14.2《全等三角形》课件+教案

全等三角形2

知识精要

1．判定和性质

注：① 判定两个三角形全等必须有一组边对应相等；② 全等三角形面积相等．

2．证题的思路：

三角形全等是证明线段相等，角相等最基本、最常用的方法，这不仅因为全等三角形有很多重要的角相等、线段相等的特征，还在于全等三角形能把已知的线段相等、角相等与未知的结论联系起来．那么我们应该怎样应用三角形全等的判别方法呢？

（1）条件充足时直接应用

在证明与线段或角相等的有关问题时，常常需要先证明线段或角所在的两个三角形全等，而从近年的中考题来看，这类试题难度不大，证明两个三角形的条件比较充分．只要同学们认真观察图形，结合已知条件分析寻找两个三角形全等的条件即可证明两个三角形全等．

例1 已知：如图1，CE⊥AB于点E，BD⊥AC于点D，

BD、CE交于点O，且AO平分∠BAC．那么图中全等的三角形有___对．

分析：由CE⊥AB，BD⊥AC，得∠AEO=∠ADO=90º．由AO平分∠BAC，得∠EAO=∠DAO．又AO为公共边，所以△AEO≌△ADO．所以EO=DO，AE=AD．又∠BEO=∠CDO=90º，

∠BOE=∠COD，所以△BOE≌△COD．由AE=AD，∠AEO=∠ADO=90º，∠BAC为公

共角，所以△EAC≌DAO．所以AB=AC．又∠EAO=∠DAO， AO为公共边，所以△ABO≌△ACO．

 所以图中全等的三角形一共有4对．

（2）条件不足，会增加条件用判别方法

此类问题实际是指条件开放题，即指题中没有确定的已知条件或已知条件不充分，需要补充使三角形全等的条件．解这类问题的基本思路是：执果索因，逆向思维，逐步分析，探索结论成立的条件，从而得出答案．

例2 如图2，已知AB=AD，∠1=∠2，要使△ABC≌△ADE，还需添加的条件是（只需填一个）_____．

分析：要使△ABC≌△ADE，注意到∠1=∠2，

所以∠1+∠DAC=∠2+∠DAC，即∠BAC=∠EAC．

要使△ABC≌△ADE，根据SAS可知只需AC=AE       

即可；根据ASA可知只需∠B=∠D；

根据AAS可知只需∠C=∠E．故可添加的条件是AC=AE或∠B=∠D或∠C=∠E．

（3）条件比较隐蔽时，可通过添加辅助线用判别方法

在证明两个三角形全等时，当边或角的关系不明显时，可通过添加辅助线作为桥梁，沟通边或角的关系，使条件由隐变显，从而顺利运用全等三角形的判别方法证明两个三角形全等．

例3 已知：如图3，AB=AC，∠1=∠2．求证：AO平分∠BAC．

分析：要证AO平分∠BAC，即证∠BAO=∠BCO，

要证∠BAO=∠BCO，只需证∠BAO和∠BCO所在的两

个三角形全等．而由已知条件知，只需再证明BO=CO即可．

证明：连结BC．

因为AB=AC，所以∠ABC＝∠ACB．

因为∠1=∠2，所以∠ABC-∠1＝∠ACB-∠2．        即∠3=∠4，所以BO=CO．

因为AB=AC，BO=CO，AO=AO，所以△ABO≌△ACO．所以∠BAO=∠CAO，即AO平分∠BAC．

（4）条件中没有现成的全等三角形时，会通过构造全等三角形用判别方法

有些几何问题中，往往不能直接证明一对三角形全等，

一般需要作辅助线来构造全等三角形．

例4 已知：如图4，在Rt△ABC中，∠ACB=90º，

AC=BC，D为BC的中点，CE⊥AD于E，交AB于F，连接DF．

求证：∠ADC=∠BDF．

证明：过B作BG⊥BC交CF延长线于G，

所以BG∥AC．所以∠G=∠ACE．因为AC⊥BC，

CE⊥AD，所以∠ACE=∠ADC．所以∠G=∠ADC．

因为AC=BC，∠ACD＝∠CBG=90º，所以  △ACD≌△CBG．所以BG=CD=BD．因为∠CBF=∠GBF=45º，BF=BF，所以△GBF≌△DBF．所以∠G=∠BDF．所以∠ADC＝∠BDF．所以∠ADC＝∠BDF．

说明：常见的构造三角形全等的方法有如下三种：①涉及三角形的中线问题时，常采用延长中线一倍的方法，构造出一对全等三角形；②涉及角平分线问题时，经过角平分线上一点向两边作垂线，可以得到一对全等三角形；③证明两条线段的和等于第三条线段时，用“截长补短”法可以构造一对全等三角形．

热身练习

1.如图，给出下列四组条件：

①；②；

③；④．

其中，能使的条件共有（C    ）①②③均可.

A．1组           B．2组       C．3组       D．4组

2. 如图，，=30°，则的度数为（  B  ）

A.20°             B.30° C.35°            D.40°

【解析】选B.由得,

∴

3.如图，AC、BD是矩形ABCD的对角线，过点D作DE∥AC交BC的延长线于E，则图中与△ABC全等的三角形共有（D   ）

A．1个           B．2个           C．3个             D．4个

【解析】在矩形ABCD中，△CDA、△BAD、△DCB都和△ABC全等，由题意不难得出四边形ＡＣＥＤ为平行四边形，得出△ＤＣＥ也和△ABC全等．

4.在△ABC和中，∠C＝，且b-a=,b+a=,则这两个三角形（    ）

A.不一定全等        B.不全等        C.全等，根据“ASA”    D. 全等，根据“SAS”

【解析】选D.由b-a=,b+a=可得，，又∠C＝，根据“SAS”，可得这两个三角形全等.

5. 如图，已知△ABC的六个元素，则下列甲、乙、丙三个三角形中和△ABC全等的图形是（    ）                                                 

（A）甲乙             （B）甲丙       （C）乙丙        （D）乙

答案：选C.

6.如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD = 2，将腰CD以D为中心逆时针旋转90°至DE，连接AE、CE，△ADE的面积为3，则BC的长为       5 ．

【解析】过点E作EF⊥AF交AD的延长线于点F，过点D作DM⊥BC交BC于点M，

因此四边形ABMD是矩形，则BM=AD=2,且∠EFD=∠DMC=90°,

根据题意可知DE=DC,∠EDC=90°,因此∠EDF+∠CDF=90°,

又因为∠CDM+∠CDF=90°,所以∠EDF=∠CDM，从而△EDF≌△MCD,CM=EF,因为△ADE的面积为3，AD = 2，所以EF=3,所以BC=BM+CM=5.  

7.如图,四边形ABCD是边长为2的正方形，点G是BC延长线上一点，连结AG，点E、F分别在AG上，连接BE、DF，∠1=∠2 ， ∠3=∠4.

(1)证明：△ABE≌△DAF；

（2）若∠AGB=30°，求EF的长.

【解析】（1）∵四边形ABCD是正方形，   ∴AB=AD，

在△ABE和△DAF中，，∴△ABE≌△DAF.

（2）∵四边形ABCD是正方形，∴∠1+∠4=90o∵∠3=∠4,∴∠1+∠3=90o∴∠AFD=90o

在正方形ABCD中， AD∥BC,∴∠1=∠AGB=30o在Rt△ADF中，∠AFD=90o    AD=2 , 

∴AF= ,  DF =1,由(1)得△ABE≌△ADF,∴AE=DF=1,∴EF=AF-AE=.

精解名题                             

例 1.  已知：如图 ，在Rt△ABC中，∠ACB=90º，AC=BC，D为BC的中点，CE⊥AD于E，交AB于F，连接DF． 求证：∠ADC=∠BDF．

证明：过B作BG⊥BC交CF延长线于G，

所以BG∥AC．所以∠G=∠ACE．因为AC⊥BC，

CE⊥AD，所以∠ACE=∠ADC．所以∠G=∠ADC．

因为AC=BC，∠ACD＝∠CBG=90º，所以           

△ACD≌△CBG．所以BG=CD=BD．因为∠CBF=∠GBF=45º，BF=BF，所以△GBF≌△DBF．所以∠G=∠BDF．所以∠ADC＝∠BDF．所以∠ADC＝∠BDF．

例2. 如图 ，在△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AD于E．

求证：∠ACE=∠B+∠ECD．

分析：注意到AD平分∠BAC，CE⊥AD，于是可延长CE交AB于点F，即可构造全等三角形．

证明：延长CE交AB于点F．∵AD平分∠BAC，∴∠FAE=∠CAE．

∵CE⊥AD，∴∠FEA=∠CEA=90º．

在△FEA和△CEA中，

∠FAE=∠CAE，AE=AE，∠FEA=∠CEA．           

∴△FEA≌△CEA．∴∠ACE=∠AFE．∵∠AFE=∠B+∠ECD，∴∠ACE=∠B+∠ECD．

例3．如图，在中，、相交于点，于.求证:(1) (2)

证明：(1)在△ABE和△ADC中

∴△ABE≌△ADC

∴∠ABE=∠CAD

(2)∵∠ABE=∠CAD

∠BAP=∠A-∠CAD∴∠BAP+∠CAD=60°∠BAP+∠ABE=60°

∴∠BPQ=60°  ∠PBQ=30°BP=2PQ

备选例题

例：如图：在Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，∠1＝∠2，CE⊥BD的延长于E 。求证：BD＝2CE 

分析：要证BD＝2CE，想到要构造线段2CE，同时CE与∠ABC的平分线垂直，想到要将其延长。                               

证明：分别延长BA，CE交于点F。

     ∵BE⊥CF  （已知）

     ∴∠BEF＝∠BEC＝90° （垂直的定义）

在△BEF与△BEC中，

   ∵

       ∴△BEF≌△BEC   （ASA）     ∴CE=FE=CF  （全等三角形对应边相等）

∵∠BAC=90°  BE⊥CF （已知）  ∴∠BAC＝∠CAF＝90°  ∠1＋∠BDA＝90°∠1＋∠BFC＝90°  ∴∠BDA＝∠BFC，在△ABD与△ACF中

    ∴△ABD≌△ACF （AAS）    ∴BD＝CF （全等三角形对应边相等）    ∴BD＝2CE

巩固练习

1.如图，已知那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（  C ）

A．　　 B．   C． D．

【解析】选C.根据SSS可知添加A正确，根据SAS可知添加B正确, 根据HL可知添加D正确.

2．如图，BE=CF，AB=DE，添加下列哪些条件可以推证△ABC≌△DFE    （ D   ）

（A）BC=EF  （B）∠A=∠D  （C）AC∥DF   （D）AC=DF

（第2题图）                        （第3题图）

3．已知，如图，AC=BC，AD=BD，下列结论，不正确的是（  A   ）

（A）CO=DO （B）AO=BO  （C）AB⊥BD  （D）△ACO≌△BCO

4．在△ABC内部取一点P使得点P到△ABC的三边距离相等，则点P应是△ABC的哪三条线交点（  B    ）

（A）高   （B）角平分线  （C）中线  （D）垂直平分线已知

5．下列结论正确的是   （    C  ）

（A）有两个锐角相等的两个直角三角形全等；

（B）一条斜边对应相等的两个直角三角形全等；

（C）顶角和底边对应相等的两个等腰三角形全等；

（D）两个等边三角形全等.　

6．下列条件能判定△ABC≌△DEF的一组是（   A   ）

（A）∠A=∠D，∠C=∠F，AC=DF;  （B）AB=DE，BC=EF,∠A=∠D

（C）∠A=∠D，∠B=∠E， ∠C=∠F;（D）AB=DE，△ABC的周长等于△DEF的周长

7．已知，如图，△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，BE=CF，则下列说法正确的有几个     （     D  ）

（1）AD平分∠EDF；

（2）△EBD≌△FCD；

（3）BD=CD；

（4）AD⊥BC．

（A）1个       （B）2个  

（C）3个       （D）4个

8. 如图，AB∥CD，E为AD上一点，且BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD．求证：AE=ED．

分析：由于角平分线上一点到角的两边的距离相等，而点E是两条角平分线的交点，因此我们自然想到过点E分别作AB、BC、CD的垂线段．

证明：过点E作EF⊥AB，交BA的延长线于点F，作EG⊥BC，垂足为G，作EH⊥CD，垂足为H．

∵BE平分∠ABC，EF⊥AB，EG⊥BC，

∴EF=EG．同理EG =EH．∴EF=EH．

∵AB∥CD，∴∠FAE=∠D．

∵EF⊥AB，EH⊥CD，∴∠AFE=∠DHE=90º．      

在△AFE和△DHE中，∠AFE=∠DHE，EF=EH，∠FAE=∠D．

∴△AFE≌△DHE．∴AE=ED．

自我测试

1.根据下列条件，不能判定△ABC≌△DEF的是（A ）

（A）AB=DE,BC=EF, ∠A=∠D;   （B）∠A=∠D,∠C=∠F,AC=EF;

（C）∠B=∠E,∠A=∠D,AC=EF;    （D）AB=DE,BC=EF, ∠B=∠E.

2.如图1-92所示，已知AB∥DC，AD∥BC，BE=DF，图中全等三角形有（ D   ）

（A）3对  （B）4对（C）5对  （D）6对

3.如图1-93所示，已知△ABD和△ACE都是等边三角形，那么△ADC≌△ABE的根据是（ B  ）

（A）边边边（B）边角边   （C）角边角（D）角角边

4.如图1-94所示，已知在△ABC中, ∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，AB=8cm，那么△DEB的周长为（  D  ）

（A）4cm  （B）cm  （C）6cm  （D）8cm

5. 具有下列条件的两个三角形，不可以证明它们全等的是（  D ）

（A）两角相等，且其对应角所对的边也相等;   （B）两角相等，且有一边也相等;

（C）一边相等，且这边上的高也相等;    （D）两边相等，且其中一条对应边的对角相等。

6. 到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（　 D　）

（Ａ）三条中线的交点       （Ｂ）三条高的交点

（Ｃ）三条边的垂直平分线的交点  （Ｄ）三条角平分线的交点

7．.如图，在△ABC中，∠B=60°，AD,CE分别平分∠BAC, ∠BCA,且AD与CE的交点为F，求证FE=FD.

8. 如图，已知△ABC的周长为21，OB，OC分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC与D，且OD=3，求△ABC的面积。

9. 如图，已知AC平分∠BAD，∠1=∠2，求证：AB=AD.

证明：∵AC平分∠BAD∴∠BAC＝∠DAC．  ∵∠1=∠2 ∴∠ABC＝∠ADC．

在△ABC和△ADC中

  ∴△ABC≌△ADC （AAS）．  ∴AB＝AD．