北师大版2023年中考数学一轮复习《三角形的证明》单元练习（含答案）

北师大版2023年中考数学一轮复习

《三角形的证明》单元练习

一              、选择题

1.等腰三角形的两边长分别为5和11，则它的周长为(　　)

A.21         B.21或27          C.27           D.25

2.△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝1∶2∶3，则BC∶AB等于(    )

A.2∶1                      B.1∶2        C.1∶3          D.2∶3

3.如图是屋架设计图的一部分，立柱BC垂直于横梁AC，AB＝10m，∠A＝30°，则立柱BC的长度是(　　)

A.5m                          B.8m                          C.10m                            D.20m　

4.下列条件中，不能判定两个直角三角形全等的是(   )

A.两个锐角对应相等

B.一条边和一个锐角对应相等

C.两条直角边对应相等

D.一条直角边和一条斜边对应相等

5.如图，△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，DE∥BC，则图中等腰三角形的个数(    )

A.1个                           B.3个                         C.4个                         D.5个

6.已知Rt△ABC中,有一个锐角等于50°,则另一个锐角的度数是 (　　)

A.50°          B.45°          C.40°          D.30°

7.一个正方形和一个等边三角形的位置如图所示，若∠2＝50°，则∠1＝(    )

A.50°　 　B.60°　 　C.70°　 　D.80°

8.点P在∠AOB的平分线上，点P到OA边的距离等于5，点Q是OB边上的任意一点，则下列选项正确的是(　　)

A.PQ＞5        B.PQ≥5         C.PQ＜5       D.PQ≤5

9.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，S△ABC=15，DE=3，AB=6，则AC长是(    )

A.7        B.6        C.5        D.4

10.如图，在已知的△ABC中，按以下步骤作图：①分别以B，C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于两点M，N；②作直线MN交AB于点D，连接CD.若AD＝AC，∠A＝80°，则∠ACB的度数为(　　)

A.65°          B.70°          C.75°            D.80°

11.如图，在底边BC为2，腰AB为2的等腰三角形ABC中，DE垂直平分AB于点D，交BC于点E，则△ACE的周长为(　　)

A.2＋        B.2＋2        C.4        D.3

12.如图，已知∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，AB＝6，AC＝3，则BE＝(   )

A. 6         B. 3         C. 2         D. 1.5

二              、填空题

13.如图，在Rt△ABC中，∠B的度数是________度．

14.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝60°，AB＝10，则BC的长为　     　.

15.如图，△ABC是等边三角形，AD⊥BC，DE⊥AB，若AB＝8 cm，BD＝______，BE＝______.

16.如图，在等腰△ABC中，AB＝AC＝BD，∠BAD＝70°，∠DAC＝    .

17.如图，O是直线BC上的点，OM平分∠AOB，ON平分∠AOC，点E在OM上，过点E作EG⊥OA于点G，EP⊥OB于点P，延长EG，交ON于点F，过点F作FQ⊥OC于点Q，若EF＝10，则FQ＋EP的长度为        .

18.如图，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O，将∠C沿EF(E在BC上，F在AC上)折叠，点C与点O恰好重合，则∠OEC为　　　　.

三              、解答题

19.如图，已知△ABC中，BD⊥AC，CE⊥AB，BD、CE交于O点，且BD=CE.

求证：OB=OC.

20.如图所示,在△ABC中,∠C=2∠B,D是BC上的一点,且AD⊥AB,E是BD的中点,连接AE.

求证:

(1)∠AEC=∠C;

(2)BD=2AC.

21.如图，已知AB＝AD，∠ABC＝∠ADC， 则BC＝CD，请说明理由.

22.如图，已知点D是等边三角形ABC的边BC延长线上的一点，∠EBC＝∠DAC，CE∥AB.

求证：△CDE是等边三角形.

23.如图，已知在△ABC中，∠BAC的平分线与线段BC的垂直平分线PQ相交于点P，过点P分别作PN垂直于AB于点N，PM垂直于AC于点M，BN和CM有什么数量关系？请说明理由.

24.如图1，已知△ABC中，AB＝AC，点D是△ABC外一点(与点A分别在直线BC两侧)，且DB＝DC，过点D作DE∥AC，交射线AB于E，连接AE交BC于F.

(1)求证：AD垂直BC；

(2)如图1，点E在线段AB上且不与B重合时，求证：DE＝AE；

(3)如图2，当点E在线段AB的延长线上时，写出线段DE，AC，BE的数量关系.

25.如图，点P、Q分别是等边△ABC边AB、BC上的动点(端点除外)，点P、点Q以相同的速度，同时从点A、点B出发.

(1)如图1，连接AQ、CP.求证：△ABQ≌△CAP；

(2)如图1，当点P、Q分别在AB、BC边上运动时，AQ、CP相交于点M，∠QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数；

(3)如图2，当点P、Q在AB、BC的延长线上运动时，直线AQ、CP相交于M，∠QMC的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变，求出它的度数.

答案

1.C.

2.B

3.A

4.A.

5.D

6.C

7.C.

8.B

9.D

10.C.

11.B.

12.D.

13.答案为：25.

14.答案为：5.

15.答案为：4 cm，2 cm.

16.答案为：30°.

17.答案为：10.

18.答案为：100°

19.证明：∵CE⊥AB，BD⊥AC，则∠BEC=∠CDB=90°

∴在Rt△BCE与Rt△CBD中

∴Rt△BCE≌Rt△CBD(HL)

∴∠1=∠2，

∴OB=OC

20.证明:(1)∵AD⊥AB,E是BD的中点,

∴AE=EB=0.5BD,∴∠B=∠BAE.

∵∠AEC=∠BAE+∠B,

∴∠AEC=2∠B.

又∵∠C=2∠B,

∴∠AEC=∠C.

(2)由(1)知∠AEC=∠C,

∴AE=AC.

∵AE=0.5BD,

∴AC=0.5BD,即BD=2AC.

21.证明：如图，连结BD.

∵AB＝AD，

∴∠ABD＝∠ADB.

∵∠ABC＝∠ADC，

∴∠ABD－∠ABC＝∠ADB－∠ADC，

即∠CBD＝∠CDB，

∴BC＝CD.

22.证明：∵∠ABE＋∠CBE＝60°，∠CAD＋∠ADC＝60°，∠EBC＝∠DAC，

∴∠ABE＝∠ADC.

又CE∥AB，

∴∠BEC＝∠ABE.

∴∠BEC＝∠ADC.

又BC＝AC，∠EBC＝∠DAC，

∴△BCE≌△ACD.

∴CE＝CD，∠BCE＝∠ACD，即∠ECD＝∠ACB＝60°.

∴△CDE是等边三角形.

23.证明：如图，连接PB，PC，

∵AP是∠BAC的平分线，PN⊥AB，PM⊥AC，

∴PM＝PN，∠PMC＝∠PNB＝90°，

∵P在BC的垂直平分线上，

∴PC＝PB，

在Rt△PMC和Rt△PNB中，

，

∴Rt△PMC≌Rt△PNB(HL)，

∴BN＝CM.

24.证明：(1)∵AB＝AC，DB＝DC，

∴直线AD是BC的垂直平分线，

∴AD垂直BC；

(2)证明：在△ABD和△ACD中，

，

∴△ABD≌△ACD，

∴∠BAD＝∠CAD，

∵DE∥AC，

∴∠EDA＝∠CAD，

∴∠BAD＝∠EDA，

∴DE＝AE；

(3)DE＝AC＋BE.由(2)得，∠BAD＝∠CAD，

∵DE∥AC，

∴∠EDA＝∠CAD，

∴∠BAD＝∠EDA，

∴DE＝AE，

∵AB＝AC，

∴DE＝AB＋BE＝AC＋BE.

25.解：(1)证明：如图1，∵△ABC是等边三角形

∴∠ABQ＝∠CAP＝60°，AB＝CA，

又∵点P、Q运动速度相同，

∴AP＝BQ，

在△ABQ与△CAP中，

，

∴△ABQ≌△CAP(SAS)；

(2)点P、Q在AB、BC边上运动的过程中，∠QMC不变.

理由：∵△ABQ≌△CAP，

∴∠BAQ＝∠ACP，

∵∠QMC是△ACM的外角，

∴∠QMC＝∠ACP＋∠MAC＝∠BAQ＋∠MAC＝∠BAC

∵∠BAC＝60°，

∴∠QMC＝60°；

(3)如图2，点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动时，∠QMC不变

理由：同理可得，△ABQ≌△CAP，

∴∠BAQ＝∠ACP，

∵∠QMC是△APM的外角，

∴∠QMC＝∠BAQ＋∠APM，

∴∠QMC＝∠ACP＋∠APM＝180°﹣∠PAC＝180°﹣60°＝120°，

即若点P、Q在运动到终点后继续在射线AB、BC上运动，∠QMC的度数为120°.