2023高考数学复习专项训练《平面的法向量》

这是一份2023高考数学复习专项训练《平面的法向量》，共17页。试卷主要包含了、单选题，、多选题，、填空题，、解答题等内容，欢迎下载使用。


一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）直线x+3y-5=0的倾斜角是()
A、π6
B、π3
C、2π3
D、5π6
A. π6B. π3C. 2π3D. 5π6
2.（5分）关于空间向量，以下说法不正确的是()
A. 若两个不同平面α，β的法向量分别是u→,ν→，且n→=(1,2,-2),ν→=(2,1,2)，则α⊥β
B. 若直线l的方向向量为e→=(1,0,3)，平面α的法向量为n→=(-2,0,23)，则直线l//α
C. 若对空间中任意一点O，有OP→=14OA→+14OB→+12OC→，则P，A，B，C四点共面
D. 两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线
3.（5分）下列四个命题中，正确的是()
A. 直线3x+y+2=0在y轴上的截距为2
B. 直线y=0的倾斜角和斜率均存在
C. 若两直线的斜率k1，k2满足k1=k2，则两直线互相平行
D. 若两直线的倾斜角相等，则它们的斜率也一定相等
4.（5分）如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为CD，A1B1的中点，则下列结论正确的是()
①点F到点E的距离为2；
②点F到直线ED1的距离为305；
③点F到平面AED1的距离为63；
④平面BFC1到平面AED1的距离为263.
A、①②④
B、②③④
C、①④
D、①②③
A. ①②④B. ②③④C. ①④D. ①②③
5.（5分）两平行直线l1:x-2y-10=0，l2:4y-2x-310=0之间的距离为()
A. 522B. 3C. 5D. 22
6.（5分）已知直线l过点P(1,2,1)，且方向向量为m→=(1,0,-1)，则点A(1,-1,-1)到l的距离为()
A. 22B. 11C. 23D. 3
7.（5分）过定点A的直线(a+1)x-y+2=0与过定点B的直线x+(a+1)y-4a-2=0交于点P(P与A、B不重合)，则△PAB面积的最大值为()
A. 2B. 22C. 2D. 4
8.（5分）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是C1D1的中点，则异面直线AP与BA1所成角的余弦值为()
A. 26B. 36C. 13D. 23
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）已知空间中三点A(0,1,0)，B(2,2,0)，C(-1,3,1)，则下列结论正确的有()
A. 与AB→共线的单位向量是(22,22,0)
B. AB→⊥AC→
C. AB→与BC→夹角的余弦值是5511
D. 平面ABC的一个法向量是(1,-2,5)
10.（5分）已知直线l的倾斜角等于120°，且l经过点(-3,1)，则下列结论中正确的有()
A. l的一个方向向量为u→=(-36,12)
B. 直线l与两坐标轴围成三角形的面积为433
C. l与直线3x-3y+2=0垂直
D. l与直线3x+y+2=0平行
11.（5分）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，则下面结论中正确的是()
A. 点P到平面A1BC1的距离为定值
B. 三棱锥D-BPC1的体积为定值
C. 异面直线C1P与直线CB1所成的角为定值
D. 直线C1P与平面BDC1所成线面角为定值
12.（5分）已知直线l1：x-y+m=0，l2：2x+my-1=0，则下列结论正确的有( )
A. 若l1//l2，则m=-2
B. 若l1⊥l2，则m=2
C. 若l1，l2在x轴上的截距相等，则m=1
D. l2的倾斜角不可能是l1倾斜角的2倍
13.（5分）如图，在棱长均相等的正四棱锥P-ABCD中，M、N分别为侧棱PA、PB的中点，O是底面四边形ABCD对角线的交点，下列结论正确的有()
A. PC//平面OMNB. 平面PCD//平面OMN
C. OM⊥PAD. PD⊥平面OMN
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）在空间直角坐标系中，下列结论中正确的是 ______.(填序号)
①点(-2,1,4)关于x轴对称的点的坐标为(2,1,4)；
②到点(1,0,0)的距离小于1的点的集合是{(x,y,z)|(x-1)2+y2+z2<1}
③点(1,2,3)与点(3,2,1)所连线段的中点坐标是(2,2,2)；
④点(1,2,0)关于平面yOz对称的点的坐标为(-1,2,0).
15.（5分）已知，则的最大值是 ．
16.（5分）已知二面角α-l-β为120°，在α与β的交线上取线段AB=9，且AC，BD分别在平面α和β内，它们都垂直于交线AB，且AC=4，BD=12，则CD的长为 ______.
17.（5分）已知，空间直角坐标系xOy中，过点P(x0,y0,z0)且一个法向量为n→=(a,b,c)的平面α的方程为a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0.经过点P(x0,y0,z0)且方向向量为n→=(A,B,C)的直线方程为x-x0A=y-y0B=z-z0C.用以上知识解决下面问题：已知平面α的方程为x-2y+2z+1=0，直线l的方程为x-12=y3=z-2-1，则直线l与平面α所成角的正弦值为 ______.
18.（5分）点B在x轴上运动，点C在直线l：x-y+2=0上运动，若A(1,2)，则△ABC的周长的最小值为 ______.
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）已知直线l过点A(-2,1).
(1)若直线l与直线2x+3y+5=0垂直，求直线l的方程；
(2)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程．
20.（12分）如图，四边形ABCD为长方形，PD=AB=2，AD=4，点E、F分别为AD、PC的中点．设平面PDC∩平面PBE=l.
(1)证明：DF//平面PBE；
(2)证明：DF//l.
21.（12分）设抛物线C：y2=4x的焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点．
(1)若|AF|=2|BF|，求直线l的斜率；
(2)设线段AB的垂直平分线交x轴于点D，求证：|AB|=2|DF|.
22.（12分）已知矩形ABCD，AB=2，BC=4，设E是边AD上的点，且AE=DE，现将△ABE沿者直线BE翻折至△A1BE.
(1)当A1C为何值吋，使平面A1BE⊥平面BED；并求此时直线A1C与平面BCD所成角的正切值；
(2)设二面角A1-CD-B的大小为θ，求sinθ的最大值．
23.（12分）如图，四边形ABCD为梯形，AD//BC，AD⊥AB，侧面PAB为等边三角形，平面ABP⊥平面ABCD，AD=2BC=2，点M在边PC上，且PM=2MC.
(1)证明：PA//平面BDM;
(2)当二面角C-BM-D的平面角的正切值为6时，求四棱锥P-ABCD的体积.
答案和解析
1.【答案】null;
【解析】解：x+3y-5=0的斜率为-33，
则所求倾斜角为56π.
故选：D.
根据已知条件，结合直线斜率与倾斜角的关系，即可求解．
此题主要考查直线斜率与倾斜角的关系，属于基础题．
2.【答案】B;
【解析】解：对于A，u→⋅ν→=2+2+(-2)×2=0，所以u→⊥ν→，A正确；
对于B，e→⋅n→=-2+0+2=0，所以e→⊥n→，则直线l//α或l⊂α，B错误；
对于C，对空间中任意一点O，有OP→=14OA→+14OB→+12OC→，满足14+14+12=1，
则P，A，B，C四点共面，可知C正确；
对于D，两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，
则这两个向量共线，所以D正确．
故选：B.
由面面垂直的向量表示可判断A；由线面平行的向量表示可判断B；根据向量共线定理，可判断C；由空间向量基底的表示可判断D.
此题主要考查面面垂直的向量表示、线面平行的向量表示、向量共线定理、空间向量基底等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
3.【答案】B;
【解析】解：A选项，对于直线3x+y+2=0，令x=0得y=-2，所以直线3x+y+2=0在y轴上的截距为-2，故A错误；
B选项，直线y=0的倾斜角为0，斜率为0，存在，故B正确；
C选项，若两直线的斜率k1，k2满足k1=k2，则两直线互相平行或重合，所以C错误；
D选项，若两直线的倾斜角为90°，则它们的斜率不存在，所以D错误．
故选：B.
根据方程直接求解可判断A；由倾斜角和斜率的定义可判断B；根据直线平行与斜率的关系可判断C；由倾斜角为90°时斜率不存在可判断D.
此题主要考查了直线截距的求法，考查了斜率和倾斜角的关系，是基础题．
4.【答案】null;
【解析】解：如图建立空间直角坐标系，则E(0,12,0)，F(1,12,1)，D1(0,0,1)，A(1,0,0)，
B(1,1,0)，

则EF=(1-0)2+(12-12)2+(1-0)2=2，①正确；
ED1→=(0,-12,1)，EF→=(1,0,1)，则EF在直线ED1的射影为d=|ED1→·EF→||ED1→|=114+1=255，从而点F到直线ED1的距离为EF2-d2=2-45=305，②正确；
EA→=(1,-12,0)，设平面AED1的法向量为n→=(x,y,z)，则{n→·EA→=x-12y=0n→·ED1→=-12y+z=0，取y=2，则n→=(1,2,1)，于是点F到平面AED1的距离为|EF→·n→||n→|=26=63，③正确；
平面BFC1到平面AED1的距离即为点F到平面AED1的距离，为63，④错误．
故选：D.
建立空间直角坐标系，写出对应直线的方向向量和平面的法向量，根据距离公式求解．
本题全面考查了空间中的各种距离，充分体现了向量方法的优越性，属于基础题．
5.【答案】A;
【解析】
本题给出两条直线互相平行，求平行线间的距离，着重考查了两条平行线的距离公式等知识，属于基础题．
先求出两直线斜率，证明两直线平行，再利用两平行线距离公式即可求解.

解：由题意得：
直线l1:x-2y-10=0，l2:4y-2x-310=0
∴k1=12，k2=24=12，两直线为平行直线.
直线l1:x-2y-10=0⇔l1:2x-4y-210=0
两平行直线之间的距离为d=|310-(-210)|4+16=522.
6.【答案】B;
【解析】解：∵直线l的一个方向向量为m→=(1,0,-1)，取直线l一个单位方向向量为μ→=m→|m→|=(22,0,-22)，
又A(1,-1,-1)为直线外一点，且直线l过点P(1,2,1)，∴PA→=(0,-3,-2)，
∴PA→·μ→=(0,-3,2)·(22,0,-22)=2，|AP→|=13，
∴点A到直线l的距离为d=PA→2-(AP→·μ→)2=13-2=11.
故选：B.
根据直线l一个方向向量为m→，取直线l的一个单位方向向量为μ→=m→|m→|，计算PA→，代入点到直线的距离公式d=PA→2-(AP→·μ→)2计算即可．
此题主要考查空间中点到直线的距离，属于中档题．
7.【答案】C;
【解析】解：过定点A的直线(a+1)x-y+2=0，整理可得ax+x-y+2=0，可得A(0,2)，
过定点B的直线x+(a+1)y-4a-2=0，整理可得：a(y-4)+x+y-2=0，可得B(-2,4)，
又因为(a+1)×1+(-1)(a+1)=0，可得l1⊥l2，可得△PAB为直角三角形，
由题意可得|PA|2+|PB|2|=|AB|2=(-2-0)2+(4-2)2=8，
因为|PA|2+|PB|2|⩾2|PA||PB|，可得|PA||PB|⩽4，当且仅当|PA|=|PB|时取等号，
所以S△PAB=12|PA||PB|⩽12×4=2，
所以△PAB面积的最大值为2，
故选：C.
由直线的方程整理可得恒过的定点A，B的坐标，再由直线的方程可得l1⊥l1，可得△PAB为直角三角形，由勾股定理可得|PA|2+|PB|2的值，再由均值不等式可得|PA||PB|的最大值，代入三角形的面积公式，可得三角形的面积的最大值．
此题主要考查直线恒过定点的求法及两条直线垂直的判断，均值不等式的应用，属于基础题．
8.【答案】A;
【解析】解；以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

不妨设正方体的棱长为2，则A(2,0,0)，P(0,1,2)，B(2,2,0)，A1(2,0,2)，
则AP→=(-2,1,2),BA1→=(0,-2,2)，
则cs=AP→·BA1→|AP→||BA1→|=-2+44+1+4×4+4=26.
故选：A.
建立空间直角坐标系，求得AP→,BA1→，利用向量的夹角公式即可得解．
此题主要考查利用空间向量求解异面直线所成角，考查运算求解能力，属于基础题．
9.【答案】BD;
【解析】解：∵空间中三点A(0,1,0)，B(2,2,0)，C(-1,3,1)，
∴AB→=(2,1,0)，222≠221，∴单位向量是(22,22,0)与AB→不共线，故A错误；
AC→=(-1,2,1)，AB→·AC→=0，∴AB→⊥AC→，故B正确；
BC→=(-3,1,1)，cs=AB→·BC→|AB→|·|BC→|=-555=-5511，故C错误；
设m→=(1,-2,5)，则m→·AB→=0，m→·BC→=0，AB∩BC=B，
∴平面ABC的一个法向量是(1,-2,5)，故D正确．
故选：BD.
利用共线向量和单位向量的定义判断A；利用向量垂直的性质判断B；利用向量夹角余弦公式判断C；利用法向量定义判断D.
此题主要考查共线向量、单位向量的定义、向量垂直的性质、向量夹角余弦公式、法向量定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
10.【答案】AC;
【解析】解：∵直线l的倾斜角等于120°，且l经过点(-3,1)，
∴直线l的斜率k=-3，直线l的方程为y-1=-3(x+3)，即3x+y+2=0，故D错误，
12-36=-3，
则l的一个方向向量为u→=(-36,12)，故A正确，
3x+y+2=0，
当x=0时，y=-2，当y=0时，x=-233，
故直线l与两坐标轴围成三角形的面积为12×2×233=233，故B错误，
直线3x-3y+2=0的斜率为33，直线l的斜率为-3，
则l与直线3x-3y+2=0垂直，故C正确．
故选：AC.
根据已知条件，先求出直线l的方程，再结合直线平行垂直的性质，判断CD，结合方向向量的定义，判断B，分别求出直线l与两坐标轴的交点，即可求解．
此题主要考查直线方程的求解，属于基础题．
11.【答案】ABC;
【解析】解：对于A，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
直线AD1//BC1，AD1⊄平面A1BC1，BC1⊂平面A1BC1，所以直线AD1//平面A1BC1，
所以点P到平面A1BC1的距离，即为直线AD1与平面A1BC1的距离，为定值．故A正确；
对于B，由于VD-BPC1=VP-DBC1，而S△DBC1为定值，
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，
AD1//BC1，BC1⊂平面BDC1，AD1⊄平面BDC1，所以AD1//平面BDC1，
又P∈AD1，所以点P到该平面BDC1的距离即为直线AD1与平面BDC1的距离，为定值，
所以三棱锥D-BPC1的体积为定值，故B正确；
对于C，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1C⊥BC1，B1C⊥AB，BC1∩AB=B，
所以B1C⊥平面ABC1D1，而C1P⊂平面ABC1D1，所以B1C⊥C1P，
故这两条异面直线所成的角为90°，故C正确；
对于D，由B选项的分析可知，点P到平面BDC1的距离d不变，
所以直线C1P与平面BDC1所成线面角，设为θ，由C1P的长度确定，
即sinθ=dC1P，因为C1P的长度是变化的，故线面角θ的大小不确定，故D错误．
故选：ABC.
利用线面平行、等体积法、异面直线所成角、线面角的知识进行判断求解．
此题主要考查了线面平行的判定以及空间角和空间距离的问题，属于中档题．
12.【答案】AB;
【解析】解：对于A，∵l1//l2，
∴1×m=(-1)×2，解得m=-2，故A正确，
对于B，∵l1⊥l2，
∴1×2+(-1)×m=0，解得m=2，故B正确，
对于C，直线l1：x-y+m=0在x轴上的截距为-m，
直线l2：2x+my-1=0在x轴上的截距为12，
若l1，l2在x轴上的截距相等，则m=-12，故C错误，
对于D，当m=0时，直线l2的斜率不存在，即倾斜角为90°，
直线l1：x-y+m=0的倾斜角为45°，故D错误．
故选：AB.
对于A，结合两直线平行的性质，即可求解，对于B，结合两直线垂直的性质，即可求解，对于C，分别求出两直线的截距，即可求解，对于D，结合斜率与倾斜角的关系，即可求解．
此题主要考查两直线平行、垂直的性质，以及斜率与倾斜角的关系，属于基础题．
13.【答案】ABC;
【解析】解：如图，连接AC，易得PC//OM，所以PC//平面OMN，结论A正确．

同理PD//ON，所以平面PCD//平面OMN，结论B正确．
由于四棱锥的棱长均相等，所以AB2+BC2=PA2+PC2=AC2，所以PC⊥PA，又PC//OM，所以OM⊥PA，结论C正确．
由于M，N分别为侧棱PA，PB的中点，所以MN//AB，又四边形ABCD为正方形，所以AB//CD，因为PD与CD不垂直，故D错误．
故选：ABC.
对4个命题分别进行判断，即可得出结论．
此题主要考查线面平行、面面平行，考查线线角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
14.【答案】②③④;
【解析】解：对于①，点(-2,1,4)关于x轴对称的点的坐标为(-2,-1,-4)，故①错误，
对于②，设点P(x,y)，
则点P(x,y,z)到点(1,0,0)的距离小于1，即(x-1)2+y2+z2<1，即(x-1)2+y2+z2<1，
则到点(1,0,0)的距离小于1的点的集合是{(x,y,z)|(x-1)2+y2+z2<1}，故②正确，
对于③，点(1,2,3)与点(3,2,1)所连线段的中点坐标是(1+32,2+22,3+12)，即(2,2,2)，故③正确，
对于④，点(1,2,0)关于平面yOz对称的点的坐标为(-1,2,0)，故④正确．
故答案为：②③④．
对于①④，结合空间点对称的定义，即可求解，
对于②，结合两点之间的距离公式，即可求解，
对于③，结合中点坐标公式，即可求解．
此题主要考查空间中点的坐标，属于基础题．
15.【答案】 ;
【解析】
试题分析

的几何意义可以看做点到点和点距离之差的最大值.而
所以
考点：函数的最值 两点的距离公式
点评：本题的关键是根据函数的几何意义将代数问题转化成几何问题.属中档题．
16.【答案】17;
【解析】解：CD→=CA→+AB→+BD→，∵CD→⊥AB→，AB→⊥BD→，=180°-120°，
∴CD→2=(CA→+AB→+BD→)2=CA→2+AB→2+BD→2+2CA→⋅AB→+2CA→⋅BD→+2AB→⋅BD→=42+92+122+0+2×4×12×12+0=289，
∴|CD→|=17，
故答案为17.
利用CD→=CA→+AB→+BD→，两边平方即可求得CD的长．
此题主要考查求线段的长，考查转化思想的运用，属中档题．
17.【答案】null;
【解析】解：由题意知：平面α的一个法向量n→=(1,-2,2)，直线l的一个方向向量m→=(2,3,-1)，
设直线l与平面α所成角为θ，
所以sinθ=|cs〈m→,n→〉|=|m→⋅n→||m→|⋅|n→|=6314=147，
即直线l与平面α所成角的正弦值为147，
故答案为：147.
由已知定义可确定平面α的法向量和直线l的方向向量，由线面角的向量求法即可求得．
此题主要考查了直线与平面所成的角，读懂题意是解题关键，属于基础题．
18.【答案】26;
【解析】解：设点A(1,2)关于x轴的对称点为D，则点D的坐标为(1,-2)，
设点A(1,2)关于l：x-y+2=0的对称点为E(x,y)，
则{y-2x-1=-1x+12-y+22+2=0，解得{x=0y=3，即点E的坐标为(0,3)，
由对称性可知|AC|=|CE|，|AB|=|BD|，
所以△ABC的周长为|AB|+|AC|+|BC|=|BD|+|CE|+|BC|⩾|DE|=(1-0)2+(-2-3)2=26，
即△ABC的周长的最小值为26.
故答案为：26.
求出点A关于x轴的对称点为D，点A关于l：x-y+2=0的对称点为E，利用对称性将△ABC的周长的最小值转化为求DE的长度即可得解．
此题主要考查点关于直线对称的点的坐标的求法，两点间的距离公式，考查运算求解能力，属于基础题．
19.【答案】解：（1）设直线l的方程为3x-2y+m=0，
则3×（-2）-2×1+m=0，解得m=8，
故直线l的方程为3x-2y+8=0．
（2）当直线l过原点时，斜率为-12，由点斜式求得直线l的方程是y=-12x，即x+2y=0，
当直线l不过原点时，设直线l的方程为x+y=a，把点A（-2，1）代入方程可得a=-1，
故直线l的方程是x+y+1=0，
综上所述，所求直线l的方程为x+2y=0或x+y+1=0．;
【解析】
(1)根据已知条件，结合两直线垂直的条件，即可求解．
(2)根据已知条件，分直线l过原点，直线l不过原点两种情况讨论，即可求解．
此题主要考查直线方程的求解，考查分类讨论的思想，属于基础题．
20.【答案】证明：（1）取PB中点G，连接FG，EG，

因为点E、F分别为AD、PC的中点
所以FG∥CB，FG=12BC，
因为四边形ABCD为长方形，所以BC∥AD，且BC=AD，
所以DE∥FG，DE=FG，所以四边形DEGF为平行四边形，
所以DF∥GE，因为DF⊄平面PBE，EG⊂平面PBE，DF∥平面PBE，
（2）由（1）知DF∥平面PBE，又DF⊂平面PDC，平面PDC∩平面PBE=l，
所以DF∥l．;
【解析】
(1)易证四边形DEGF为平行四边形，从而可证DF//GE，进而可证DF//平面PBE，
(2)利用线面平行的性质可证DF//l.
此题主要考查线面平行的证明，考查线线平行的证明，属基础题．
21.【答案】(1)解：易知F(1,0)，
由题知，直线l的斜率必存在，设直线l：y=k(x-1)(k≠0)，
联立方程{y=k(x-1)y2=4x，得k2x2-(2k2+4)x+k2=0，显然Δ>0，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则{x1+x2=2+4k2x1x2=1①，
由|AF|=2|BF|得，x1+1=2(x2+1)②，
联立①②得k=±22.
(2)证明：由(1)知|AB|=x1+x2+2=4(1+1k2)③，
又线段AB的垂直平分线方程为：y=-1k(x-x1+x22)+y1+y22，
整理得：y=-1k[x-(1+2k2)]+2k，
令y=0，解得：x=3+2k2，即D(3+2k2,0)，
则|DF|=2+2k2=2(1+1k2)④，
由③④得：|AB|=2|DF|.;
【解析】此题主要考查直线的一般式方程，直线方程的综合应用，两条直线的垂直，中点坐标公式，抛物线的性质及几何意义，直线与抛物线的位置关系.
(1)设出直线l的方程，与抛物线的方程联立，根据根与系数的关系即可求解直线l的斜率；
(2)由(1)知|AB|，写出线段AB的垂直平分线方程，得到D的坐标，即可得到|DF|，从而可证明.
22.【答案】解：（1）当A1C为23时，可以使面A1BE⊥面BED．证明如下：
取BE中点F，则AF⊥BE，A1F⊥BE．
在△BCF中，CF2=BF2+BC2-2BF⋅BCcs45°=2+16-2⋅2⋅4⋅12=10，
∴A1F2+CF2=10+2=12=A1C2∴A1F⊥CF，此时A1C=23．
又A1F⊥BE，∴A1F⊥平面BCD，A1F⊂平面A1BE，
∴面A1BE⊥面BCD，
此时A1F⊥面BCD，∴CF为A1C在面BCD上的射影，∴∠A1CF是A1C与面BCD所成角，
在△A1CF中，tan∠A1CF=210=55，
即直线A1C与平面BCD所成角的正切值是55．

（2）作A1G⊥AF，垂足为G，且BE⊥面A1FG，则A1G⊥BE，∴A1G⊥面BCD，
作GH⊥CD，垂足为H，则A1H⊥CD，∴∠A1HG=θ，设∠A1FA=α，α∈（0，π），

则A1G=2sinα，GH=2csα×22+3=3+csα，
tanθ=A1GGH=2sinαcsα+3=22sinα2csα22+2cs2α2=2tanα2+2tanα2≤222=12，
当且仅当tanα2=2时，取到等号，
∴0＜sinθ≤55，
故sinθ的最大值为55．;
【解析】
(1)取BE中点F，连接A1F，FC，A1C，根据面面垂直的性质可得A1F⊥面BCD，再结合余弦定理可得CF=10，A1C=23，进而根据线面角的定义求解直线A1C与平面BCD所成角的正切值即可；
(2)作A1G⊥AF，垂足为G，作GH⊥CD，垂足为H，根据线面垂直的判定与性质可得∠A1HG=θ，设∠A1FA=α，α∈(0,π)，根据三角形中的关系可得tanθ=A1GGH=2sinαcsα+3，再根据二倍角公式化简求解最值即可．
此题主要考查线面角的相关计算，面面角的相关计算，立体几何中的最值与范围问题等知识，属于中等题．
23.【答案】(1)证明：连结AC交BD于N，再连结MN，
由ΔBNC∽ΔDNA知BCAD=CNNA=12，又MCPM=12，所以CNNA=MCPM，
所以AP//MN，又PA¬⊄平面BDM，MN⊂平面BDM，
所以PA//平面BDM；

(2)作PO⊥AB于O，平面ABP⊥平面ABCD，
平面ABP∩平面ABCD=AB，PO⊂平面ABP，∴PO⊥平面ABCD，
以O为坐标原点， 建立空间直角坐标系， 设AB=a，
M(a3,23,36a)，Ba2,0,0，Ca2,1,0,D-a2,2,0，
∴BC→=0,1,0,BM→=-a6,23,3a6,BD→=-a,2,0，
设平面BCM的一个法向量m→=(x1,y1,z1)，平面BDM的一个法向量n→=(x2,y2,z2)
则{m→⋅BC→=0m→⋅BM→=0，令x1=1，得m→=(1,0,33)，
{n→⋅BD→=0n→⋅BM→=0，令x2=1，得n→=(1,a2,-33)，
设二面角C-BM-D的平面角的平面角为θ，则tanθ=6，即csθ=77，
csm→,n→=1-131+131+a24+13=77，解得a=2，
∴VP-ABCD=13×1+22×2×3=3.;
【解析】此题主要考查空间线面平行的判定以及空间几何体体积的求法，考查利用向量求二面角的方法.
(1)连结AC交BD于N，证明AP//MN，由线面平行的判定定理即可证得PA//平面BDM;
(2)作PO⊥AB于O，设AB=a，以O为坐标原点， 建立空间直角坐标系，求出平面BCM的法向量m→，平面BDM的法向量n→，由csm→,n→=77解得a，即可求得体积.