D，结合直线平移的性质，即可求解． 此题主要考查命题的真假判断与应用，考查转化能力，属于基础题．13.【答案】AC;【解析】解：如图建立空间直角坐标系：设正方体棱长为2，则M(2,0,1)，O(1,1,1)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，OM→=(1,-1,0)， 由于DD1⊥平面ABCD，DC⊥平面BCC1B1，AC⊥平面BB1D1D， 则平面ABCD，平面BCC1B1，平面BB1D1D的法向量可分别取a→=(0,0,1)，b→=(0,1,0)，)，c→=AC→=(-2,2,0)， 对于A：由于OM→·a→=0，且OM⊈平面ABCD，故OM//平面ABCD，A正确； 对于B：OM→·b→=-1≠0，故B错误； 对于C：c→=-2OM→，即OM→//c→，故OM⊥平面BB1D1D，C正确； 对于D：OM→与b→不共线，故D错误， 故选：AC.  建立空间直角坐标系，根据平行垂直的等价条件计算判断． 此题主要考查空间线面位置关系，属于基础题．14.【答案】10;【解析】解：因为在空间直角坐标系中，点A(4,-6,-3)关于y轴的对称点为(-4,-6,3)， 所以|AB|=(4+4)2+(-6+6)2+(-3-3)2=10. 故答案为：10. 在空间直角坐标系中，点(x,y,z)关于y轴的对称点为(-x,y,-z)，由此得到点B的坐标，再利用两点距离公式即可求得|AB|. 此题主要考查空间向量的坐标运算，是基础题．15.【答案】1;【解析】解：直线l：kx+y+1=0，恒过定点(0,-1)， 原点(0,0)到直线距离的最大值，即为原点(0,0)到点(0,-1)的距离d=1． ∴原点O到直线l距离的最大值为1． 故答案为1． 由题意可知原点到已知直线的距离的最大值即为原点到直线恒过的定点间的距离，所以利用两点间的距离公式求出原点到定点间的距离即为距离的最大值． 该题考查学生会根据两直线的方程求出两直线的交点坐标，灵活运用两点间的距离公式化简求值，是一道综合题．16.【答案】5;【解析】解：如图，取BE的中点G，连接AG，CG，由题意EF⊥AE，EF⊥BE， 则∠AEB是二面角A-EF-B的平面角，则∠AEB=60°，又AE=BE=1， 则ΔABE是正三角形，于是AG⊥BE,AG=32.  根据EF⊥AE，EF⊥BE，AE∩BE=E可得：EF⊥平面ABE， 而AG⊂平面ABE，所以EF⊥AG， 而AG⊥BE，BE∩EF=E，则AG⊥平面BCFE， 又GC⊂平面BCFE，于是，AG⊥GC， 又GC2=BC2+BG2=174，所以AC=AG2+GC2=34=5. 故答案为：5. 取BE的中点G，然后证明∠AEB是二面角A-EF-B的平面角，进而证明AG⊥GC，最后通过勾股定理求得答案． 此题主要考查二面角的相关计算，空间中两点之间距离才计算等知识，属于中等题．17.【答案】60∘或120∘;【解析】  【易错警示】利用空间向量法求二面角，有两种方法：一是分别在二面角的两个面内找到一个与棱垂直且从同一点出发的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的平面角的大小;二是通过平面的法向量来求，设二面角的两个半平面的法向量分别为n1→和n2→，则二面角的大小等于或π-.由二面角定义得|cos|=|12×2|=12，∴=60∘或120∘，即二面角C-AB-D的大小为60∘或120∘. 18.【答案】26;【解析】解：设点A(1,2)关于x轴的对称点为D，则点D的坐标为(1,-2)， 设点A(1,2)关于l：x-y+2=0的对称点为E(x,y)， 则{y-2x-1=-1x+12-y+22+2=0，解得{x=0y=3，即点E的坐标为(0,3)， 由对称性可知|AC|=|CE|，|AB|=|BD|， 所以△ABC的周长为|AB|+|AC|+|BC|=|BD|+|CE|+|BC|⩾|DE|=(1-0)2+(-2-3)2=26， 即△ABC的周长的最小值为26. 故答案为：26. 求出点A关于x轴的对称点为D，点A关于l：x-y+2=0的对称点为E，利用对称性将△ABC的周长的最小值转化为求DE的长度即可得解． 此题主要考查点关于直线对称的点的坐标的求法，两点间的距离公式，考查运算求解能力，属于基础题．19.【答案】解：(1)设直线方程为2x+3y+c=0， 由题意可得4+3+c=0，解得c=-7， ∴所求直线方程为2x+3y-7=0 (2)设直线方程为xa+yb=1， 依题意可得：a+b=-4-ba=-1， 解得：a=b=-2， 则所求方程为x-2+y-2=1，即x+y+2=0;【解析】 (1)设直线方程为2x+3y+c=0，代入点(2,1)，求得c，即可得到所求直线方程；  (2)设直线方程为xa+yb=1，依题意可得：a+b=-4-ba=-1，求得a，b，可得所求直线方程．  该题考查直线方程的求法，注意运用两直线平行和垂直的条件，考查待定系数法的运用，属于基础题．20.【答案】（1）证明：取BE的中点为Q，连接NQ，MQ，  ∵CB∥DE，N，Q分别为CD、BE的中点， ∴NQ∥DE， 又∵NQ⊄面AED，DE⊂面AED， ∴NQ∥面AED， 又∵M为BA的中点， ∴MQ∥AE， ∵MQ⊄面AED，AE⊂面AED， ∴MQ∥面AED ∵MQ∩NQ=Q， ∴面MNQ|面AED，∴MN∥面AED； （2）解：设BD交CE于点G，连接FG，  ∵AB∥面CEF，面CEF∩面ABD=FG，AB⊂面ABD， ∴AB∥FG，∴AFFD=BGGD． 在直角梯形BCDE中，△BCG∽△DEG， ∴BGGD=BCDE=13， ∴AFFD=BGGD=13， ∴AD=4AF， ∴λ=4．;【解析】 (1)取BE的中点为Q，证明面MNQ//面ADE，即可得到MN//平面AED； (2)根据已知，将线面平行转化得到线线平行，再用三角形相似即可得λ的值． 此题主要考查了线面平行的证明以及线面平行的性质，属于中档题．21.【答案】解：（1）由题意可知kBF=12，  ∵BF为边AC的高，∴kAC=-2，…（2分）  ∴直线AC的方程为：y-1=-2（x-7），  整理，得2x+y-15=0，…（4分）  联立直线AC与CE的方程组，  得2x+y-15=02x-y-5=0，解之，得x=5y=5，  ∴点C的坐标为（5，5）；…（6分）  （2）设B点的坐标为（m，n），  ∵E为AB中点，∴E(m+72，n+12)，  ∵E在直线CE上，∴2.m+72-n+12-5=0，  ∴2m-n+3=0，…（8分）  又∵B在直线BF上，∴m-2n-5=0，  ∴2m-n+3=0m-2n-5=0∴m=-11 3n=-13 3，  ∴B(-113，-133)，…（10分）  ∴kBC=5+1335+113=1413，  ∴直线BC的方程为y-5=1413(x-5)，  即14x-13y-5=0．…（12分）;【解析】 (1)求出直线BF的斜率，求出AC的斜率，从而求出直线AC的方程，联立AC、CE的方程组，求出C的坐标即可； (2)设出B的坐标，求出E的坐标，得到关于m，n法方程组，求出B的坐标以及BC的斜率，从而求出直线方程即可． 此题主要考查了求直线方程以及直线的斜率问题，考查直线的垂直关系，是一道中档题．22.【答案】（1）证明：∵ADEF为正方形， ∴ED⊥AD， 又∵正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，且ED⊂平面ADEF， ∴ED⊥平面ABCD， ∵BC⊂平面ABCD， ∴ED⊥BC， 在直角梯形ABCD中，|AB|=|AD|=2，|CD|=4， 则|BC|=(|CD|-|AB|)2+|AD|2=22+22=22，|BD|=22， 在△BCD中，|BD|2+|BC|2=|CD|2， ∴BC⊥BD， ∵DE∩BD=D，DE与BD⊂平面BDE， ∴BC⊥平面BDE， 又∵BC⊂平面BEC， ∴平面BDE⊥平面BEC； （2）解：由（1）知ED⊥平面ABCD， ∵CD⊂平面ABCD，∴CD⊥ED， ∴DA，DC，DE三线两两垂直，故以D为原点，DA、DC、DE分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D-xyz，  则D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，4，0），M（0，2，1）， 则DB→=(2，2，0)，DM→=(0，2，1)， 设m→=(x，y，z)为平面BDM的法向量， 则{m→⋅DB→=0m→⋅DM→=0⇒{x+y=02y+z=0，取m→=(1，-1，2)， 取平面BCD的法向量为n→=(0，0，1)，设二面角M-DB-C的大小为θ， 则cosθ=|m→⋅n→||m→||n→|=26=63，∴tanθ=22．;【解析】 (1)证明BC⊥平面BDE，然后利用面面垂直的判断定理即可证得题中的结论； (2)以D为原点，DA、DC、DE分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D-xyz，求平面BMD和平面BCD的法向量，利用法向量的求二面角的余弦，再求正切﹒ 此题主要考查面面垂直的判断定理，二面角的计算，空间向量及其应用，空间想象能力的培养等知识，属于中等题．23.【答案】（1）证明：AO⊥平面BCD，∴AO⊥BO，AO⊥OD， ∵AB=AD，∴△AOB≅△AOD，∴OB=OD，∴BD=3OB=23， 由余弦定理得cos∠BOD=BO2+DO2-BD22BO·DO=4+4-(23)22×2×2=-12， ∴∠BOD=2π3，∴∠BOC=π3， ∵BO=2，OC=1，由余弦定理得BC=3，∴BC⊥CO， ∵AO⊥平面BCD，AO⊂平面ACD，∴平面ACD⊥平面BCD， ∵平面ACD∩平面BCD=CD， ∴BC⊥平面ACD，∴BC⊥AD． 解：（2）由（1）知BC⊥CD，过点C作Cz∥AO，以C为原点，以CD，CB，Cz分别为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系， 则C(0，0，0)，B(0，3，0)，D(3，0，0)， 设AO=a,则A（1，0，a）， BA→=(1，-3，a)，BD-=(3，3，0)，CA→=(1，0，a)， 设平面ABC，平面ABD的法向量分别为n1→=(x1，y1，z1)⋅n2→=(x2，y2，z2)， 则{n1→⋅BA→=x1-3y1+az1=0n1→⋅CA-=x1+az1=0，令z1=-1，可得n1→=(a,0，-1)， {n2→⋅BA→=x2-3y2+az2=0n2→⋅BD→=3x2-3y2=0，令x2=1，可得n2→=(1，3，2a)， 设二面角C-AB-D的大小为θ，则sinθ=265，∴|cosθ|=15， ∴|cosθ|=|cos〈n1→，n2→〉|=|a-2a|a2+11+3+4a2=15，解得a=2或a=2147， 当a=2时，VA-BCD=13×2S△BCD=13×2×12×3×3=3； 当a=2147时，VA-BCD=13×2147S△BCD=13×2147×12×3×3=427， 故三棱锥A-BCD的体积为3或427．;【解析】 (1)根据条件可计算长度关系从而可证平面ACD⊥平面BCD，根据面面垂直的性质定理可证BC⊥平面ACD，从而由线面垂直的定义可证明结论； (2)建立空间直角坐标系，设AO=a，计算平面ABC，平面ABD的法向量，利用向量夹角公式列出方程求解a的值，进一步计算可得三棱锥的体积． 此题主要考查了线线垂直的证明以及二面角的计算和三棱锥体积的计算问题，属于中档题．