2023高考数学复习专项训练《空间向量及其运算》

2023高考数学复习专项训练《空间向量及其运算》

一 、单选题（本大题共8小题，共40分）

1.（5分）已知在正方体中，，为空间任意两点，如果，那么点必

A. 在平面内 B. 在平面内
C. 在平面内 D. 在平面内

2.（5分）若，，，则的形状是

A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形

3.（5分）已知向量，，若，分别是平面，的法向量，且，则

A.  B.  C.  D.

4.（5分）边长为的正方形中，

A.  B.  C.  D.

5.（5分）已知四棱锥的底面是平行四边形，设，，，则   

A.  B.
C.  D.

6.（5分）在四面体中，，，，为的中点，为的中点，则可表示为用，、表示 
 

A.  B.
C.  D.

7.（5分）若，，，，则等于

A.  B.  C.  D.

8.（5分）已知点，，为线段上一点，且，则点的坐标为

A.  B.
C.  D.

二 、多选题（本大题共5小题，共25分）

9.（5分）已知是直线的一个方向向量，是直线的一个方向向量，则下列说法不正确的是

A.  B.
C.  D. 直线，夹角的余弦值为

10.（5分）已知空间向量，，则

A.  B.
C.  D.

11.（5分）在正方体中，，分别是和的中点，则下列结论正确的是

A. 平面 B. 平面
C.  D. 点与点到平面的距离相等

12.（5分）多选已知，，，若，，三个向量能构成空间的一个基底，则实数的值可为

A.  B.  C.  D.

13.（5分）在以下命题中，不正确的命题有

A. 是，共线的充要条件
B. 若，则存在唯一的实数，使
C. 对空间任意一点和不共线的三点，，，若，则，，，四点共面
D. 若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底

三 、填空题（本大题共5小题，共25分）

14.（5分）已知向量，，若，则__________.

15.（5分）已知正四棱柱中，，为中点，则异面直线与所成角的余弦值为__________.

16.（5分）设向量，，其中，则与夹角的最大值为___________.

17.（5分）若，，，则______.

18.（5分）已知平行六面体中，若，则______．

四 、解答题（本大题共5小题，共60分）

19.（12分）已知向量，，，， 
求，，； 
求与所成角的余弦值．

20.（12分）已知， 
若，且，求； 
若与互相垂直，求实数

21.（12分）如图，正方形与等腰直角三角形所在平面互相垂直，，，分别是，的中点，是上的点，

试确定点的位置

求，的值.

22.（12分）已知，，且，求，的值；

已知，，若与为坐标原点的夹角为，求的值.

23.（12分）如图，已知平行六面体，，设，，，试用，，表示， 
 

答案和解析

1.【答案】C;

【解析】 
 

此题主要考查了空间共线向量定理及应用，属于基础题. 
由空间共线向量定理求解即可.解：因为 
 
 
 
， 
所以，，，四点共面故选 

 

2.【答案】C;

【解析】解：，，，  
，得为钝角；  
所以三角形为钝角三角形  
故选：． 
求出各边对应的向量，求出各边对应向量的数量积，判断数量积的正负，得出各角为锐角．  
此题主要考查向量数量积的应用：据数量积的正负判断角的范围．
 

3.【答案】C;

【解析】解：向量，， 
，分别是平面，的法向量，且， 
， 
解得． 
故选：． 
利用向量垂直的性质直接求解． 
该题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

4.【答案】B;

【解析】试题分析：  
考点：向量加法的三角形法则；向量的模
 

5.【答案】B;

【解析】 
该题考查了空间向量的基本应用问题，是基础题． 
根据题意画出图形，结合图形利用空间向量的基本定理用、和表示出即可． 
 
解：如图所示， 
 
四棱锥的底面是平行四边形， 
，，， 
则 
 
． 
故选：． 

 

6.【答案】A;

【解析】 
此题主要考查了空间向量的加减运算及数乘运算，空间向量的基本定理及应用，考查学生的计算能力，属于基础题. 
根据题意可得如图，从而利用空间向量的加减运算即可得. 
 
解：根据题意可得如图： 
 
 
 
 
故选
 

7.【答案】C;

【解析】解析：，， 
，， 
 
故选： 
根据向量的夹角公式，先求得两向量的数量积和两向量的模，用夹角公式建立关于的方程求解． 
此题主要考查向量的夹角公式及其应用，这一点在研究空间角中有不可比拟的优越性，要熟练掌握．
 

8.【答案】C;

【解析】设，解得
 

9.【答案】ABC;

【解析】解：，，，，错误， 
，是直线的一个方向向量，是直线的一个方向向量，，直线与直线不平行，错误， 
，是直线的一个方向向量，是直线的一个方向向量，，直线与直线不垂直，错误， 
，，，，，， 
，，直线与直线夹角的余弦值为，正确， 
故选： 
利用空间向量的数量积运算判断，利用直线的方向向量判断直线的平行与垂直判断，利用空间向量的夹角公式判断 
此题主要考查空间向量的数量积运算，利用直线的方向向量判断直线的平行与垂直，空间向量的夹角公式，属于基础题．
 

10.【答案】AC;

【解析】 
本题重点考查空间向量的坐标运算，数量积及其简单应用，属容易题. 
根据向量模的计算公式可判断看向量，是否有倍数关系可判断根据数量积的计算，看是否为零，可判断根据向量的运算结果，可判断 
解：因为，所以正确 
因为不存在使，所以不正确 
因为，所以，所以正确 
因为，所以，所以不正确.
 

11.【答案】AC;

【解析】 
此题主要考查了空间中的线面关系和利用空间直角坐标系判定垂直的方法与空间向量的运算等，属于中档题. 
对根据判定即可，对，建立空间直角坐标系证明与平面中的不垂直即可，对，建立空间直角坐标系计算即可，对，判断点与点的中点是否在平面上即可.解：对，因为、分别是和的中点故，且平面，平面，故平面成立； 
对，建立如图空间直角坐标系，设正方体边长为，则，，故，故，不互相垂直又平面，故平面不成立， 
 
对，同空间直角坐标系有， 
，故成立， 
对，点与点到平面的距离相等，则点与点中点在平面上，连接，易得平面即平面，又点与点中点在上，故点不在平面上，故不成立. 
故选
 

12.【答案】ABC;

【解析】 
此题主要考查空间向量基本定理，属于一般题解析：，，，，三个向量 
能构成空间的一个基底， 
与不平行，且，，三个向量不共面， 
若存在实数，，使得，即 
解得 
满足的的值均能使，，构成空间的一个基底，故 
选，，
 

13.【答案】ABD;

【解析】解：，共线；反之不成立，若，同向共线，可能是成立，因此是，共线的充分不必要条件，因此不正确； 
B.若，则存在唯一的实数，使，不正确，因为，时不成立，因此不正确； 
C.对空间任意一点和不共线的三点，，，若，，，，四点共面，因此不正确； 
D.若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底，否则其中任意一个向量必然能用另外两个向量线性表示，不妨设，化为，则，，且，矛盾，假设不成立，因此成立． 
故选： 
A.，可得，共线；反之不成立，即可判断出正误； 
B.若，时不成立，即可判断出正误； 
C.对空间任意一点和不共线的三点，，，若，，，，四点共面，即可判断出正误； 
D.利用空间向量基底的定义，即可判断出正误． 
本题考查向量共线定理、平面向量基本定理、空间向量基本定理，考查推理能力与计算能力，属于基础题．
 

14.【答案】;

【解析】 
此题主要考查了向量的加法和向量垂直的判断与证明，属于基础题. 
先利用向量的加法求出，再根据向量垂直的判断相关知识进行求解. 
解：因为向量，，， 
所以向量， 
若，则 
故答案为
 

15.【答案】;

【解析】建立如图所示空间直角坐标系，令，则，，，，
 

16.【答案】;

【解析】 
此题主要考查了空间向量的坐标运算、数量积的性质应用问题，也考查了推理与计算能力，是中档题．解：由题意，， 
当且仅当，时取等号，因此的最大值为； 
即，， 
，， 
，的最大值是 
故答案为：
 

17.【答案】3;

【解析】解：因为，，， 
所以， 
所以 
故答案为： 
利用空间向量加法以及数量积的坐标运算，求解即可． 
此题主要考查了空间向量的坐标运算，解答该题的关键是掌握空间向量加法的坐标运算以及数量积的坐标运算，考查了运算能力，属于基础题．
 

18.【答案】;

【解析】解：已知平行六面体中，若， 
所以，，， 
所以； 
故答案为：． 
利用平行六面体的性质以及空间向量的加法运算解答． 
该题考查了空间向量的加法；属于基础题．
 

19.【答案】null;

【解析】 
利用空间向量的线性运算求解即可． 
利用空间向量的夹角公式求解即可． 
此题主要考查空间向量的线性运算，空间向量夹角公式的应用，属于中档题．
 

20.【答案】解：（1）由题意，， 
又， 
则设， 
所以， 
又， 
则，解得λ=±1， 
故或； 
（2）因为=（k-1，k，2），=（k+2，k，-4）， 
又与互相垂直， 
所以（k-1）（k+2）+k•k+2×（-4）=0， 
解得k=2或k=．;

【解析】 
利用向量的坐标运算、向量共线定理以及向量的模，列式求解即可； 
利用向量垂直的坐标表示，列式求解即可． 
本题考查了空间向量的坐标运算，向量共线定理以及向量垂直的充要条件的应用，向量模的坐标表示，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于基础题．
 

21.【答案】解：由正方形与等腰直角三角形所在平面互相垂直， 
，得平面，

，

以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

设，，

则，，，，

，，

，，，

，为的中点.

，，

，又，

，，

，;

【解析】此题主要考查空间向量垂直的坐标表示，空间向量夹角余弦的求法，是中档题. 
以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，设，，利用，，求出的值，确定点位置； 
利用空间向量夹角余弦公式能求出
 

22.【答案】解：， 
， 
且， 
，且， 
解得，；

解：，，

，

可得，解得;

【解析】

此题主要考查空间向量的加减法运算，考查空间向量共线的性质，属于基础题. 
由题求出，根据，即可得解和的值；

由题得到，，根据空间向量的夹角公式即可得解的值.
 

23.【答案】解：连接图略，则 

由是平行四边形，得

则

又，

故

故

连接图略，则

，，

故;

【解析】此题主要考查空间向量的线性运算，属中档题.