专题05 三角形全等-三垂直模型（解析版）

【结论一】

在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E，则有以下结论成立：

①△ADC≌△CEB；②DE＝AD+BE

【证明】：

①证明：∵AD⊥DE，BE⊥DE，

∴∠ADC＝∠BEC＝90°，

∵∠ACB＝90°，

∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠DAC+∠ACD＝90°，

∴∠DAC＝∠BCE，

在△ADC和△CEB中

∴△ADC≌△CEB（AAS）．

②证明：由（1）知：△ADC≌△CEB，

∴AD＝CE，CD＝BE，

∵DC+CE＝DE，

∴DE＝AD+BE．

【结论二】（其他形状一线三垂直）

①DE＝AD﹣BE；  

②DE＝BE﹣AD

方法点拨

1．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，若AD＝8cm，BE＝3cm，则DE＝　　cm．

【解答】解：∵∠ACB＝90°，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D，

∴∠ACD+∠BCE＝90°，∠ACD+∠CAD＝90°，

∴∠CAD＝∠BCE，

在△CDA和△BEC中，

，

∴△CDA≌△BEC（AAS），

∴CD＝BE，CE＝AD，

∵DE＝CE﹣CD，

∴DE＝AD﹣BE，

∵AD＝8cm，BE＝3cm，

∴DE＝5cm，

故答案为：5．

2．已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．

（1）如图1，若AB＝8，点D是AC的中点，连接BD，求S△BCD；

（2）如图2，若D、E是AC边上两点，且AD＝CE，AF⊥BD交BD、BC于F、G，连接BE、GE，求证：∠ADB＝∠CEG．

【解答】解：（1）如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC＝8，

∵D是AC的中点，

∴AD＝CD＝AC＝4，

∴S△BCD＝S△ABD＝AD•AB＝×8×4＝16；

（2）如图2，过点C作CH⊥AC，交AG的延长线于点H，

又∵∠BAC＝90°，

∴∠HCA＝∠DAB＝90°，

∵∠BAC＝90°，AF⊥BD，

∴∠DAF+∠ADF＝90°，∠ABD+∠ADF＝90°，

∴∠ABD＝∠DAF，

又∵AB＝AC，∠HCA＝∠DAB，

∴△ABD≌△CAH（AAS），

∴AD＝CH，∠ADB＝∠H．

又∵AD＝CE，

∴CH＝CE．

∵∠ACB＝45°，∠ACH＝90°，

∴∠BCH＝∠ACB＝45°，

又∵GC＝GC，CH＝CE，

∴△ECG≌△HCG（SAS），

∴∠CEG＝∠H，

又∵∠ADB＝∠H，

∴∠ADB＝∠CEG

在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，G为AB的中点，过点G作DG⊥AB交AC于点D．

（1）如图1，连接CG，若CG＝，BC＝3，求DG的长；

（2）如图2，过点D作DE⊥BD，连接AE，以点E为直角顶点，AE为直角边向外作等腰直角三角形AEF，使得点F刚好落在BD的延长线上，求证：BC＝DE+DF．

【解答】（1）解：∵∠BCA＝90°，G是AB的中点，

∴CG＝BG＝AG＝，

∴AB＝5，

∵BC＝3，

由勾股定理得：AC＝4，

∵DG⊥AB，

∴tanA＝，

∴，

∴DG＝；

（2）证明：过点A作DE的延长线的垂线相交于K，

易证△FDE≌△EKA（AAS），

∴EF＝EK，BD//AK

∴∠BDA＝∠KAB，

∵G为AB的中点，过点G作DG⊥AB

∴BD=DA，∠DBA=∠DAB

∴∠CDB＝2∠DAB＝∠DAK，

∴△BCD≌△DKA（AAS），

∴BC＝DK，

∴BC＝DE+DF．

2．已知，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC．

（1）如图1，若AB＝8，点D是AC边上的中点，求S△BCD；

（2）如图2，若BD是△ABC的角平分线，请写出线段AB、AD、BC三者之间的数量关系，并说明理由；

（3）如图3，若D、E是AC边上两点，且AD＝CE，AF⊥BD交BD、BC于F、G，连接BE、GE，求证：∠ADB＝∠CEG．

【解答】解：（1）如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC＝8，

∵D是AC的中点，

∴AD＝CD＝AC＝4，

∴S△BCD＝S△ABD＝AD•AB＝×8×4＝16；            

（2）数量关系为：BC＝AB+AD．理由如下：

如图2，过D作DE⊥BC于E，

又∵∠BAC＝90°，

∴∠BED＝∠BAC＝90°，

∵BD是∠ABC的角平分线，

∴∠ABD＝∠EBD，

又∵BD＝BD，

∴△ABD≌△EBD，

∴AB＝EB，AD＝DE，

∵∠BAC＝90°，AB＝AC，

∴∠ABC＝∠C＝45°，

又∵∠CED＝90°，

∴∠CDE＝180°﹣∠CED﹣∠C＝45°＝∠C，

∴CE＝DE，

又∵AB＝EB，AD＝DE，

∴BC＝BE+CE＝AB+DE＝AB+AD；

（3）如图3，过点C作CH⊥AC，交AG的延长线于点H，

又∵∠BAC＝90°，

∴∠HCA＝∠DAB＝90°，

∵∠BAC＝90°，AF⊥BD，

∴∠DAF+∠ADF＝90°，∠ABD+∠ADF＝90°，

∴∠ABD＝∠DAF，

又∵AB＝AC，∠HCA＝∠DAB，

∴△ABD≌△CAH，

∴AD＝CH，∠ADB＝∠H．

又∵AD＝CE，

∴CH＝CE．

∵∠ACB＝45°，∠ACH＝90°，

∴∠BCH＝∠ACB＝45°，

又∵GC＝GC，CH＝CE，

∴△ECG≌△HCG，

∴∠CEG＝∠H，

又∵∠ADB＝∠H，

∴∠ADB＝∠CEG．

3．（2017•沙坪坝区校级开学）如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D为CB上一点，且满足CD＝CA，连接AD．过点C作CE⊥AB于点E．

（1）若AB＝10，BD＝2，求CE的长；

（2）如图2，若点F是线段CE延长线上一点，连接FD，若∠F＝30°，求证：CF＝AE+DF；

（3）如图3，设D为BC延长线上一点，其它条件不变，直线CE与直线AD交于点F，若∠F＝30°，请直接写出线段CF，AE，DF之间的关系，不需要说明理由．

【解答】（1）解：如图1中，设AC＝CD＝x．

在Rt△ACB中，AB＝10，AC＝x，BC＝CD+BD＝x+2，

∵AB2＝AC2+BC2，

∴102＝x2+（x+2）2，

解得x＝6或﹣8（舍弃），

∴AC＝6．

∵•AC•BC＝•AB•CE，

∴CE＝＝．

（2）证明：如图2中，作DH⊥CF于H．

∵∠ACD＝∠AEC＝∠DHC＝90°，

∴∠ACE+∠CAE＝90°，∵∠ACE+∠BCE＝90°，

∴∠CAE＝∠DCH，

在△ACE和∠CDH中，

，

∴△ACE≌△CDH，

∴AE＝CH，

在Rt△DHF中，∵∠DHF＝90°，∠F＝30°，

∴HF＝DF•cos30°＝DF，

∴CF＝CH+FH＝AE+DF．

（3）解：结论：CF＝DF﹣AE．

理由：如图3中，作DH⊥FC于H．

同法可证△DCH≌△CAE，

∴AE＝CH，

在Rt△DHF中，∵∠DHF＝90°，∠F＝30°，

∴HF＝DF•cos30°＝DF，

∴CF＝FH﹣CH＝DF﹣AE．

1．（2017•南岸区一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是△ABC内一点，AD＝BD，且AD⊥BD，连接CD．过点C作CE⊥BC交AD的延长线于点E，连接BE．过点D作DF⊥CD交BC于点F．

（1）若BD＝DE＝，CE＝，求BC的长；

（2）若BD＝DE，求证：BF＝CF．

【解答】解：（1）∵BD⊥AD，点E在AD的延长线上，

∴∠BDE＝90°，

∵BD＝DE＝，

∴BE＝＝，

∵BC⊥CE，

∴∠BCE＝90°，

∴BC＝＝＝2；

（2）连接AF，

∵AD⊥BD，DF⊥CD，

∴∠BDE＝∠CDF＝90°，

∴∠BDF＝∠CDE，

∵CE⊥BC，

∴∠BCE＝90°，

∴∠DBC＝∠CED，

在△BDF和△EDC中，

∵，

∴△BDF≌△EDC（ASA），

∴DF＝CD，

∴∠CFD＝∠DCF＝45°，

∵∠ADB＝∠CDF，

∴∠ADB+∠BDF＝∠CDF+∠BDF，

∴∠ADF＝∠BDC，

在△ADF和△BDC中，

∵，

∴△ADF≌△BDC（SAS），

∴∠AFD＝∠BCD，

∴∠AFD＝45°，

∴∠AFC＝∠AFD+∠CFD＝90°，

∴AF⊥BC，

∵AB＝AC，

∴BF＝CF．