专题04 修桥选址模型（解析版）

已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧,且PQ间长度恒定,在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。(原理用平移知识解)

（1）点A、B在直线m两侧：

   过A点作AC∥m,且AC长等于PQ长，连接BC,交直线m于Q,Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。

（2）点A、B在直线m同侧：

     过A点作AE∥m,且AE长等于PQ长，作B关于m的对称点B’,连接B’E,交直线m于Q,Q向左平移PQ长，即为P点，此时P、Q即为所求的点。

方法点拨

一、题型特征：AP+PQ+QB（其中PQ长度一定）

①两动点在一直线上运动，且两动点间的距离不变，两定点分居两动点所在直线的两侧；

②过任一定点作两动点所构成线段的平行且相等，将这一定点经行平移；

③将平移后得到的点与另一定点相连

二、模型本质：两点之间，线段最短。

1．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E为CD边的中点，点P、Q为BC边上的两个动点，且PQ＝2，当BP＝（　　）时，四边形APQE的周长最小．

A．3 B．4 C．5 D．2

【解答】解：如图，在AD上截取线段AF＝PQ＝2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点．

∵GH＝DF＝6，EH＝2+4＝6，∠H＝90°，

∴∠GEH＝45°，

∴∠CEQ＝45°，

设BP＝x，则CQ＝BC﹣BP﹣PQ＝8﹣x﹣2＝6﹣x，

在△CQE中，∠QCE＝90°，∠CEQ＝45°，

∴CQ＝EC，

∴6﹣x＝2，

解得x＝4．

故选：B．

1．（2018•如东县二模）如图，正方形ABCD的边长为6，E，F是对角线BD上的两个动点，且EF＝，连接CE，CF，则△CEF周长的最小值为　4　．

【解答】解：如图作CH∥BD，使得CH＝EF＝2，连接AH交BD由F，则△CEF的周长最小．

∵CH＝EF，CH∥EF，

∴四边形EFHC是平行四边形，

∴EC＝FH，

∵FA＝FC，

∴EC+CF＝FH+AF＝AH，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AC⊥BD，∵CH∥DB，

∴AC⊥CH，

∴∠ACH＝90°，

在Rt△ACH中，AH＝＝4，

∴△EFC的周长的最小值＝2+4，

故答案为2+4．

2．（2020•陕西模拟）如图，正方形ABCD的对角线上的两个动点M、N，满足AB＝MN，点P是BC的中点，连接AN、PM，若AB＝6，则当AN+PM的值最小时，线段AN的长度为　2　．

【解答】解：过P作PE∥BD交CD于E，连接AE交BD于N'，过P作PM'∥AE交BD于M'，当M、N分别与M'、N'重合时，此时AN+PM＝A'+EN'＝AEN'+PM'＝AE的值最小，

∵P是BC的中点，

∴E为CD的中点，

∴PE＝BD，

∵AB＝BD，AB＝PE，

∴PE∥BD，PM'∥AE，

∴四边形PEN'M'是平行四边形，

∴PE＝M'N'，

∴AB＝M'N'＝MN，满足题中条件，

∵AE＝＝3，

∵AB∥CD，

∴△ABN'∽△EDN'，

∴＝2，

∴AN'＝2，即AN＝2．

3．如图，G、B为直线l上两个动点，且GB＝2，P、Q为直线l外两定点，请在直线l上作出使得四边形PGBQ周长最小的G、B．

【解答】解：如图，四边形PG′B′Q即为所求．

4．（2019秋•开福区校级期末）已知：如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，E为直线BC上一点．

（1）如图1，当E在线段BC上，且DE＝AD时，求BE的长；

（2）如图2，点E为BC延长线上一点，若BD＝BE，连接DE，M为ED的中点，连接AM，CM，求证：AM⊥CM；

（3）如图3，在（2）条件下，P，Q为AD边上的两个动点，且PQ＝5，连接PB、MQ、BM，求四边形PBMQ的周长的最小值．

【解答】解：（1）如图1中，∵四边形ABCD是矩形，

∴∠C＝90°，CD＝AB＝6，AD＝BC＝8，

∴DE＝AD＝8，

在Rt△CDE中，CE＝＝＝2，

∴BE＝BC﹣CE＝8﹣2；

（2）如图2，连接BM，

∵点M是DE的中点，

∴DM＝EM，

∵BD＝BE，

∴BM⊥DE，

∴∠BMD＝90°，

∵点M是Rt△CDE的斜边的中点，

∴DM＝CM，

∴∠CDM＝∠DCM，

∴∠ADM＝∠BCM

在△ADM和△BCM中，

，

∴△ADM≌△BCM（SAS），

∴∠AMD＝∠BMC，

∴∠AMC＝∠AMB+∠BMC＝∠AMB+∠AMD＝∠BMD＝90°，

∴AM⊥CM；

（3）如图3中，过点Q作QG∥BP交BC于G，作点G关于AD的对称点G'，连接QG'，当点G'，Q，M在同一条线上时，QM+BP最小，而PQ和BM是定值，

∴此时，四边形PBMQ周长最小，

∵QG∥PB，PQ∥BG，

∴四边形BPQG是平行四边形，

∴QG＝BP，BG＝PQ＝5，

∴CG＝3，如图2，在Rt△BCD中，CD＝6，BC＝8，

∴BD＝10，

∴BE＝10，

∴BG＝BE﹣BG＝5，CE＝BE﹣BC＝2，

∴HM＝1+3＝4，HG＝CD＝3，

在Rt△MHG'中，HG'＝6+3＝9，HM＝4，

∴MG'＝＝＝，

在Rt△CDE中，DE＝＝＝2，

∴ME＝，

在Rt△BME中，BM＝＝＝3，

∴四边形PBMQ周长最小值为BP+PQ+MQ+BM＝QG+PQ+QM+BM＝MG'+PQ+BM＝+5+3，

5．（2018春•宝安区期末）如图1，已知平行四边形ABCO，以点O为原点，OC所在的直线为x轴，建立直角坐标系，AB交y轴于点D，AD＝2，OC＝6，∠A＝60°，线段EF所在的直线为OD的垂直平分线，点P为线段EF上的动点，PM⊥x轴于点M点，点E与E′关于x轴对称，连接BP、E′M．

（1）请直接写出点A的坐标为　（﹣2，2）　，点B的坐标为　（4，2）　；

（2）当BP+PM+ME′的长度最小时，请直接写出此时点P的坐标为　（2，）　；

（3）如图2，点N为线段BC上的动点且CM＝CN，连接MN，是否存在点P，使△PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的EP的值；若不存在，请说明理由．

【解答】解：（1）如图1中，

在Rt△ADO中，∵∠A＝60°，AD＝2，

∴OD＝2•tan60°＝2，

∴A（﹣2，2），

∵四边形ABCO是平行四边形，

∴AB＝OC＝6，

∴DB＝6﹣2＝4，

∴B（4，2）

（2）如图1中，连接OP．

∵EF垂直平分线段OD，PM⊥OC，

∴∠PEO＝∠EOM＝∠PMO＝90°，

∴四边形OMPE是矩形，

∴PM＝OE＝，

∵OE＝OE′，

∴PM＝OE′，PM∥OE′，

∴四边形OPME′是平行四边形，

∴OP＝EM，

∵PM是定值，

∴PB+ME′＝OP+PB的值最小时，BP+PM+ME′的长度最小，

∴当O、P、B共线时，BP+PM+ME′的长度最小，

∵直线OB的解析式为y＝x，

∴P（2，）．

故答案为（2，）

（3）如图2中，当PM＝PN＝时，

∵△MNC是等边三角形，

∴∠CMN＝∠CNM＝60°，

∵PM⊥OC，

∴∠PMN＝∠PNM＝30°，

∴∠PNF＝30°+60°＝90°，

∵∠PFN＝∠BCO＝60°，

∴PF＝PN÷cos30°＝2，

∵EF＝＝5，

∴PE＝5﹣2＝3．

如图3中，当PM＝MN时，

∵PM＝MN＝CM＝，

∴EP＝OM＝6﹣．

如图4中，当点P与F重合时，NP＝NM，此时PE＝EF＝5．

综上所述，满足条件的EP的值为3或6﹣或5．

1．（2017•内江）如图，已知直线l1∥l2，l1、l2之间的距离为8，点P到直线l1的距离为6，点Q到直线l2的距离为4，PQ＝4，在直线l1上有一动点A，直线l2上有一动点B，满足AB⊥l2，且PA+AB+BQ最小，此时PA+BQ＝　16　．

【解答】解：作PE⊥l1于E交l2于F，在PF上截取PC＝8，连接QC交l2于B，作BA⊥l1于A，此时PA+AB+BQ最短．作QD⊥PF于D．

在Rt△PQD中，∵∠D＝90°，PQ＝4，PD＝18，

∴DQ＝＝，CD＝PD﹣PC＝18﹣8＝10，

∵AB＝PC＝8，AB∥PC，

∴四边形ABCP是平行四边形，

∴PA＝BC，

∴PA+BQ＝CB+BQ＝QC＝＝＝16．

故答案为16．