专题02 中点模型（知识精讲）-冲刺中考数学几何专项复习

中点模型知识精讲

1. 在等腰三角形中有底边中点或证明底边中点时，可以作底边的中线，利用等腰三角形的“三线合一”性质来解决问题.例：

已知：在△ABC中，AB＝AC，取BC的中点D，连接AD，则AD平分∠BAC，AD是边BC上的高，AD是BC边上的中线.

【说明】应用等腰三角形“三线合一”的性质是证明两条直线垂直的重要方法.

2. 在直角三角形中，有斜边中点或有斜边的倍分关系线段时，可以作斜边的中线解决问题，例：

（1）如图，在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，连接CD，则CD＝AD＝BD.

（2）如图，在Rt△ABC中，AB＝2BC，作斜边AB上的中线CD，则AD＝BD＝CD＝BC，△BCD是等边三角形.

【总结】在直角三角形中，若遇到斜边的中点，则连接直角顶点与斜边的中点是解决问题的基本方法，作这条辅助线的目的是得到三条相等的线段及两对相等的角.

3. 将三角形的中线延长一倍，构造全等三角形或平行四边形（倍长中线），例：

（1）如图，在△ABC中，AD为△ABC的中线，延长AD至点E，使得DE＝AD，连接BE，则△ADC≌△EDB.

（2）如图，在△ABC中，AD为△ABC的中线，延长AD至点E，使得DE＝AD，连接BE，则四边形ABEC是平行四边形.

4. 将三角形中线上的一部分延长一倍，构造全等三角形或平行四边形，例：

如图，已知点E是△ABC中线AD上的一点，延长AD至点F，使得DE＝DF，连接BF、CF，则四边形BFCE为平行四边形或△BDF≌△CDE或△BED≌△CFD.

【总结】证明两条线段相等常用的方法：①当要证明的两条线段是两个三角形的边时，一般通过证明这两条线段所在的两个三角形全等，通过三角形全等的对应边相等来证明两条线段相等；②当两条线段是同一个三角形的两条边时，一般证明这两条边所对的角相等，利用等角对等边证明两条线段相等.

5. 有以线段中点为端点的线段时，可以倍长此线段，构造全等三角形或平行四边形，例：

如图，已知点C为边AE上一点，O为AB的中点，延长CO至点D，使得，连接AD、BD，则，，四边形ADBC为平行四边形.

6. 有三角形中线时，可过中点所在的边的两端点向中线作垂线，构造全等三角形，例：

如图，AF为△ABC的中线，作BD⊥AF交AF延长线于点D，作CE⊥AF于点E，则△BDN≌△CEN.

7. 在三角形中，有一边的中点时，过中点作三角形一边的平行线或把某条线段构造成中位线，利用已知的条件可求线段长，例：

如图，D为AB的中点，过点D作DE∥BC，则DE为△ABC的中位线；过点B作BF∥DC交AC的延长线于点F，则DC为△ABF的中位线.

8. 有两个（或两个以上）中点时，连接任意两个中点可得三角形的中位线，例：

如图，D、E、F分别为△ABC三边中点，连接DE、DF、EF，则，，.

9. 有一边中点，并且在已知或求证中涉及线段的倍分关系时，可以取另一边的中点，构造三角形的中位线，例：

如图，点E是△ABC边BC的中点，取AC的中点F，连接EF，则EF∥AB，.

10. 当圆心与弧（或弦）的中点，可以利用垂径定理解决问题，例：

（1）如图，，连接AC、OB，则OB⊥AC，OB平分AC.

（2）如图，点C为弦AB的中点，连接OC，则OC⊥AB.