2023高考数学复习专项训练《线面垂直的性质》

这是一份2023高考数学复习专项训练《线面垂直的性质》，共23页。试卷主要包含了、单选题，、多选题，、填空题，、解答题等内容，欢迎下载使用。

一 、单选题（本大题共8小题，共40分）
1.（5分）在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是棱B1C1的中点，点F是线段CD1上的一个动点．以下三个命题：

①异面直线AC1与B1F所成的角是定值；
②三棱锥B-A1EF的体积是定值；
③直线A1F与平面B1CD1所成的角是定值．
其中真命题的个数是( )
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
2.（5分）如图，正方形ABCD和正方形ADEF成60°的二面角，将△DEF绕DE旋转，在旋转过程中
(1)对任意位置，总有直线AC与平面DEF相交；
(2)对任意位置，平面DEF与平面ABCD所成角大于或等于60°；
(3)存在某个位置，使DF⊥平面ABCD；
(4)存在某个位置，使DF⊥BC.
其中正确的是().
A. (1)(3)B. (2)(3)C. (2)(4)D. (3)(4)
3.（5分）如图，在三棱锥P-ABC中，已知底面ABC是正三角形，AB=2AP，且AP⊥平面PBC，则直线PA与平面ABC所成角的余弦值为( )
A. 63B. 53C. 23D. 33
4.（5分）已知四面体ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，则点A在平面BCD上的射影H是ΔBCD的( )
A. 外心B. 内心C. 垂心D. 重心
5.（5分）已知向量a→，b→是平面内两个不相等的非零向量，非零向量c→在直线l上，则“c→·a→=0，且c→·b→=0"是“l⊥α”的()
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
（5分）
6.如图，在单位正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，给出以下四个命题：

①三棱锥D-BPC1的体积为定值；
②异面直线C1P与直线CB1所成的角为定值；
③二面角P-BC1-D的大小为定值；
④AP⊥平面A1B1CD．
其中真命题有( )
A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
7.（5分）在空间四边形ABCD中，若AB=BC=CD=DA，且AC=BD，E、F分别是AB、CD的中点，则异面直线AC与EF所成角为( )
A. 30∘B. 45∘C. 60∘D. 90∘
8.（5分）已知直角ΔABC，∠ABC =90°，AB=12，BC=8，D，E分别是AB，AC的中点，将ΔADE沿着直线DE翻折至ΔPDE，形成四棱锥P-BCED，则在翻折过程中，①∠DPE=∠BPC；②PE⊥BC③PD⊥EC④平面PDE⊥平面PBC，不可能成立的结论是 ( )
A. ①②③B. ①②C. ③④D. ①②④
二 、多选题（本大题共5小题，共25分）
9.（5分）已知六棱锥P-ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA=2AB，下列结论正确的是( )
A. 直线PD与平面PAB所成角的正弦值为104
B. 异面直线PD与BC所成角为45°
C. 平面PAE⊥平面PDE
D. PB⊥AE
10.（5分）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为BC，CC1，BB1的中点，则()
A. D1D⊥AF
B. A1G//平面AEF
C. A1C→·(A1B1→-A1A→)=0
D. 向量A1B→与向量AD1→的夹角是60°
11.（5分）已知α，β是空间中两个不同的平面，m，n是空间中两条不同的直线，则给出的下列说法中，正确的是( )
A. 若m⊥α，n⊥α，则m//nB. 若m//α，m //β，则α//β
C. 若α⊥β,m//β，则m⊥αD. 若α//β,m⊥α，则m⊥β
12.（5分）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，E为AB的中点，将ΔAED沿DE所在的直线翻折，使A与A'重合，得到四棱锥A'-BCDE，则在翻折的过程中( )
A. DE⊥AA'
B. 存在某个位置，使得A'E⊥CD
C. 存在某个位置，使得A'B//DE
D. 存在某个位置，使四棱锥A'-BCDE的体积为1
13.（5分）对于四面体A-BCD，以下命题中正确的命题是( )
A. 若AB=AC=AD，则AB，AC，AD与底面所成的角相等
B. 四面体A-BCD的四个面中最多有三个直角三角形
C. 若AB⊥CD，AC⊥BD，则点A在底面BCD内的射影是ΔBCD的垂心
D. 若四面体A-BCD的6条棱长都为1，则它的内切球的表面积为π3
三 、填空题（本大题共5小题，共25分）
14.（5分）如图所示，直线PA垂直于⊙O所在的平面，ΔABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M为线段PB的中点．现有结论：(1)BC⊥PC；(2)OM//平面APC；(3)点B到平面PAC的距离等于线段BC的长．其中正确的是________(填序号).
15.（5分）设α表示平面，a，b表示直线，给定下面四个命题：
①a//α，a⊥b→b⊥α；
②a//b，a⊥α→b⊥α；
③a⊥α，a⊥b→b//α；
④a⊥α，b⊥α→a//b．
其中正确的命题是 ______ .(填序号)
16.（5分）在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱BB1，B1C1的中点分别为E，F，点P在平面BCC1B1内，作PQ⊥平面ACD1，垂足为Q.当点P在ΔEFB1内(包含边界)运动时，点Q的轨迹所组成的图形的面积等于_____________.

17.（5分）已知ΔABC中，∠C=90∘，tanA=2，M为AB的中点，现将ΔACM沿CM折成三棱锥P-CBM，当二面角P-CM-B大小为60∘时，ABPB=__________.
18.（5分）已知三棱锥S-ABC中，SA⊥BC，AB=BC=SA=22BS=22AC=2，则三棱锥S-ABC外接球的体积为______．
四 、解答题（本大题共5小题，共60分）
19.（12分）如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD为平行四边形，平面PAB⊥平面ABCD，PB=PC，∠ABC=45∘，点E是线段PA上靠近点A的三等分点．
(1)求证：AB⊥PC；
(2)若ΔPAB是边长为2的等边三角形，求直线DE与平面PBC所成角的正弦值．
20.（12分）如图，在四棱锥S-ABCD中，已知SA=SB，四边形ABCD是平行四边形，且平面SAB⊥平面ABCD，点M，N分别是SC，AB的中点．

(1)求证：MN//平面SAD；
(2)求证：SN⊥AC.
21.（12分）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别是中点．
（Ⅰ）求证：AE⊥BF；
（Ⅱ）求证：BF⊥平面AB1E；
（Ⅲ）棱CC1上是否存在点P使AP⊥BF，若存在，确定点P位置；若不存在，说明理由．
22.（12分）在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE的中点．
(Ⅰ)求证：DE//平面ACF；
(Ⅱ)求证：BD⊥AE；
(Ⅲ)若AB=2CE，在线段EO上是否存在点G，使CG⊥平面BDE？若存在，求出EGEO的值，若不存在，请说明理由．
23.（12分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，已知PA=AC=2，∠PAD=∠DAC=60∘，CE⊥AD于E.
(1)求证：AD⊥PC；
(2)若平面PAD⊥平面ABCD，且AD=3，求二面角C-PD-A的余弦值.
答案和解析
1.【答案】B;
【解析】
本题重点考查了异面直线所成角、线面夹角及棱锥体积，考查推理论证能力和空间想象能力，属于中档题.
三棱锥的体积计算可以进行顶点轮换及当线面平行时，直线上任意一点到平面的距离都相等这一结论，逐一分析即可.

解：对于①，在正方形体中，A1C1⊥B1D1,AA1⊥平面A1B1C1D1
∵B1D1⊂平面A1B1C1D1∴AA1⊥B1D1
又AA1∩A1C1=A1,
AA1⊂平面AA1C1,A1C1⊂平面AA1C1，
∴B1D1⊥平面AA1C1
又AC1⊂平面AA1C1，∴AC1⊥B1D1, 同理可得：B1C⊥AC1，
又B1D1∩B1C=B1,B1C⊂平面B1D1C,B1D1⊂平面B1D1C,
∴AC1⊥平面CB1D1，B1F⊂平面CB1D1，
∴AC1⊥B1F，
∴异面直线AC1与B1F所成的角是定值；
故①正确；
对于②三棱锥的底面EBA1为定值，
∵CD1//BA1，A1B⊂平面A1BE,CD1⊄平面A1BE
∴CD1//平面EBA1，
∴F到平面EBA1的距离是定值，故三棱锥B-EFA1的体积为定值，故②正确；
对于③因为在正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1到平面B1CD1的距离是定值，
点F在线段CD1上运动，A1F变化，直线A1F与平面B1CD1所成的角是不同的，故③错误.
故选B.
2.【答案】C;
【解析】
此题主要考查了线面平行的判定，线面垂直的判定和性质，线面的位置关系，以及二面角，属于基础题.
根据相关知识进行判断即可.
解：过D作AC的平行线l，当平面DEF过I时，直线AC//平面DEF，故(1)错误;
ΔDEF绕DE旋转形成一个以DE为高，EF为底面半径的圆锥，设平面ABCD的法向量为n→，平面DEF的法向量为ρ→，则向量n→所在直线与圆锥底面所成角为60∘.向量ρ→所在直线与圆锥底面的半径所在直线平行，根据最小角原理，n→与ρ→的夹角大于或等于60∘，故(2)正确;
若有DF⊥平面ABCD，则AD⊥DF.又∵正方形ADEF中，AD⊥DE，DE∩DF=D,DE,DF⊂平面DEF,∴AD⊥平面DEF，则F在平面DEC内，此时DF与平面ABCD所成角为15∘或75∘，矛盾，故(3)错误;
当AD⊥DF时， 又∵正方形ADEF中，AD⊥DE，DE∩DF=D,DE,DF⊂平面DEF,∴AD⊥平面DEF.又∵正方形ABCD中，AD//BC，∴BC⊥平面DEF，∴DF⊥BC，故(4)正确.
故选C.
3.【答案】D;
【解析】
此题主要考查了直线与平面所成角，属于中档题.
先证明线面垂直，找到线面所成角，再计算即可.

解：取BC的中点M，连接PM，AM，在平面PAM过点P作PN垂直于AM，如图所示：

设PA=a，则AB=AC=BC=2a，
因为AP⊥平面PBC，AP⊥PB,AP⊥PC，
可得PB=3a,PC=3a,
所以PM⊥BC,AP⊥BC,AP∩PM=P,
所以BC⊥平面APM，BC⊥PN,PN⊥AM,AM∩BC=M，
所以PN⊥平面ABC，
所以∠PAM为直线PA与平面ABC所成的角，
在ΔPAM中，AP=a,AM=3a，
cs∠PAM=a3a=33，
故选D.
4.【答案】C;
【解析】解：由AH⊥平面BCD，AB⊥CD，可得CD⊥AH，
即有CD⊥平面ABH，可得CD⊥BH，
同理可得BD⊥CH，BC⊥DH，即有H为ΔBCD的垂心，
故选：C．
运用线面垂直的判断和性质，以及三角形的垂心概念可得所求．
该题考查空间线面垂直的判断和性质，考查三角形的垂心的定义，推理能力，属于基础题．
5.【答案】B;
【解析】
解：若l⊥平面，则c→⊥a→，c→·a→=0，c→⊥b→，c→·b→=0;
反之，若a→//b→，则c→⊥a→，c→⊥b→，并不能保证l⊥平面α.
故选B.
此题主要考查空间向量的数量积与垂直的关系，线面垂直的判定与性质，以及充分、必要条件的判断，属基础题.
根据定义判断即可.
6.【答案】D;
【解析】
该题考查了异面直线所成角以及直线与平面和二面角的应用问题，也考查了三棱锥的体积计算问题，是综合题．
根据线、面的位置关系及二面角的计算逐个进行判断即可．

解：对于①，由VD-BPC1=VP-DBC1知，SΔDBC1面积一定，且P∈AD1，AD1//平面BDC1，
∴点A到平面DBC1的距离即为点P到该平面的距离，三棱锥的体积为定值，①正确；
对于②，棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P在线段AD1上运动，∴B1C⊥平面ABC1D1，
而C1P⊂平面ABC1D1，∴B1C⊥C1P，异面直线C1P与CB1所成的角为定值90°，②正确；
对于③，二面角P-BC1-D的大小，是平面ABC1D1与平面BDC1所成的二面角，
这两个平面为固定的平面，它们的夹角为定值，③正确；
对于④，点P在线段AD1上运动，AD1⊥A1D，AD1⊥CD，且A1D∩CD=D，
A1D，CD⊂平面A1B1CD，∴AD1⊥平面A1B1CD，∴AP⊥平面A1B1CD，④正确；
综上，正确的命题序号是①②③④．
故选：D．
7.【答案】B;
【解析】
此题主要考查的是异面直线所成的角的求法，是中档题.
取BC的中点G，连结EG，FG，则EG//AC，所以EG与EF所成的角就是AC与EF所成的角，再取AC的中点H，从而可以证明AC⊥BD，
所以GF⊥EG，所以ΔEGF是等腰直角三角形，即可得解.

解：如图取BC的中点G，连结EG，FG，则EG//AC，GF//BD，
所以EG与EF所成的角∠GEF就是AC与EF所成的角，
且EG=12AC，GF=12BD.

因为AC=BD，
所以，EG=GF.
取AC的中点H，边接BH，DH，
因为AB=BC，DA=DC，
所以，BH⊥AC，DH⊥AC，
BH∩DH=H，BH、DH⊂平面BDH，
则AC⊥平面BDH，又BD⊂平面BDH，
所以，AC⊥BD，
所以GF⊥EG，
所以ΔEGF是等腰直角三角形，
所以∠EGF=45°，
即异面直线AC与EF所成角为45°，
故选B.
8.【答案】D;
【解析】
运用线面垂直的判定定理和性质定理，结合解直角三角形，可判断①；由异面直线所成角的定义，可判断②；由面面垂直的性质定理可判断③；由两平面所成角的定义，可判断④．
此题主要考查空间线面和面面的位置关系，运用线面和面面平行和垂直的判定定理和性质定理是解答该题的关键，考查空间想象能力，属于难题．

解：RtΔABC中，∠ABC=90°，AB=12，BC=8，

D，E分别是AB，AC的中点，可得PD=DB=6，DE=4，
由DE⊥PD，DE⊥BD，可得ED⊥平面PBD，
即有DE⊥PB，而BC//DE，
即有BC⊥PB，
在直角三角形PBC中，
tan∠BPC=BCPB=8PB，
在直角三角形PDE中，tan∠DPE=DEPD=46，
若∠DPE=∠BPC，可得PB=12，这与PB