广东省广州市从化中学2022-2023学年高二上学期期末数学试题

从化中学高二数学上学期期末试卷

考时：120分钟总分：150分

一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分.

1.已知，，则直线的倾斜角大小是（    ）

A.45° B.60° C.120° D.135°

2.抛物线上一点到焦点的距离为3，则点的横坐标（    ）

A.1 B.3 C.4 D.2

3.过点引直线，使，两点到直线的距离相等，则这条直线的方程是（    ）

A.  B.

C.或 D.或

4.在等差数列中，若，，则数列的前8项和是（    ）

A.128 B.80 C.64 D.56

5.在直三棱柱中，，，分別是，的中点，，则与所成角的正弦值是（    ）

A. B. C. D.

6.已知直线恒过点，过点作直线与圆相交于A，B两点，则的最小值为（    ）

A.2 B. C.4 D.

7.已知等差数列的公差，它的第1、5、17项顺次成等比数列，则这个等比数列的公比是（    ）

A.3 B. C.2 D.4

8.如图，已知、，从点射出的光线经直线反向后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是（    ）

A. B.6 C. D.

二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.

9.已知直线的方程为，直线的方程为，若，则（    ）

A. B. C.1 D.

10.已知双曲线过点且渐近线方程为，则下列结论正确的是（    ）

A.直线与有两个公共点 B.的离心率为

C.的方程为 D.曲线经过的一个焦点

11.已知椭圆的中心为坐标原点，焦点、在轴上，短轴长等于2，焦距为，过焦点作轴的垂线交椭圆于P、Q两点，则下列说法正确的是（    ）

A.椭圆的方程为 B.

C.  D.椭圆的离心率为

12.在正方体中，是棱上一点，且二面角的正切值为，则（    ）

A.面直线AE与BC所成角的余弦值为

B.在棱上不存在一点，使得平面

C.到平面的距离是到平面的距离的倍

D.直线与平面所成角的大小等于二面角的大小

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.过点，斜率为2的直线方程是______.

14.椭圆的左焦点为，M为椭圆上的一点，是的中点，O为原点，若，则______.

15.设椭圆的焦距为，则数列的前项和为______.

16.已知等比数列的首项为1，且，则______.

三、解答题（共6题，70分）

17.（本题满分10分）记为等差数列的前项和.已知，公差，是与的等比中项.

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列前项和为.

18.（本题满分12分）已知圆过点，，且圆心在直线上.

（1）求圆的方程；

（2）若从点发出的光线经过轴反射，反射光线刚好经过圆心，求反射光线的方程.

19.（本题满分12分）如图，四棱锥的底面是正方形，底面，点E在棱PB上.

（I）求证：平面平面；

（II）当且E为PB的中点时，求AE与平面所成的角的大小.

20.（本题满分12分）已知等差数列的前项和为，公差为，且，，公比为的等比数列中，，，.

（1）求数列，的通项公式，；

（2）若数列满足，求数列的前项和.

21.（本题满分12分）如图，直四棱柱的底面是菱形，，，，E，M，N分别是，，的中点.

（1）证明：平面.

（2）求二面角的正弦值.

22.（本小题满分12分）设抛物线，直线与交于A，B两点.

（1）若，求直线的方程；

（2）点为的中点，过点作直线与轴垂直，垂足为，求证：以为直径的圆必经过一定点，并求出该定点坐标.

从化中学高二数学上学期期末试卷答案

一、选择题：

1∼8.DDCCBBAA    9.AB    10.CD    11.AB    12.CD

二、填空题：

13.   14.4   15.   16.128

三、解答题

17.【解析】（1）∵，，成等比数列，

∴，

∴，……2分

∴，

解得或，

∵，∴，……4分

∴数列的通项公式.……6分

（2）∵，……8分

∴，……10分

∴，

.……12分

18.解（1）圆C过点，，因为圆心在直线：上，

设圆心，又圆过点，，

所以，即，

解得，所以，所以

故圆的方程为.……6分

（2）点关于x轴的对称点，

则反射光线必经过点和点，

由直线的两点式方程可得，

即.……12分

19.解：如图，以D为原点建立空间直角坐标系，……1分

设，，则，，，，，

（Ⅰ）∵，，，

∴，，

∴，，∴平面，

∴平面平面.……1分

（II）当且E为PB的中点时，，，

设，连接，

由（I）知平面于，

∴为与平面所的角，……7分

∵，，

∴，……11分

∴，即与平面所成的角的大小为45°.…….12分

20.【答案】（1），；（2）.

【解析】（1）由题意可得：等差数列，；……3分

因为等比数列中，，，，，，

所以，，，∴……6分

（2），……9分

∴.……12分

21.【详解】（1）连接，.

∵M，E分别为，中点 ∴ME为的中位线

∴且

又N为中点，且，∴且

∴  ∴四边形为平行四边形.…….3分

∴，又平面，平面

∴平面.……5分

（2）设，

由直四棱柱性质可知：平面

∵四边形为菱形 ∴

则以为原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系，……6分

则：，，，，，

取中点，连接，则

∵四边形为菱形且 ∴为等边三角形 ∴

又平面，平面   ∴

∴平面，即平面

∴为平面的一个法向量，且，……7分

设平面的法向量，又，

∴，令，则，，∴，……9分

∴.……11分

∴.

∴二面角的正弦值为：.……12分

22.【解析】（1）由消去并整理，得，……1分

显然，设，，

由韦达定理可得，，，

∵，

∴，……3分

∴（舍去）或，

∴，

∴直线方程为或.……5分

（2）设的中点的坐标为，则，

又∵，

∴，……6分

∴，由题意可得，……7分

设以为直径的圆经过点

则，，……8分

由题意可得，，

即，……9分

由题意可知……10分

∴，.……11分

∴定点即为所求.……12分