二次函数-线段最值和面积问题练习题-学生及教师版

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一、二次函数与线段
【知识点】
如图：已知二次函数与一次函数，与轴垂直的直线与抛物线交于点，与直线交于点，若直线只在到范围内移动，要求线段的最大值，首先设出点的点坐标，然后表示出点的坐标，最后表示出的长度为：. 即得到是一个表达式，且形式二次函数，最后利用其性质计算即可.
【例题讲解】
★★☆例题1. 如图，一次函数分别交轴、轴于、两点，抛物线过、两点．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）作垂直轴的直线，在第一象限交直线于，交这个抛物线于．求当 取何值时，有最大值？最大值是多少？
【答案】详见答案解析
【解析】解：（1）一次函数分别交轴、 轴于、两点，
时，，时，，
，，
将，代入得
将，，代入，
得到，
；
（2）作垂直轴的直线，在第一象限交直线于，
由题意，易得，，
从而得到 ，
当时，有最大值为：．
【备注】此题主要考查了一次函数与二次函数的综合应用，根据已知得出，的坐标是解题关键．
★★☆练习1. 如图，已知二次函数的图象与一次函数的图象交于点，，过线段上一动点作直线轴交抛物线于点，则线段的最大值为
A．B．C．D．
【答案】
【解析】解：设，则，
，
有最大值为：；
故选：．
【备注】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的最值，数形结合是解题的关键．
★★☆例题2．如图，在直角坐标系中，抛物线经过点，，，其对称轴与轴相交于点．
（1）求抛物线的解析式和对称轴；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点，使的周长最小？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】详见答案解析
【解析】解：（1）抛物线经过点，，
可以假设抛物解析式为，把代入得，
，
抛物线解析式为．
由图象可知抛物线对称轴．
（2）连接与对称轴的交点即为点，此时周长最小．
设直线的解析式为，则，
解得，
直线解析式为，和对称轴的交点为．
【备注】本题考查二次函数综合题、两点之间线段最短、一次函数、待定系数法等知识，解题的关键是灵活应用这些知识解决问题，学会利用对称解决最短问题，属于中考常考题型．
★★☆练习1. 已知二次函数．
（1）如果二次函数的图象与轴有两个交点，求的取值范围；
（2）如图，二次函数的图象过点，与轴交于点，点是二次函数对称轴上的一个动点，当的值最小时，求的坐标；
（3）根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的的取值范围．
【答案】答案详见解析
【解析】解：（1）二次函数的图象与轴有两个交点，
△．
解得：．
（2）连结，与对称轴交于点，此时最小．
把代入，得．
解得．
故该抛物线解析式是
当时，，则．
设直线的解析式为，
，，
，解得，
直线的解析式为，
，
对称轴是直线．
把代入得，，
；
（3），，
使一次函数值大于二次函数值的的取值范围是或．
【备注】本题是二次函数综合题，其中涉及到二次函数与不等式，二次函数的性质，函数图象上点的坐标特征，轴对称最短路线问题等知识，利用数形结合是解题的关键．
★★☆例题3. 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，点为抛物线的顶点，请解决下列问题．
（1）填空：点的坐标为 ， ，点的坐标为 ， ；
（2）设点的坐标为，当最大时，求的值并在图中标出点的位置；
【答案】详见答案解析
【解析】解：（1），
，，
故答案为：0；3；1；4；
（2）在三角形中两边之差小于第三边，
延长交轴于点，
设直线的解析式为，把、两点坐标代入可得，解得，
直线的解析式为，
将点的坐标代入得，求得，
如图1，点即为所求；
【备注】本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、三角形三边关系、平移的性质和二次函数的性质等知识点．在（1）中掌握二次函数的顶点式是解题的关键，在（2）中确定出点的位置是解题的关键．
★☆☆练习1. 如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线与直线交于、两点，与轴交于、两点，且点坐标为．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）动点在轴上移动，当是直角三角形时，求点的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上找一点，使的值最大，求出点的坐标．
【答案】详见答案解析
【解析】方法一：
解：（1）将、坐标代入
得，
解得，
抛物线的解折式为；
（2）设点的横坐标为，则它的纵坐标为，
即点的坐标，
又点在直线上，
解得（舍去），，
的坐标为．
（Ⅰ）当为直角顶点时，
过作交轴于点，设易知点坐标为，
由△得
即，
，
，．
（Ⅱ）同理，当为直角顶点时，过作交轴于点，
由△得，
即，
，
，
点坐标为，．
（Ⅲ）当为直角顶点时，过作轴于，设、，
由，得，，
由得，
解得，，
此时的点的坐标为或，
综上所述，满足条件的点的坐标为，或或或，；
（3）抛物线的对称轴为，
、关于对称，
，
要使最大，即是使最大，
由三角形两边之差小于第三边得，当、、在同一直线上时的值最大．
易知直线的解析式为
由，
得，
，．
【备注】一个三角形是直角三角形，应分不同顶点为直角等多种情况进行答案；
求两条线段和或差的最值，都要考虑做其中一点关于所求的点在的直线的对称点．
二、二次函数与面积
【知识点】
求面积最值方法
①三角形面积最值的计算方式：
a.利用公式法直接计算：，其中为底，为底边上的高；
b.如果无法直接利用公式计算，则采用“割补法”进行计算：即将三角形通过分割，然后进行计算.
如图：计算的面积时，无法直接通过公式法进行计算，因此可以通过“割补”的方法，将的进行分割计算.
方法：过点作垂直于轴的直线，与交于点，
因此
而是点与点的“水平宽”，是点与点的“铅直高”，
因此上式可化为：
若探究的最大面积，点若是动点，原问题即可转化为求长度的最值问题.
【例题讲解】
★★☆例题1．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于，两点，抛物线经过，两点，与轴交于另一点．
（1）求抛物线解析式及点坐标；
（2）连接，求的面积；
（3）若点为抛物线上一动点，连接、，当点运动到某一位置时，面积为的面积的倍，求此时点的坐标．
【答案】详见答案解析
【解析】解：（1）直线中
当时，
当时，，解得：
抛物线经过，两点
解得：
抛物线解析式为
当时，，解得：，
（2），，
，
（3）如图2，过点作轴于点
面积为的面积的倍
当时，
解得：，
当时，
解得：
点的坐标为，，，，．
【备注】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数与方程的关系，解二元一次方程组和一元二次方程．函数图象上三角形面积为定值求动点坐标时，一般要考虑动点坐标的正负性进行分类讨论计算，是较基础的二次函数综合题．
★★☆练习1．如图①，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，且．
（1）直接写出点的坐标是 ， ，并求抛物线的解析式；
（2）设点是抛物线的顶点，抛物线的对称轴是直线，如图②，连接，线段上的点关于直线的对称点恰好在线段上，求点的坐标．
（3）若点为抛物线第二象限图象上的一个动点，如图③连接，，当的面积是面积的一半时，求此时点的坐标．
【答案】详见答案解析
【解析】解：（1）当时，，解得，，则，，
当时，，则，
，
，解得，
抛物线解析式为；
故答案为，0；
（2）如图②，
，
，
设直线的解析式为，
把、代入得，解得，
直线的解析式为，
设，
点与点关于直线对称，
，
把代入得，
点的坐标为；
（3）易得直线的解析式为，
作轴交直线于，如图③，
设，，则，
，
，
的面积是面积的一半，
，解得，，
点的坐标为或．
【备注】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质．
★★☆例题2．如图，以点为顶点的抛物线分别交轴，轴负半轴于点，，轴交轴于点，点在抛物线上运动．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在直线的下方是否存在点，使得面积最大？若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由；
（3）过作直线直线，交于点，将沿折叠到，使点恰好落在轴上？若存在，求点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】详见答案解析
【解析】解：（1）点的坐标为，轴，
点的纵坐标为．
由，
，解得，
抛物线的解析式为．
（2）令得：，解得：或，
点．
令得，
．
设直线的解析式为，将点和点的解析式代入得：，
解得：，．
直线的解析式为．
如图所示：
设点的坐标为，过点作轴交与点，
则．则．
．
点在直线的下方，
，
时，的面积最大．
此时点的坐标为，．
（3）不存在．
理由如下：如图，过点作轴与点，直线交轴于点，由沿折叠而成．
，，．
设，则，．
，．
，，
．
又．
．
．
在中，．
，整理得：，
△，
方程无解．
不存在这样的点．
【备注】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解析本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、二次函数的性质、相似三角形的性质和判定，一元二次方程根的判别式，证得，然后依据相似三角形的性质列出关于的方程是解题的关键．
★★☆练习1．如图，已知二次函数的图象交轴于，两点（点在点的左侧），交轴于点．
（1）求直线的解析式；
（2）点是在直线下方的抛物线上的一个动点，当的面积最大时，求点坐标．
【答案】详见答案解析
【解析】解：（1）设直线的解析式为：．
令，
解得：，，
则，，，
将，，代入，得
，
解得：，，
所在直线为：；
（2）设过点的直线与直线平行，且抛物线只有一个交点时，的面积最大．
直线为，设过点的直线为，
，，
△，
解得，
，
解得，，
则点的坐标为：，．
【备注】本题考查了二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，利用平行线确定点到直线的最大距离问题．
★★☆例题3．锐角中，，，两动点、分别在边、上滑动， 且，以为边向下作正方形，设其边长为，正方形与公共部分的面积为，当 ，公共部分面积最大，最大值 ．
【答案】详见答案解析
【解析】解： 公共部分分为三种情形： 在三角形内；刚好一边在上， 此时为正方形；正方形有一部分在三角形外， 此时为矩形 ． 显然在内部时的面积比刚好在边上时要小， 所以需比较后两种情形时的面积大小 ．
（1） 求公共部分是正方形时的面积，
作于点， 交于点，
，，
，
，
即，
解得，
此时面积．
（2） 当公共部分是矩形时如图所示：
设，根据得，
所以，公共部分的面积，
，
有最大值，
当时，．
综上所述， 当时， 公共部分的面积最大， 最大值为 6 ．
【备注】此题需分类讨论， 综合比较后得结论 ．
★★☆练习1．已知中，边的长与边上的高的和为20．
（1）写出的面积与的长之间的函数关系式，当的面积为48，且边上的高大于时，求出的长；
（2）当多长时，的面积最大？最大面积是多少？
（3）当的面积不小于48时，请直接写出长的取值范围．
【答案】详见答案解析
【解析】解：（1）由题意，得
，
，
当时，，
解得：，．
当时，高为8，当时，高为12．
边上的高大于，
．
答：与的长之间的函数关系式为，当的面积为48，且边上的高大于时，的长为8；
（2），
，
，
时，．
答：当时，的面积最大，最大面积是50；
（3）由题意，得
时，
，．
，
抛物线的开口向下，由函数图象可以得出当时，
．
【备注】本题考查了三角形的面积公式的运用，一元二次方程的解法的运用，二次函数的顶点式的运用，解析时求出函数的解析式是关键．
【巩固练习】
★★☆1．如图，已知抛物线与轴交于 和两点，与轴交于点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）设是线段上的动点，当是等腰三角形时，求点的坐标；
（3）若为抛物线上、两点间的一个动点，过作轴的平行线，交于，当点运动到什么位置时，线段的值最大，最大值为多少，并求此时点的坐标．
【答案】详见答案解析
【解析】解：（1）抛物线与轴交于 和两点，
，
解得：，
此抛物线的解析式为：；
（2）抛物线的解析式为：，
时，，
，
，
，
，
当时，
，
，
，，
当时，，
，
当时，设，则，
在中，，
解得：，
；
（3），，
设直线的函数表达式为，
，
解得：，
直线的函数表达式为，
设，则 ，
，
，
，
，
当时，的值有最大值为2，此时．
【备注】此题主要考查了二次函数综合应用以及待定系数法求一次函数、二次函数解析式和等腰三角形的判定等知识，利用分类讨论得出是解题关键．
★★☆2．已知：如图，直线，为常数）分别与轴、轴交于点，，抛物线与轴交于点，点在抛物线的对称轴上移动，点在直线上移动，的最小值是
A．2B．4C．2.5D．3
【答案】
【解析】解：如图，设点关于抛物线对称轴的对称点为，由对称的性质可得，
，
当、、三点共线且时最小，
直线，为常数）分别与轴、轴交于点，，
，
解得，
直线解析式为；
抛物线与轴交于点，
，
，
可设直线的解析式为，
由，解得，
，，
，
即的最小值为4．
故选：．
【备注】本题考查二次函数的性质、一次函数的应用、轴对称最短问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考选择题中的压轴题．
★★☆3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点（点在点的左侧），顶点为，经过点的直线与轴交于点，与抛物线的另一个交点为．
（1）直接写出点的坐标 、点的坐标 ；
（2）如图（1），若顶点的坐标为，连接、、，请求出二次函数及一次函数的解析式，并求出四边形的面积；
（3）如图（2），点是直线上方的抛物线上的一点，若的面积的最大值为时，请直接写出此时点的坐标．
【答案】详见答案解析
【解析】解：（1）如图一，令，则，
解得，，
所以，．
故答案为：； 4，；
（2）如图一，连接．
二次函数顶点为，代入即可求得．
抛物线为，
一次函数 经过，
，
，
一次函数为：，联立一次函数与二次函数解析式可求；
．
（3）如图二，过 点 作 轴，交 直 线 于 点，设，则
，，
．
当时， 面积最大值，
，
此时点．
【备注】本题考查二次函数、一次函数的有关性质、三角形面积、四边形面积等知识，灵活运用函数与方程的关系是解决问题的关键，本题比较难，需要有一定的代数化简技巧．
★★☆4．施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度为12米．现以点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系（如图1所示）．
（1）求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量的取值范围；
（2）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架” ，使、点在抛物线上．、点在地面线上（如图2所示）．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆、、的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下．
【答案】详见答案解析
【解析】解：（1）由题意可得抛物线的顶点坐标为且经过原点，
设抛物线的解析式为，
则，解得，
即这条抛物线的函数解析式为；
（2）设点的坐标为，，则点的坐标为，点的坐标为，，点的坐标为，
，
当时，的和取得最大值，此时的最大值是15，
即当点在，点在，点，点时“脚手架”三根木杆、、的长度之和最大，最大值是15．
【备注】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
★★☆5．如图，抛物线经过，，三点，点是直线下方的抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上有一点，使的值最小，求点的坐标；
（3）当点运动到什么位置时，的面积最大，并求出此时点的坐标和的最大面积．
【答案】详见答案解析
【解析】解：（1）设抛物线的解析式为，把，，代入解析式，
得，解得，
所以抛物线的解析式为．
（2）如图1，点是点关于抛物线对称轴的对称点，在抛物线的对称轴上有一点，要使的值最小，
则点就是与抛物线对称轴的交点，
抛物线的解析式为．
抛物线对称轴，
设直线的解析式为，
把，代入得，解得．
直线的解析式为，
的横坐标为2，
点的坐标为，
（3）过点作，交轴于点，如图2，
当与抛物线只有唯一的公共点时，的面积最大，设此时的解析式为，
方程有唯一一组解，即有相等的实数解，
整理得，△，解得，，
此时点坐标为，，
点坐标为，
作，，
，
，
的面积．
【备注】本题主要考查了二次函数与方程、几何知识的综合应用，解题的关键是将函数问题转化为方程问题，善于利用几何图形的有关性质、定理和二次函数的知识求解．
★★☆6．如图所示，抛物线过点，，．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）为直线上方抛物线上的一个动点．求四边形的最大面积．
【答案】详见答案解析
【解析】解：（1）设抛物线解析式为，
抛物线过点，和，
，
解得，
所以，抛物线的解析式为；
（2）如图，
设坐标为，
四边形的面积
，
因此四边形的最大面积是．
【备注】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，是求函数解析式常用的方法，一定要熟练掌握，把不规则四边形的面积分成常见的图形求面积是常用的方法．
★★☆7．如图，中，，，为中点，、是边、上的动点，从出发向运动，同时以相同的速度从出发向运动，运动到停止，当为 时，的面积最大．
【答案】4
【解析】解：设点运动的距离为，则点运动的距离也为，
，
当时，的面积最大，
故答案为：4．
【备注】本题考查二次函数的应用，解析本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解析．
【拔高练习】
★★★1．如图，抛物线 的图象与轴交于、两点（点在点的左边），与轴交于点，点为抛物线的顶点．
（1）求、、的坐标；
（2）点为线段上一点（点不与点、重合），过点作轴的垂线，与直线交于点，与抛物线交于点，过点作交抛物线于点，过点作轴于点．若点在点左边，当矩形的周长最大时，求的面积．
【答案】详见答案解析
【解析】解：（1）由抛物线可知，，
令，则，解得或，
，．
（2）由抛物线可知，对称轴为，
设点的横坐标为，则，，
矩形的周长，
当时矩形的周长最大．
，，设直线解析式为，
则
解得：，
解析式，当时，则，
，，
．
【备注】本题考查了二次函数与坐标轴的交点的求法，矩形的性质、一元二次方程的解法等知识，综合性较强，运用数形结合、方程思想是解题的关键．
★★★2．如图，抛物线经过轴正半轴上的点，点，分别是此抛物线和轴上的动点，点在上，且平分的面积，过作交轴于点，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】解：设点的坐标为，，点坐标为．
点在上，且平分的面积，
，
又，
是的中位线，
．
根据两点间的距离公式可知：
，
结合抛物线开口向上可知，
，，，
，
．
，
．
故答案为：．
【备注】本题考查了二次函数的应用、两点间距离公式以及实数的平方非负，解题的关键是根据实数的平方非负找出线段的最小值．本题属于中档题，难度不大，巧妙的利用了两点间的距离公式寻找最值，两点间的距离公式虽说高中知识，但在初中阶段我们已经经常用到，此处使用给做题带来了极大的方便，故在日常做题中应适度的增加该部分的练习．
★★★3．如图，已知抛物线图象经过，两点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若是抛物线上位于第一象限内的点，是线段上的一个动点（不与、重合），过点分别作交于，交于．
①求证：四边形是矩形；
②试探究：在点运动过程中，、、的长度之和是否发生变化？若不变，求出它的值，若变化，试说明变化情况．
【答案】详见答案解析
【解析】（1）解：因为抛物线与轴交于，，，可以假设
，
即．
（2）①证明：把代入得
，
，，
在第一象限，
，，
（不符合题意，舍），，
的坐标是，
，
四边形是平行四边形，

，
，
四边形是矩形．
②，
，
（1）．
同理，得
（2），
（1）（2）得
，
，，，
，
即，
，
、、的长度之和不变化，．
【备注】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）①的关键是利用矩形的判定，又利用了勾股定理机勾股定理的逆定理；解②的关键是利用相似三角形的判定与性质得出关于，，又利用了等式的性质，等量代换．
★★★4．如图，在平面直角坐标系中，矩形的边在轴的正半轴上，在轴的正半轴上，的平分线交于点，为的中点，已知、，二次函数的图象抛物线经过，两点．
（1）求该二次函数的表达式；
（2）、分别为轴，轴上的动点，顺次连接、、、构成四边形，求四边形周长的最小值；
（3）抛物线上是否在点，使的面积为12？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】详见答案解析
【解析】
解：（1）将、代入二次函数，得
，
解得．
故二次函数的表达式；
（2）如图：
延长至，使，延长至，使，连接，交轴于点，交轴于点，
，
，
由点坐标为，的中点；，直角的角平分线上的点；得，．
由勾股定理，得
，，
；
（3）如下图：
．
的面积，
点到的距离．
过点作，取，过点作直线，交抛物线与点，，
在中，，
直线的解析式为．
将代入得：，
解得：，，
将、的值代入得：，
点，，，
如下图所示：
过点作，取，过点作直线交抛物线与，，
在中，
直线的解析式为，
将代入得：
解得：，
，
，，，
综上所述：点的坐标为：，或，或，或，．
【备注】本题主要考查的是二次函数的综合应用，求得点到的距离是解题的关键，解得此类问题通常可以将函数问题转化为方程或方程组的问题．
★★★5．如图①，直线与抛物线交于不同的两点、（点在点的左侧）．
（1）直接写出的坐标 ；（用的代数式表示）
（2）设抛物线的顶点为，对称轴与直线的交点为，连结、，若求抛物线的解析式；
（3）如图②，在（2）的条件下，设该抛物线与轴交于、两点，点为直线下方抛物线上一动点，连接、，设直线交线段于点，的面积为，的面积为，求的最大值．
【答案】详见答案解析
【解析】解：（1）由，解得或，
点，
．
故答案为．
（2）如图①中，作对称轴于，于．
抛物线的对称轴，
又，
，
，
解得，
抛物线的解析式为．
（3）如图②中，作于，于，设直线交轴于，连接、，设
，
为定值，
最大时，的值最大，此时的面积最大，
，，
直线的解析式为，
，，
，
，
时，的面积最大，此时，
，
直线的解析式为，
由解得，可得，
，
，
直线的解析式为，
由解得，可得，，
，
的最大值．
【备注】本题考查二次函数的最大值、一次函数的应用、三角形的面积、两点间距离公式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，学会构建二次函数解决最值问题，属于中考压轴题．