专题07 阿氏圆模型（解析版）

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阿氏圆模型
模型讲解
点 P 在直线上运动的类型称之为“胡不归”问题；
点 P 在圆周上运动的类型称之为“阿氏圆”问题，“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平面上两点 A、B，则所有满 足 PA=k·PB（k≠1）的点 P 的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”。
如图 1 所示，⊙O 的半径为 r，点 A、B 都在⊙O 外，P 为⊙O 上一动点，已知 r=k·OB，
连接 PA、PB，则当“PA+k·PB”的值最小时，P 点的位置如何确定？
如图2，在线段 OB 上截取 OC 使 OC=k·r，则可说明△BPO 与△PCO 相似，即 k·PB=PC。故本题求“PA+k·PB”的最小值可以转化为 “PA+PC”的最小值，其中与 A 与 C 为定点,P 为动点，故当 A、P、C 三点共线时， “PA+PC”值最小。如图3所示：
方法点拨
题型特征：PA+kPB（P的运动轨迹为圆）
1、将所求线段和改写为“PA+PB”的形式（<1，若>1，提取系数，转化为小于1的形式解决）。
2、在PB的一侧，PA的异侧，构造一个角度α，使得sinα=
3、最后利用两点之间线段最短及垂线段最短解题
例题演练
1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，圆C的半径为2，点P为圆上一动点，连接AP，BP．
求①AP+BP；
②2AP+BP；
③AP+BP；
④AP+3BP的最小值．
【解答】解：①取CE的中点F，连结PF，AF，
∵CF＝1，CB＝4，CP＝2，
∴，
∵∠PCF＝∠BCP，
∴△PCF∽△BCP，
∴，
∴，
∴，
＝AP+PF，
当P在AF上时，AP+PF最小，
最小值为AF的长，
，
＝，
的最小值为，
②∵2AP+BP＝2，
∴2AP+BP的最小值为，
③在DC取一点G，使CG＝
∵，
∴，
∵∠ACP＝∠PCG，
∴△CGP∽△CPA，
∴，
∴，
∴，
＝GP+BP⩾BG，
当P在BG上B，
GP+BP＝BG，
＝
＝，
∴的最小值为，
④∵，
∴AP+3BP的最小值为．
强化训练
1．阅读以下材料，并按要求完成相应的任务．
已知平面上两点A、B，则所有符合＝k（k＞0且k≠1）的点P会组成一个圆．这个结论最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，称阿氏圆．
阿氏圆基本解法：构造三角形相似．
【问题】如图1，在平面直角坐标系中，在x轴，y轴上分别有点C（m，0），D（0，n），点P是平面内一动点，且OP＝r，设＝k，求PC+kPD的最小值．
阿氏圆的关键解题步骤：
第一步：如图1，在OD上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k；
第二步：证明kPD＝PM；第三步：连接CM，此时CM即为所求的最小值．
下面是该题的解答过程（部分）：
解：在OD上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k，
又∵∠POD＝∠MOP，∴△POM∽△DOP．
任务：
（1）将以上解答过程补充完整．
（2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为△ABC内一动点，满足CD＝2，利用（1）中的结论，请直接写出AD+BD的最小值．
【解答】解（1）在OD上取点M，使得OM：OP＝OP：OD＝k，
又∵∠POD＝∠MOP，
∴△POM∽△DOP．
∴MP：PD＝k，
∴MP＝kPD，
∴PC+kPD＝PC+MP，当PC+kPD取最小值时，PC+MP有最小值，即C，P，M三点共线时有最小值，
利用勾股定理得．
（2）∵AC＝m＝4，＝，在CB上取一点M，使得CM＝CD＝，
∴的最小值为．
2．（1）如图1，已知正方形ABCD的边长为4，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，求PD+的最小值和PD﹣的最大值；
（2）如图2，已知正方形ABCD的边长为9，圆B的半径为6，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为 ，PD﹣的最大值为 ．
（3）如图3，已知菱形ABCD的边长为4，∠B＝60°，圆B的半径为2，点P是圆B上的一个动点，那么PD+的最小值为 ，PD﹣的最大值为 ．
【解答】解：（1）如图1中，在BC上取一点G，使得BG＝1．
∵＝＝2，＝＝2，
∴＝，∵∠PBG＝∠PBC，
∴△PBG∽△CBP，
∴＝＝，
∴PG＝PC，
∴PD+PC＝DP+PG，
∵DP+PG≥DG，
∴当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG＝＝5．
∵PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，
当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大（如图2中），最大值为DG＝5．
（2）如图3中，在BC上取一点G，使得BG＝4．
∵＝＝，＝＝，
∴＝，∵∠PBG＝∠PBC，
∴△PBG∽△CBP，
∴＝＝，
∴PG＝PC，
∴PD+PC＝DP+PG，
∵DP+PG≥DG，
∴当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG＝＝．
∵PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，
当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大，最大值为DG＝．
故答案为，
（3）如图4中，在BC上取一点G，使得BG＝1，作DF⊥BC于F．
∵＝＝2，＝＝2，
∴＝，∵∠PBG＝∠PBC，
∴△PBG∽△CBP，
∴＝＝，
∴PG＝PC，
∴PD+PC＝DP+PG，
∵DP+PG≥DG，
∴当D、G、P共线时，PD+PC的值最小，最小值为DG，
在Rt△CDF中，∠DCF＝60°，CD＝4，
∴DF＝CD•sin60°＝2，CF＝2，
在Rt△GDF中，DG＝＝
∵PD﹣PC＝PD﹣PG≤DG，
当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大（如图2中），最大值为DG＝．
故答案为，．
3．【问题背景】如图1，△ABC中，∠BAC＞∠B，点D在边BC上，若∠CAD＝∠B，则可得△CAB∽△CAD，进而可得，进一步变形有AC2＝CD•CB．
【简单运用】（1）如图1，若AC＝2，BC＝4，则BD长为 3 ；＝ ．
（2）如图2，⊙O中，弦AD、BC相交于点E，已知AB＝2AE，BE＝15，且C是劣弧AD的中点，求CD的长．
【灵活运用】如图3，平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+9交于坐标轴于A、B两点，点P坐标为（m，n），且m2+n2＝36，连接PA，PB，则3PB+2PA的最小值为 3 ．
【解答】解：（1）∵AC2＝CD•BD，
∴4CD＝4，
∴CD＝1，
∴BD＝BC﹣CD＝3，
∵△CAB∽△CAD，
∴＝＝＝，
故答案是3，；
（2）如图1，
∵＝，
∴∠B＝∠CAE，
由上知，
∴△ACE∽△BCA，
∴＝＝＝＝，
AC2＝CE•BC，
∴AC＝2CE，
∴4CE2＝CE•（CE+15），
∴CE＝5，
∴CD＝AC＝2CE＝10；
【灵活运用】如图2，
由题意得，
OA＝OB＝9，
∵且m2+n2＝36，
∴OP＝6，
在OA上截取OC＝4，
∴＝，
又∵∠AOP是公共角，
∴△AOP∽△POC，
∴＝，
∴PA＝PC，
∴PB+PA＝PB+PC≥BC，
当B、P、C共线时，
（PB+PC）最小＝BC＝＝，
∵3PB+2PA＝3（PB+PA），
∴（3PB+2PA）最小＝3，
故答案是3．
4．如图，已知正方形ABCD的边长为4，⊙B的半径为2，点P是⊙B上的一个动点，则PD﹣PC的最大值为 5 ．
【解答】解：在BC上取一点G，使得BG＝1，如图，
∵＝2，＝2，
∴，
∵∠PBG＝∠PBC，
∴△PBG∽△CBP，
∴，
∴PG＝PC，
当点P在DG的延长线上时，PD﹣PC的值最大，最大值为DG＝＝5．
故答案为：5
5．【新知探究】新定义：平面内两定点A，B，所有满足＝k（k为定值）的P点形成的图形是圆，我们把这种圆称之为“阿氏圆”
【问题解决】如图，在△ABC中，CB＝4，AB＝2AC，则△ABC面积的最大值为 ．
【解答】解：以A为顶点，AC为边，在△ABC外部作∠CAP＝∠ABC，AP与BC的延长线交于点P，
∵∠CAP＝∠ABC，∠BPA＝∠APC，AB＝2AC，
∴△APC∽△BPA，
，
∴BP＝2AP，CP＝AP，
∵BP﹣CP＝BC＝4，
∴2AP﹣AP＝4，解得：AP＝，
∴BP＝，CP＝，即点P为定点，
∴点A的轨迹为以点P为圆心，为半径的圆上，如图，过点P作BC的垂线，交圆P与点A1，此时点A1到BC的距离最大，即△ABC的面积最大，
S△ABC＝BC•A1P＝×4×＝．
故答案为：．
1．（2021•黔西南州中考真题）古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”．请研究如下美丽的圆．如图，线段AB是⊙O的直径，延长AB至点C，使BC＝OB，点E是线段OB的中点，DE⊥AB交⊙O于点D，点P是⊙O上一动点（不与点A，B重合），连接CD，PE，PC．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）小明在研究的过程中发现是一个确定的值．回答这个确定的值是多少？并对小明发现的结论加以证明．
【解答】解：（1）如图1中，连接OD、DB，
∵点E是线段OB的中点，DE⊥AB交⊙O于点D，
∴DE垂直平分OB，
∴DB＝DO，OE＝BE．
解法一：
∵在⊙O中，DO＝OB，
∴DB＝DO＝OB，
∴△ODB是等边三角形，
∴∠BDO＝∠DBO＝60°，
∵BC＝OB＝BD，且∠DBE为△BDC的外角，
∴∠BCD＝∠BDC＝∠DBO．
∵∠DBO＝60°，
∴∠CDB＝30°．
∴∠ODC＝∠BDO+∠BDC＝60°+30°＝90°，
∴CD是⊙O的切线；
解法二：
∵BC＝OB，OB＝OD，
∴＝＝＝，
又∵∠DOE＝∠COD，
∴△EOD∽△DOC，
∴∠CDO＝∠DEO＝90°，
∴CD为圆O的切线；
（2）答：这个确定的值是．
连接OP，如图2中：
由已知可得：OP＝OB＝BC＝2OE．
∴＝＝，
又∵∠COP＝∠POE，
∴△OEP∽△OPC，
∴＝＝