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2023年山东省济南市莱芜区 数学中考模拟试题(含答案)
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这是一份2023年山东省济南市莱芜区 数学中考模拟试题(含答案)，共17页。试卷主要包含了4的算术平方根是，下列说法，化简的结果为，初四等内容，欢迎下载使用。
山东省济南市莱芜区2023年数学中考模拟试题
一．选择题（共12小题，每小题4分，共计48分）
1．4的算术平方根是（ ）
A．±2 B．2 C．±16 D．16
2．下列几何体中，俯视图与主视图完全相同的几何体是（ ）
A．圆锥 B．球 C．圆柱 D．长方体
3．根据世界卫生组织的统计，截止2022年1月16日，全球新冠确诊病例累计超过32620万，用科学记数法表示这一数据是（ ）
A．3.262×108 B．0.3262×109 C．32.62×107 D．3.262×109
4．如图，在△DEF中，点C在DF的延长线上，点B在EF上，且AB∥CD，∠EBA＝80°，则∠E+∠D的度数为（ ）
A．60° B．30° C．90° D．80°
5．下列图案是我国几家银行的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．下列说法：
①﹣1的相反数是﹣﹣1；
②算术平方根等于它本身的数只有零；
③数轴上的点不是表示有理数，就是表示无理数；
④若a，b都是无理数，则|a|+|b|一定是无理数．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
7．化简的结果为（ ）
A．a﹣b B．a+b C． D．
8．初四（1）班李家乐同学拿了A，B，C，D四把钥匙去开教室前、后门的锁，其中A钥匙只能开前门，B钥匙只能开后门，任意取出一把钥匙能够一次打开教室门的概率是（ ）
A． B． C．1 D．
9．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在格点上，如果将△ABC沿y轴翻折，得到△A′B′C′，那么点B的对应点B′的坐标为（ ）
A．（0，2） B．（3，1） C．（1，4） D．（﹣3，﹣1）
9. 10. 12.
10．如图，矩形ABCD的一边CD在x轴上，顶点A、B分别落在双曲线y＝、y＝上，边BC交y＝于点E，连接AE，则△ABE的面积为（ ）
A． B． C． D．
11．已知A（m，2020），B（m+n，2020）是抛物线y＝﹣（x﹣h）2+2036上两点，则正数n＝（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
12．如图，在矩形纸片ABCD中，将AB沿BM翻折，使点A落在BC上的点N处，BM为折痕，连接MN；再将CD沿CE翻折，使点D恰好落在MN上的点F处，CE为折痕，连接EF并延长交BM于点P，若AD＝24，AB＝15，则线段PE的长等于（ ）
A．22 B．20 C．18 D．16
二．填空题（共6小题，每小题4分，共计24分。）
13．因式分解：x2+2x+1＝ ．
14．如图，小明向图中的格盘中随意投掷一枚棋子，该棋子落在三角形内的概率是 ．
15．已知正多边形的一个外角等于60°，则这个正多边形的内角和的度数为 ．
16．已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣6＝0的一个根是2，则另一个根是 ．
17．一列慢车从A地驶往B地，一列快车从B地驶往A地，两车同时出发，分别驶向目的地后停止．如图，折线表示两车之间的距离y（千米）与慢车行驶时间t（小时）之间的关系，求当快车到达A地时，慢车与B地的距离为 千米．
17. 18.
18．如图，在正方形ABCD中，点E是边CD上一点，BF⊥AE，垂足为F，将正方形沿AE，BF切割分成三块，再将△ABF和△ADE分别平移，拼成矩形BGHF．若BG＝nBF，则＝ （用含n的式子表示）．
三．解答题（共7小题，共计78分）
19．（10分）（1）计算：；
（2）解不等式组：，并写出它的所有整数解．
20．（10分）为降低校园欺凌事件发生的频率，某课题组针对义务教育阶段学生校园欺凌事件发生状况进行调查并分析．课题组对全国可查的2800例欺凌事件发生原因进行抽样调查并分析，所得数据绘制成统计图如下：根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次抽样调查的样本容量为 ．
（2）补全条形统计图；
（3）在欺凌事件发生原因扇形统计图中，“因琐事”区域所在扇形的圆心角的度数为 ．
（4）估计所有2800例欺凌事件中有多少事件是“因琐事”或因“发泄情绪”而导致事件发生的？
21．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若tan∠ABC＝，BE＝5，求线段AD的长．
22．（12分）在一次综合实践活动中，数学兴趣小组的同学想要测量一楼房AB的高度，如图，楼房AB后有一假山，其斜坡CD坡比为1：，山坡坡面上点E处有一休息亭，在此处测得楼顶A的仰角为45°，假山坡脚C与楼房水平距离BC＝30米，与亭子距离CE＝40米．
（1）求点E距水平地面BC的高度；
（2）求楼房AB的高．（结果精确到整数，参考数据≈1.414，≈1.732）
23．（12分）为有效落实双减工作，切实做到减负提质，很多学校决定在课后看护中增加乒乓球项目．体育用品商店得知后，第一次用900元购进乒乓球若干盒，第二次又用900元购进该款乒乓球，但这次每盒的进价是第一次进价的1.2倍，购进数量比第一次少了30盒．
（1）求第一次每盒乒乓球的进价是多少元？
（2）若要求这两次购进的乒乓球按同一价格全部销售完后获利不低于510元，则每盒乒乓球的售价至少是多少元？
24．（12分）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D，E两点分别在AB，AC上，且DE∥BC，将△ADE绕点A顺时针旋转，记旋转角为α．
（1）问题发现 当a＝0°时，线段BD，CE的数量关系是 ；
（2）拓展探究 当0°≤a＜360°时，（1）中的结论有无变化？请仅就图2的情形给出证明；
（3）问题解决 设DE＝2，BC＝6，0°≤α＜360°，△ADE旋转至A，B，E三点共线时，直接写出线段BE的长．
25．（12分）如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）如图2，点D为抛物线的顶点，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足为点E，连接AE．如果P点的坐标为（x，y），△PAE的面积为S，求S与x之间的函数关系式（不用写出自变量x的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，当S取到最大值时，过点P作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为点P'，求出P'的坐标．
山东省济南市莱芜区2023年数学中考模拟试题
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，每小题4分，共计48分）
1．4的算术平方根是（ ）
A．±2 B．2 C．±16 D．16
【分析】依据算术平方根的定义求解即可．
【解答】解：∵22＝4，
∴4的算术平方根是2．
故选：B．
【点评】本题主要考查的是算术平方根的定义，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键．
2．下列几何体中，俯视图与主视图完全相同的几何体是（ ）
A．圆锥 B．球 C．圆柱 D．长方体
【分析】根据圆锥、球、圆柱、长方体的主视图、俯视图进行判断即可．
【解答】解：A．圆锥的主视图是等腰三角形，俯视图是圆，故本选项不符合题意；
B．球的俯视图与主视图都是圆，故本选项符合题意；
C．圆柱的主视图是矩形，俯视图是圆，故本选项不符合题意；
D．长方体的主视图和左视图是相同的，都为一个长方形，但是形状大小不一定相同，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查简单几何体的三视图，理解三视图的意义，明确各种几何体的三视图的形状是正确判断的前提．
3．根据世界卫生组织的统计，截止10月28日，全球新冠确诊病例累计超过4430万，用科学记数法表示这一数据是（ ）
A．4.43×107 B．0.443×108 C．44.3×106 D．4.43×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：4430万＝44300000＝4.43×107．
故选：A．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．如图，在△DEF中，点C在DF的延长线上，点B在EF上，且AB∥CD，∠EBA＝60°，则∠E+∠D的度数为（ ）
A．60° B．30° C．90° D．80°
【分析】由平行线的性质可得∠CFE＝∠EBA＝60°，再由三角形的外角性质可得∠CFE＝∠E+∠D，从而得解．
【解答】解：∵AB∥CD，∠EBA＝80°，
∴∠CFE＝∠EBA＝80°，
∵∠EBA是△DEF的外角，
∴∠E+∠D＝∠EBA＝80°．
故选：D．
【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
5．下列图案是我国几家银行的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：第一个是轴对称图形，也是中心对称图形；
第二个是轴对称图形，不是中心对称图形；
第三个不是轴对称图形，也不是中心对称图形；
第四个是轴对称图形，也是中心对称图形．
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
6．下列说法：
①﹣1的相反数是﹣﹣1；
②算术平方根等于它本身的数只有零；
③数轴上的点不是表示有理数，就是表示无理数；
④若a，b都是无理数，则|a|+|b|一定是无理数．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】根据实数包括无理数和有理数，相反数定义和算术平方根的性质进行分析即可．
【解答】解：①﹣1的相反数是﹣+1，故原题说法错误；
②算术平方根等于它本身的数是零和1，故原题说法错误；
③数轴上的点不是表示有理数，就是表示无理数，故原题说法正确；
④若a，b都是无理数，则|a|+|b|不一定是无理数，例如：||+|3﹣|＝3，故原题说法错误．
其中正确的有1个，
故选：D．
【点评】此题主要考查了实数，关键是掌握相反数的概念，掌握实数与数轴上点是一一对应关系．
7．化简的结果为（ ）
A．a﹣b B．a+b C． D．
【分析】根据同分母的分式相加减法则进行计算即可．
【解答】解：
＝
＝
＝a+b，
故选：B．
【点评】本题考查了分式的加减，能正确根据分式的加减法则进行计算是解此题的关键．
8．初三（1）班周沫同学拿了A，B，C，D四把钥匙去开教室前、后门的锁，其中A钥匙只能开前门，B钥匙只能开后门，任意取出一把钥匙能够一次打开教室门的概率是（ ）
A． B． C．1 D．
【分析】画树状图，共有8个等可能的结果，一次打开锁的结果有2个，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如图：
共有8个等可能的结果，一次打开教室门的结果有2个，
∴一次打开教室门的概率为：＝，
故选：D．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率；列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
9．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在格点上，如果将△ABC沿y轴翻折，得到△A′B′C′，那么点B的对应点B′的坐标为（ ）
A．（0，2） B．（3，1） C．（1，4） D．（﹣3，﹣1）
【分析】由折叠的性质可求解．
【解答】解：∵将△ABC沿y轴翻折，得到△A′B′C′，
∴点B（﹣3，1）与点B'关于y轴对称，
∴B'（3，1），
故选：B．
【点评】本题考查了翻折变换，坐标与图形变换﹣对称，关键是掌握点的坐标的变化规律．
10．如图，矩形ABCD的一边CD在x轴上，顶点A、B分别落在双曲线y＝、y＝上，边BC交y＝于点E，连接AE，则△ABE的面积为（ ）
A． B． C． D．
【分析】首先根据双曲线的解析式设出点B的坐标，然后表示出点A和点E的坐标，求得AB，BE，用三角形的面积公式便可求得结果．
【解答】解：∵点B在y＝上，
∴设点B的坐标为（a，），
∴点A的纵坐标是，点E的横坐标为a，
∵点A、点E在y＝上，
∴A（，），E（a，），
∴AB＝a﹣＝，BE＝，
∴
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，解题的关键是正确的用点B的坐标表示出其他点的坐标，从而表示出三角形的面积．
11．已知A（m，2020），B（m+n，2020）是抛物线y＝﹣（x﹣h）2+2036上两点，则正数n＝（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【分析】由A（m，2020），B（m+n，2020）是抛物线y＝﹣（x﹣h）2+2036上两点，可得A（h﹣4，2020），B（h+4，2020），即可得到m＝h﹣4，m+n＝h+4，进而即可求得n＝8．
【解答】解：∵A（m，2020），B（m+n，2020）是抛物线y＝﹣（x﹣h）2+2036上两点，
∴2020＝﹣（x﹣h）2+2036，
解得x1＝h﹣4，x2＝h+4，
∴A（h﹣4，2020），B（h+4，2020），
∵m＝h﹣4，m+n＝h+4，
∴n＝8，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数图象上的点的坐标特征，求得A（h﹣4，2020），B（h+4，2020）是解题的关键．
12．如图，在矩形纸片ABCD中，将AB沿BM翻折，使点A落在BC上的点N处，BM为折痕，连接MN；再将CD沿CE翻折，使点D恰好落在MN上的点F处，CE为折痕，连接EF并延长交BM于点P，若AD＝8，AB＝5，则线段PE的长等于（ ）
A．22 B．20 C．18 D．16
【分析】根据折叠可得ABNM是正方形，CD＝CF＝15，∠D＝∠CFE＝90°，ED＝EF，可求出三角形FNC的三边为9，12，15，在Rt△MEF中，由勾股定理可以求出三边的长，通过作辅助线，可证△FNC∽△PGF，三边占比为3：4：5，设未知数，通过PG＝HN，列方程求出待定系数，进而求出PF的长，然后求PE的长．
【解答】解：过点P作PG⊥FN，PH⊥BN，垂足为G、H，
由折叠得：ABNM是正方形，AB＝BN＝NM＝MA＝15，
CD＝CF＝15，∠D＝∠CFE＝90°，ED＝EF，
∴NC＝MD＝24﹣15＝9，
在Rt△FNC中，FN＝12，
∴MF＝15﹣12＝3，
在Rt△MEF中，设EF＝x，则ME＝9﹣x，由勾股定理得，
32+（9﹣x）2＝x2，
解得：x=5，
∵∠CFN+∠PFG＝90°，∠PFG+∠FPG＝90°，
∴∠CFN＝∠FPG，
∵∠CNF＝∠PGF＝90°，
∴△FNC∽△PGF，
∴FG：PG：PF＝NC：FN：FC＝3：4：5，
设FG＝3m，则PG＝4m，PF＝5m，
∴GN＝PH＝BH＝4﹣3m，HN＝5﹣（4﹣3m）＝1+3m＝PG＝4m，
解得：m＝3，
∴PF＝5m＝15，
∴PE＝PF+FE＝15+5＝20，
故选：B．
【点评】考查折叠轴对称的性质，矩形、正方形的性质，直角三角形的性质等知识，知识的综合性较强，是有一定难度的题目．
二．填空题（共12小题，每小题4分，共计24分）
13．因式分解：x2+2x+1＝ （x+1）2 ．
【分析】
利用完全平方公式进行因式分解即可．
【解答】
x2+2x+1＝（x+1）2．
故答案为：（x+1）2．
【点评】本题考查公式法分解因式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．
14．如图，小明向图中的格盘中随意投掷一枚棋子，该棋子落在三角形内的概率是 ．
【分析】利用面积公式分别表示出阴影部分和大正方形的面积，再利用面积比求概率即可．
【解答】解：三角形面积为3×2÷2＝3，
正方形面积为3×3＝9，
故该棋子落在三角形内的概率是＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查几何概率，求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．
15．已知正多边形的一个外角等于60°，则这个正多边形的内角和的度数为 720 ．
【分析】根据正多边形的外角和定理可求解多边形的边数，再由多边形的内角和定理可求解．
【解答】解：∵正多边形的一个外角等于60°，
∴这个正多边形的边数是：360°÷60°＝6（条），
∴这个正多边形的内角和的度数为（6﹣2）×180＝720°．
故答案为：720．
【点评】本题主要考查多边形的内角和外角，掌握定理是解题的关键．
16．已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣6＝0的一个根是2，则另一个根是 ﹣3 ．
【分析】利用根与系数之间的关系求解
【解答】解：设另一个根为m，由根与系数之间的关系得，
m×2＝﹣6，
∴m＝﹣3，
故答案为﹣3，
【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数之间的关系，解题的关键是学生对公式的理解和熟练使用．
17．一列慢车从A地驶往B地，一列快车从B地驶往A地，两车同时出发，分别驶向目的地后停止．如图，折线表示两车之间的距离y（千米）与慢车行驶时间t（小时）之间的关系，求当快车到达A地时，慢车与B地的距离为 400 千米．
【分析】根据题意和函数图象中的数据可以计算出慢车和快车的速度，从而可以计算出快车到达A所用的时间，进而得到当快车到达A地时，慢车与B地的距离．
【解答】解：由图象可得，
慢车的速度为：1200÷10＝120（千米/小时），
快车的速度为：1200÷4﹣120＝180（千米/小时），
则快车到达A地的所用的时间为：1200÷180＝（小时），
故当快车到达A地时，慢车与B地的距离为：1200﹣120×＝400（千米），
故答案为：400．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
18．如图，在正方形ABCD中，点E是边CD上一点，BF⊥AE，垂足为F，将正方形沿AE，BF切割分成三块，再将△ABF和△ADE分别平移，拼成矩形BGHF．若BG＝nBF，则＝ （用含k的式子表示）．
【分析】设AB＝a，BF＝x，证明△ADE∽△BFA，由相似三角形的比例式求得a、x的关系，用x表示DE与CD，进而求得比值．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝BC＝CD，∠BAC＝∠D＝∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴∠DAE+∠BAF＝∠DAE+∠DEA＝90°，
∴∠DEA＝∠FAB，
∵BF⊥AE，
∴∠D＝∠AFB＝90°
∴△ADE∽△BFA，
∴＝，
由平移知AE＝BG，
设AB＝a，BF＝x，
∵BG＝kBF，
∴BG＝kx，
∴AF＝，
∴，
∴a2＝kx2，
∴DE＝，
CD＝AB＝a＝，
∴．
解法二：设BF＝1，BG＝k，
∵正方形ABCD与矩形BFHC面积相等，
∴AD＝，
∴DE＝CG＝，
∴＝＝．
故答案为．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，平移的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，关键是证明三角形相似．
三．解答题（共7小题，共计78分）
19．（10分）（1）计算：；
（2）解不等式组：，并写出它的所有整数解．
【分析】（1）原式利用平方根的意义，特殊角的三角函数值，以及零指数幂、负整数指数幂法则计算即可得到结果；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，即可求出所有整数解．
【解答】解：（1）原式＝1﹣2×+2+2
＝4；
（2），
由①得：x≤1，
由②得：x＞﹣1，
∴不等式组的解集为﹣1＜x≤1，
则不等式组的整数解为0，1．
【点评】此题考查了实数的运算以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（10分）为降低校园欺凌事件发生的频率，某课题组针对义务教育阶段学生校园欺凌事件发生状况进行调查并分析．课题组对全国可查的2800例欺凌事件发生原因进行抽样调查并分析，所得数据绘制成统计图如下：根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次抽样调查的样本容量为 50 ．
（2）补全条形统计图；
（3）在欺凌事件发生原因扇形统计图中，“因琐事”区域所在扇形的圆心角的度数为 216° ．
（4）估计所有3000例欺凌事件中有多少事件是“因琐事”或因“发泄情绪”而导致事件发生的？
【分析】（1）根据因琐事的人数和所占的百分比即可得出答案；
（2）用总欺凌事件数乘以满足欲望和其他所占的百分比，求出满足欲望的人数和其他人数，从而补全统计图；
（3）用360°乘以“因琐事”所占的百分比即可；
（4）用总欺凌事件数乘以“因琐事”或因“发泄情绪”所占的百分比即可得出答案．
【解答】解：（1）本次抽样调查的样本容量为：30÷60%＝50；
故答案为：50；
（2）满足欲望的人数有：50×12%＝6（人），
其他的人数有：50×8%＝4（人），补全统计图如下：
（3）“因琐事”区域所在扇形的圆心角的度数为：360°×60%＝216°；
故答案为：216°；
（4）2800×（60%+20%）＝2240（例），
答：计所有3000例欺凌事件中有2240例事件是“因琐事”或因“发泄情绪”而导致事件发生的．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图的意义，理解两个统计图中数量之间的关系是正确解答的前提．
21．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若tan∠ABC＝，BE＝5，求线段AD的长．
【分析】（1）根据切线的性质得OC⊥CD，而AD⊥CD，则可判断AD∥OC，根据平行线的性质得∠1＝∠3，加上∠2＝∠3，则∠1＝∠2；
（2）连接AE，如图，根据圆周角定理，由AB是⊙O的直径得到∠ACB＝90°，∠AEB＝90°，再证明△AEB为等腰直角三角形得到AB＝BE＝14，在Rt△ACB中，利用tan∠ABC＝＝可计算出AC＝，BC＝，接着证明Rt△ADC∽Rt△ACB，利用相似比可计算出AD＝，DC＝，然后证明△POC∽△PAD，则利用相似比可计算出PC的长．
【解答】（1）证明：∵CD为⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴AD∥OC，
∴∠1＝∠3，
∵OA＝OC，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠2，
∴AC平分∠DAB；
（2）解：连接AE，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，∠AEB＝90°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠BCE＝45°，
∴∠BAE＝∠ABE＝45°，
∴△AEB为等腰直角三角形，
∴AB＝BE＝×5＝10，
在Rt△ACB中，tan∠ABC＝＝，设AC＝4x，BC＝3x，
∴AB＝＝5x，
∴5x＝10，解得x＝2，
∴AC＝8，BC＝6，
∵∠1＝∠2，
∴Rt△ADC∽Rt△ACB，
∴＝＝，即，
∴AD＝6.4
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质．
22．（12分）在一次综合实践活动中，数学兴趣小组的同学想要测量一楼房AB的高度，如图，楼房AB后有一假山，其斜坡CD坡比为1：，山坡坡面上点E处有一休息亭，在此处测得楼顶A的仰角为45°，假山坡脚C与楼房水平距离BC＝30米，与亭子距离CE＝40米．
（1）求点E距水平地面BC的高度；
（2）求楼房AB的高．（结果精确到整数，参考数据≈1.414，≈1.732）
【分析】（1）过点E作EF⊥BC于点F．在Rt△CEF中，求出CF＝EF，然后根据勾股定理解答；
（2）过点E作EH⊥AB于点H．在Rt△AHE中，∠HAE＝45°，结合（1）中结论得到CF的值，再根据AB＝AH+BH，求出AB的值．
【解答】解：（1）过点E作EF⊥BC于点F．
在Rt△CEF中，CE＝40米，＝，
∴EF2+（EF）2＝402，
∵EF＞0，
∴EF＝20（米）．
答：点E距水平面BC的高度为20米．
（2）过点E作EH⊥AB于点H．
则HE＝BF，BH＝EF．
在Rt△AHE中，∠HAE＝45°，
∴AH＝HE，
由（1）得CF＝EF＝20（米），
又∵BC＝30米，
∴HE＝BC+CF＝（30+20）米，
∴AB＝AH+BH＝30+20+20＝50+20≈85（米），
答：楼房AB的高约是85米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
23．（12分）为有效落实双减工作，切实做到减负提质，很多学校决定在课后看护中增加乒乓球项目．体育用品商店得知后，第一次用900元购进乒乓球若干盒，第二次又用900元购进该款乒乓球，但这次每盒的进价是第一次进价的1.2倍，购进数量比第一次少了30盒．
（1）求第一次每盒乒乓球的进价是多少元？
（2）若要求这两次购进的乒乓球按同一价格全部销售完后获利不低于510元，则每盒乒乓球的售价至少是多少元？
【解答】解：（1）设第一次每盒乒乓球的进价是x元，则第二次每盒乒乓球的进价是1.2x元，
由题意得：
解得：x＝5，
经检验：x＝5是原分式方程的解，，且符合题意，
答：第一次每盒乒乓球的进价是5元；
（2）设每盒乒乓球的售价为y元，
第一次每盒乒乓球的进价为5元，则第二次每盒乒乓球的进价为5×1.2＝6（元），
由题意得：，
解得：y≥7．
答：每盒乒乓球的售价至少是7元．
【点评】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出分式方程；（2）找出数量关系，列出一元一次不等式．
24．（12分）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D，E两点分别在AB，AC上，且DE∥BC，将△ADE绕点A顺时针旋转，记旋转角为α．
（1）问题发现 当a＝0°时，线段BD，CE的数量关系是 BD＝EC ；
（2）拓展探究 当0°≤a＜360°时，（1）中的结论有无变化？请仅就图2的情形给出证明；
（3）问题解决 设DE＝2，BC＝6，0°≤α＜360°，△ADE旋转至A，B，E三点共线时，直接写出线段BE的长．
【分析】（1）利用平行线的性质，想办法证明AD＝AE即可解决问题；
（2）结论不变，只要证明△BAD≌△CAE即可；
（3）分两种情形画出图形求解即可；
【解答】解：（1）如图1中，
∵AB＝AC，∠A＝90°
∴∠B＝∠C＝45°
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，
∴∠ADE＝∠AED＝45°，
∴AD＝AE，
∴AB﹣AD＝AC﹣AE，即BD＝EC．
故答案为BD＝EC．
（2）如图2中，结论不变．
理由：∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE，
∴BD＝EC．
（3）如图3中，∵BC＝6，DE＝2，△ABC，△ADE都是等腰直角三角形，
∴AB＝AC＝3，AD＝AE＝，
当点E在BA的延长线上时，BE＝AB+AE＝4．
如图4中，当点E在线段AB上时，BE＝AB﹣AE＝2．
综上所述，BE的长为4或2．
【点评】本题考查几何变换综合题、等腰三角形的性质、旋转变换、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
25．（12分）综合探究：如图1所示，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0）、B（1，0）、C（3，0）三点．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）如图2，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足为点E，连接AE．如果P点的坐标为（x，y），△PAE的面积为S，求S与x之间的函数关系式和S的最大值（不用写出自变量x的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，当S取到最大值时，过点P作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为点P'，求出P'的坐标．
【分析】（1）把三个点的坐标代入，解方程组求得a，b，c的值，从而求得函数关系式；
（2）求出AD的函数关系式，设出点P坐标，从而求得PE的长，根据三角形面积公式求得结果；
（3）先证得△FCN是等腰三角形，设EN＝FN＝m，根据勾股定理求得m值，根据面积法求得P′M，再根据勾股定理求得EM，进而求得结果．
【解答】解：（1）由题意得，
，在此处键入公式。
∴，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）如图1，
∵﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线顶点坐标D为（﹣1，4）．
∵A（﹣3，0），D（﹣1，4），
∴设AD为解析式为y＝kx+b，
∴，
∴
∴AD解析式是：y＝2x+6，
∴设P（x，2x+6），
∴S△APE＝PE•yP＝（﹣x）•（2x+6）＝﹣x2﹣3x，
∴S＝﹣x2﹣3x；
∵S＝﹣x2﹣3x＝，
∴当x＝﹣时，S取最大值．
（3）如图2，
∵S＝﹣x2﹣3x＝，
∴当x＝﹣时，S取最大值．
∴P（﹣，3），
∵△PEF沿EF翻折得△P′EF，且P（﹣，3），
∴∠PFE＝∠P′FE，PF＝P′F＝3，PE＝P′E＝，
∵PF∥y轴，
∴∠PFE＝∠FEN，
∵∠PFE＝∠P′FE，
∴∠FEN＝∠P′FE，
∴EN＝FN
设EN＝m，则FN＝m，P′N＝3﹣m，
在Rt△P′EN中，
∵，
∴m＝，
设P′F与y轴交于点N，过P′作P′M⊥y轴于点M，
∵S△P′EN＝P′N•P′E＝EN•P′M，
∴P′M＝．
在Rt△EMP′中，
∵EM＝，
∴OM＝EO﹣EM＝，
∴P′（，）．
【点评】本题考查了求二次函数解析式，一次函数解析式，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握基本题型和基本方法．
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山东省济南市莱芜区2023年数学中考模拟试题
一．选择题（共12小题，每小题4分，共计48分）
1．4的算术平方根是（ ）
A．±2 B．2 C．±16 D．16
2．下列几何体中，俯视图与主视图完全相同的几何体是（ ）
A．圆锥 B．球 C．圆柱 D．长方体
3．根据世界卫生组织的统计，截止2022年1月16日，全球新冠确诊病例累计超过32620万，用科学记数法表示这一数据是（ ）
A．3.262×108 B．0.3262×109 C．32.62×107 D．3.262×109
4．如图，在△DEF中，点C在DF的延长线上，点B在EF上，且AB∥CD，∠EBA＝80°，则∠E+∠D的度数为（ ）
A．60° B．30° C．90° D．80°
5．下列图案是我国几家银行的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．下列说法：
①﹣1的相反数是﹣﹣1；
②算术平方根等于它本身的数只有零；
③数轴上的点不是表示有理数，就是表示无理数；
④若a，b都是无理数，则|a|+|b|一定是无理数．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
7．化简的结果为（ ）
A．a﹣b B．a+b C． D．
8．初四（1）班李家乐同学拿了A，B，C，D四把钥匙去开教室前、后门的锁，其中A钥匙只能开前门，B钥匙只能开后门，任意取出一把钥匙能够一次打开教室门的概率是（ ）
A． B． C．1 D．
9．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在格点上，如果将△ABC沿y轴翻折，得到△A′B′C′，那么点B的对应点B′的坐标为（ ）
A．（0，2） B．（3，1） C．（1，4） D．（﹣3，﹣1）
9. 10. 12.
10．如图，矩形ABCD的一边CD在x轴上，顶点A、B分别落在双曲线y＝、y＝上，边BC交y＝于点E，连接AE，则△ABE的面积为（ ）
A． B． C． D．
11．已知A（m，2020），B（m+n，2020）是抛物线y＝﹣（x﹣h）2+2036上两点，则正数n＝（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
12．如图，在矩形纸片ABCD中，将AB沿BM翻折，使点A落在BC上的点N处，BM为折痕，连接MN；再将CD沿CE翻折，使点D恰好落在MN上的点F处，CE为折痕，连接EF并延长交BM于点P，若AD＝24，AB＝15，则线段PE的长等于（ ）
A．22 B．20 C．18 D．16
二．填空题（共6小题，每小题4分，共计24分。）
13．因式分解：x2+2x+1＝ ．
14．如图，小明向图中的格盘中随意投掷一枚棋子，该棋子落在三角形内的概率是 ．
15．已知正多边形的一个外角等于60°，则这个正多边形的内角和的度数为 ．
16．已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣6＝0的一个根是2，则另一个根是 ．
17．一列慢车从A地驶往B地，一列快车从B地驶往A地，两车同时出发，分别驶向目的地后停止．如图，折线表示两车之间的距离y（千米）与慢车行驶时间t（小时）之间的关系，求当快车到达A地时，慢车与B地的距离为 千米．
17. 18.
18．如图，在正方形ABCD中，点E是边CD上一点，BF⊥AE，垂足为F，将正方形沿AE，BF切割分成三块，再将△ABF和△ADE分别平移，拼成矩形BGHF．若BG＝nBF，则＝ （用含n的式子表示）．
三．解答题（共7小题，共计78分）
19．（10分）（1）计算：；
（2）解不等式组：，并写出它的所有整数解．
20．（10分）为降低校园欺凌事件发生的频率，某课题组针对义务教育阶段学生校园欺凌事件发生状况进行调查并分析．课题组对全国可查的2800例欺凌事件发生原因进行抽样调查并分析，所得数据绘制成统计图如下：根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次抽样调查的样本容量为 ．
（2）补全条形统计图；
（3）在欺凌事件发生原因扇形统计图中，“因琐事”区域所在扇形的圆心角的度数为 ．
（4）估计所有2800例欺凌事件中有多少事件是“因琐事”或因“发泄情绪”而导致事件发生的？
21．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若tan∠ABC＝，BE＝5，求线段AD的长．
22．（12分）在一次综合实践活动中，数学兴趣小组的同学想要测量一楼房AB的高度，如图，楼房AB后有一假山，其斜坡CD坡比为1：，山坡坡面上点E处有一休息亭，在此处测得楼顶A的仰角为45°，假山坡脚C与楼房水平距离BC＝30米，与亭子距离CE＝40米．
（1）求点E距水平地面BC的高度；
（2）求楼房AB的高．（结果精确到整数，参考数据≈1.414，≈1.732）
23．（12分）为有效落实双减工作，切实做到减负提质，很多学校决定在课后看护中增加乒乓球项目．体育用品商店得知后，第一次用900元购进乒乓球若干盒，第二次又用900元购进该款乒乓球，但这次每盒的进价是第一次进价的1.2倍，购进数量比第一次少了30盒．
（1）求第一次每盒乒乓球的进价是多少元？
（2）若要求这两次购进的乒乓球按同一价格全部销售完后获利不低于510元，则每盒乒乓球的售价至少是多少元？
24．（12分）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D，E两点分别在AB，AC上，且DE∥BC，将△ADE绕点A顺时针旋转，记旋转角为α．
（1）问题发现 当a＝0°时，线段BD，CE的数量关系是 ；
（2）拓展探究 当0°≤a＜360°时，（1）中的结论有无变化？请仅就图2的情形给出证明；
（3）问题解决 设DE＝2，BC＝6，0°≤α＜360°，△ADE旋转至A，B，E三点共线时，直接写出线段BE的长．
25．（12分）如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）三点．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）如图2，点D为抛物线的顶点，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足为点E，连接AE．如果P点的坐标为（x，y），△PAE的面积为S，求S与x之间的函数关系式（不用写出自变量x的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，当S取到最大值时，过点P作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为点P'，求出P'的坐标．
山东省济南市莱芜区2023年数学中考模拟试题
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，每小题4分，共计48分）
1．4的算术平方根是（ ）
A．±2 B．2 C．±16 D．16
【分析】依据算术平方根的定义求解即可．
【解答】解：∵22＝4，
∴4的算术平方根是2．
故选：B．
【点评】本题主要考查的是算术平方根的定义，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键．
2．下列几何体中，俯视图与主视图完全相同的几何体是（ ）
A．圆锥 B．球 C．圆柱 D．长方体
【分析】根据圆锥、球、圆柱、长方体的主视图、俯视图进行判断即可．
【解答】解：A．圆锥的主视图是等腰三角形，俯视图是圆，故本选项不符合题意；
B．球的俯视图与主视图都是圆，故本选项符合题意；
C．圆柱的主视图是矩形，俯视图是圆，故本选项不符合题意；
D．长方体的主视图和左视图是相同的，都为一个长方形，但是形状大小不一定相同，故本选项不符合题意．
故选：B．
【点评】本题考查简单几何体的三视图，理解三视图的意义，明确各种几何体的三视图的形状是正确判断的前提．
3．根据世界卫生组织的统计，截止10月28日，全球新冠确诊病例累计超过4430万，用科学记数法表示这一数据是（ ）
A．4.43×107 B．0.443×108 C．44.3×106 D．4.43×108
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：4430万＝44300000＝4.43×107．
故选：A．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4．如图，在△DEF中，点C在DF的延长线上，点B在EF上，且AB∥CD，∠EBA＝60°，则∠E+∠D的度数为（ ）
A．60° B．30° C．90° D．80°
【分析】由平行线的性质可得∠CFE＝∠EBA＝60°，再由三角形的外角性质可得∠CFE＝∠E+∠D，从而得解．
【解答】解：∵AB∥CD，∠EBA＝80°，
∴∠CFE＝∠EBA＝80°，
∵∠EBA是△DEF的外角，
∴∠E+∠D＝∠EBA＝80°．
故选：D．
【点评】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
5．下列图案是我国几家银行的标志，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：第一个是轴对称图形，也是中心对称图形；
第二个是轴对称图形，不是中心对称图形；
第三个不是轴对称图形，也不是中心对称图形；
第四个是轴对称图形，也是中心对称图形．
故选：B．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
6．下列说法：
①﹣1的相反数是﹣﹣1；
②算术平方根等于它本身的数只有零；
③数轴上的点不是表示有理数，就是表示无理数；
④若a，b都是无理数，则|a|+|b|一定是无理数．其中正确的有（ ）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【分析】根据实数包括无理数和有理数，相反数定义和算术平方根的性质进行分析即可．
【解答】解：①﹣1的相反数是﹣+1，故原题说法错误；
②算术平方根等于它本身的数是零和1，故原题说法错误；
③数轴上的点不是表示有理数，就是表示无理数，故原题说法正确；
④若a，b都是无理数，则|a|+|b|不一定是无理数，例如：||+|3﹣|＝3，故原题说法错误．
其中正确的有1个，
故选：D．
【点评】此题主要考查了实数，关键是掌握相反数的概念，掌握实数与数轴上点是一一对应关系．
7．化简的结果为（ ）
A．a﹣b B．a+b C． D．
【分析】根据同分母的分式相加减法则进行计算即可．
【解答】解：
＝
＝
＝a+b，
故选：B．
【点评】本题考查了分式的加减，能正确根据分式的加减法则进行计算是解此题的关键．
8．初三（1）班周沫同学拿了A，B，C，D四把钥匙去开教室前、后门的锁，其中A钥匙只能开前门，B钥匙只能开后门，任意取出一把钥匙能够一次打开教室门的概率是（ ）
A． B． C．1 D．
【分析】画树状图，共有8个等可能的结果，一次打开锁的结果有2个，再由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如图：
共有8个等可能的结果，一次打开教室门的结果有2个，
∴一次打开教室门的概率为：＝，
故选：D．
【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率；列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件；注意概率＝所求情况数与总情况数之比．
9．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点都在格点上，如果将△ABC沿y轴翻折，得到△A′B′C′，那么点B的对应点B′的坐标为（ ）
A．（0，2） B．（3，1） C．（1，4） D．（﹣3，﹣1）
【分析】由折叠的性质可求解．
【解答】解：∵将△ABC沿y轴翻折，得到△A′B′C′，
∴点B（﹣3，1）与点B'关于y轴对称，
∴B'（3，1），
故选：B．
【点评】本题考查了翻折变换，坐标与图形变换﹣对称，关键是掌握点的坐标的变化规律．
10．如图，矩形ABCD的一边CD在x轴上，顶点A、B分别落在双曲线y＝、y＝上，边BC交y＝于点E，连接AE，则△ABE的面积为（ ）
A． B． C． D．
【分析】首先根据双曲线的解析式设出点B的坐标，然后表示出点A和点E的坐标，求得AB，BE，用三角形的面积公式便可求得结果．
【解答】解：∵点B在y＝上，
∴设点B的坐标为（a，），
∴点A的纵坐标是，点E的横坐标为a，
∵点A、点E在y＝上，
∴A（，），E（a，），
∴AB＝a﹣＝，BE＝，
∴
故选：D．
【点评】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，解题的关键是正确的用点B的坐标表示出其他点的坐标，从而表示出三角形的面积．
11．已知A（m，2020），B（m+n，2020）是抛物线y＝﹣（x﹣h）2+2036上两点，则正数n＝（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
【分析】由A（m，2020），B（m+n，2020）是抛物线y＝﹣（x﹣h）2+2036上两点，可得A（h﹣4，2020），B（h+4，2020），即可得到m＝h﹣4，m+n＝h+4，进而即可求得n＝8．
【解答】解：∵A（m，2020），B（m+n，2020）是抛物线y＝﹣（x﹣h）2+2036上两点，
∴2020＝﹣（x﹣h）2+2036，
解得x1＝h﹣4，x2＝h+4，
∴A（h﹣4，2020），B（h+4，2020），
∵m＝h﹣4，m+n＝h+4，
∴n＝8，
故选：C．
【点评】本题考查二次函数图象上的点的坐标特征，求得A（h﹣4，2020），B（h+4，2020）是解题的关键．
12．如图，在矩形纸片ABCD中，将AB沿BM翻折，使点A落在BC上的点N处，BM为折痕，连接MN；再将CD沿CE翻折，使点D恰好落在MN上的点F处，CE为折痕，连接EF并延长交BM于点P，若AD＝8，AB＝5，则线段PE的长等于（ ）
A．22 B．20 C．18 D．16
【分析】根据折叠可得ABNM是正方形，CD＝CF＝15，∠D＝∠CFE＝90°，ED＝EF，可求出三角形FNC的三边为9，12，15，在Rt△MEF中，由勾股定理可以求出三边的长，通过作辅助线，可证△FNC∽△PGF，三边占比为3：4：5，设未知数，通过PG＝HN，列方程求出待定系数，进而求出PF的长，然后求PE的长．
【解答】解：过点P作PG⊥FN，PH⊥BN，垂足为G、H，
由折叠得：ABNM是正方形，AB＝BN＝NM＝MA＝15，
CD＝CF＝15，∠D＝∠CFE＝90°，ED＝EF，
∴NC＝MD＝24﹣15＝9，
在Rt△FNC中，FN＝12，
∴MF＝15﹣12＝3，
在Rt△MEF中，设EF＝x，则ME＝9﹣x，由勾股定理得，
32+（9﹣x）2＝x2，
解得：x=5，
∵∠CFN+∠PFG＝90°，∠PFG+∠FPG＝90°，
∴∠CFN＝∠FPG，
∵∠CNF＝∠PGF＝90°，
∴△FNC∽△PGF，
∴FG：PG：PF＝NC：FN：FC＝3：4：5，
设FG＝3m，则PG＝4m，PF＝5m，
∴GN＝PH＝BH＝4﹣3m，HN＝5﹣（4﹣3m）＝1+3m＝PG＝4m，
解得：m＝3，
∴PF＝5m＝15，
∴PE＝PF+FE＝15+5＝20，
故选：B．
【点评】考查折叠轴对称的性质，矩形、正方形的性质，直角三角形的性质等知识，知识的综合性较强，是有一定难度的题目．
二．填空题（共12小题，每小题4分，共计24分）
13．因式分解：x2+2x+1＝ （x+1）2 ．
【分析】
利用完全平方公式进行因式分解即可．
【解答】
x2+2x+1＝（x+1）2．
故答案为：（x+1）2．
【点评】本题考查公式法分解因式，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键．
14．如图，小明向图中的格盘中随意投掷一枚棋子，该棋子落在三角形内的概率是 ．
【分析】利用面积公式分别表示出阴影部分和大正方形的面积，再利用面积比求概率即可．
【解答】解：三角形面积为3×2÷2＝3，
正方形面积为3×3＝9，
故该棋子落在三角形内的概率是＝．
故答案为：．
【点评】本题主要考查几何概率，求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是长度比，面积比，体积比等．
15．已知正多边形的一个外角等于60°，则这个正多边形的内角和的度数为 720 ．
【分析】根据正多边形的外角和定理可求解多边形的边数，再由多边形的内角和定理可求解．
【解答】解：∵正多边形的一个外角等于60°，
∴这个正多边形的边数是：360°÷60°＝6（条），
∴这个正多边形的内角和的度数为（6﹣2）×180＝720°．
故答案为：720．
【点评】本题主要考查多边形的内角和外角，掌握定理是解题的关键．
16．已知关于x的一元二次方程x2+kx﹣6＝0的一个根是2，则另一个根是 ﹣3 ．
【分析】利用根与系数之间的关系求解
【解答】解：设另一个根为m，由根与系数之间的关系得，
m×2＝﹣6，
∴m＝﹣3，
故答案为﹣3，
【点评】本题主要考查一元二次方程根与系数之间的关系，解题的关键是学生对公式的理解和熟练使用．
17．一列慢车从A地驶往B地，一列快车从B地驶往A地，两车同时出发，分别驶向目的地后停止．如图，折线表示两车之间的距离y（千米）与慢车行驶时间t（小时）之间的关系，求当快车到达A地时，慢车与B地的距离为 400 千米．
【分析】根据题意和函数图象中的数据可以计算出慢车和快车的速度，从而可以计算出快车到达A所用的时间，进而得到当快车到达A地时，慢车与B地的距离．
【解答】解：由图象可得，
慢车的速度为：1200÷10＝120（千米/小时），
快车的速度为：1200÷4﹣120＝180（千米/小时），
则快车到达A地的所用的时间为：1200÷180＝（小时），
故当快车到达A地时，慢车与B地的距离为：1200﹣120×＝400（千米），
故答案为：400．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
18．如图，在正方形ABCD中，点E是边CD上一点，BF⊥AE，垂足为F，将正方形沿AE，BF切割分成三块，再将△ABF和△ADE分别平移，拼成矩形BGHF．若BG＝nBF，则＝ （用含k的式子表示）．
【分析】设AB＝a，BF＝x，证明△ADE∽△BFA，由相似三角形的比例式求得a、x的关系，用x表示DE与CD，进而求得比值．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD＝BC＝CD，∠BAC＝∠D＝∠ABC＝∠BCD＝90°，
∴∠DAE+∠BAF＝∠DAE+∠DEA＝90°，
∴∠DEA＝∠FAB，
∵BF⊥AE，
∴∠D＝∠AFB＝90°
∴△ADE∽△BFA，
∴＝，
由平移知AE＝BG，
设AB＝a，BF＝x，
∵BG＝kBF，
∴BG＝kx，
∴AF＝，
∴，
∴a2＝kx2，
∴DE＝，
CD＝AB＝a＝，
∴．
解法二：设BF＝1，BG＝k，
∵正方形ABCD与矩形BFHC面积相等，
∴AD＝，
∴DE＝CG＝，
∴＝＝．
故答案为．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，平移的性质，勾股定理，相似三角形的性质与判定，关键是证明三角形相似．
三．解答题（共7小题，共计78分）
19．（10分）（1）计算：；
（2）解不等式组：，并写出它的所有整数解．
【分析】（1）原式利用平方根的意义，特殊角的三角函数值，以及零指数幂、负整数指数幂法则计算即可得到结果；
（2）分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，即可求出所有整数解．
【解答】解：（1）原式＝1﹣2×+2+2
＝4；
（2），
由①得：x≤1，
由②得：x＞﹣1，
∴不等式组的解集为﹣1＜x≤1，
则不等式组的整数解为0，1．
【点评】此题考查了实数的运算以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．（10分）为降低校园欺凌事件发生的频率，某课题组针对义务教育阶段学生校园欺凌事件发生状况进行调查并分析．课题组对全国可查的2800例欺凌事件发生原因进行抽样调查并分析，所得数据绘制成统计图如下：根据以上信息，回答下列问题：
（1）本次抽样调查的样本容量为 50 ．
（2）补全条形统计图；
（3）在欺凌事件发生原因扇形统计图中，“因琐事”区域所在扇形的圆心角的度数为 216° ．
（4）估计所有3000例欺凌事件中有多少事件是“因琐事”或因“发泄情绪”而导致事件发生的？
【分析】（1）根据因琐事的人数和所占的百分比即可得出答案；
（2）用总欺凌事件数乘以满足欲望和其他所占的百分比，求出满足欲望的人数和其他人数，从而补全统计图；
（3）用360°乘以“因琐事”所占的百分比即可；
（4）用总欺凌事件数乘以“因琐事”或因“发泄情绪”所占的百分比即可得出答案．
【解答】解：（1）本次抽样调查的样本容量为：30÷60%＝50；
故答案为：50；
（2）满足欲望的人数有：50×12%＝6（人），
其他的人数有：50×8%＝4（人），补全统计图如下：
（3）“因琐事”区域所在扇形的圆心角的度数为：360°×60%＝216°；
故答案为：216°；
（4）2800×（60%+20%）＝2240（例），
答：计所有3000例欺凌事件中有2240例事件是“因琐事”或因“发泄情绪”而导致事件发生的．
【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图的意义，理解两个统计图中数量之间的关系是正确解答的前提．
21．（10分）如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上一点，AD与过点C的切线垂直，垂足为点D，直线DC与AB的延长线相交于点P，弦CE平分∠ACB，交AB于点F，连接BE．
（1）求证：AC平分∠DAB；
（2）若tan∠ABC＝，BE＝5，求线段AD的长．
【分析】（1）根据切线的性质得OC⊥CD，而AD⊥CD，则可判断AD∥OC，根据平行线的性质得∠1＝∠3，加上∠2＝∠3，则∠1＝∠2；
（2）连接AE，如图，根据圆周角定理，由AB是⊙O的直径得到∠ACB＝90°，∠AEB＝90°，再证明△AEB为等腰直角三角形得到AB＝BE＝14，在Rt△ACB中，利用tan∠ABC＝＝可计算出AC＝，BC＝，接着证明Rt△ADC∽Rt△ACB，利用相似比可计算出AD＝，DC＝，然后证明△POC∽△PAD，则利用相似比可计算出PC的长．
【解答】（1）证明：∵CD为⊙O的切线，
∴OC⊥CD，
∵AD⊥CD，
∴AD∥OC，
∴∠1＝∠3，
∵OA＝OC，
∴∠2＝∠3，
∴∠1＝∠2，
∴AC平分∠DAB；
（2）解：连接AE，如图，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，∠AEB＝90°，
∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE＝∠BCE＝45°，
∴∠BAE＝∠ABE＝45°，
∴△AEB为等腰直角三角形，
∴AB＝BE＝×5＝10，
在Rt△ACB中，tan∠ABC＝＝，设AC＝4x，BC＝3x，
∴AB＝＝5x，
∴5x＝10，解得x＝2，
∴AC＝8，BC＝6，
∵∠1＝∠2，
∴Rt△ADC∽Rt△ACB，
∴＝＝，即，
∴AD＝6.4
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了圆周角定理和相似三角形的判定与性质．
22．（12分）在一次综合实践活动中，数学兴趣小组的同学想要测量一楼房AB的高度，如图，楼房AB后有一假山，其斜坡CD坡比为1：，山坡坡面上点E处有一休息亭，在此处测得楼顶A的仰角为45°，假山坡脚C与楼房水平距离BC＝30米，与亭子距离CE＝40米．
（1）求点E距水平地面BC的高度；
（2）求楼房AB的高．（结果精确到整数，参考数据≈1.414，≈1.732）
【分析】（1）过点E作EF⊥BC于点F．在Rt△CEF中，求出CF＝EF，然后根据勾股定理解答；
（2）过点E作EH⊥AB于点H．在Rt△AHE中，∠HAE＝45°，结合（1）中结论得到CF的值，再根据AB＝AH+BH，求出AB的值．
【解答】解：（1）过点E作EF⊥BC于点F．
在Rt△CEF中，CE＝40米，＝，
∴EF2+（EF）2＝402，
∵EF＞0，
∴EF＝20（米）．
答：点E距水平面BC的高度为20米．
（2）过点E作EH⊥AB于点H．
则HE＝BF，BH＝EF．
在Rt△AHE中，∠HAE＝45°，
∴AH＝HE，
由（1）得CF＝EF＝20（米），
又∵BC＝30米，
∴HE＝BC+CF＝（30+20）米，
∴AB＝AH+BH＝30+20+20＝50+20≈85（米），
答：楼房AB的高约是85米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣﹣仰角俯角问题、坡度坡角问题，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
23．（12分）为有效落实双减工作，切实做到减负提质，很多学校决定在课后看护中增加乒乓球项目．体育用品商店得知后，第一次用900元购进乒乓球若干盒，第二次又用900元购进该款乒乓球，但这次每盒的进价是第一次进价的1.2倍，购进数量比第一次少了30盒．
（1）求第一次每盒乒乓球的进价是多少元？
（2）若要求这两次购进的乒乓球按同一价格全部销售完后获利不低于510元，则每盒乒乓球的售价至少是多少元？
【解答】解：（1）设第一次每盒乒乓球的进价是x元，则第二次每盒乒乓球的进价是1.2x元，
由题意得：
解得：x＝5，
经检验：x＝5是原分式方程的解，，且符合题意，
答：第一次每盒乒乓球的进价是5元；
（2）设每盒乒乓球的售价为y元，
第一次每盒乒乓球的进价为5元，则第二次每盒乒乓球的进价为5×1.2＝6（元），
由题意得：，
解得：y≥7．
答：每盒乒乓球的售价至少是7元．
【点评】本题考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出分式方程；（2）找出数量关系，列出一元一次不等式．
24．（12分）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D，E两点分别在AB，AC上，且DE∥BC，将△ADE绕点A顺时针旋转，记旋转角为α．
（1）问题发现 当a＝0°时，线段BD，CE的数量关系是 BD＝EC ；
（2）拓展探究 当0°≤a＜360°时，（1）中的结论有无变化？请仅就图2的情形给出证明；
（3）问题解决 设DE＝2，BC＝6，0°≤α＜360°，△ADE旋转至A，B，E三点共线时，直接写出线段BE的长．
【分析】（1）利用平行线的性质，想办法证明AD＝AE即可解决问题；
（2）结论不变，只要证明△BAD≌△CAE即可；
（3）分两种情形画出图形求解即可；
【解答】解：（1）如图1中，
∵AB＝AC，∠A＝90°
∴∠B＝∠C＝45°
∵DE∥BC，
∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，
∴∠ADE＝∠AED＝45°，
∴AD＝AE，
∴AB﹣AD＝AC﹣AE，即BD＝EC．
故答案为BD＝EC．
（2）如图2中，结论不变．
理由：∵AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE，
∴BD＝EC．
（3）如图3中，∵BC＝6，DE＝2，△ABC，△ADE都是等腰直角三角形，
∴AB＝AC＝3，AD＝AE＝，
当点E在BA的延长线上时，BE＝AB+AE＝4．
如图4中，当点E在线段AB上时，BE＝AB﹣AE＝2．
综上所述，BE的长为4或2．
【点评】本题考查几何变换综合题、等腰三角形的性质、旋转变换、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
25．（12分）综合探究：如图1所示，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0）、B（1，0）、C（3，0）三点．
（1）求抛物线的函数解析式；
（2）如图2，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足为点E，连接AE．如果P点的坐标为（x，y），△PAE的面积为S，求S与x之间的函数关系式和S的最大值（不用写出自变量x的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，当S取到最大值时，过点P作x轴的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为点P'，求出P'的坐标．
【分析】（1）把三个点的坐标代入，解方程组求得a，b，c的值，从而求得函数关系式；
（2）求出AD的函数关系式，设出点P坐标，从而求得PE的长，根据三角形面积公式求得结果；
（3）先证得△FCN是等腰三角形，设EN＝FN＝m，根据勾股定理求得m值，根据面积法求得P′M，再根据勾股定理求得EM，进而求得结果．
【解答】解：（1）由题意得，
，在此处键入公式。
∴，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣2x+3；
（2）如图1，
∵﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4，
∴抛物线顶点坐标D为（﹣1，4）．
∵A（﹣3，0），D（﹣1，4），
∴设AD为解析式为y＝kx+b，
∴，
∴
∴AD解析式是：y＝2x+6，
∴设P（x，2x+6），
∴S△APE＝PE•yP＝（﹣x）•（2x+6）＝﹣x2﹣3x，
∴S＝﹣x2﹣3x；
∵S＝﹣x2﹣3x＝，
∴当x＝﹣时，S取最大值．
（3）如图2，
∵S＝﹣x2﹣3x＝，
∴当x＝﹣时，S取最大值．
∴P（﹣，3），
∵△PEF沿EF翻折得△P′EF，且P（﹣，3），
∴∠PFE＝∠P′FE，PF＝P′F＝3，PE＝P′E＝，
∵PF∥y轴，
∴∠PFE＝∠FEN，
∵∠PFE＝∠P′FE，
∴∠FEN＝∠P′FE，
∴EN＝FN
设EN＝m，则FN＝m，P′N＝3﹣m，
在Rt△P′EN中，
∵，
∴m＝，
设P′F与y轴交于点N，过P′作P′M⊥y轴于点M，
∵S△P′EN＝P′N•P′E＝EN•P′M，
∴P′M＝．
在Rt△EMP′中，
∵EM＝，
∴OM＝EO﹣EM＝，
∴P′（，）．
【点评】本题考查了求二次函数解析式，一次函数解析式，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解决问题的关键是熟练掌握基本题型和基本方法．
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