人教A版 (2019)必修 第二册6.1 平面向量的概念练习题

第28讲 平面向量的概念及线性运算（达标检测）

[A组]—应知应会

1．（2020春•河西区期中）如果，是两个单位向量，则与一定（　　）

A．相等 B．平行 C．方向相同 D．长度相等

【分析】根据，是两个单位向量；只能得到其模长相等，方向不定，即可判断答案．

【解答】解：因为，是两个单位向量；

只能得到其模长相等，其他没法确定；

故选：D．

2．（2020春•三台县期中）如图所示，在正△ABC中，D，E，F均为所在边的中点，则以下向量中与相等的是（　　）

A． B． C． D．

【分析】由题意先证明DE∥CB且DECB，再利用中点找出所有与向量相等的向量

【解答】解：∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥CB且DECB，

则与向量相等的有，．

故选：D．

3．（2020•靖远县模拟）已知，下列向量中，与反向的单位向量是（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据题意，设要求向量为，且λ，（λ＜0），可得的坐标为（﹣λ，λ），由单位向量的定义可得（﹣λ）2+（λ）2＝1，解可得λ的值，即可得的坐标，即可得答案．

【解答】解：根据题意，设要求向量为，且λ，（λ＜0），

则λ（﹣λ，λ），（λ＜0），

为单位向量，则（﹣λ）2+（λ）2＝1，

解可得：λ＝±，

又由λ＜0，则λ，

故（，）；

故选：B．

4．（2020春•平谷区期末）化简向量等于（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据向量加法、减法和数乘的几何意义进行运算即可．

【解答】解：．

故选：A．

5．（2019秋•茂名期末）如图所示，在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则（　　）

A． B． C． D．

【分析】运用向量的加减运算和向量中点的表示，计算可得所求向量．

【解答】解：如图所示，

∵在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，

故．

故选：A．

6．（2019秋•常德期末）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E为BC中点，则（　　）

A． B． C． D．

【分析】由题意作图辅助，从而利用平面向量的线性运算化简即可．

【解答】解：如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E为BC中点，

∴，

故选：C．

7．（2020春•九龙坡区校级期中）如图，在△ABC中，，，BE和CD相交于点F，则向量等于（　　）

A． B． 

C． D．

【分析】由向量共线和平面向量基本定理可得：，再由三角形法则可求向量．

【解答】解：设kk（）＝k（），

∵k（）（k﹣1）（1﹣k），．

∵∥，∴λ，则（k﹣1）（1﹣k）λ（）．

∴，∴k，，∴．

故选：B．

8．（2020•桥西区校级模拟）如图，圆O是等边三角形ABC的外接圆，点D为劣弧AC的中点，则（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据等边三角形外心的性质得出，再根据三点共线的基本性质，求解即可．

【解答】解：由题，圆O是等边三角形ABC的外接圆，∴，

点D为劣弧AC的中点，∴，

∴，又因为，所以B，O，D三点共线．

圆O中，

故选：A．

9．（2020•毕节市模拟）如图，在△ABC中，2，P是BN上一点，若t，则实数t的值为（　　）

A． B． C． D．

【分析】根据即可得出，进而可得出，然后根据B，P，N三点共线即可得出t的值．

【解答】解：∵，

∴，

∴，且B，P，N三点共线，

∴，解得．

故选：C．

10．（多选）如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中正确的是（　　）

A． B． C． D．

【分析】应用熟悉的几何图形进行有关向量加减运算的问题，这种问题只要代入验证即可，有的答案非常清晰比如A和D答案，B符合平行四边形法则．

【解答】解：在平行四边形ABCD中，根据向量的减法法则知，

所以结论中错误的是C．

ABD均正确．

故选：ABD．

11．（2020春•红桥区期中）计算：　　       ．

【分析】利用向量线性运算性质即可得出．

【解答】解：．

故答案为：．

12．（2019秋•闵行区校级月考）已知点P是直线P1P2上一点，且，若，则实数λ＝　      

【分析】本题可根据向量的线性运算及数乘可得出结果．

【解答】解：由题意，

（）＝﹣（）．

∴λ．

故答案为：．

13．（2020春•忻府区校级期中）对下列命题：

（1）若向量与同向，且||＞||，则；

（2）若向量||＝||，则与的长度相等且方向相同或相反；

（3）对于任意向量||＝||，若与的方向相同，则；

（4）由于方向不确定，故不与任意向量平行；

（5）向量与平行，则向量与方向相同或相反．

其中正确的命题的个数为　  　

【分析】直接根据向量的基本性质以及的特殊性即可判断．

【解答】解：（1）向量不能比较大小，故不正确；

（2）向量||＝||，只能说长度相等，方向不定；故错误；

（3）由相等向量的定义可得其正确；

（4）错误，与任意向量平行；

（5）若其中一个是，其错误；

故真命题只有（3）即1个；

故答案为：1．

14．（2019秋•百色期末）已知向量，是两个不共线的向量，且向量与共线，则实数m的值为　      　．

【分析】根据平面向量的共线定理，列方程求得m的值．

【解答】解：因为向量与共线，

所以，

解得m＝﹣1或m＝3．

故答案为：﹣1或3．

15．（2020•肇庆一模）在△ABC中，已知D是AB边上一点，若2，，则λ＝　　．

【分析】根据题意，画出图形，结合图形，得出①，②；

由①、②得出，从而求出λ的值．

【解答】解：△ABC中，D是AB边上一点，2，，

如图所示，

∴2①，

，

∴22222②；

①+②得，32，

∴；

∴λ．

故答案为：．

16．（2019春•赣州期中）已知，不共线，若k∥，试确定k的值．

【分析】据条件可知，，而根据可知，存在实数λ，使得，从而得出，解出k即可．

【解答】解：∵不共线；

∴；

又；

∴存在实数λ，使；

即；

解得k＝±1．

17．（2020春•石嘴山校级期中）（1）化简：；

（2）设两个非零向量与不共线．如果，，，求证：A、B、D三点共线．

【分析】（1）进行向量的数乘运算即可；

（2）根据，进行向量的数乘运算即可得出，从而得出共线，进而得出A，B，D三点共线．

【解答】解：（1）原式；

（2）证明：∵，

∴，

又有公共点B，

∴A，B，D三点共线．

18．（2020春•温州期中）如图，已知△OCB中，B、C关于点A对称，D是将OB分成2：1的一个内分点，DC和OA交于点E，设．

（1）用表示向量，．

（2）若，求实数λ的值．

【分析】（1）根据平行四边形的法则结合向量的基本定理即可用表示向量，．

（2）根据向量关系的条件建立方程关系，求实数λ的值．

【解答】解：（1）由题意知A是BC的中点，且，

由平行四边形法则得2，

则22，

则22．

（2）由图知∥，

∵2λ（2﹣λ），，

∴，

解得．

19．（2019秋•厦门期末）如图，平行四边形ABCD中，AB＝4，AD＝2，∠BAD＝60°，点E、F分别为AD、DC边的中点，BE与AF相交于点O．记，．

（1）用、表示，并求||；

（2）若，求实数λ的值．

【分析】（1）由向量的线性运算得：，||；

（2）设，，由向量的线性运算得：在△ABO中有，所以，所以λ（）μ（），又，不共线，则，解得：得解

【解答】解：（1），

||；

（2）设，，

在△ABO中有，

所以，

所以λ（）μ（），

又，不共线，则，

解得：

故实数λ的值为．

[B组]—强基必备

1．（2019春•建平县期末）过△ABC的重心任作一直线分别交边AB，AC于点D、E．若x，y，xy≠0，则4x+y的最小值为（　　）

A．4 B．3 C．2 D．1

【分析】本题主要考查向量的线性运算和基本不等式的运用．

【解答】解：设△ABC的重心为M，由题意可知D、E、M三点共线

∴存在λ使得

∵且

∴，化简得：

∴

故选：B．

2．（2020•香坊区校级三模）在△ABC中，，且，（其中x，y∈（0，1）），且x+4y＝1，若M，N分别为线段EF，AB中点，则线段MN的最小值为　　．

【分析】根据平面向量的数量积运算求得•的值，再利用中线的性质表示出、，由此求得，计算||的最小值即可．

【解答】解：连接CM、CN，如图所示；

∵等腰三角形ABC中，AC＝BC＝1，AB，

∴∠ACB＝120°，

∴•||•||cos120°；

又CM是△CEF的中线，

∴（）（xy）

同理，可得（），

由此可得（1﹣x）（1﹣y），

∴（1﹣x）2（1﹣x）（1﹣y）×（）（1﹣y）2；

又x+4y＝1，∴1﹣x＝4y，

代入上式得4y2﹣y（1﹣y）（1﹣y）2y2y；

又x，y∈（0，1），

∴当y时，取得最小值为，

此时||的最小值为．

故答案为：．