北师大版2023年中考数学一轮复习《勾股定理》单元练习（含答案）

北师大版2023年中考数学一轮复习

《勾股定理》单元练习

一              、选择题

1.下列各组数中，能构成直角三角形的是(　　)

A.4，5，6    B.1，1，     C.6，8，11     D.5，12，23

2.满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的为(　　)

A.∠A＝∠B﹣∠C     B.∠A∶∠B∶∠C＝1∶1∶2  

C.b2＝a2﹣c2           D.a∶b∶c＝2∶3∶4

3.根据图形(图1，图2)的面积关系，下列说法正确的是(    )

A.图1能说明勾股定理，图2能说明完全平方公式

B.图1能说明平方差公式，图2能说明勾股定理

C.图1能说明完全平方公式，图2能说明平方差公式

D.图1能说明完全平方公式，图2能说明勾股定理

4.如图，CB＝1，且OA＝OB，BC⊥OC，则点A在数轴上表示的实数是(     )

A.            B.﹣          C.           D.﹣

5.如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行(       )

A.8米        B.10米           C.12米            D.14米

6.如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB＝2米，则树高为(     )

A.米           B.米         C.(＋1)米          D.3米

7.如图，张明家(记作A)在成都东站(记作B)南偏西30°的方向且相距4000米，王强家(记作C)在成都东站南偏东60°的方向且相距3000米，则张明家与王强家的距离为(　　)

A.6000米     B.5000米     C.4000米       D.2000米

8.如图，在△ABC中，CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，且EF∥BC交AC于M，若CM＝5，则CE2＋CF2等于(    )

A.75                         B.100                        C.120                            D.125

9.如图，在长方形ABCD中，AB＝12，AD＝14，E为AB的中点，点F，G分别在CD，AD上，若CF＝4，且△EFG为等腰直角三角形，则EF的长为(      )

A.10                        B.10                        C.12                         D.12

10.三角形的三边长为a，b，c，且满足(a＋b)2＝c2＋2ab，则这个三角形是(　　)

A.等边三角形  B.钝角三角形  C.直角三角形  D.锐角三角形

11.如图，在5×5的正方形网格中，以AB为边画直角△ABC，使点C在格点上，满足这样条件的点C的个数(　　)

A.6       B.7       C.8       D.9

12.如图，已知圆柱底面的周长为4 dm，圆柱高为2 dm，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为(      )

A.4 dm       B.2 dm     C.2 dm       D.4 dm

二              、填空题

13.若三角形三边之比为3：4：5，周长为24，则三角形面积           ．

14.点Q(5，﹣12)到原点的距离是         ．

15.如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行　   　米．

16.甲、乙两艘客轮分别用20m/min和15m/min速度同时离开港口，甲、乙客轮分别都用40min到达A、B两点，若A，B两点的直线距离为，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是___________.(只填序号)

①北偏西60°   ②南偏西30°  ③南偏东60°   ④南偏西60°

17.如图，一架长2米的梯子AB斜靠在与地面OM垂直的墙壁ON上，梯子与地面的倾斜角α为60°.当A点下滑到A′点，B点向右滑行到B′点时，梯子AB的中点P也随之运动到P′点．若∠POP′＝15°，则AA′的长         ．

18.一块直角三角形绿地，两直角边长分别为3m，4m，现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充时只能延长长为3m的直角边，则扩充后等腰三角形绿地的面积为　   　m2．

三              、解答题

19.观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，a，b，c

根据你发现的规律，请写出

(1)当a＝19时，求b、c的值；

(2)当a＝2n＋1时，求b、c的值；

(3)用(2)的结论判断15，111，112是否为一组勾股数，并说明理由.

20.如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝13，D是AB上一点，且CD＝12，BD＝8．

(1)求△ADC的面积．

(2)求BC的长．

21.如图，在△ABC中，CD是AB边上高，若AD＝16，CD＝12，BD＝9．

(1)求△ABC的周长．

(2)判断△ABC的形状并加以证明．

22.如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地A点出发，沿北偏东60°方向走了500m到达B点，然后再沿北偏西30°方向走了500m到达目的地C点.

(1)求A、C两点之间的距离；

(2)确定目的地C在营地A的什么方向？

23.如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°.请完成以下任务.

(1)尺规作图：①作∠A的平分线，交CB于点D；

②过点D作AB的垂线，垂足为点E.请保留作图痕迹，不写作法，并标明字母.

(2)若AC＝3，BC＝4，求CD的长.

24.如图，在△ABC中，D是BC上一点，且满足AC＝AD，请你说明AB2＝AC2＋BC·BD.

25.如图，长方体的底面是边长为1cm 的正方形，高为3cm．

(1)如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，请计算所用细线最短需要    cm?

(2)如果从点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B，那么所用细线最短需要       cm．

答案

1.B.

2.D.

3.B

4.D

5.B

6.C

7.B.

8.B.

9.B

10.C.

11.C.

12.A.

13.答案为：24.

14.答案为：13．

15.答案为：10．

16.答案为：①③

17.答案为：﹣．

18.答案为：8m2或10m2；

19.解：(1)观察得给出的勾股数中，斜边与较大直角边的差是1，即c﹣b＝1

∵a＝19，a2＋b2＝c2，

∴192＋b2＝(b＋1)2，

∴b＝180，

∴c＝181；

(2)通过观察知c﹣b＝1，

∵(2n＋1)2＋b2＝c2，

∴c2﹣b2＝(2n＋1)2，

(b＋c)(c﹣b)＝(2n＋1)2，

∴b＋c＝(2n＋1)2，

又c＝b＋1，

∴2b＋1＝(2n＋1)2，

∴b＝2n2＋2n，c＝2n2＋2n＋1；

20.解：(1)∵AB＝13，BD＝8，

∴AD＝AB﹣BD＝5，

∴AC＝13，CD＝12，

∴AD2＋CD2＝AC2，

∴∠ADC＝90°，即△ADC是直角三角形，

∴△ADC的面积＝×AD×CD＝×5×12＝30；

(2)在Rt△BDC中，∠BDC＝180°﹣90°＝90°，

由勾股定理得：BC＝4，即BC的长是4．

21.解：(1)∵CD是AB边上高，

∴∠CDA＝∠CDB＝90°，

∴AC＝＝20，BC＝＝15，

∵AB＝AD＋BD＝25，

∴△ABC的周长＝AB＋BC＋AC＝25＋20＋15＝60；

(2)△ABC是直角三角形，理由如下：202＋152＝252，

即AC2＋BC2＝AB2，

∴△ABC是直角三角形．

22.解：(1)过B点作BE∥AD，

如图，∴∠DAB＝∠ABE＝60°.

∵30°＋∠CBA＋∠ABE＝180°，

∴∠CBA＝90°.

即△ABC为直角三角形.

由已知可得：BC＝500 m，AB＝500 m，

由勾股定理可得：AC2＝BC2＋AB2，

所以AC＝1 000(m)；

(2)在Rt△ABC中，∵BC＝500 m，AC＝1 000 m，

∴∠CAB＝30°，

∵∠DAB＝60°，

∴∠DAC＝30°.

即点C在点A的北偏东30°的方向.

23.解：(1)如图所示：①AD是∠A的平分线；

②DE是AB的垂线；

(2)在Rt△ABC中，由勾股定理得：

AB＝5，

由作图过程可知：DE＝DC，∠AED＝∠C＝90°，

∵S△ACD＋S△ABD＝S△ABC，

∴AC•CD＋AB•DE＝AC•BC，

∴×3×CD＋×5×CD＝×3×4，解得：CD＝.

24.证明：作AE⊥BC于E，如图所示：

则∠AEB＝∠AEC＝90°，

由勾股定理得：AB2＝AE2＋BE2，AE2＝AD2﹣DE2，

∵AC＝AD，AE⊥DC，

∴DE＝CE，

∴AB2＝AC2＋BE2﹣DE2＝AC2＋(BE＋DE)(BE﹣DE)＝AC2＋BC•BD．

25.解：如图所示，

∵从点A开始经过4个侧面缠绕2圈到达点B，

∴展开后AC＝1cm×8＝8cm，BC＝3cm，

由勾股定理得：AB＝.