2023年浙教版中考数学一轮复习《相似三角形》单元练习（含答案）

2023年浙教版中考数学一轮复习

《相似三角形》单元练习

一              、选择题

1.已知＝(a≠0，b≠0)，下列变形错误的是(　　)

A.＝     B.2a＝3b     C.＝      D.3a＝2b

2.下列各线段的长度成比例的是(　　)

A.2 cm，5 cm，6 cm，8 cm

B.1 cm，2 cm，3 cm，4 cm

C.3 cm，6 cm，7 cm，9 cm

D.3 cm，6 cm，9 cm，18 cm

3.比例尺为1：1000的图纸上某区域面积400cm2，则实际面积为(　　)

A.4×105m2       B.4×104 m2        C.1.6×105 m2            D.2×104 m2

4.如图，已知直线a∥b∥c，直线m交直线a，b，c于点A，B，C，直线n交直线a，b，c于点D，E，F，若＝，则＝(　　)

A.               B.                C.             D.1

5.下列说法正确的是(    )

A.菱形都相似     B.正六边形都相似

C.矩形都相似     D.一个内角为80°的等腰三角形都相似

6.用一个10倍的放大镜看一个15°的角，看到的角的度数为(    )

A.150°    B.105°    C.15°    D.无法确定大小

7.如图所示，若△ABC∽△DEF，则∠E的度数为(　　)

A.28°         B.32°         C.42°         D.52°

8.如图，在ABCD中，F是BC上的一点，直线DF与AB的延长线相交于点E，BP//DF，且与AD相交于点P，则图中相似三角形的组数为(       )

A.3           B.4                 C.5                D.6

9.如图，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝8，AD＝3，BC＝4，点P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是(     )

A.1个                                B.2个             C.3个                          D.4个

10.如图，在△ABC中，EF∥BC，AB＝3AE，若S四边形BCFE＝16，则S△ABC＝(　 　)

A.16         B.18        C.20         D.24

11.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝5，点E、F、G、H分别在已知矩形的四条边上，且四边形EFGH也是矩形，GF＝2EF.若设AE＝a，AF＝b，则a与b满足的关系为(　　)

A.       B.      C.    D.

12.如图，矩形AEHC是由三个全等矩形拼成的，AH与BE、BF、DF、DG、CG分别交于点P、Q、K、M、N，设△BPQ， △DKM， △CNH 的面积依次为S1，S2，S3.若S1＋S3＝20，则S2的值为(     ).

A.6          B.8         C.10           D.12

二              、填空题

13.已知线段b是线段a、c的比例中项，且a＝1，c＝4，那么b＝      

14.如图，直线a∥b∥c，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F.若AB∶BC＝1∶2，DE＝3，则EF的长为　　  .

15.如图，∠ACD＝∠B，AC＝6，AD＝4，则AB＝________.

16.如图，已知△ABC与△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且＝，若点A(－1，0)，点C(,1)，则A′C′＝　　    .

17.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股，主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求的关系.其中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”

译文：“今有一座长方形小城，东西向城墙长7里，南北向城墙长9里，各城墙正中均开一城门.走出东门15里处有棵大树，问走出南门多少步恰好能望见这棵树？”(注：1里＝300步)你的计算结果是：出南门　　　　　　步而见木.

18.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作EA⊥CA交DB的延长线于点E，若AB＝3，BC＝4，则的值为　　    .

三              、作图题

19.如图，已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(0，﹣3)、B(3，﹣2)、C(2，﹣4)，正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度.

(1)画出△ABC向上平移6个单位得到的△A1B1C1；

(2)以点C为位似中心，在网格中画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且△A2B2C2与△ABC的位似比为2：1，并直接写出点A2的坐标.

四              、解答题

20.北京国际数学家大会的会标如图27­1­6所示，它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．

(1)试说明大正方形与小正方形是否相似？

(2)若大正方形的面积为13，每个直角三角形两直角边的和是5，求大正方形与小正方形的相似比．

21.如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E.

(1)求证：△BDE∽△CAD；

(2)若AB＝13，BC＝10，求线段DE的长.

22.为了估算河的宽度，我们可以在河对岸选定一个目标作为点A，再在河的这一边选定点B和C，使AB⊥BC，然后，再选点E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE的交点D.此时如果测得BD＝120米，DC＝60米，EC＝50米，求两岸间的大致距离AB.

23.如图，正方形ABCD的边长为1，AB边上有一动点P，连接PD，线段PD绕点P顺时针旋转90°后，得到线段PE，且PE交BC于点F，连接DF，过点E作EQ⊥AB的延长线于点Q.

(1)求线段PQ的长；

(2)点P在何处时，△PFD∽△BFP，并说明理由．

24.已知AD为⊙O的直径，BC为⊙O的切线，切点为M，分别过A，D两点作BC的垂线，垂足分别为B，C，AD的延长线与BC相交于点E.

(1)求证：△ABM∽△MCD；

(2)若AD＝8，AB＝5，求ME的长.

25.在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝2，点D是BC边上的一个动点(不与B，C重合)，在AC上取一点E，使∠ADE＝30°.

(1)求证：△ABD∽△DCE；

(2)设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式并写出自变量x的取值范围；

(3)当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．

答案

1.B.

2.D

3.B

4.B

5.B.

6.C.

7.C.

8.D

9.C

10.B.

11.B

12.B.

13.答案为：2

14.答案为：6.

15.答案为：9.

16.答案为：.

17.答案为：315.

18.答案为：.

19.解：(1)如图所示：△A1B1C1，即为所求；

(2)如图所示：△A2B2C2，即为所求，A2坐标(﹣2，﹣2).

20.解：(1)因为正方形的四条边都相等，四个角都是直角，

所以大正方形和小正方形相似．

(2)设直角三角形的较长直角边长为a，较短的直角边长为b，

则小正方形的边长为a－b.

所以把②平方，得(a＋b)2＝25，

即a2＋2ab＋b2＝25③.

所以③－①，得2ab＝12，即ab＝6.

因为(a－b)2＝a2－2ab＋b2＝13－12＝1，

所以小正方形的面积为1，边长为1.

又因为大正方形的面积为13，则其边长为，

所以大正方形与小正方形的相似比为∶1.

21.解：(1)∵AB＝AC，AD为BC边上的中线，

∴AD⊥BC，∠B＝∠C.

∵DE⊥AB，∴∠DEB＝∠ADC＝90°，

∴△BDE∽△CAD；

(2)由(1)知，∠ADB＝90°.

在Rt△ADB中，BD＝BC＝5，

∴AD＝＝＝12.

∵S△ABD＝AD·BD＝AB·DE，

∴DE＝.

22.解：∵∠ADB＝∠EDC，∠ABC＝∠ECD＝90°，

∴△ABD∽△ECD，

∴，，

解得＝(米).

答：两岸间的大致距离为100米.

23.解：(1)根据题意得：PD＝PE，∠DPE＝90°，

∴∠APD＋∠QPE＝90°，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠A＝90°，

∴∠ADP＋∠APD＝90°，

∴∠ADP＝∠QPE，

∵EQ⊥AB，

∴∠A＝∠Q＝90°，

在△ADP和△QPE中，

，

∴△ADP≌△QPE(AAS)，

∴PQ＝AD＝1.

(2)∵△PFD∽△BFP，

∴，

∵∠ADP＝∠EPB，∠CBP＝∠A，

∴△DAP∽△PBF，

∴，∴，

∴PA＝PB，∴PA＝AB＝

∴当PA＝，即点P是AB的中点时，△PFD∽△BFP．

24. (1)证明：∵AD为⊙O的直径，

∴∠AMD＝90°，

∴∠BMA＋∠CMD＝90°.

又∵AB⊥BC，DC⊥BC，

∴∠ABM＝∠MCD＝90°，

∴∠BAM＋∠BMA＝90°，

∴∠BAM＝∠CMD，

∴△ABM∽△MCD；

(2)连接OM，则OM⊥BC，

∴OM∥AB，

∴△EMO∽△EBA.

∵AD＝8，

∴AO＝OD＝OM＝4，

∴＝，即＝，

∴ED＝12，

∴EO＝12＋4＝16.

在Rt△EMO中，ME＝＝＝4，

即ME的长为4.

25.解：(1)∵△ABC是等腰三角形，且∠BAC＝120°，

∴∠ABD＝∠ACB＝30°，

∴∠ABD＝∠ADE＝30°.

∵∠ADC＝∠ADE＋∠EDC＝∠ABD＋∠DAB，

∴∠EDC＝∠DAB，

∴△ABD∽△DCE；

(2)如图①，∵AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，

过A作AF⊥BC于点F，

∴∠AFB＝90°.

∵AB＝2，∠ABF＝30°，

∴AF＝AB＝1，

∴BF＝，

∴BC＝2BF＝2，

则DC＝2－x，EC＝2－y.

∵△ABD∽△DCE，

∴＝，

∴＝，

化简得：y＝x2－x＋2(0<x<2)；

(3)当AD＝DE时，如图②，

由(1)可知△ABD∽△DCE，

∴＝＝1，

则AB＝CD，即2＝2－x，

x＝2－2，代入y＝x2－x＋2，

解得：y＝4－2，即AE＝4－2.

当AE＝ED时，如图③，

∠EAD＝∠EDA＝30°，∠AED＝120°，

∴∠DEC＝60°，∠EDC＝90°，

则ED＝EC，即y＝(2－y)，

解得：y＝，即AE＝.

当AD＝AE时，

∠AED＝∠EDA＝30°，∠EAD＝120°，

此时点D与点B重合，不符合题意，此情况不存在．

综上所述，当△ADE是等腰三角形时，AE＝4－2或.