北师大版2023年中考数学一轮复习《特殊平行四边形》单元练习（含答案）

北师大版2023年中考数学一轮复习

《特殊平行四边形》单元练习

一              、选择题

1.矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是(　　)

A.对角相等      B.对边相等      C.对角线相等      D.对角线互相平分

2.菱形和矩形一定都具有的性质是(　　)

A.对角线相等           B.对角线互相平分

C.对角线互相垂直       D.每条对角线平分一组对角

3.如图，菱形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，若OA＝2，∠AOC＝60°，则B点的坐标是(    )

A.(3，)    B.(1，)       C.(－1，)     D.(－3，)

4.如图，在菱形ABCD中，M，N分别在AB，CD上，且AM=CN，MN与AC交于点O，连接BO.若∠DAC=28°，则∠OBC的度数为（     ）

A.28°          B.52°          C.62°          D.72°

5.如图,在正方形ABCD中,连接BD,点O是BD的中点,若M、N是边AD上的两点,连接MO、NO,并分别延长交边BC于两点M′、N′,则图中的全等三角形共有(     )

A.2对           B.3对           C.4对           D.5对

6.如图，四边形ABCD是正方形，以CD为边作等边△CDE，BE与AC相交于点M，则∠AMD度数是(   )

A.75°          B.60°          C.54°           D.67.5°

7.用直尺和圆规作一个以线段AB为边的菱形，作图痕迹如图所示，能得到四边形ABCD是菱形的依据是(      )

A.一组邻边相等的四边形是菱形

B.四边相等的四边形是菱形

C.对角线互相垂直的平行四边形是菱形

D.每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形

8.如图，已知▱ABCD的四个内角的角平分线分别交于E，F，G，H.试说明四边形EFGH的形状是(     ).

A.平行四边形    B.矩形    C.任意四边形     D.不能判断其形状

9.如图，已知菱形OABC的顶点O(0，0)，B(2，2)，若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为(        )

A.(1，﹣1)         B.(﹣1，﹣1)         C.(，0)        D.(0，﹣)

10.如图，菱形ABCD中，E是AD的中点，将△CDE沿CE折叠后，点A和点D恰好重合，若菱形ABCD的面积为4，则菱形ABCD的周长是(　　     )

A.8        B.16           C.8       D.16

11.如图，在矩形ABCD中，AB＝8.将矩形的一角折叠，使点B落在边AD上的B´点处，若AB/＝4，则折痕EF的长度为(       )

A.8               B.4            C.5            D.10

12.如图，面积为24的正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中E、F、G分别在AB、BC、FD上.若BF＝，则小正方形的周长为(      )

A.              B.              C.             D.

二              、填空题

13.如果菱形的两条对角线的长为a和b，且a，b满足(a﹣1)2＋＝0，那么菱形的面积等于          ．

14.如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为10和6时，则阴影部分的面积为       ．

15.如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD的中点，若AB＝6cm，BC＝8cm，则EF＝　　cm.

16.如图，把一张矩形纸片ABCD沿EF折叠，点C、D分别落在C/、D/的位置上，EC′交AD于G，已知∠EFG＝56°，那么∠BEG＝          .

17.如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，点E在AB边上，EF⊥AC于点F，连接EC，AF＝3，△EFC的周长为12，则EC的长为            ．

18.如图是“赵爽弦图”，△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形，四边形ABCD和EFGH都是正方形，如果AB＝10，EF＝2，那么AH为a，BH为b，则ab＝　　　　　　.

三              、解答题

19.如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F在BD上，BE＝DF，

(1)求证：AE＝CF；

(2)若AB＝3，∠AOD＝120°，求矩形ABCD的面积．

20.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，且DE∥AC，CE∥BD.

(1)求证：四边形OCED是菱形；

(2)若∠BAC＝30°，AC＝4，求菱形OCED的面积.

21.如图，已知在正方形ABCD中，点E在边CD上，AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P．

(1)求证：AP＝BQ；

(2)在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图中四对线段，使每对中较长线段与较短线段长度的差等于PQ的长．

22.如图,已知在菱形ABCD中,F为边BC的中点,DF与对角线AC交于M,过M作ME⊥CD于E,∠1=∠2．

（1）若CE=1，求BC的长；（2）求证：AM=DF+ME．

23.如图，在△ABC中，点O是AC边上一动点，过点O作BC的平行线交∠ACB的角平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F.

(1)求证：EO＝FO；

(2)当点O运动到何处时，四边形CEAF是矩形？请证明你的结论.

(3)在(2)问的结论下，若AE＝3，EC＝4，AB＝12，BC＝13，求△ABC的面积.

24.如图，∠AOB＝90°，OM平分∠AOB，直角三角板的直角顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA、CB相交于点C、D.

(1)问PC与PD相等吗？试说明理由.

(2)若OP＝2，求四边形PCOD的面积.

25.如图①，在正方形ABCD中，AB＝6，M为对角线BD上任意一点(不与B、D重合)，连接CM，过点M作MN⊥CM，交线段AB于点N

(1)求证：MN＝MC；

(2)若DM：DB＝2：5，求证：AN＝4BN；

(3)如图②，连接NC交BD于点G．若BG：MG＝3：5，求NG•CG的值．

答案

1.C.

2.B.

3.D.

4.C

5.C

6.B

7.B

8.B

9.B

10.A.

11.C.

12.C

13.答案为：2

14.答案为：15．

15.答案为：2.5.

16.答案为：68°.

17.答案为：5.

18.答案为：48.

19.证明：(1)∵四边形ABCD是矩形，

∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∠ABC＝90°，

∵BE＝DF，

∴OE＝OF，

在△AOE和△COF中，

，

∴△AOE≌△COF(SAS)，

∴AE＝CF；

(2)解：∵OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，

∴OA＝OB，

∵∠AOB＝∠COD＝60°，

∴△AOB是等边三角形，

∴OA＝AB＝3，

∴AC＝2OA＝6，

在Rt△ABC中，BC＝3，

∴矩形ABCD的面积＝AB•BC＝3×3＝9．

20.证明：(1)∵CE∥OD，DE∥OC，

∴四边形OCED是平行四边形，

∵矩形ABCD，

∴AC＝BD，OC＝AC，OD＝BD，

∴OC＝OD，

∴四边形OCED是菱形；

(2)解：在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，AC＝4，

∴BC＝2，

∴AB＝DC＝2，

连接OE，交CD于点F，

∵四边形OCED为菱形，

∴F为CD中点，

∵O为BD中点，

∴OF＝BC＝1，

∴OE＝2OF＝2，

∴S菱形OCED＝×OE×CD＝×2×2＝2.

21.证明：(1)∵正方形ABCD

∴AD＝BA，∠BAD＝90°，即∠BAQ＋∠DAP＝90°

∵DP⊥AQ

∴∠ADP＋∠DAP＝90°

∴∠BAQ＝∠ADP

∵AQ⊥BE于点Q，DP⊥AQ于点P

∴∠AQB＝∠DPA＝90°

∴△AQB≌△DPA(AAS)

∴AP＝BQ

(2)①AQ﹣AP＝PQ

②AQ﹣BQ＝PQ

③DP﹣AP＝PQ

④DP﹣BQ＝PQ

22.（1）解：∵四边形ABCD是菱形，∴AB∥CD，∴∠1=∠ACD，

∵∠1=∠2，∴∠ACD=∠2，∴MC=MD，∵ME⊥CD，∴CD=2CE，

∵CE=1，∴CD=2，∴BC=CD=2；

（2）证明：如图，∵F为边BC的中点，∴BF=CF=BC，∴CF=CE，

在菱形ABCD中，AC平分∠BCD，∴∠ACB=∠ACD，

在△CEM和△CFM中，∵，∴△CEM≌△CFM（SAS），

∴ME=MF，延长AB交DF的延长线于点G，∵AB∥CD，∴∠G=∠2，

∵∠1=∠2，∴∠1=∠G，∴AM=MG，在△CDF和△BGF中，∵，

∴△CDF≌△BGF（AAS），∴GF=DF，由图形可知，GM=GF+MF，∴AM=DF+ME．

23.证明：(1)∵EF∥BC，

∴∠OEC＝∠BCE，

∵CE平分∠ACB，

∴∠BCE＝∠OCE，

∴∠OEC＝∠OCE，

∴EO＝CO，

同理：FO＝CO，

∴EO＝FO；

(2)解：当点O运动到AC的中点时，四边形CEAF是矩形；

理由如下：由(1)得：EO＝FO，

又∵O是AC的中点，

∴AO＝CO，

∴四边形CEAF是平行四边形，

∵EO＝FO＝CO，

∴EO＝FO＝AO＝CO，

∴EF＝AC，

∴四边形CEAF是矩形；

(3)解：由(2)得：四边形CEAF是矩形，

∴∠AEC＝90°，

∴AC＝＝5，

△ACE的面积＝AE×EC＝×3×4＝6，

∵122＋52＝132，即AB2＋AC2＝BC2，

∴△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，

∴△ABC的面积＝AB•AC＝×12×5＝30.

24.解：(1)结论：PC＝PD.

理由：过P分别作PE⊥OB于E，PF⊥OA于F，

∴∠CFP＝∠DEP＝90°，

∵OM是∠AOB的平分线，

∴PE＝PF，

∵∠1＋∠FPD＝90°，∠AOB＝90°，

∴∠FPE＝90°，

∴∠2＋∠FPD＝90°，

∴∠1＝∠2，

在△CFP和△DEP中，

，

∴△CFP≌△DEP(ASA)，

∴PC＝PD.

(2)∵四边形PCOD的面积＝正方形OEPF的面积，

∴四边形PCOD的面积＝×2×2＝2.

25.解：(1)如图①，过M分别作ME∥AB交BC于E，MF∥BC交AB于F，

则四边形BEMF是平行四边形，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠ABC＝90°，∠ABD＝∠CBD＝∠BME＝45°，

∴ME＝BE，

∴平行四边形BEMF是正方形，

∴ME＝MF，

∵CM⊥MN，

∴∠CMN＝90°，

∵∠FME＝90°，

∴∠CME＝∠FMN，

∴△MFN≌△MEC(ASA)，

∴MN＝MC；

(2)由(1)得FM∥AD，EM∥CD，

∴＝＝＝，

∴AF＝2.4，CE＝2.4，

∵△MFN≌△MEC，

∴FN＝EC＝2.4，

∴AN＝4.8，BN＝6﹣4.8＝1.2，

∴AN＝4BN；

(3)如图②，把△DMC绕点C逆时针旋转90°得到△BHC，连接GH，

∵△DMC≌△BHC，∠BCD＝90°，

∴MC＝HC，DM＝BH，∠CDM＝∠CBH，∠DCM＝∠BCH＝45°，

∴∠MBH＝90°，∠MCH＝90°，

∵MC＝MN，MC⊥MN，

∴△MNC是等腰直角三角形，

∴∠MNC＝45°，

∴∠NCH＝45°，

∴△MCG≌△HCG(SAS)，

∴MG＝HG，

∵BG：MG＝3：5，

设BG＝3a，则MG＝GH＝5a，在Rt△BGH中，BH＝4a，则MD＝4a，

∵正方形ABCD的边长为6，

∴BD＝6，

∴DM＋MG＋BG＝12a＝6，

∴a＝，∴BG＝，MG＝，

∵∠MGC＝∠NGB，∠MNG＝∠GBC＝45°，

∴△MGC∽△NGB，

∴＝，

∴CG•NG＝BG•MG＝．