2023高考数学复习专项训练《面面平行的性质》

2023高考数学复习专项训练《面面平行的性质》

一 、单选题（本大题共8小题，共40分）

1.（5分）如图，在四棱锥中，是边长为的正三角形，，为棱的中点，则直线与平面的位置关系是 
 

A. 平行 B. 垂直
C. 相交但不垂直 D. 不能确定

2.（5分）已知两条不同的直线，和不重合的两个平面，，且，则下列说法正确的是

A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则

3.（5分）如图，正方体的棱长为，是棱的中点，是侧面内一点，若平面，则长度的范围为
 

A.  B.  C.  D.

4.（5分）已知是空间两个不同的平面，则“平面上存在不共线的三点到平面的距离相等”是“”

的 
 

A. 充分非必要条件
B. 必要非充分条件
C. 充要条件
D. 非充分非必要条件

5.（5分）在正方体中，，分别是棱，的中点，则与平面的位置关系是    
 

A. 平面 B. 与平面相交
C. 在平面内 D. 与平面的位置关系无法判断

6.（5分）如图，在棱长为的正方体中，的中点是，过点作与截面平行的截面，则该截面的面积为     。 
 

A.  B.  C.  D.

7.（5分）如图，在棱长为的正方体中，点，分别是棱，的中点，是侧面内一点，若平面平面，则线段长度的取值范围是
 

A.  B.  C.  D.

8.（5分）下列四个正方体图形中，，为正方体的两个顶点，，，分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形的序号是

A.  B.  C.  D.

二 、多选题（本大题共5小题，共25分）

9.（5分）正方体的棱长为，分别为的中点，则

A. 直线与直线垂直
B. 直线与平面平行
C. 平面截正方体所得的截面面积为
D. 点和点到平面的距离相等

10.（5分）给出下列命题，其中真命题为

A. 若两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面
B. 若两个平面平行，那么垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面
C. 若两个平面垂直，那么垂直于其中一个平面的直线一定平行于另一个平面
D. 若两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面

11.（5分）已知，是两条不重合的直线，是两个不重合的平面，则下列说法中正确的是

A. 若，，则直线平行于平面内的无数条直线
B. 若，，则
C. 若，，，则与是异面直线
D. 若，，则，一定相交

12.（5分）下列命题正确的是

A. 若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内；
B. 如果两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交；
C. 若直线与平面平行，则与平面内的直线平行或异面；
D. 若平面平面，直线，直线，则直线

13.（5分）如图，棱长为的正方体中，在线段含端点上运动，则下列判断正确的是
 

A.  B. 三棱锥的体积不变，为
C. 平面 D. 与所成角的范围是

三 、填空题（本大题共5小题，共25分）

14.（5分）如图，是正方体的棱上的一个定点点不与，重合则在棱上存在________个点，能使

15.（5分）已知两个不重合的平面，，两条不重合的直线，，给出下列命题：

若，，，则

若，，，则

若，，，则

若，，，则

其中正确的命题是__________填写所有正确命题的序号

16.（5分）棱长都相等的四面体的截面平行于对棱，则截面为__________.

17.（5分）在棱长为的正方体中，过点的平面分别与棱，，交于点，，，记四边形在平面上的正投影的面积为，四边形在平面上的正投影的面积为

给出下面四个结论：

①四边形是平行四边形；

②的最大值为；

③的最大值为；

④四边形可以是菱形，且菱形面积的最大值为

则其中所有正确结论的序号是__________.

18.（5分）已知，是不同的直线，，是不同的平面，则下列命题：①若，，，则；②若，，，，且与相交，则；③若，，则；④若，，则。其中正确命题的个数是_______。

四 、解答题（本大题共5小题，共60分）

19.（12分）如图，有一块长方体的木料，经过木料表面内的一点，在这个面内画线段，使其与木料表面内的线段平行，应该怎样画线？
 

20.（12分）如图，平面平面，，是两异面直线，且，，，，，分别在线段，上，且求证： 
 

21.（12分）如图，多面体中，底面为菱形，，平面，平面，
 

求证：平面

求二面角的正弦值.

22.（12分）如图，四棱锥中，，，，，分别为线段，，的中点，与交于点，是线段上一点．求证： 
 
 

平面；

平面

23.（12分）一个正三棱柱下底面是等边三角形，各侧面是全等的矩形，已知底面边长是，高是，过下底面的一条棱和该棱所对的上底面的顶点作截面，求此截面的面积.

答案和解析

1.【答案】A;

【解析】 
此题主要考查了线面平行的判定以及面面平行的性质，考查了空间想象能力，属于基础题 . 
取中点，连接、，利用三角形中位线定理、等边三角形的性质可得：，进而得到于是平面平面，即可得平面 
 
解：如图： 
 
取的中点，连接，， 
， 
易知， 
，即， 
， 
、平面，、平面，，相交，，相交， 
平面平面， 
又因为平面， 
所以平面 
故选
 

2.【答案】B;

【解析】 
 

此题主要考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力等数学核心思想，是基础题． 
对于，或；对于，由线面垂直的性质和线面平行的性质得；对于，与平行、相交或；对于，与相交或平行． 
 
解：两条不同的直线，和不重合的两个平面，，且， 
对于，若，则或，故错误； 
对于，若，则由线面垂直的性质和线面平行的性质得，故正确； 
对于，若，则与平行、相交或，故错误； 
对于，若，则与相交或平行或，故错误． 
故选：
 

3.【答案】C;

【解析】  
该题考查了线面平行的判定与性质，属于中档题． 
过作出与平面平行的截面，得出的轨迹，从而得出的长度范围． 
 
解：如图所示，取的中点，的中点，连结，，， 
 
 
则，， 
平面平面， 
当在线段上时，始终与平面平行， 
故EF的最小值为，最大值为． 
故选：． 
 
 

4.【答案】B;

【解析】

 
此题主要考查了空间两个平面位置关系，简单逻辑用语中充分必要条件的判断，属于基础题. 
 

直接根据充分条件和必要条件的概念即可得结果.

解：已知是空间两个不同的平面，若平面内存在不共线的三点到平面的距离相等，

可得或相交，

反之，若，则平面上存在不共线的三点到平面的距离相等；

所以“平面上存在不共线的三点到平面的距离相等”是“”的必要不充分条件．

故选 

 

5.【答案】A;

【解析】 
此题主要考查空间中直线与平面之间的位置关系，属于基础题. 
可先通过面面平行的判定定理证明平面平面，则可知直线与平面的位置关系. 
 
解：取的中点，连结，，如图所示： 
 
，分别是棱，的中点， 
，， 
平面，平面， 
平面， 
同理可得平面， 
又，，平面， 
平面平面， 
平面， 
平面 
故选
 

6.【答案】C;

【解析】 
此题主要考查的知识点面面平行性质，四棱柱的结构特征，解答的关键是画出截面，并分析其几何特征．在棱长为的正方体中，的中点是，过点作截面平行的截面，则截面是一个对角线分别为正方体体对角线和面对角线的菱形，进而得到答案． 
 
解：在棱长为的正方体中，的中点是，过点作截面平行的截面， 
则截面是一个对角线分别为正方体体对角线和面对角线的菱形，如下图所示： 
 
则，，， 
则截面面积 
故选
 

7.【答案】B;

【解析】 
此题主要考查点、线、面间的距离问题，考查学生的运算能力及推理转化能力，属中档题. 
解决本题的关键是通过构造平行平面寻找点位置．分别取棱、的中点、，连接，易证平面平面，点必在线段上，由此可判断在或处时最长，位于线段中点处时最短，通过解直角三角形即可求得． 
 
解：如图所示： 
 
分别取棱、的中点、，连接，连接，取的中点，连接和 
、、、为所在棱的中点，，， 
，又平面，平面， 
平面； 
，，四边形为平行四边形， 
，又平面，平面， 
平面， 
又， 
平面平面， 
是侧面内一点，且平面， 
则必在线段上， 
在中，， 
同理，在中，求得， 
为等腰三角形， 
当在中点时，此时最短，位于、处时最长， 
在中点时，， 
位于、处时，， 
所以线段长度的取值范围是 
故选
 

8.【答案】C;

【解析】 
此题主要考查线面平行的判定，主要考虑定义、判定定理两种方法，同时运用面面平行的性质解决问题． 
对于①，可以构造面面平行，由面面平行的性质可得；对于②，考虑线面平行的判定及定义； 
对于③，可以用线面平行的定义及判定定理判断；对于④，用线面平行的定义及判定定理判断即可． 
解：对图①，构造所在的平面，即对角面，可以证明这个对角面与平面平行，由面面平行的性质可得平面 
对图④，通过证明，可以得到平面； 
对于②、③无论用定义还是判定定理都无法证明线面平行； 
故选 
 

 

9.【答案】BC;

【解析】 
此题主要考查空间中直线、平面间的位置关系及截面面积和空间中的距离，属于中档题. 
A.利用线面垂直的判定和性质进行分析；作出辅助线利用面面平行判断；作出截面然后根据线段长度计算出截面面积；根据平面是否过中点进行判断. 
 
解：若，又因为，且平面， 
所以平面， 
因为平面，所以， 
因为，所以，显然不成立， 
故错误； 
取中点，连接，，， 
 
因为，分别是，的中点，所以 
因为分别是，的中点，所以 
所以 
因为平面，平面， 
所以平面 
因为、分别为、中点， 
所以，则四边形为平行四边形， 
所以， 
因为平面，平面， 
所以平面， 
因为平面， 
所以平面平面， 
因为平面，所以平面 
故正确 
连接，， 
 
因为，分别为，的中点， 
所以 
所以四点共面，所以截面为梯形 
在梯形中， 
，， 
， 
故梯形的面积为 
， 
故正确 
假设，到平面距离相等，即平面将平分，则平面必过中点，连接交于， 
 
易知不是中点，故假设不成立，故错误 
故选
 

10.【答案】AB;

【解析】 
此题主要考查平面与平面平行的性质以及平面与平面垂直的性质，属于基础题. 
熟练掌握并能灵活应用点线面位置关系的判定定理及性质定理是解答该题的关键. 
 
解：若两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面，故正确； 
B.若两个平面平行，那么垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面，故正确； 
C.若两个平面垂直，那么垂直于其中一个平面的直线可能平行于另一个平面，也可能在平面内，故错误； 
D.若两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线也可能与另一个平面平行，故错误， 
故选
 

11.【答案】AB;

【解析】 
此题主要考查了空间直线与直线的位置关系和面面平行的性质，属于基础题. 
对各个选项逐一验证即可得出答案. 
解：对于，由已知在内有无数条直线和平行，根据平行公理直线平行于平面内的无数条直线，故正确； 
对于，若，，根据面面平行的性质可以得出，故正确； 
对于，若，，，则与是异面直线或是平行，故错误； 
对于，若，，则，，可能相交或平行，故错误. 
故选
 

12.【答案】AC;

【解析】 
此题主要考查平面的基本性质、直线与直线、直线与平面的有关平行的位置关系的的判断，是中档题. 
利用平面的基本性质可判断，利用线面、面面平行的性质可判断，，，即可解答. 
 
解：若直线与平面有两个公共点，则直线在平面内，故正确 
若两条异面直线中的一条与一个平面平行，则另一条直线一定与该平面相交，平行或线在面内，故错； 
若直线与平面平行，则由直线与平面内的任意一条直线都没有公共点，故正确. 
若平面平面，直线，直线，则直线或两直线异面，故错. 
故选
 

13.【答案】AC;

【解析】 
此题主要考查的知识要点：线面平行判定和面面平行的判定及性质，线面垂直的判定及性质，锥体的体积，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题． 
直接利用线面平行判定和面面平行的判定及性质，线面垂直的判定及性质，锥体的体积判定、、、的结论． 
【解析】 
解：棱长为的正方体中，在线段含端点上运动，如图所示： 
 
对于：连接和， 
由于平面，平面，所以， 
又，，、平面， 
故平面，平面， 
所以， 
同理：，又，平面， 
所以平面， 
由于平面， 
所以，故正确． 
对于：，故错误； 
对于：由于，，平面，平面，则平面，同理可得平面， 
和是平面内两条相交直线，所以平面平面， 
由于平面，所以平面，故正确； 
对于：当点在点位置时，，所以夹角为， 
当点在位置时，由于，为等边三角形，所以夹角为，与所成角的范围是，故错误． 
故选
 

14.【答案】​1或2;

【解析】 
此题主要考查了空间中直线与直线以及平面与平面的位置关系，属于基础题解题时根据空间直线与平面的位置关系分析，可以得到结果. 
 
解：当点是的中点时，， 
在棱上存在个点，能使 
当点不是的中点时，在棱上存在个点，能使 
故答案为或 
 

 

15.【答案】;

【解析】 
此题主要考查直线与直线的位置关系，直线与平面的位置关系，考查了空间想象能力和推理能力，属于中档题. 
对四个命题运用线面平行，面面平行，线面垂直以及面面垂直的性质定理以及判定定理进行分析判断即可. 
 
解：对于，若，，，则与可能相交，故错误 
对于， 若， ，，则与可能平行、相交或异面，故错误 
对于，若，，，利用线面垂直的性质定理和面面垂直的判定定理可得，故正确 
对于，若，，，利用面面垂直、线面垂直的性质定理可得，故正确. 
故答案为
 

16.【答案】矩形;

【解析】依题意得 
可知，，所以；可知，，所以；所以四边形是平行四边形，由棱长都相等，可知，所以推出
 

17.【答案】①③④;

【解析】 
此题主要考查了面面平行的性质，空间直角坐标系在立体几何中的应用，以及截面问题，属于中档题. 
对①，根据面面平行的性质定理即可判断答案；建立空间直角坐标系，设，然后根据①得到的关系，进而判断②，然后结合基本不等式判断③，最后根据菱形的对角线互相垂直判断④. 
解：对①，因为平面 分别与平面、平面、平面、平面交于， 
易知平面 平面，则，而平面 平面，则， 
所以四边形 是平行四边形①正确； 
 
以 为原点，分别为轴建立空间直角坐标系， 
记点 在平面上的投影点为点 ，点 ， 在平面上的投影点分别为点 ，  
设，其中，则，， 
所以，由①，， 
则 
易得，，所以，②错误； 
，当且仅当时取“”，③正确； 
， 
令，即， 
则此时，平行四边形 是菱形， 
而此时， 
所以菱形的面积， 
当时，④正确. 
故答案为：①③④.
 

18.【答案】;

【解析】 
此题主要考查空间中直线与平面的位置关系的判定，涉及平行与垂直，属基础题. 
 
解：由面面平行的判定知，①中、不一定平行，②正确； 
由面面平行的性质知③④正确； 
故答案为 
 

 

19.【答案】解：因为木料是一块长方体，所以上下平面平行，所以平面， 
过作，交于，过作，交于，连接，则四边形是矩形，所以， 
经过木料表面内的一点作直线与平行即可． 
如图：;
 

【解析】此题主要考查直线与平面平行，平面与平面平行的性质的应用，直线的画法，是基本知识的考查． 
利用直线与平面平行，画出平行四边形，然后画出平行线即可． 

 

20.【答案】证明：如图，过点作，， 
连接，在平面内作，交于， 
连接，，则 
因为，所以 
因为平面平面，平面，平面， 
所以， 
所以 
因为，， 
所以 
因为，，， 
所以 
又， 
所以平面平面 
因为平面， 
所以 
 
;

【解析】此题主要考查了空间中的平行关系的应用问题，也考查了空间想象能力与逻辑思维能力的应用问题，是基础题目． 
过点作，，连接，在平面内作，交于，平面平面，即可证明
 

21.【答案】证明：因为平面，平面， 
所以，平面，平面， 
所以， 
因为底面为菱形，所以， 
平面，平面 
所以平面， 
因为，，平面， 
所以平面平面，平面， 
所以平面， 
解：取的中点，连接， 
底面为菱形，，所以为等边三角形， 
所以，因为，所以， 
因为平面，，平面， 
所以，， 
即，，两两垂直， 
以点为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由， 
 
得，，， 
，，， 
设平面的法向量为， 
则， 
取，平面的一个法向量为； 
设平面的一个法向量为， 
则， 
取可得平面的一个法向量为， 
，， 
设二面角的大小为， 
则， 
故二面角的正弦值;

【解析】此题主要考查线面平行、面面平行，考查面面角，考查向量知识的运用，正确运用面面平行的判定定理是关键，属于中档题． 
由，可得平面平面，即可得平面； 
建立空间直角坐标系，求出平面的法向量、平面的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解．
 

22.【答案】

证明：连接，因为，，

所以，

所以四边形是平行四边形，所以为的中点.

又因为是的中点，

所以，

因为平面，平面，

所以平面

连接，，

因为，分别是，的中点，

所以，

所以平面

又因为是的中点，是的中点，

所以，所以平面

又，

所以平面平面

又因为平面，

所以平面;

【解析】

此题主要考查直线与平面平行的判定，考查学生分析解决问题的能力，正确运用直线与平面平行的判定以及面面平行的性质是关键. 
证明四边形是平行四边形，可得是的中点，利用为线段的中点，可得，从而可证平面； 
证明平面、平面平面，即可证明平面
 

23.【答案】;

【解析】如图正三棱柱，底面边长是，高是，过下底面的一条棱和该棱所对的上底面的顶点作截面，如图截面为，，，过作与，连结，则，，，的面积为；所以截面面积为